nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành nửa địa phương chứa nhóm ma trận đường chéo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bích Vân NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG CHỨA NHÓM MA TRẬN ĐƯỜNG CHÉO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bích Vân NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG CHỨA NHÓM MA TRẬN ĐƯỜNG CHÉO Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Bùi Xuân Hải TS Trần Ngọc Hội tận tình bảo hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giảng viên khoa Toán-Tin học trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dạy bảo tận tình cho tơi q trình học tập khoa Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ cho suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2011 Nguyễn Bích Vân Bảng ký hiệu H ≤ G : H nhóm G C ( R ) : tâm vành R R* : nhóm phần tử khả nghịch vành R N G ( H ) : chuẩn hóa tử H G [ a, b] = aba −1b−1 : giao hoán tử a b M ( n, R ) : vành ma trận vuông cấp n vành R GL ( n, R ) : nhóm tuyến tính tổng qt bậc n vành R E ( n, R ) : nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R D ( n, R ) : nhóm ma trận đường chéo bậc n vành R [ε1, , ε n ] : ma trận đường chéo với ε1, , ε n nằm đường chéo e : ma trận đơn vị vành M ( n, R ) eij : ma trận có vị trí (i,j) vị trí khác dij ( ε ) =e + ( ε − 1) eii + ( ε −1 − 1) e jj di ( ε ) =e + ( ε − 1) eii J = J ( R ) : Jacobson vành R δ ij : kí hiệu Kronecker σ = (σ ij ) : lưới ideal bậc n vành R M (σ ) : tập ma trận vuông với hệ tử aij ∈ σ ij G (σ ) : nhóm lớn GL ( n, R ) chứa e + M (σ ) N (σ ) : chuẩn hóa tử G (σ ) Mục lục Chương I Kiến Thức Cơ Sở §1 Căn Jacobson §2 Vành Artin 12 §3 Vành nửa đơn Định lý Wedderburn 14 §4 Nhóm tuyến tính vành 17 Chương II 20 Nhoùm Con Của Nhóm Tuyến Tính Tổng Quát Chứa Nhóm Ma Trận Đường Chéo 20 §5 Lưới nhóm lưới 20 §6 Bổ đề phép co 29 §7 Nhóm nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm ma trận đường chéo 46 Lời nói đầu Mơ tả nhóm nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, R) nói chung nhóm chứa nhóm ma trận đường chéo nói riêng đóng vai trị quan trọng lý thuyết nhóm cổ điển Năm 1976, Z.I Borevich nghiên cứu dàn nhóm nhóm thỏa tính chất chung là: nhóm nhóm GL(n, R) nằm nhóm chuẩn hóa tử Từ đó, nhà toán học N.A Vavilov, Li Sangzhi, Ba M.X., nghiên cứu mơ tả nhóm nhóm tuyến tính tổng quát vành cổ điển Cụ thể: với n ≥ , cho GL(n, R) nhóm tuyến tính tổng qt vành nửa địa phương R giả sử lớp trường thặng dư vành R chứa bảy phần tử D = D(n, R) nhóm đường chéo nhóm GL(n, R) Khi đó, Z.I Borevich N.A Vavilov rằng: “ Đối với nhóm trung gian H, tồn D-lưới bậc n ideal R cho G (σ ) ≤ H ≤ N G ( G (σ ) ) ” Luận văn gồm hai chương Chương kiến thức kết lý thuyết vành, môđun, hạng ổn định vành, định nghĩa nhóm tuyến tính nhóm liên quan Chương phần luận văn, trình bày khái niệm gọi lưới nhóm lưới kết mà hai tác giả nêu [2] Chương I Kiến Thức Cơ Sở §1 Căn Jacobson Cho vành R có đơn vị, ta gọi tắt vành R Ta kí hiệu R* nhóm nhân tất phần tử khả nghịch R R* = R \ {0} Nếu R* = R* R gọi thể hay vành chia Tâm vành R, kí hiệu C(R) định nghĩa sau: C ( R) = {s ∈ R : sr = rs, ∀r ∈ R} Ta kí hiệu R vành đối vành R với phép toán cộng R trùng với phéo toán cộng vành R, phép toán nhân R định nghĩa sau: ∀x, y ∈ R : x  y = y x Một đồng cấu R gọi đối đồng cấu R M R-môđun phải ta gọi tắt R-môđun Định nghĩa 1.1 Với phần tử x R-môđun M, tập hợp ann ( x ) =∈ 0} {r R : xr = gọi linh hóa tử phần tử x Tập hợp ann ( M ) =  ann ( x ) gọi linh hóa tử mơđun M x∈M Nhận thấy ann(M) ideal hai phía R Nếu ann(M)=0 M gọi R-môđun trung thành Định nghĩa 1.2 Một R-môđun M gọi đơn M ≠ M có hai mơđun Định nghĩa 1.3 Ta gọi Jacobson vành R, kí hiệu J=J(R), tập hợp cho cơng thức: J =  ann ( M ) , M chạy khắp R-mơđun M đơn Mệnh đề 1.4 Mọi ideal phải thực vành R nằm ideal phải tối đại vành R Định lý 1.5 Căn Jacobson vành R trùng với giao tất ideal phải tối đại vành R Chứng minh Đặt τ = ∩ ρ với ρ chạy khắp ideal phải tối đại vành R Vì ann(M) ideal phải R nên ann(M) nằm ideal phải tối đại với M R-mơđun đơn Suy J ⊂ τ Ngược lại, lấy x ∈τ Đặt I ={ xy + y : y ∈ R} , dễ dàng chứng minh I ideal phải vành R I=R Thật vậy, I ≠ R I chứa ρ với ρ ideal phải tối đại Khi đó, x ∈ ρ xy + y ∈ ρ kéo theo y ∈ ρ , ∀y ∈ R Vậy ρ = R (vô lý) Suy I=R Vậy ∀x ∈τ tồn ω ∈ R để − x= xω + ω hay x + ω + xω = Bây ta chứng minh τ ⊂ J Ta chứng minh phản chứng, giả sử τ ⊄ J , kéo theo tồn M R-môđun đơn để M τ ≠ hay nói cách khác ∃m ∈ M , m ≠ : mτ ≠ Nhưng mτ môđun môđun đơn M, suy mτ = M Vì ∃t ∈τ : mt =−m Mặt khác t ∈τ nên tồn s ∈ R để t + s + ts = Suy m ( t + s + ts ) =mt =−m =0 ⇒ m =0 (mâu thuẫn) Vậy τ ⊂ J Tóm lại τ = J Định nghĩa 1.6 a) Phần tử a ∈ R gọi lũy linh tồn số nguyên dương n để an = b) Phần tử a ∈ R gọi tựa quy phải tồn phần tử a′ ∈ R cho a + a′ + a a′ = Chúng ta gọi a′ tựa nghịch đảo phải a c) Phần tử ≠ a ∈ R gọi lũy đẳng a = a Định nghĩa 1.7 Một ideal phải (trái, hai phía) I gọi nil ideal phải (trái, hai phía) phần tử I lũy linh Một ideal phải (trái, hai phía) I gọi ideal phải (trái, hai phía) lũy linh tồn số nguyên dương n để I n = Một ideal phải I gọi tựa quy phải phần tử tựa quy phải Định lý 1.8 J ( R ) ideal tựa quy phải R chứa tất ideal phải tựa quy phải R Hay nói cách khác J ( R ) ideal tựa quy phải lớn R Chứng minh Theo Định lý 1.5 ta có J ( R ) ideal tựa quy phải R ρ ideal phải tựa quy phải R ta chứng minh ρ ⊂ J ( R ) Ta chứng minh phản chứng, giả sử ρ ⊄ J ( R ) Tức tồn M R-môđun đơn cho M ρ ≠ Suy ∃m ∈ M , m ≠ : mρ ≠ , mà mρ R-môđun M, nên mρ = M ⇒ ∃x ∈ ρ : mx = −m Lại x ∈ ρ với ρ ideal phải tựa quy phải R nên tồn x′ ∈ R : x + x′ + xx′ = Suy =+ mx mx′ + mxx′ = −m + mx′ − mx′ = −m ⇒ m = (mâu thuẫn)   Định lý 1.9 J  R  =  J ( R) Chứng minh Đặt R = R nên I J ( R) J ( R) I ideal phải tối đại R Do J ( R ) ⊂ I xác định, ideal phải tối đại R Theo   ( ∩ρ ) Định lý 1.5 J R ⊂ ∩  ρ =0 ρ chạy khắp ⊂ J ( R)  J ( R) ( ) ideal phải tối đại vành R Bổ đề 1.10 Mọi nil ideal phải hay trái R nằm J ( R ) Chứng minh Với a ∈ ρ ρ nil ideal phải vành R Ta chứng minh a tựa quy phải R Thật vậy, a lũy linh nên ∃n ∈  : a n =0 Đặt b =−a + a − + ( −1) a tựa quy phải R n −1 a n−1 , a + b + ab = Vậy Định nghĩa 1.11 Nếu J ( R ) = R gọi J-nửa đơn Định lý 1.12 J ( M ( n, R ) ) = M ( n, J ( R ) ) Chứng minh Lấy M R-môđun đơn Đặt M n = {( m , m , , m ) : m ∈ M , ∀i ∈{1, n}} n i Khi M n M ( n, R ) - môđun với phép cộng thông thường phép nhân vô hướng: n  n  ma=  ∑ mi ai1 , , ∑ mi ain  , ∀ ( m1 , , mn ) ∈ M n , ∀a= =  i =i  ( a ) ∈ M ( n, R ) ij Hơn nữa, M n M ( n, R ) -môđun đơn Thật vậy, M R-môđun đơn nên M n ≠ A ≠ môđun M ( n, R ) -môđun M n , ta chứng minh A = M n Vì A ≠ nên = ∃α ( m1, , mn ) ≠ ( 0, ,0 ) khơng tính tổng quát ta giả sử m1 ≠ ⇒ m1R= M ⇒ ∀xi ∈ M , ∃ri ∈ R : m1r=i xi = ∀x M n : x ( m1r1 , , m1rn ) ( x1, , xn ) ∈=  r1 r2  rn  0 0 0 ∈ A = ( m1 , , mn )         0 0 0 Vậy A = M n Suy M n M ( n, R ) -môđun đơn Ta chứng minh J ( M ( n, R ) ) ⊂ M ( n, J ( R ) ) Lấy= a ( a ) ∈ J ( M ( n, R ) ) , suy ij M n a= 0, ∀M n M ( n, R ) -môđun đơn Từ đó, với M R-mơđun đơn, m ∈ M : ( m, ,0 ) ( aij ) = ( 0, ,0 ) ⇒ ma1i = 0, ∀i ∈ {1, , n} Vậy Ma1i = 0, ∀i ∈ {1, , n} Tương tự chứng minh Maij = 0, ∀i, j ∈ {1, , n} a aij ∈ J ( R ) , ∀i, j ∈ {1, ,n} hay= Suy ( a ) ∈ M ( n, J ( R ) ) ij Tiếp theo, ta chứng minh J ( M ( n, R ) ) ⊃ M ( n, J ( R ) ) Lấy a ∈ M ( n, J ( R ) )  x1 + ( a1rη −1arr′ η − a1r arr′ η ) xr =    −1  xr = η −1arrη arr′ arrη arr′ η xr = ⇔ ⇔ −1 ′ ′ η η η x a a a a x + − = = ( ) r +1 r rr r +1 r rr r  r +1  xi airη arr′ − air arr′    xn + ( anrη −1arr′ η − anr arr′ η ) xr =  (i ≠ r, ≤ i ≤ n ) Ta tính ma trận  di ( ε ) , c  = di ( ε ) c di ( ε −1 ) c −1 i↓ 1      i →0  ε     r →    0   1   i →0   r →    0 1   0  = 0   0            ε −1      0  ε r↓ 0        0                  0        0             0  a1rη −1arr′ η − a1r arr′ η  ε airη −1arr′ η − ε air arr′ η   arrη −1arr′ η  −1 anrη arr′ η − anr arr′ η a1rη −1arr′ η − a1r arr′ η  airη −1arr′ η − air arr′ η           arrη arr′ η  anrη −1arr′ η − anr arr′ η −1   a1rη arr′ − a1r arr′  airη arr′ − air arr′  −1 η arrη arr′   0   0    0    0 1    0 0      0 0      anrη arr′ − anr arr′     ε −1    0   0   0    a1rη arr′ − a1r arr′  −1 ε airη arr′ − ε −1air arr′  η −1arrη arr′   anrη arr′ − anr arr′ 0   0   0    1   i →0 =   r →  0       r↓  airη arr′ − air arr′ + ε air arr′ − ε airη arr′  0   0 0   0   0  1 =tir ( ( ε − 1) air (1 − η ) arr′ )  di ( ε ) ,  a, d r (η −1 )   ∈ H ′ Vì vậy, tir ( ( ε − 1) a= ir (1 − η ) arr )    Dẫn đến ( ε − 1) air (1 − η ) arr′ ∈ σ ir , suy air ∈ σ ir hay tir ( air ) ∈ H với i≠r Bổ đề chứng minh xong Với α1 , ,α n , β1 , , β n ∈ R cho β1α1 + + β nα n = ξ ∈ R mà + ξ ∈ R* Đặt ma trận 1 + α1ξβ1  α1ξβ n       a (ξ ) = (δ ij + αiξβ j ) =    α ξβ   + α ξβ n n  n ma trận khả nghịch với ma trận khả nghịch là: ( ( a −ξ (1 + ξ ) −1 ) ) =δ ij − α iξ (1 + ξ ) β j Tiếp theo với r cố định (1 ≤ r ≤ n ) ξ1 , ξ , ε ∈ R −1 cho + ξ1 , + ξ , ε ∈ R* Đặt ma trận b = a (ξ1 ) d r ( ε ) a (ξ ) với bij =δ ij + α i (ξ1 + ξ1ξ + ξ ) β j + (δ ir + α iξ1β r ) ( ε − 1) (δ rj + α rξ β j ) (1) Bổ đề 6.6 Cho R vành nửa địa phương trường thặng dư vành R có bảy phần tử Nếu với ξ ∈ R mà + ξ ∈ R* a (ξ ) ∈ H tij (α iξβ j ) ∈ H Chứng minh Cố định số tự nhiên r với ≤ r ≤ n , đặt= α r α= , β r β Ta giả sử có ξ ∈ R mà + ξ ∈ R* tâm C = C ( R ) chứa phần tử θ , η , ω cho phần tử từ (2)-(6) khả nghịch: θ , + θξ , + θαξβ (2) η , + ηξ , + ηαξβ , θ − η (3) − αηξ (1 + ηξ ) β (4) ω , + ωξ , + ωαξβ , − ω (5) −1 ( )( η − θω (1 + θαξβ ) + αξβ + ωαξβ −1 ) −1 (1 + ηαξβ ) (6) với ξ = −ηξ (1 + ηξ ) −1 Trong (1) ta đặt= θη −1 (1 + θαξβ ) ξ1 θξ , ξ ξ ε = = −1 (1 + ηαξβ ) Với giá trị ξ1 , ξ chọn + ξ1 , + ξ phần tử khả nghịch Khi ma trận b xác định (1) có brj = 0, ∀j ≠ r Ta chứng minh điều brj= α (ξ1 + ξ1ξ + ξ ) β j + (1 + αξ1β )( ε − 1) (αξ β j ) = [αξ1 + αξ1ξ + αξ + εαξ − αξ + αξ1βεαξ − αξ1βαξ ] β j =[αξ1 + αξ1ξ + εαξ + αξ1βεαξ − αξ1βαξ ]β j =[αθξ − αθξηξ (1 + ηξ ) − εαηξ (1 + ηξ ) − −1 −1 − αθξβεαηξ (1 + ηξ ) + αθξβαηξ (1 + ηξ ) ]β j −1 −1 = [ αθξ − αθξ (1 + ηξ )(1 + ηξ ) + αθξ (1 + ηξ ) − εαηξ (1 + ηξ ) −    =1   −1 −1 −1 =0 − αθξβεαηξ (1 + ηξ ) + αθξβαηξ (1 + ηξ ) ]β j −1 −1 =[αθξ − εαηξ − αθξβεαηξ + αθξβαηξ ] (1 + ηξ ) β j −1 = αθξ + αθξβαηξ − (1 + αθξβ ) εαηξ  (1 + ηξ ) β j −1 = [ αθξ + αθξβαηξ − (1 + αθξβ )(1 + θαξβ ) θη −1 (1 + ηαξβ )αηξ ] (1 + ηξ ) β j  = 1+θαξβ    −1 −1 =1 = αθξ + αθξβαηξ − θ (1 + ηαξβ )αξ  (1 + ηξ ) β j −1 = [αθξ + αθξβαηξ − θαξ − θηαξβαξ ] (1 + ηξ ) β j −1   −1 = αθξβαηξ − θηα ξβαξ + ηξ β =j  ( )    =αθη Vậy brj = 0, ∀j ≠ r Tiếp theo ta chứng (7) minh với sau: birη (θ − η ) = −α i ξβ + α iξβ µ −1 i≠r ta có ( cơng thức ) µ= θ (1 + θαξβ ) + αξβ ∈ R* −1 với Thật vậy, bir = α i (ξ1 + ξ1ξ + ξ ) β + (α iξ1β ) ( ε − 1)(1 + αξ β ) , ta có: α i (ξ1 + ξ1ξ + ξ ) βη (θ − η ) −1 −1 −1 −1 = α i θξ − θξηξ (1 + ηξ ) − ηξ (1 + ηξ )  βη (θ − η )   −1 −1 −1 = α i θξ (1 + ηξ ) − ηξ (1 + ηξ ) η (θ − η ) β   = α i (θ − η )(θ − η ) ηξ (1 + ηξ ) β  −1 −1 =1 tục với: (α iξ1β ) (ε − 1)(1 + αξ β )η (θ − η ) −1 ( ) =− −α iηξ (1 + ηξ ) β =−α i ξβ Tiếp −1 ( −1 = α i ξ1β ( ε − 1)η (θ − η )  + αξβ   )      −1 −1     = α i θξβ θ (1 + θαξβ ) 1 + θαξβ − (θ − η )αξβ  − η (θ − η ) + αξβ        1+ηαξβ      ( (θ − η )θαξβ − η ) (θ − η )  (1 + αξβ ) ( α θξβ (θ − η − (1 + θαξβ ) (θ − η )θαξβ ) (θ − η )  (1 + αξβ )   = α i θξβ  θ − (1 + θαξβ )  = ) −1 −1 −1 −1 i ( −1 = α i θξβ 1 − (1 + θαξβ ) θαξβ  + αξβ   ) ) ( )( α ξβ (θ − θ (1 + θαξβ ) θαξβ ) (1 + θαξβ )(1 + θαξβ ) (1 + αξβ ) α ξβ (1 − (1 + θαξβ ) θαξβ ) (1 + θαξβ )  θ (1 + θαξβ ) (1 + αξβ )   α ξβ (1 − (1 + θαξβ ) (1 + θαξβ − 1) ) (1 + θαξβ )  θ (1 + θαξβ ) (1 + αξβ )   = α i ξβ θ − θ (1 + θαξβ ) θαξβ + αξβ −1 = = = −1 −1 i −1 −1 i −1 −1 i = α i ξβ (1 + θαξβ − (1 + θαξβ ) + 1)θ (1 + θαξβ )  −1 (1 + αξβ ) =1 = α i ξβθ (1 + θαξβ ) −1 (1 + αξβ )= α i ξβµ Vậy birη (θ − η ) = −α i ξβ + α iξβ µ −1 ( Áp dụng Bổ đề 6.5 tir ( bir ) ∈ H Suy tir birη (θ − η ) −1 ) ∈ H (do η (θ − η ) ∈ R* ) −1 Vậy α i ξβ − α iξβ µ ∈ σ ir (8) ( ) Bằng cách thay ba (ξ , θ , η ) thành ba ξ , ω , đặt ξ1 = ωξ , ( ξ2 = −ξ + ξ ) −1 ( = ηξ , ε = ω + ωαξβ ) (1 + αξβ ) −1 brj = 0, ∀j ≠ r Khi (8) trở thành ta ma trận b ( −α i ξ + ξ với ( µ =ω + ωαξβ ) −1 ) −1 β −α i ξβ µ ∈ σ ir ( ( − αξ + ξ ) −1 ) ( = β ω + ωαξβ (9) ) −1 (1 + αηξβ ) Vì (9) viết lại: ηα iξβ − α i ξβ µ ∈ σ ir (10) Từ (8) suy −α i ξβ µ + α iξβ µ µ ∈ σ ir ( (11) ) Lấy (10) trừ (11): α iξβ η − µ µ ∈ σ ir Suy α iξβ r ∈ σ ir hay tir (α iξβ r ) ∈ H Tiếp theo ta chứng minh tâm tồn phần tử θ ,η , ω cho phần tử từ (2)- (6) khả nghịch Nếu ξ ∈ J phần tử từ (2)- (6) khả nghịch hiển nhiên Với ξ ∈ R mà phân tích thành tổng phần tử J ( ) ) χ (ξ ( = ) phần tử ξ i(j ) với χ p ξ i(j ) = p ≠ q q q q q ij λ eij , λ ∈ Tq , ≤ i, j ≤ nq Từ để chứng minh Bổ đề 6.6 có phần tử khả nghịch ta cần chứng minh cho ξ i(j ) tính khả nghịch phần tử từ (2)- (6) q đảm bảo Cố định q, i j Đặt ξ i(j ) = ξ Ta có nhận xét sau: a ma trận q hàng, n cột b ma trận n hàng, cột với phần tử lấy từ vành chia T ma trận e + bλ a khả nghịch với λ ∈ T Tác động χ q lên = χ q (α ) phần tử từ (2)- (α= ) , χ ( β ) ( β ) ta có ij q ij (6) Với= χ q (θ ) [1, , µ ] , µ ∈ Tq  α1i µ −1    e +    µλ β j1  β jnq χ q (1 + θαξβ ) =  α   nqi  ( ) Khi từ nhận xét ta chọn µ cho phần tử khả nghịch Làm tương tự η ≠ θ , χ q (θω ) ≠ χ q (η ) ω ≠ Vì mà phần tử từ (2)- (5) khả nghịch Tiếp theo ta chứng minh phần tử (6) khả nghịch (ta kí hiệu phần tử γ ) Từ tính tốn ta nhận thấy giá trị χ q (αξ ) ( ) χ q αξ phụ thuộc vào tính tự nhiên phần tử χ q (ξ ) = λ eij , phụ thuộc vào cột thứ i ma trận χ q (α ) ∈ M ( nq , Tq ) Vì ta thay phần tử khác χ q (α ) trừ cột i ma trận χ q (α ) χ q ( γ ) không đổi Do cột i ma trận χ q (α ) có phần tử khác khơng, ta có quyền giả sử ma trận χ q (α ) khả nghịch (nếu phần tử cột i ma trận χ q (α ) hiển nhiên γ khả nghịch) γ viết ( =− η η −1θω (1 + θαξβ ) −1 (1 + αξβ )(1 + ωαξβ ) −1 (1 + ηαξβ ) ) Đặt I= − η −1θω (1 + θαξβ ) −1 (1 + αξβ )(1 + ωαξβ ) −1 (1 + ηαξβ ) Nhận thấy tính khả nghịch I γ tương đương nên ta tác động χ q với phép biến đổi ma trận ta thu −1     e + w  e + w ∑ eik λik   e + ∑ eikυik  k k     với = w χ q ( −η −1θω ) , λik , υik ∈ Tq Nhưng ma trận khả nghịch nên phần tử (6) khả nghịch Nếu ξ ∈ R χ q (= ξ) (ξ ) , ∀q ∈{1, , n } ta ln tìm θ , η q q ij q q ωq Đặt ( ) η = (η , ,η ) ω = (ω , , ω ) θ = θ1 , ,θ n q nq nq phần tử cần tìm Vậy Bổ đề chứng minh xong §7 Nhóm nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm ma trận đường chéo Định lý 7.1 Cho R vành nửa địa phương lưới ideal σ Khi phần tử x G (σ ) phân tích thành x=uvwd với u, w ma trận tam giác có phần tử đường chéo 1, v ma trận tam giác có phần tử đường chéo bằng1, d ma trận đường chéo, phần tử u,v,w,d nằm G (σ ) Chứng minh Với y ∈ G (σ ) , giả sử r + (1 ≤ r ≤ n ) số nhỏ cho từ cột thứ r+1 trở đi, cột ma trận y có dạng:            , với j ≥ r +  y j +1 j       y  nj  ( *) y Nói cách khác, ma trận y có dạng:  *  0  y   với y ∈ M ( r, R ) , y ∈ M ( n − r , R ) (nếu khơng có cột ta xem r=n) Ma trận nghịch đảo y y −1 = ( yij′ ) có dạng khối như ma trận y thuộc G (σ ) r Vì y y = e= nên ∑ = yri yir′ −1 r −1 ∑y =i =i ri yir′ + yrr yrr′ Suy  r   r −1   r −1  ′ ′ ′ R =  ∑ yri yir  R ⊆  ∑ yri yir  R + yrr yrr R ⊆  ∑ yri yir′  R + yrr R =  i 1=  i1  = i1   r −1  Vậy R  ∑ yri yir′  R + yrr R =  i =1  Do R vành nửa địa phương nên R B-vành suy tồn t ∈ R cho  r −1  ε ∈ R*  ∑ yri yir′  t + yrr =  i =1  Đặt yir′ t= α i , ∀i ∈ {1, , r − 1} Vì yir′ ∈ σ ir nên α i ∈ σ ir Suy r −1 ε R= ∑ yriσ ir + yrr R = i =1 r −1 ∑y α i =1 ri i + yrr Đặt r −1 a= e + ∑α i eir , b = e + ( ε −1 − 1) err i =1 Ta có a ∈ G (σ ) ma trận tam giác Xét ma trận ya = ( yr1   α1r  α 2r   0)       0   yr  yrr  =  yr  yr  ta thấy phần tử vị trí (r,r) r −1 ∑y α i =1 ri r −1 ∑y α i =1 ri i i + yrr 0        0  + yrr = ε Suy ε ≡ ( modσ ii ) b ∈ G (σ ) Tiếp tục xét ma trận = z yab = = ( yr ( yr yr  ε 1  0    )  ε −1   0     yr   ) r −1 Đặt c= e + ∑ zir eir , c ∈ G (σ ) ma trận tam giác i =1 Khi đó, cyab ∈ G (σ ) ma trận mà từ cột thứ r trở có dạng (*) Tiếp tục trình sau hữu hạn bước ta nhận ma trận tam giác có phần tử đường chéo 1, nghĩa ( ) ck ( c1 ( cyab ) a1b1 ) ak bk = v với v ma trận tam giác Với a ∈ G (σ ) , ma trận tam giác d ma trận đường chéo khả nghịch, ta ln có: ad = d a , với a ma trận tam giác khả nghịch Từ đó, v = ck c1 ya a1 ak bb1 bk Đặt u −1 = ck c1 , w−1 = a a1 ak , d = bb1 bk với u , w ma trận tam giác trên, d ma trận đường chéo khả nghịch Tất ma trận chọn G (σ ) Vậy Định lý chứng minh xong Hệ 7.2 Cho R vành nửa địa phương lưới ideal σ Khi nhóm lưới G (σ ) tij (α ) , α ∈ σ ij ( i ≠ j ) sinh phép ma trận đường chéo co sơ di ( ε ) , cấp ε ∈ R* , ε ≡ 1( mod σ ii ) Chứng minh Mọi ma trận tam giác đơn vị phân tích thành tích phép co Thật vậy, giả sử a ma trận tam giác đơn vị trên, ta có: a= e + ∑ ξij eij = ∏ ( e + ξij eij ) = ∏ tij (ξij ) Tương tự ma trận tam giác i< j i< j i< j đơn vị Mọi ma trận đường chéo với phần tử khả nghịch phân tích thành tích ma trận chéo khả nghịch Vì n n n d =+ e ∑ (ξii − 1) eii = ∏ ( e + (ξii − 1) eii ) =∏ di (ξii ) i =1 = i =i với ξii ∈ R* , ξii ≡ 1( mod σ ii ) Áp dụng Định lý 7.1 ∀x ∈ G (σ ) : x =uvwd u , v, w ma trận đơn vị d ma trận đường chéo, ta có điều phải chứng minh Định lý 7.3 Cho R vành nửa địa phương mà trường thặng dư vành R chứa bảy phần tử, H nhóm nhóm GL(n,R) chứa nhóm ma trận đường chéo Nếu có σ D-lưới bậc n liên kết với H G (σ ) ⊂ H ⊂ N (σ ) , (*) với N (σ ) = N G ( G (σ ) ) Ngược lại, có D-lưới σ mà (*) xảy σ D-lưới liên kết với H Chứng minh G (σ ) ⊂ H (do Hệ 7.2.) Ta chứng minh H ⊂ N (σ ) Với = a (a )∈ H ij ma trận nghịch đảo a a −1 = ( aij′ ) Ta chứng minh a ∈ N (σ ) Áp dụng Định lý 5.7 ta cần chứng minh airσ rs a′sj ⊂ σ ij với số i, j , r , s Trường hợp 1: r = s Ta chọn ξ ∈ R cho + ξ ∈ R* Đặt b = ad r (1 + ξ ) a −1 ∈ H (hiển nhiên) Ta có ′  a1′r a1n   a11            arn   + ξ    ar′1 arr′            a′  a′ ann  nr  n1  a11  a1r      = b  ar1 arr      a  a nr  n1 ′  a1′r  a11  a1r (1 + ξ ) a1n   a11            =  ar1 arr′ arr (1 + ξ ) arn   ar′1              ′  an1  anr (1 + ξ ) ann   an′1  anr a1′n    ′  arn    ′  ann a1′n    ′  arn    ′  ann ′  a1rξ arr′ a1nξ ann 1 + a1rξ ar′1           a (ξ ) ∈ H ′= + arrξ arr′ arrξ arn =  arrξ ar′1          a ξ a′ ′ ′ + anrξ arn   nr n1  anrξ arr Đặt α i = air , β j = arj′ ⇒ ∑ βiα i = Theo Bổ đề 6.6 tij ( airξ arj′ ) ∈ H Lại σ n i =1 D-lưới liên kết với H nên airξ arj′ ∈ σ ij Suy a ∈ N (σ ) Trường hợp 2: r ≠ s µi airγ ,= υi a′si ∀γ ∈ σ rs , ta đặt= kéo theo trs ( γξ ) ∈ H Tiếp (1 ≤ i ≤ n ) Với ξ ∈ R , suy γξ ∈ σ rs tục đặt = b ta −1 = (δ ij + µiξυ j ) ∈ H Ma trận khả nghịch b b= (δ b ) (= ij ij atrs ( γξ ) a −1 − µiξυ j ) Ta cố định k (1 ≤ k ≤ n ) chọn ξ = ξ k phần tử khả nghịch nằm tâm vành R mà − µkξυk khả nghịch Do b ∈ H nên áp dụng trường hợp r= s= k (cho ma trận b) bik bkj′ ∈ σ ij Đặc biệt j= k ≠ i µiυkξ (1 − µkυkξ ) ∈ σ ik , suy µiυk ∈ σ ik (do ξ (1 − µkυkξ ) ∈ R* ) Suy airσ rs a′sj ⊂ σ ij hay a ∈ N (σ ) Ngược lại, giả sử có (*) với D-lưới đó, ta chứng minh σ D-lưới liên kết với H, tức σ ij = {α ∈ R : tij (α ) ∈ H } N G ( G (σ ) ) , dẫn đến ∀α ∈ R : tij (α ) ∈ H Vì H ⊂ N (σ ) nên tij (α ) ∈ N (σ ) = tij (α ) d j (θ ) tij ( = −α ) tij (α (θ − 1) ) ∈ G (σ ) , ∀d j (θ ) ∈ G (σ ) , θ ,1 − θ ∈ R* Suy α (θ − 1) ∈ σ ij Vậy α ∈ σ ij Vậy σ D-lưới liên kết với H Định lý chứng minh xong Kết luận kiến nghị Bài toán thực luận văn mơ tả nhóm nhóm tuyến tính tổng qt vành nửa địa phương chứa nhóm ma trận đường chéo Các kết luận văn Trình bày khái niệm tính chất vành nửa địa phương Đưa khái niệm lưới nhóm lưới, tính chất nhóm lưới vành nửa địa phương Mô tả nhóm nhóm tuyến tính tổng qt chứa nhóm ma trận đường chéo vành nửa địa phương R mà trường thặng dư R chứa bảy phần tử Sau hoàn thành luận văn, tơi nhận thấy tốn cịn tiếp tục tính nhóm thương N (σ ) G (σ ) với công thức biết = G (σ ) GL ( n, R ) ∩ e + M (σ ) để mơ tả cụ thể nhóm nhóm tuyến tính tổng qt Mặc dù nội dung nghiên cứu đề tài khơng có nhiều mẻ, tơi cảm thấy kiến thức củng cố mở rộng nhiều, cảm thấy tâm huyết bỏ qua thời gian qua thật xứng đáng Tuy khó tránh sai sót mà tơi khơng nhận ra, mong q thầy tận tình góp ý để tơi hồn thành luận văn cách tốt Xin trân trọng cám ơn quý thầy cô nhiều Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải, Nhóm tuyến tính (chuyên đề cao học), NXB Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh 2007 [2] Borevich Z.I and Vavilov N.A., Subgroups of the general linear group over a semilocal ring that contain the subgoups of diagonal matrices Trud Mat Inst Akad Nauk SSSR, 148(1978), 43-57 [3] H.Bass, Algebraic K-theory, Benjamin, New York 1968 [4] Borevich Z.I., Description of subgroups of the general linear group that contain the group of diagonal matrices, Zap Nauc Sem Leningrad Otdel Mat Inst Steklov (LOMI) 64 (1976), pp 12-29, English, Translation in J.Soviet Math.17 (1981), No [5] Vasertein L.I., Bass’s first stable range condition, J Pure Appl Algebra 34 (1984), 319-330 [6] Borevich Z.I., On parabolic subgroups in linear groups over a semilocal ring, Mat Zametki (1971), 699-708, English transl in Math Notes (1971) ... B -vành Cũng từ ta có nhận xét tích trực tiếp vành ma trận vng thể B -vành Chương II Nhóm Con Của Nhóm Tuyến Tính Tổng Quát Chứa Nhóm Ma Trận Đường Chéo §5 Lưới nhóm lưới Định nghĩa 5.1 Cho R vành. .. : nhóm tuyến tính tổng qt bậc n vành R E ( n, R ) : nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R D ( n, R ) : nhóm ma trận đường chéo bậc n vành R [ε1, , ε n ] : ma trận đường chéo với ε1, , ε n nằm đường. .. ma trận đơn vị d ma trận đường chéo, ta có điều phải chứng minh Định lý 7.3 Cho R vành nửa địa phương mà trường thặng dư vành R chứa bảy phần tử, H nhóm nhóm GL(n,R) chứa nhóm ma trận đường chéo