Bóng của tập hợp trên vành bul hữu hạn

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin chân thành bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, Tiến sĩ Trần Huyên, thuộc Trường Dại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy khả kính dành nhiều công sức thời gian quý báu để hướng dẫn bước đường nghiên cứu khoa học với tất niềm say mê Những kết luận văn khơng thể có khơng cố tận tình tâm huyết thầy Tôi xin vô biết ơn PGS-TS Bùi Tường Trí, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, PGS-TS Bùi Xuân Hải tất Q Thầy, Cơ Khoa Tốn-Tin học Trường Dại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình dạy dỗ truyền đạt cho tơi kiến thức tốn học giá trị niềm đam mê vô tận Tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phong Khoa Học Công Nghệ - Sau Dại Học, Khoa Toán-Tin học Trường Dại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu Trường Trung học Thực hành-DHSP Thành phố Hồ Chí Minh Quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp không ngừng động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi tinh thần vật chất cho trình thực luận văn Tác giả luận văn Dưới phát LỜI NÓI triểnĐẦU khoa học công nghệ thông tin, lý thuyết Combinatorics nhanh chóng quan tâm phát triển để đáp ứng yêu cầu thực tiễn Từ nam 1928, sau Sperner công bố định lý đẹp giá trị cực đại hệ đơn xích tập tập hữu hạn S, Combinatorics lại thu hút ý nhiều nhà Toán học Hàng loạt kết nghiên cứu hệ tập tập hữu hạn công bố Một toán thiết thực thú vị lý thuyết Combinatorics giải vấn đề cực trị hệ tập tập hữu hạn mà chúng thỏa mãn tính chất Nghiên cứu lớp tốn này, Kruskal Katona đưa chứng minh kết quan trọng hữu ích, Định lý Kruskal-Katona giá trị nhỏ bóng tập hợp Trong trình sử dụng mỏ rộng định lý trên, người ta thu nhiều kết lý thú, nhiều vấn đề nảy sinh cần giải quyết, xem xét lớp toán cực trị đánh giá độ lớn tập hợp vành Bul hữu hạn Trong luận van này, xem xét cách cụ thể sâu sắc kết liên quan đến bóng tập hợp vành Bul hữu hạn Đồng thời, đưa kết đánh giá độ lớn bóng, mỏ rộng thêm kết đạt hướng nghiên cứu Luận van gồm chương Chương I : Trình bày khái niệm tính chất quan trọng hai vành Bul hữu hạn quen thuộc vành P (S) B(n) Chương II : Các kết xác định độ lớn đoạn đầu bóng đoạn đầu xếp phần tử vành Bul thứ tự từ điển Chương III : Trình bày chứng minh Định lý kết nó, đồng thời đưa hướng mỏ rộng phạm vi nghiên cứu định lý quan trọng Chương IV : Các kết đánh giá đánh giá bóng tập hợp thơng qua việc áp dụng Định lý bóng đoạn đầu vành Bul hữu hạn Do thời sai gian vậy, độ rấthạn, mong luận nhận vãn không sựCô, tránh thông khỏi cảm, đồng giúp đỡ nghiệp vàsót vàVìtrình đọc góp giả ý có quý báu Quýđược Thầy, bạn Muc luc I IV IV Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng 55 Chương I II III Các khái niệm vành Bul hữu hạn IV Lớp vành Bul hữu hạn có nhiều tính chất quan trọng lý thú, tính chất thể rõ hai vành Bul hữu hạn quen thuộc sau đây: Cho S tập hợp hữu hạn có n phần tử, vành Bul hữu hạn P(S) xây dựng tập tất tập tập S Cho số nguyên dương n, vành Bul hữu hạn B(n) , xây dựng tập hợp B(n) xác định sau V B(n) = {(" , £ , :, £1) : £ = £ = với i = 1, 2, , ng n n-1 i i VI Ta gọi tập S có n phần tử n-tập S, tập gồm k phần tử tập S k-tập S.Với n-tập S cho trước, dễ dàng kiểm tra vành P (S) vành B(n) đẳng cấu với Hơn nữa, vành Bul hữu hạn đẳng cấu với hai vành Vì vậy, tùy theo vấn đề cụ thể, việc xem xét chúng thực vành P(S) vành B(n) mà lựa chọn không đưa đến thay đổi kết luận chung lớp vành Bul hữu hạn VII Trong chương này, đưa số khái niệm liên quan đến bóng tập hợp vành Bul hữu hạn thông qua việc xem xét cấu trúc thứ tự vành P(S) vành B(n) I.Í.Vành P(S) Vành P(S) 1.1 VIII Cho S tập hợp hữu hạn n phần tử, n > 1,n Z, để đơn giản ta xét S = {1,2, , ng Khi đó, P(S)={A I A c Sg tập tất tập S Như vậy, số phần tử P(S) 2n Nếu khơng có nhầm lẫn, ta ký hiệu tập A = {a1,a2, , ak g c S A = a1a2 .ak 1.1.1 Cấu trúc vành P(SS) IX Ta xây dựng cấu trúc vành P(S) cách định nghĩa phép toán cộng (+) phép tốn nhân (•) phần tử P(S) sau: Với A,B P(S) X A+B=A4B A.B = A n B XI Trong đó, A B = (A \ B) u (B \ A) hiệu đối xứng A B Ta dễ dàng kiểm tra tính hợp lý hai phép tốn (P(S), +, •) vành giao hốn, phần tử đơn vị S, phần tử tập rỗng Với A P(S) ta có A2 = A.A = A n A = A Do đó, (P(S), +, •) vành Bul hữu hạn XII Với tập A P(S), ta gọi tập A = S — A phần bù A f S Từ định nghĩa phép tốn cộng, ta có ngay: XIII A + B = A0 + B0 với A,B P(S) 1.1.2 Cấu trúc thứ tự P (S) XIV Trước hết, ta có quan hệ thứ tự thơng thường < vành P(S) dựa quan hệ bao hàm tập hợp sau: XV XVI Với A,B P(S) ta nói A • B A c B Hiển nhiên < quan hệ thứ tự phận P(S) I.Í.Vành P(S) XVII Sau đây, xem xét quan hệ thứ tự thú vị hệ tất tập hợp có số phần tử tập S I.Í.Vành P(S) XVIII Thứ tự nén hệ k-tập n-tập S XIX XX Với A P(S), ta đạt |A| số phần tử tập A Khi đó, với k {0,1, , n}, ta gọi mức thứ k P(S) tập hợp Pk(S) = {A c S : |A| = k} gồm tất k-tập n-tập S Trên Pk(S) ta xác định quan hệ thứ tự Q DCCCXXIX AFk (mi) I + I AFk (m2) I > Q - | + ,| + AF,(mi + m - Q)) AF ‘ í G ))h |A|- DCCCXXX Áp dụng Hệ III.2.2 Định lý ta có DCCCXXXI IAAiI > |AFk (|Ai|) I = |AF (mi) I, i = 1,2 DCCCXXXII Mạt khác DCCCXXXIII I AAI = I A(A1 UA2) I = I AA1 I + | AA2I > I AFk (mi) I + I AF (m.2) I (**) k DCCCXXXIV Từ (*) (**) ta có DCCCXXXV n írì\\ A + AF DCCCXXXVI >(h- ) H \ V W7 I AI IA|- (2) ) k- IV Một ước lương lực lương đoạn đầu thông qua bóng DCCCXXXVII F (m) Định lý sau cho ta ước độ lớn m đoạn đầu k so sánh với lực lượng bóng lực lượng bóng đoạn đầu mức k + DCCCXXXVIII diễn Định lý IV.2.1 Giả sử số nguyên dương m có biểu k-nhị thức DCCCXXXIXm = (a) + íK1) + ■ ■ • + (?), a > ■■■ >a > t > \k/ \k \l / DCCCXL Gọi s số nhỏ cho as > s Dặt IV 2.Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng DCCCXLI M = ha\) + M +••■ + í a \ ỉc —I— Ị \ k DCCCXLII DCCCXLIII Khi 102 ) \ Q —I— / ỵrb + iy ỵ rú J\o + iy IV 2.Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng 103 a) |AB+1 (M) I < |F, (m) I < |AF,+1 (M + 1) I b) |Ffc (m) I = |AFfc+i (M + m) I - I AFfc (m) I DCCCXLIV Chứng minh, a) Ta có DCCCXLV M = (c , ) + ("T? + ■ ■ + ( , ì DCCCXLVI \k + 1J \ k J \s + / DCCCXLVII biểu diễn (k + l)-nhị thức M Áp dụng Hệ II.3.2 ta suy DCCCXLVIII |AFt+1 (M) I = be + ( Ti) +•••+(?)< ™ DCCCXLIX Mặt khác ,H DCCCL / ữk \ íQ-k-C\ í ữs \ ís\ DCCCLI \k + lj \k ] \s + / \s J DCCCLII biểu diễn (k + l)-nhị thức M + nên DCCCLIII iAFt+i (M +1( 1=(ĩ)+C-O+■ ■ ■+0+c -1) DCCCLIV Do cách chọn s, ta có DCCCLV DCCCLVI = (?) + ờbi) + ■ ■ ■ + (?) + ( ì) = l W I DCCCLVII AF ,Z- DCCCLVIII \k J \k-lj \s J \S-IJ DCCCLIX Vậy |AFU1 ụ\ỉ) I < m < |AFt+i [M + 1) I DCCCLX b) Ta có DCCCLXI , , / k \ ( k- 1A í s \ fe DCCCLXII M= + +•••+ DCCCLXIII \k + 1J \ k J \s + 1/ a a a ,ì IV 2.Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng DCCCLXIV m 104 =(?)+fri)+■ • ■+(?)+(x:) +■ • + DCCCLXV IJ \k J \k — 1J J \s J \S- « IV 2.Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng Do DCCCLXVI DCCCLXVII A í rv Ị hj I / DCCCLXVIII 105 ak-1 \ J- / rvil ak \ í ak\ y( íữ k' DCCCLXIX DCCCLXX (ds + 1\ , (s\ Ệ (t + 1\ + + DCCCLXXI CS21) □ ■■■+c+ 1) = D 21) +■■■+ V ■ 1/ DCCCLXXII Từ suy DCCCLXXIII |AFk+1 (M + m) I DCCCLXXIV \ , (ữk- + 1\ DCCCLXXV DCCCLXXVI /1 -1/ l -í- Ị , (ữs + n í s V + 1\ + k ' +•••+ + )+•••+ -1 Ị 1^/1^ DCCCLXXVII DCCCLXXVIII IU-J '\s-1j(s-2) ■■■ ụ-VJ DCCCLXXX = m + |AFk (m) I DCCCLXXIX s DCCCLXXXI Vậy |Fk (m) I = m = |AFk+i (M + m) I - |AFk (m) | DCCCLXXXII bóng Bằng cách mở rộng Định lý phép cộng đoạn đầu sử dụng kết đạt dẫn tới nhiều vấn đề thú vị khác bóng tập hợp vành Bul hữu hạn, mà trước hết vấn đề liên quan đến việc đánh giá độ lớn bóng Chẳng hạn mở rộng sau Định lý phép cộng mà việc giải cịn để ngỏ vấn đề : DCCCLXXXIII tiên Dặt [a, b]k đoạn B(n, k) có phần tử đầu a phần tử cuối b Khi |[a,b]k| = |[a,b ]k| + |[a,b ]k| có hay không bất đẳng thức sau |A[a,b]k| < |A[a,b ]k| + | A[a, b ]k|? IV 2.Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thông qua bóng DCCCLXXXIV 106 Việc giải vấn đề hướng phát triển tiếp luận văn DCCCLXXXV Tài liêu tham khảo [1] Anderson, I.(1989), Combinatorics offinite sets , Clarendon Press, Oxford [2] Trần Huyên.(2003), Về k-poset tập hữu hạn tập số tự nhiên khác , Tạp chí khoa học ĐHSP Tp.HCM, tập 34 [3] Trần Ngọc Danh.(2001), Cấu trúc V-thứ tự Định lý kiểu Kruskal-Katona , Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM [4] Cai,M.(1984), On aproblem of Katona on minimal completely separaing systems with restrictions, Discrete Math [5] Bolloobas, B.(1986), Combinatorics , Cambridge University Press ... qua bóng 55 Chương I II III Các khái niệm vành Bul hữu hạn IV Lớp vành Bul hữu hạn có nhiều tính chất quan trọng lý thú, tính chất thể rõ hai vành Bul hữu hạn quen thuộc sau đây: Cho S tập hợp hữu. .. thuộc sau đây: Cho S tập hợp hữu hạn có n phần tử, vành Bul hữu hạn P(S) xây dựng tập tất tập tập S Cho số nguyên dương n, vành Bul hữu hạn B(n) , xây dựng tập hợp B(n) xác định sau V B(n) = {("... Ta gọi tập S có n phần tử n -tập S, tập gồm k phần tử tập S k -tập S.Với n -tập S cho trước, dễ dàng kiểm tra vành P (S) vành B(n) đẳng cấu với Hơn nữa, vành Bul hữu hạn đẳng cấu với hai vành Vì