ợc hữu hạn.
Ta nhắc lại rằng dãy nhóm con G = G0ơ⊃G1ơ⊃. . .ơ⊃Gn = E đợc gọi
là dãy nhóm con tối đại của G, nếu mỗi thành phần Gi của nó là nhóm con tối đại của thành phần Gi-1 đứng trớc nó. Ký hiệu Γi là tập hợp tất cả các nhóm con tối đại thứ i của G, Γ1π là tập hợp tất cả các πd-nhóm con tối đại của G,Γ2π là tập hợp tất cả các nhóm con tối đại thứ hai của G, mỗi một trong chúng thuộc vào ít nhất một nhóm con thuộc tập hợp Γ1π.
2.2.1. Định nghĩa và ký hiệu. Giả sử U và V là hai tập hợp nào đó của các nhóm con nào đó của nhóm G. Khi đó cách viết U.V=V.U có nghĩa là HK
=KH với mọi nhóm con H∈U và mọi nhóm con K∈V. Tập hợp U đợc gọi là
giao hoán yếu, nếu tất cả các nhóm con thuộc U đều liên hợp với nhau trong G và đôi một giao hoán đợc với nhau.
2.2.2. Bổ đề. Nếu nhóm con H của nhóm G giao hoán đợc với tất cả các nhóm con thuộc tập hợp Γ1, cấp của chúng chia hết cho cấp của H thì H⊆
MG, trong đó M là nhóm con tối đại chứa H bất kỳ của G.
Chứng minh. Giả sử H⊆M∈Γ1. Giả thiết rằng H không nằm trong MG. Khi đó
tìm đợc phần tử x∈G sao cho H không chứa trong x−1M : Mx = x. Thế thì từ hệ thức G HM= x và từ bổ đề 2.1.6 suy ra M M= x. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh bổ đề.
2.2.3. Bổ đề. Nếu P là p-nhóm con Sylow của nhóm G giao hoán đợc với tất cả các nhóm con thuộc Γ1 có cấp chia hết P , thì P là bất biến trong G.
Chứng minh. Kết luận của bổ đề này đợc suy ra từ bổ đề 2.2.2 và các lập luận đã trình bày trong chứng minh định lí 2.1.12.
2.2.4. Định lí. Nếu trong πd-nhóm G tập hợp 1 π
Γ là giao hoán yếu, thì G là
mở rộng của π-nhóm luỹ linh bởi π'-nhóm luỹ linh. Nếu τ(G)>1 thì G là nhóm luỹ linh.
Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.6, tất cả các nhóm con thuộc tập hợp Γ1π bất biến trong G. Bởi vậy theo bổ đề 2.2.3 chúng ta kết luận đợc rằng tất cả các p-nhóm con Sylow của G là bất biến trong G với mọi p∈π, nghĩa là G chứa Sπ-nhóm con luỹ linh bất biến H. Từ định lí J.Schur kinh điển nói về mở rộng, trong nhóm G tồn tại nhóm con K sao cho G=HK và H∩K={e}. Chúng ta sẽ chứng
tỏ K là nhóm luỹ linh. Thật vậy, giả sử M H là nhóm con tối đại của nhóm th- ơng G H. Khi đó MH là nhóm con bất biến trong GH , vì theo lập luận trên,
πd-nhóm con tối đại M của G là nhóm con bất biến của G. Do đó, tất cả nhóm con tối đại của G H đều bất biến trong GH và do đó GH là nhóm luỹ linh. Từ đẳng cấu G H≃K suy ra K cũng là nhóm luỹ linh. Bởi vậy, khẳng định đầu tiên của định lí 2.2.4 đợc chứng minh.
Bây giờ giả sử rằng τπ(G)>1 và giả sử M là nhóm con tối đại của nhóm G. Từ phần đầu của định lí đã chứng minh suy ra G là nhóm giải đợc. Điều đó có nghĩa là (G:M)=qα. Nhng vì τπ(G)>1, nên M là πd-nhóm con, và bởi vậy, nh đã chỉ ra ở trên nó bất biến trong G. Do việc chọn M là tuỳ ý, suy ra rằng tất cả các nhóm con tối đại của G là bất biến trong G. Do đó G là nhóm luỹ linh.
2.2.5. Chú ý. Nếu π = π(G) thì định lí 2.2.4 là sự mở rộng của định lí 1 trong công trình “Contributions to the groups of finite order” của O.Ore (xem[6]).
2.2.6. Định lí. Giả sử G là πd-nhóm luỹ linh và giả sử tập hợp 2 π
Γ của G là
giao hoán yếu. Khi đó G có một trong các dạng: 1) Nhóm dạng S1.
2) Tích trực tiếp của các nhóm xyclic cấp nguyên tố p∈π với nhóm dạng S1 mà cấp của S1 không chia hết cho p.
Chứng minh. Định lí 2.2.6 đợc chứng minh tơng tự định lí 2.1.12. Khi đó ứng dụng quan trọng nhất của nó là định lí Sp (xem [15]).
2.2.7. Hệ quả. Nếu tập hợp Γ2 giao hoán yếu thì nhóm G có một trong các dạng:
1) Nhóm luỹ linh. 2) Nhóm dạng S1.
2.2.8. Hệ quả. Nếu tập hợp Γ3 giao hoán yếu thì G là nhóm giải đợc. Khi đó nếu τ(G)>3 thì G là nhóm luỹ linh.
Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.6 kết luận đợc rằng tất cả nhóm con tối đại của G luỹ linh. Hơn nữa theo định lí Z. Janko (xem [8]), nhóm G hoặc giải đợc hoặc đẳng cấu với nhóm SL(2;5) hay là nhóm LF(2;5). Nhng hai nhóm sau không thoả mãn điều kiện Γ3 yếu. Do đó G là nhóm giải đợc.
Nếu τ(G)>3 thì lập luận nh trong chứng minh định lí 2.1.15, ta có G là nhóm luỹ linh.
2.2.9. Định lí. Nếu Γ1Γ2 = Γ2Γ1 thì G là nhóm siêu giải. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Giả sử C∈Γ1 và giả sử B là nhóm con tối đại tuỳ ý của C. Từ bổ đề 2.2.2 suy ra B⊆CG. Nếu nhóm con C bất biến trong G, thì (G:C) =r là một số nguyên tố. Bây giờ giả sử C không bất biến trong G. Khi đó B = CG , nghĩa là B có chỉ số nguyên tố trong C. Chúng ta xét nhóm thơng G B . Nó chứa nhóm con tối đại C B với chỉ số nguyên tố. Vì nhóm C không bất biến trong G nên
C
B không bất biến trong GB , nghĩa là nhóm thơng CB không luỹ linh. Bởi vậy G B là nhóm có dạng A (xem [15]). Rõ ràng GB thoả mãn điều kiện của định lí. Nhng dễ kiểm tra đợc rằng bằng cách sử dụng các tính chất của nhóm dạng A, điều cuối cùng chỉ thoả mãn điều kiện của định lí khi và chỉ khi cấp của nó bằng pq. Nh vậy, trong mọi trờng hợp, chỉ số (G:C) là một số nguyên tố.
Theo định lí 9 trong công trình [10] của B.Huppert, nhóm G siêu giải và đó chính là điều cần chứng minh.
2.2.10. Hệ quả. Nếu Γ2Γ3 = Γ3Γ2thì G là nhóm giải đợc.
Chứng minh. Giả sử M∈Γ1. Từ định lí 2.2.9 suy ra tính siêu giải của M. Do đó, tất cả các nhóm con tối đại của G siêu giải. Theo định lí 22 trong [10], ta có G là nhóm giải đợc.
2.2.11. Định lí. Nếu Γ1Γ3 = Γ3Γ1thì G là nhóm giải đợc.
Chứng minh. Chứng minh qui nạp theo G . Nếu trong G tất cả các nhóm con tối đại đều bất biến thì G luỹ linh và do đó G giải đợc. Vậy có thể xem rằng trong G có ít nhất một nhóm con không bất biến M. Xét các khả năng có thể xảy ra:
Khả năng 1: Không có một nhóm con nào của M bất biến trong G. Nếu MG ≠E, thì xét nhóm thơng G G M . Giả sử G G G G G M B ... C ... E
M ⊃ M ⊃ M ⊃ ⊃ M ⊃ ⊃ là dãy tối đại
nào đó của nhóm thơng
G
G
M , đi qua MM . Nếu G CM là nhóm con tối đạiG thứ ba trong
G
G
M thì C là nhóm con tối đại thứ ba của G (Nếu tất cả các nhóm con tối đại thứ ba của G bằng E, thì G giải đợc theo định lí 9 trong công trình [10]). Theo điều kiện của định lí,
G
C
M giao hoán đợc với tất cả các nhóm con tối đại của nhóm thơng
G
G
M . Vì hạt nhân của nhóm con MM trong G GMG bằng E*, nên áp dụng bổ đề 2.2.2 suy ra C = MG. Do đó trong G tồn tại dãy tối đại:
G ⊃ M ⊃ B ⊃ C = MG⊃ . . . ⊃ E.
Giả sử C1 là nhóm con tối đại bất kì của nhóm G. Từ điều kiện của định lí và theo bổ đề 2.2.2 suy ra C1⊆MG. Nhng MG là nhóm con tối đại của B nên C1
=MG, và do đó B có duy nhất một nhóm con tối đại . Từ đó suy ra rằng B là nhóm xyclic, nghĩa là MG là nhóm xyclic chuẩn tắc trong G. Nhóm thơng
G
G
M giải đợc theo giả thiết qui nạp, do đó nhận đợc chính nhóm G giải đợc. Điều này dẫn tới mâu thuẫn.
Bây giờ, giả thiết rằng MG=E. Theo bổ đề 2.2.2 kết luận rằng tất cả các nhóm con tối đại chứa trong M của G đều bằng E. Do đó nhóm M hoặc luỹ linh (cấp p, p2 hay pq) hoặc là nhóm dạng A cấp pq. Bởi vậy, nếu trong G không có nhóm con bất biến tối đại thì từ việc xét trên đây suy ra tất cả các nhóm con tối đại của G hoặc luỹ linh hoặc có dạng A. Nhng khi đó tất cả các nhóm con tối đại thứ hai của G luỹ linh. Do đó theo [14], nhóm G giải đợc. Giả sử M1 là nhóm con tối đại bất biến của G và giả sử H là nhóm con tối đại thứ ba của G đ- ợc chứa trong M. Giả sử rằng H≠E. Khi đó H không chứa trong M. Thật thế, nếu H⊂M thì theo điều kiện của định lí và theo bổ đề 2.2.2, ta có HM=G, nghĩa là MM1=G. Nếu M∩M1=E thì cách viết đẳng thức là không thể vì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1
H = M do đó M∩M1 = K≠E. Bởi vì M = pq hay M = p2, nên ta có thể giả thiết rằng K =p. Khi đó ta có các đẳng thức về cấp:
1 M . M G p = (1) H . M G H M = ∩ (2)
Nếu M∩ =H p, thì từ (1) và (2) nhận đợc H = M1 , nhng điều này không thể xảy ra. Từ đó H∩M 1= . Khi đó, từ (1) và (2) suy ra M1 = pH Nhng đẳng thức cuối cùng cũng không thể xảy ra, vì theo cách chọn H là nhóm con tối đại thứ ba của M. Điều mâu thuẫn đó là do ta đã giả sử H≠E. Nhng nếu
H=E thì hoặc M1 là nhóm luỹ linh hoặc là nhóm có dạng A. Khi đó do tính bất biến của M1 trong G chúng ta suy ra G giải đợc.
Khả năng 1 đợc xét hoàn toàn đầy đủ.
Khả năng 2. Có ít nhất một nhóm con tối đại của nhóm M bất biến trong G. Giả sử đó là nhóm B. Khi đó M B có cấp nguyên tố. Vì MB bất biến trong G B , nên GB không luỹ linh, do đó GB là nhóm có dạng A. Giả sử
G
B có cấp pqβ. Nếu β >2 thì G B chứa nhóm con tối đại cấp p và nhóm con tối đại thứ ba cấp qβ −2. Vì nhóm thơng G B thoả mãn điều kiện của định lí nên cấp của G B là 2
pqβ − , điều này mâu thuẫn. Vậy β ≤2. Nhng khi đó chỉ số (G:M) hoặc bằng một số nguyên tố hoặc bằng bình phơng của một số nguyên tố. Vì M là một nhóm con tối đại tuỳ ý của G, nên theo định lí 10 của Hall (xem [16]), G giải đợc. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh định lí.
2.2.12. Định lí. Giả sử H là π-nhóm con thực sự của nhóm G, hơn nữa HG=E, và giả sử τπ(G)>1. Nếu H là π-giao hoán đợc trong G, thì đối với mỗi p ∈π và chia hết H , nhóm G chứa một nhóm con chỉ số pα.n1, trong đó
π(n1) ⊆π'.
Chứng minh. Nếu (G)π'=1, thì định lí 2.2.12 đợc suy ra từ chứng minh khẳng định b) của định lí 1 trong công trình [6]. Bởi vậy có thể xem rằng (G)π'>1. Theo điều kiện của định lí, có (G)π >1. Giả sử rằng (G)π = 1
1 ... t t pα pα , (G)π'= 1 1 ... s s qγ qγ , trong đó tất cả αi, i=1,2,…,t và tất cả γj, j=1,2,…,s đều khác
không; ngoài ra tất cả các pi và qj là những số nguyên tố tơng ứng khác nhau.
Giả sử cấp của nhóm con H bằng 1 1
1 ... t. 1 ... s
t s
pδ p qδ β qβ , trong đó δ γ β αj ≤ j, i ≤ i
(Nếu với một chỉ số i nào đó xảy ra đẳng thức αi=βi thì theo cách tính π- giao hoán đợc của H, H sẽ chứa ớc chuẩn của G sinh bởi tất cả các pi- nhóm con Sylow của G, đó là điều không thể vì HG=E). Vì H là πd-nhóm con nên đối với mỗi r cố định tìm đợc β >r 0. Ký hiệu nhóm con K=HPk, trong đó Pk là pk-nhóm con Sylow nào đó của G sao cho k≠r. Rõ ràng mỗi pr-nhóm con Sylow của H là một pr-nhóm con Sylow của K. Theo bổ đề 2.1.9, nhóm con H là π-giao hoán đợc trong K. Điều đó có nghĩa là tất cả các pr-nhóm con Sylow của K đều nằm trong H. Bởi vậy nhóm con { Hpr } sinh bởi các pr-nhóm con Sylow của H sẽ bất biến trong H cũng nh trong K. Do k≠r nên nhóm con {
H
r
p } không chứa trong nhóm con Pk đã chọn. Do đó có: Nhóm con { Hpr} bất biến trong tất cả các nhóm con dạng HPk của nhóm G nếu k≠r (*). Ký hiệu N là nhóm con sinh bởi tất cả các pi-nhóm con Sylow của G với i=1, 2,…, r-1, r+1,…, t. Rõ ràng N là ớc chuẩn của G. Do khẳng định (*), nhóm con { Hpr } bất biến trong HN. Từ điều kiện của định lí suy ra { Hpr} không bất biến trong G, và bởi vậy HN là nhóm con thực sự của G.
Thật vậy, HN⊆NG, ({ Hpr}≠G). Do đó N là ớc chuẩn thực sự của G.
Rõ ràng (G:N) = p nrα. 1, trong đó π(n1) ⊆π và α≥ 0. Vì pr là số nguyên tố cố định tuỳ ý thuộc tập hợp π và chia hết cho H , nên định lí đợc chứng minh.
2.2.13. Hệ quả. Nhóm đơn G thoả mãn điều kiện τπ(G)>1 không thể chứa
πd-nhóm con thực sự mà π-giao hoán đợc.
2.2.14. Chú ý. Định lí 2.2.12 là tổng quát hoá khẳng định b) của định lí 1 trong công trình [7] của N.Itô và J.Szep, thiết lập tính chất tơng tự đối với các nhóm con tựa bất biến.
Kết luận
Luận văn đã đạt đợc một số kết quả sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thứ nhất: Trình bày một cách cô đọng một số tính chất của nhóm luỹ linh và nhóm giải đợc hữu hạn.
Thứ hai: Khảo sát đợc một số lớp nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm luỹ linh hữu hạn nh nhóm con tựa đạt đợc, nhóm con π-giao hoán đợc và đa ra một số đặc trng của chúng, từ đó làm sáng tỏ một phần cấu trúc của nhóm luỹ linh hữu hạn.
Thứ ba: Khảo sát đợc một số lớp nhóm con liên quan đến tập hợp giao hoán yếu trong nhóm giải đợc hữu hạn, và thu đợc một số kết quả liên quan đến lớp nhóm con này đồng thời làm sáng tỏ một phần cấu trúc của các nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ nghiên cứu với giả thiết G là nhóm hữu hạn. Với G là nhóm bất kỳ, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt.
[1]. Nguyễn Trọng Giáp (2005), Một số kết quả tơng tự định lí Sylow và định lí Hall trong nhóm hữu hạn, Luận văn Thạc sĩ Toán học, khoá 11, Đại học Vinh.
[2]. Lê Quốc Hán (1998), Giáo trình Lý thuyết Nhóm, Đại học Vinh.
[3]. Serge Lang (1974), Đại số (3 tập), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội (Bản dịch của Trần Văn Hạo - Hoàng Kỳ).
Tiếng anh.
[4]. R. Bear (1957), Classes of finite groups and their properties. Illinois J. Math., 1, № 2, 115 - 187.
[5]. Z. Janko (1963), Finite groups with invariant fourth maximal subgroups.
Math. Z., 82, 82 - 89.
[6]. O. Ore (1939), Contributions to the theory of groups of finite order. Duke Math. J., 5, 431 - 460.
Tiếng đức.
[7]. N. I tô und J. Szep (1962), ỹber die Quasinormalteiler von endlichen Gruppen, Acta Sci., Math. Szeged, 23, 168 - 170.
[8]. Z. Janko (1962), Endlichen Gruppen mit lauter nilpotenten zweitmaximalen Untergruppen, Math. Z., 79, 422 - 424.
[9]. O. Kegel (1962), Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 78, 205 - 221.
[10]. B. Huppert (1954), Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen, Math. Z., 60, 409 - 434.
[11]. J. Schur (1907), Untersuchungen ỹber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionnen, J. reine angew. Math., 132, 85 - 137.