T-NHÓM HỮU HẠN

Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hạnh Linh T-NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới : Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư ph ạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ quá trình họ c tập v th ực bảo vệ luận văn PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng g iúp đỡ, dạy bảo , và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Và cuối xin dành lời cảm ơn đến bạn bè, người thân động viên, cổ vũ giúp yên tâm hoàn thành tốt luận văn Footer Page of 185 Header Page of 185 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng luận văn LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Nhóm chuẩn tắc 1.2 Nhóm tối đại Nhóm tối tiểu .2 1.3 Nhóm trung tâm Nhóm chuẩn hóa 1.4 Định lý Sylow 1.5 p’-nhóm p-phần bù p-perfect nhóm 1.6 Nhóm giải 1.7 Nhóm siêu giải 1.8 Nhóm chuẩn tắc 1.9 Nhóm chuẩn tắc yếu 1.10 Nhóm abnormal .9 1.11 Nhóm pronormal 10 1.12 Điều kiện chuẩn hóa 10 1.13 H-nhóm 11 Chương T-NHÓM HỮU HẠN 13 2.1 T-nhóm hữu hạn .13 2.2 PSP-nhóm 30 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Footer Page of 185 Header Page of 185 BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ≤G H nhóm G H H K không p’-nhóm Nếu k = H / K tầm thường Vậy H p’-perfect nhóm 1.6 Nhóm giải 1.6.1 Định nghĩa Cho G nhóm Một dãy aben G dãy nhóm = G= G thỏa điều kiện Gi +1 Gi nhóm aben ∀i  G1   Gn Một nhóm G gọi nhóm giải có dãy aben 1.6.2 Các tính chất nhóm giải Cho nhóm G , N nhóm G Ta có khẳng định sau: (1) Nếu G giải N giải (2) Nếu G giải được, N  G G N giải (3) Nếu N  G , N G N giải G giải (4) Tích hai nhóm chuẩn tắc giải giải Footer Page 10 of 185 Header Page 24 of 185 20 Theo Bổ đề 2.1.9: H  N G ( X ) ( ) ⇒ ( 5) : hiển nhiên ( 5) ⇒ (1) : Lấy g ∈ G đặt J = H , H g Vì H p-nhóm G nên tồn p-nhóm Sylow P J cho H ≤ P tồn p-nhóm Sylow S G cho H ≤ P ≤ S Rõ ràng P g p-nhóm Sylow J Do tồn x ∈ J cho P x = P g −1 Đặc biệt H g ⊂ P x Suy H gx ≤ P ≤ S Ta đặt t = gx −1 Vì N G ( S ) abnormal G nên ta có : ( ), N t −1 t −1 ∈ N G ( S ) , N G ( S ) ⊂ N G S t −1 G (S ) t −1 Thật S  N G ( S ) ⇒ S t  N G ( S ) ⇒ N G ( S ) −1 Suy ( ), N t −1 NG ( S ) , NG ( S ) ⊂ NG S t Vì H ≤ S , H ≤ S t ( ) ⇒ NG ( S ) , NG S t −1 −1 (S ) ( ) ( )≤ N −1 G (H ) ≤ NG ( H ) Do t −1 ∈ N G ( H ) H x = H g Vậy H nhóm pronormal G 2.1.11 Định nghĩa Cho số nguyên tố p Footer Page 24 of 185 G ( ) ≤ NG S t nên theo (5) ta có H  N G ( S ) , H  N G S t −1 NG ( S ) ≤ NG ( H ) , NG S t −1 t −1 −1 suy Header Page 25 of 185 (i) 21 Tp lớp nhóm giải G p’-perfect nhóm chuẩn tắc G chuẩn tắc (ii) Pp lớp nhóm G cho S p-nhóm Sylow G N G ( S ) chuẩn hóa nhóm S (iii) R p lớp nhóm G p-nhóm G pronormal G 2.1.12 Định nghĩa (i) K p lớp nhóm G cho p-nhóm G chuẩn tắc yếu G (ii) K p lớp nhóm G p’-perfect nhóm G chuẩn tắc yếu G (iii) S p lớp nhóm G cho p-nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa G (iv) S p lớp nhóm G p’-perfect nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa G 2.1.13 Định lý K p = Rp Chứng minh Vì p-nhóm p’-perfect nhóm con, nên ta có K p ⊆ K p = R p (Theo Bổ đề 2.1.10) Giả sử K p ≠ R p lấy G nhóm có cấp nhỏ thuộc R p \ K p Khi đó, tồn p’-perfect nhóm H G không chuẩn tắc yếu, tức H g ≤ N G ( H ) ( g ∈ G ) mà g ∉ N G ( H ) Vì R p K p đóng nhóm con, H , g ⊂ G nên H , g ∈ R p Footer Page 25 of 185 Header Page 26 of 185 22 p p Mà H , g ∉ K nên ta có H , g ∈ R p \ K Từ tính tối tiểu G ta suy G = H,g Gọi H p p-nhóm Sylow H, H p pronormal G Do đó, tồn x ∈ H p , H p g cho H p x = H p g Vì H p ≤ H ≤ N G ( H ) , H pg ≤ H g ≤ N G ( H ) nên H p , H p g ⊂ N G ( H ) , suy x ∈ N G ( H ) Do H px ⊂ H x = H Điều có nghĩa H pg p-nhóm Sylow H với H p p-nhóm Sylow H Vì H p’-perfect nhóm, H H pH p’-nhóm nên H H pH tầm thường Do ta có H = H p H Hiển nhiên H p H ⊂ H p = H Do ta có = H pH H ,g H pg ≤ H nên H p H p= H ,g H ,g ⊂ H pH H Gp  G Bởi vậy, H nhóm chuẩn tắc G (mâu thuẫn, nhóm chuẩn tắc chuẩn tắc yếu) Vậy K p = R p 2.1.14 Hệ Sp = K p Chứng minh Nếu G ∈ K p theo Bổ đề 2.1.9 G ∈ S p Nếu G ∈ S p theo Bổ đề 2.1.10 p-nhóm p’-perfect nhóm suy p-nhóm G pronormal G Footer Page 26 of 185 Header Page 27 of 185 23 Do G ∈ R p Mà theo Định lý 2.1.13 K p = R p suy G ∈ K p Vậy S p = K p 2.1.15 Hệ p p K= K= S= S= P= Rp p p p Chứng minh p p Theo Định lý 2.1.13 Hệ 2.1.14 ta có S= K= Rp Từ kết Bryce Cossey [6, Định Lý 2.3] ta có p T= K= S= S= Rp p p p Vậy Hệ chứng minh 2.1.16 Hệ S S K K =  = = = p p p p∈P p p∈P p∈P T  ℑ T lớp T-nhóm, ℑ lớp p∈P nhóm giải Chứng minh p p Theo Định lý 2.1.13 Hệ 2.1.14 ta có S= K= Rp Từ [9] ta có R p =T ℑ p∈P Vậy Hệ chứng minh 2.1.17 Bổ đề Nếu N nhóm chuẩn tắc G, N ≤ H ≤ G H N nhóm chuẩn tắc yếu G N H nhóm chuẩn tắc yếu G Chứng minh Giả sử H g ≤ N G ( H ) với g ∈ G ta có Footer Page 27 of 185 Header Page 28 of 185 24 H g N ≤ NG ( H ) N ⇒ ( H N ) gN ≤ NG ( H ) N Ta chứng minh N G ( H ) N = N G N ( H N ) Thật : Lấy gN ∈ N G N ( H N ) Khi ta có ( H N ) gN =H N ⇔ gN ( H N ) = ( H N ) gN ⇔ gH = Hg ⇔ g ∈ N G ( H ) ⇔ gN ∈ N G ( H ) N Do ta có ( H N ) gN ≤ NG N ( H N ) Từ tính chất chuẩn tắc yếu H N ta suy gN ∈ N G N= ( H N ) NG ( H ) N ⇒ g ∈ NG ( H ) Do H nhóm chuẩn tắc yếu G 2.1.18 Định lý Cho G nhóm Các phát biểu đôi tương đương (1) G T-nhóm giải (2) Mọi nhóm G chuẩn tắc yếu G (3) Mọi nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa Chứng minh (1) ⇒ ( ) Giả sử tồn T-nhóm giải mà có nhóm không chuẩn tắc yếu Gọi G nhóm có cấp nhỏ thỏa mãn điều H nhóm không chuẩn tắc yếu G Khi tồn g ∈ G cho H g ≤ N G ( H ) mà g ∉ N G ( H ) = S Đặt Footer Page 28 of 185 H , g ≤ G S T-nhóm (theo Định lí 2.1.4) Header Page 29 of 185 25 Nếu G ≠ S H nhóm chuẩn tắc yếu S (do cách chọn G) Khi g ∈ N S ( H ) ≤ N G ( H ) (mâu thuẫn) Do G = H , g Mặt khác, H ≤ G , G T-nhóm giải nên H T-nhóm giải (theo 2.1.4) Do H T-nhóm siêu giải (theo [5, Định lý 1]) Gọi p số nguyên tố lớn ước H H p p-nhóm Sylow H, ta có H p  H (theo 1.7.2.3) Do G T-nhóm nên H p  H  N G ( H ) ⇒ H p  N G ( H ) ( ) Suy N G ( H ) ≤ N G H p ( ) Khi H pg ≤ H g ≤ N G ( H ) ≤ N G H p Do G T-nhóm giải nên theo Hệ 2.1.16 G ∈ K p nghĩa H p chuẩn tắc yếu G ( ) ( ) ( ) Suy g ∈ N G H p , mà H ≤ N G H p nên G = N G H p Vậy H p nhóm chuẩn tắc G G H p T-nhóm giải Do cách chọn G suy H H p chuẩn tắc yếu G H p Từ Bổ đề 2.1.17 suy H nhóm chuẩn tắc yếu G (mâu thuẫn) ( ) ⇒ ( 3) : Suy từ Bổ đề 2.1.9 ( 3) ⇒ (1) : Giả sử nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa Thì G ∈  S p G T-nhóm giải (theo Hệ 2.1.16) p∈P Footer Page 29 of 185 Header Page 30 of 185 26 2.1.19 Định lý Nếu G nhóm siêu giải H p-nhóm chuẩn tắc yếu G H H-nhóm G Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp phản chứng Giả sử tồn nhóm siêu giải mà có p-nhóm chuẩn tắc yếu H-nhóm Gọi G nhóm có cấp nhỏ thỏa mãn điều với p-nhóm chuẩn tắc yếu H mà H-nhóm G Giả sử O p′ ( G ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa O p′ ( G ) Kí hiệu P0 = H g  N G ( H ) Vì G siêu giải nên G N siêu giải Ta có HN N p-nhóm G N N  G , H p-nhóm chuẩn tắc yếu G ( N , p ) = nên HN N p- nhóm chuẩn tắc yếu G N (theo 1.9.2) Từ tính tối tiểu G suy HN N H-nhóm G N , nên ta có N G N ( HN N ) ∩ ( HN N ) ≤ HN N g Suy N G ( H ) ∩ H g ≤ HN Vậy P0 ≤ HN Vì H p-nhóm N p’-nhóm G nên H p-nhóm Sylow HN P0 p-nhóm HN nên P0 ≤ K với K p-nhóm Sylow HN Do H liên hợp với K HN ⇒ K = H hn = H n ( n ∈ N ) Footer Page 30 of 185 Header Page 31 of 185 27 Vậy nên ta có P0 ≤ H n ∩ N G ( H ) với vài n ∈ N Đặt S = HN H p-nhóm chuẩn tắc yếu S (theo 1.9.2) Nếu S < G Từ tính tối tiểu G ta suy H H-nhóm ⇒ H n ∩ N S ( H ) ≤ H n Mà H n ∩ N S ( H ) =∩ H n N G ( H ) ∩ S =∩ H n N G ( H ) (vì H ⊂ S ) Do P0 ≤ H n ∩ N G ( H ) ≤ H (mâu thuẫn H không H-nhóm G) Nếu S = G H p-nhóm Sylow G trường hợp H Hnhóm G (mâu thuẫn) Do đó, ta giả sử O p′ ( G ) = Nếu q số nguyên tố lớn ước G , G có q-nhóm Sylow chuẩn tắc Q (vì G siêu giải được) (mâu thuẫn) Giả sử p ≠ q Q ≤ O p′ ( G ) = Do q = p Vì H ≤ Q  G nên H chuẩn tắc G Do theo Bổ đề 2.1.9, H chuẩn tắc G (mâu thuẫn) Vậy định lý 2.1.20 Định lý Nếu G nhóm siêu giải H nhóm chuẩn tắc yếu G cho nhóm H chuẩn tắc yếu G H H-nhóm G Chứng minh Giả sử định lý sai Ta xét nhóm siêu giải G có cấp nhỏ thỏa mãn G có nhóm chuẩn tắc yếu H mà nhóm chuẩn tắc yếu G H-nhóm G Footer Page 31 of 185 Header Page 32 of 185 28 Gọi p số nguyên tố lớn ước G Trường hợp 1: Giả sử p không ước H Vì O p ( G ) ≠ , ta xét p-nhóm chuẩn tắc tối tiểu N G Kí hiệu Q = H g ∩ NG ( H ) Vì G siêu giải nên G N siêu giải Do nhóm H chuẩn tắc yếu G nên HN N nhóm chuẩn tắc yếu G nhóm chuẩn tắc yếu G Suy HN N nhóm chuẩn tắc yếu G N nhóm chuẩn tắc yếu G N (theo 1.9.2) Từ tính tối tiểu G suy HN N H-nhóm G N , nên ta có N G N ( HN N ) ∩ ( HN N ) ≤ HN N g Suy N G ( H ) ∩ H g ≤ HN Vậy Q0 ≤ HN Vì Q0 H p’-nhóm con, N p-nhóm G giải được, nên tồn n ∈ N cho Q0 ≤ H n ∩ N G ( H ) Kí hiệu S = HN Đặt S = HN H nhóm chuẩn tắc yếu S mà nhóm chuẩn tắc yếu S Nếu S < G Từ tính tối tiểu G ta suy H H-nhóm S ⇒ H n ∩ N S ( H ) ≤ H n Mà H n ∩ N S ( H ) =∩ H n N G ( H ) ∩ S =∩ H n N G ( H ) (vì H ⊂ S ) Do Q0 =∩ H n N G ( H ) ≤ H (mâu thuẫn H không H-nhóm G) Footer Page 32 of 185 Header Page 33 of 185 29 Nếu S = G H nhóm tối đại G, H-nhóm (mâu thuẫn) Trường hợp : Giả sử p ước H Xét p-nhóm Sylow H p H P p-nhóm Sylow G Vì H p nhóm chuẩn tắc yếu G H p nhóm chuẩn tắc P P nhóm chuẩn tắc G, nên ta có H p  G theo Bổ đề 2.1.9 Từ tính tối tiểu G, ta suy H H p H-nhóm G H p từ Bổ đề 1.13.2 ta có H H-nhóm G Nhận xét : Như Định lý 2.1.5 xem hệ Định lý 2.1.18 Định lý 2.1.20: Nếu G T-nhóm siêu giải được, cho H nhóm G, H tất nhóm H chuẩn tắc yếu G theo Định lý 2.1.18 Khi H H-nhóm G theo Định lý 2.1.20 Giả sử nhóm G H-nhóm Thì nhóm G chuẩn tắc yếu Do G T-nhóm theo Định lý 2.1.18 Footer Page 33 of 185 Header Page 34 of 185 30 2.2 PSP-nhóm 2.2.1 Định nghĩa Cho H nhóm nhóm G (1) Nhóm H nhóm G gọi tựa chuẩn tắc G H giao hoán với nhóm G (2) Nhóm tựa chuẩn hóa PG ( H ) định nghĩa nhóm sinh tất nhóm cyclic G mà giao hoán với H (3) Nhóm G gọi P-nhóm H ≠ PG ( H ) với nhóm thật H G Nhận xét: H ≤ PG ( H ) H ≠ PG ( H ) H g = g H với g ∈ G \ H N G ( H ) ⊂ PG ( H ) Thật Lấy x ∈ N G ( H ) ⇒ Hx = xH ⇒ H x = x H Suy x ∈ PG ( H ) 2.2.2 Định nghĩa (1) Cho p số nguyên tố Nhóm G gọi PSPp -nhóm p-nhóm H G tựa chuẩn tắc PG ( H ) = H (2) Nhóm G PSP-nhóm điều kiện với nhóm G Nhận xét: Các nhóm mà nhóm tựa chuẩn tắc PSP-nhóm Nếu G PSP- nhóm G PSPp -nhóm với số nguyên tố p 2.2.3 Định lí Cho G PSPp -nhóm nhân tử G mà cấp chia hết cho p cyclic, nghĩa là, G p-siêu giải Footer Page 34 of 185 Header Page 35 of 185 31 Chứng minh Giả sử G PSPp -nhóm có cấp p k m , m mà p nguyên tố Nếu H < G H = p l với l < k , H nhóm thực N G ( H ) H nhóm thực PG ( H ) Vì G PSPp -nhóm nên suy H tựa chuẩn tắc Gọi L tích tất nhóm G có cấp p k −1 Khi L p-nhóm chuẩn tắc G, L p-nhóm Sylow nhóm có cấp p k −1 Trường hợp 1: Giả sử G có p-nhóm Sylow chuẩn tắc P, mà pnhóm G tựa chuẩn tắc Gọi H nhóm chuẩn tắc P Nếu X p’-nhóm G, XH nhóm = H XH ∩ P chuẩn tắc XH Khi p’-phần tử G chuẩn hóa H, P chuẩn hóa H, suy H chuẩn tắc G Do nhân tử P nhân tử G, nhân tử cyclic Vì P nhóm Sylow, G nhân tử khác có cấp chia hết cho p Trường hợp 2: Giả sử G có nhóm L có cấp p k −1 p-nhóm Sylow P G tự tựa chuẩn hóa Chú ý P phải cyclic, P không cyclic có nhiều nhóm có cấp p k −1 P, N G ( P ) tâm N G ( P ) trùng G có p-phần bù chuẩn tắc (theo Định lý Burnside) Vậy Định lý chứng minh Footer Page 35 of 185 Header Page 36 of 185 32 2.2.4 Định lý Các phát biểu đôi tương đương (1) G PSP-nhóm (2) G PSPp -nhóm với số nguyên tố p (3) Mọi nhóm G tựa chuẩn tắc Chứng minh (1) ⇒ ( ) : Giả sử G SPS -nhóm lấy H ≤ G , H nhóm tựa chuẩn tắc G PG ( H ) = H Đặc biệt, H p-nhóm G, H nhóm tựa chuẩn tắc G PG ( H ) = H Do G PSPp -nhóm ( ) ⇒ ( 3) : Giả sử G PSPp -nhóm với số nguyên tố p Theo Định lý 2.2.3, ta có G p- siêu giải với số nguyên tố p Do G siêu giải Từ [8], ta có G P-nhóm ⇒ H ≠ PG ( H ) Vì G PSPp -nhóm, p-nhóm G tựa chuẩn tắc với số nguyên tố p Do nhóm G tựa chuẩn tắc ( 3) ⇒ (1) : Ta ý nhóm G tựa chuẩn tắc G SPS -nhóm Footer Page 36 of 185 Header Page 37 of 185 33 KẾT LUẬN Sau hoàn thành luận văn, người viết đưa số kết luận sau: Phần luận văn trình bày số kết T-nhóm hữu hạn tính chất chúng Đặc biệt luận văn sâu đưa mối liên hệ nhóm chuẩn tắc, chuẩn tắc yếu, chuẩn tắc, nhóm pronormal, H-nhóm sử dụng chúng để mô tả T-nhóm hữu hạn giải Ngoài phần cuối chương trình bày nhóm hữu hạn mà nhóm tựa chuẩn tắc tự tựa chuẩn tắc, gọi PSP-nhóm Để tiếp cận kết kể trên, người viết tham khảo tự chứng minh nhiều kết nhỏ dùng vào việc chứng minh nội dung Tuy nhiên nhiều tính chất ứng dụng quan trọng khác T-nhóm hữu hạn mà giới hạn thời gian tầm hiểu biết nên người viết chưa trình bày Người viết chân thành hi vọng nhận góp ý thầy cô quan tâm đến vấn đề Người viết Footer Page 37 of 185 Header Page 38 of 185 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh Ballester-Bolinches A and Esteban-Romero R (2003), On finite T-groups, J Aust Math Soc., 75(2): 181-191 Beidleman J.C and Robinson D.J.S (1997), On finite groups satisfying the permutizer condition, J Algebra 191, 686-703 Bianchi M., Gillio Berta Mauri A., Herzog M and Verardi L (2000), On finite solvable groups in which normality is a transitive relations, J Group Theory 3, 147-156 Bryce R.A and Cossey J., The Wielandt subgroup of a finite soluble group, J London Math, 244-256 Peng T.A (1969), Finite groups with pronormal subgroups, Proc Amer Math Soc 20, 232-234 Robinson D.J.S (1968), A note on finite groups in which normality is transitive, Proc Amer Math Soc 19, 933-937 Robinson D.J.S (1982), A course in the theory of groups, Springer, New York Footer Page 38 of 185 ... of 185 13 Chương T-NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, nhóm xét nhóm hữu hạn 2.1 T-nhóm hữu hạn 2.1.1 Định nghĩa Nhóm G gọi T-nhóm nhóm chuẩn tắc G chuẩn tắc G 2.1.2 Ví dụ Ví dụ : S3 T-nhóm Chứng minh... Chương tổng hợp kết T-nhóm hữu hạn tính chất chúng, đặc biệt đưa mối liên hệ nhóm chuẩn tắc, chuẩn tắc yếu, chuẩn tắc, nhóm pronormal, H-nhóm sử dụng chúng để mô tả T-nhóm hữu hạn giải Ngoài phần... 1.12 Điều kiện chuẩn hóa 10 1.13 H-nhóm 11 Chương T-NHÓM HỮU HẠN 13 2.1 T-nhóm hữu hạn .13 2.2 PSP-nhóm 30 KẾT LUẬN 33