2.1.1. Bổ đề. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc và H là nhóm con tuỳ ý của nhóm G. Khi đó :
i) NH = HN;
ii) NH là nhóm con của G;
iii) Nếu H chuẩn tắc trong G thì NH cũng chuẩn tắc trong G.
Chứng minh. i) Giả sử a∈N, b∈H. Khi đó, vì N chuẩn tắc trong G nên bN=
Nb. Suy ra ab∈Nb = bN⊂HN, do đó NH⊂HN. Tơng tự, có HN⊂NH nên HN
=NH.
ii) Giả sử a1, a2∈N; b1, b2∈H. Khi đó vì N<G nên tồn tại b3∈H sao cho
1 2 2 3
b a =a b . Suy ra (a b a b1 1)( 2 2)=a b a b1( 1 2) 2 =a a b b1( 2 3) 2 =(a a b b1 2)( 3 2) NH∈ . Mặt khác, 1 1 1
1 1 1 1
(a b )− =b a− − ∈HN NH= nên NH là nhóm con của G.
iii) Giả sử H<G và a∈N, b∈H. Khi đó ∀ ∈g G, có:
1 1 1
( ) . NH
g ab g− =gag gbg− − ∈ nên NH<G. Bổ đề đợc chứng minh.
2.1.2. Định nghĩa [6]. Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó H đợc gọi là tựa chuẩn tắc trong G nếu với mọi nhóm con A của G đều có AH = HA.
2.1.3. Định nghĩa và ký hiệu. i) Giả sử G là một nhóm không tầm thờng. Khi đó dãy nhóm con G = G0ơ⊃G1ơ⊃. . .ơ⊃Gn = E (1) đợc gọi là dãy nhóm
con tối đại của G, nếu mỗi thành phần Gi của dãy đó là nhóm con tối đại của Gi- 1.
Nếu G E= thì ta qui ớc dãy nhóm con tối đại duy nhất của G chính là E. Thành phần thứ i của dãy tối đại nào đó của G đợc gọi là nhóm con tối đại thứ i của G. Ký hiệu Γi là tập hợp tất cả các nhóm con tối đại thứ i của g.
ii) Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó giao của tất cả các nhóm con liên hợp với H trong G đợc gọi là hạt nhân HG.
iii) Nhóm G đợc gọi là nhóm có dạng S1 nếu G là nhóm luỹ linh và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm Abel.
2.1.4. Định nghĩa. i) Nhóm con H của nhóm G đợc gọi là đạt đợc nếu H là một thành phần trong dãy chuẩn tắc nào đó của G.
ii) Nhóm con H của nhóm G đợc gọi là nhóm con tựa đạt đợc trong G, nếu đối với p-nhóm con Sylow P của G thì H∩P là p-nhóm con Sylow của G với mọi
p∈π(G). (Nếu H không chia hết cho p, thì ta qui ớc p-nhóm con Sylow duy nhất của H chính là E).
2.1.5. Chú ý. Vấn đề sau đây còn mở: Phải chăng tất cả các nhóm con tựa đạt đợc trong G là đạt đợc trong G? (Khẳng định ngợc lại đã đợc chỉ ra rõ ràng trong [19] là đúng). Để đi đến lời giải đáp ta cần sử dụng một số khái niệm và bổ đề đã biết trong các công trình của O.Ore (xem [6]), O.Kegel
(xem[9]) và R.Bear (xem[4]).
2.1.6. Bổ đề [6]. Nếu hai nhóm M1 và M2 liên hợp; M1, M2∈Γ1vàM1M2=M2M1
thì M1=M2.
2.1.7. Bổ đề [4]. Nếu D là ớc chuẩn của nhóm G và P là nhóm con Sylow nào đó của D thì G=NG(P).D.
2.1.8. Định nghĩa. Nhóm con H của nhóm G gọi là π-giao hoán đợc, nếu nó giao hoán đợc với mọi p-nhóm con Sylow của G, ∀p∈π. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.1.9. Bổ đề [9]. Nếu nhóm con R của nhóm G chứa nhóm con H là π-giao hoán đợc trong G thì H cũng là nhóm con π-giao hoán đợc.
2.1.10. Bổ đề [9]. Nếu nhóm con R của nhóm G chứa nhóm con tựa đạt đợc H của G, thì H cũng là nhóm con tựa đạt đợc của R.
2.1.11. Bổ đề [9]. Nhóm con tựa đạt đợc và giải đợc trong G là nhóm con đạt đợc trong G.
2.1.12. Định lí. Nếu tất cả các nhóm con của tập hợp Γ1 tựa đạt đợc trong G, thì G là nhóm luỹ linh.
Chứng minh. Giả sử P là p-nhóm con Sylow bất kỳ của G, còn M là nhóm con tối đại nào đó của G, cấp của M chia hết cho cấp của P. Vì M là nhóm con tựa đạt đợc của G nên M∩P = P, do đó P⊆M. Từ đó suy ra P⊆MG. Chúng ta sẽ chứng minh P bất biến trong G. Ký hiệu D là giao của tất cả các ớc chuẩn chứa P của G. Khi đó P ⊆ ≠D G. Giả sử P không bất biến trong G, nghĩa là P≠
D. Giả sử F là một nhóm con tối đại của G sao cho F⊃NG(P). Theo bổ đề 2.1.7, có G=DF. Vì F tựa đạt đợc trong G và P⊆F nên P⊆FG. Nhng FG⊉D và P⊆FG
∩D, nên dẫn tới mâu thuẫn với cách chọn D. Do đó P bất biến trong G. Vì P là nhóm con Sylow đợc chọn tuỳ ý của G, nên điều đó chứng tỏ rằng tất cả các nhóm con Sylow của G bất biến trong G, do đó G là
nhóm luỹ linh.
2.1.13. Định lí. Nếu tất cả các nhóm con thuộc Γ2là tựa đạt đợc thì hoặc G là nhóm luỹ linh hoặc là nhóm dạng S1.
Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.10, mỗi nhóm con thuộc tập hợp Γ2 là tựa đạt đợc trong một nhóm con thuộc tập hợp Γ1. Bởi vậy, theo định lí 2.1.12, tất cả các nhóm con tối đại của G đều luỹ linh. Theo định lí Smith [17], G hoặc là nhóm luỹ linh hoặc là nhóm dạng S. Giả sử G là nhóm có dạng S cấp p qα. β với nhóm con bất biến có cấp là qβ và giả sử b là số nguyên lớn nhất thoả mãn điều kiện qb ≡1(mod )p . Giả thiết rằng β-b-1≥0. Từ tính chất của nhóm S, với giả thiết đã cho, nhóm G chứa nhóm con tối đại thứ hai cấp p qα. β − −b 1. Giả sử P là
p-nhóm con Sylow nào đó của G. Từ điều kiện của định lí suy ra P⊆MG≠G. Nhng nhóm dạng S không thể chứa nhóm con chuẩn tắc thực sự, cấp chia hết cho pα, vì khi đó nhóm con P sẽ bất biến trong G. Mâu thuẫn nhận đợc chứng
tỏ rằng giả thiết ban đầu của ta không đúng. Do đó β-b-1<0 và bởi vậy β =b.
Nhng điều đó có nghĩa là G có dạng S1.
2.1.14. Chú ý. Ví dụ về nhóm tứ diện chứng tỏ rằng lớp nhóm luỹ linh trong định lí 2.1.13 rộng hơn lớp nhóm mà tất cả các nhóm con tối đại thứ hai của nó bất biến (Xem định lí 23 [10]).
2.1.15. Định lí. Nếu tất cả các nhóm con thuộc tập hợp Γ3 là tựa đạt đợc trong G thì G là nhóm giải đợc. Nếu τ(G)>3 thì G là nhóm luỹ linh.
Chứng minh. Do bổ đề 2.1.10 và định lí 2.1.12, tất cả các nhóm con tối đại thứ hai của G là luỹ linh. Khi đó theo [8], nhóm G hoặc giải đợc hoặc đẳng cấu với nhóm nhị thập diện hoặc nhóm tuyến tính đặc biệt cấp 120. Kiểm tra trực tiếp đợc hai trờng hợp sau không thoả mãn. Vậy G là nhóm giải đợc.
Giả sử cấp của nhóm G chia hết cho nhiều hơn ba số nguyên tố khác nhau. Nh đã biết, trong nhóm giải đợc, nhóm con tối đại có chỉ số là một số nguyên tố. Vì τ(G)>3, nên từ đó suy ra mỗi nhóm con tối đại của G hoặc luỹ linh, hoặc là nhóm có dạng S. Do đó G là nhóm luỹ linh.
2.1.16. Nhận xét. Các định lí 2.1.12, 2.1.13, 2.1.15 và bổ đề 2.1.11 chỉ ra rằng nếu G có “tập hợp các nhóm con tựa đạt đợc đủ nhiều” thì tất cả các nhóm con đó đạt đợc trong G. Hơn nữa, trong chừng mực nào đó các nhóm con tựa đạt đ- ợc cũng ảnh hởng tới cấu trúc của chính nhóm đã cho nh các nhóm con bất biến. Điều đó đợc xác nhận trong định lí 2.1.12 và định lí 2.1.20 mà chúng ta sẽ nêu lên sau đây. Trớc hết, ta hãy chứng minh mệnh đề sau, thiết lập đối với các nhóm con tựa đạt đợc nh chính các nhóm con đạt đợc.
2.1.17. Mệnh đề. Nếu H là nhóm con đạt đợc của nhóm G và N là ớc chuẩn
của G đợc chứa trong H, thì H N là nhóm con tựa đạt đợc của G N . Khẳng định ngợc lại cũng đúng.
Chứng minh. Giả sử H là nhóm con tựa đạt đợc của nhóm G, N là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho N⊆H. Để đơn giản, ta sẽ dùng ký hiệu Gp để chỉ p-
nhóm con Sylow của G. Hiển nhiên
H G N G N H N p N p N ∩ = I trong đó G N N
p là p-nhóm con Sylow nào đó của nhóm thơng G N .
Theo đồng nhất thức Dedekind, có H∩GpN = N.[H∩Gp] = NH′p,
trong đó H′p là p-nhóm con Sylow nào đó của H. Do đó
G N NH H N p N pN ′ =
I là p-nhóm con Sylow của H N .
Bây giờ ta chứng minh khẳng định ngợc lại. Giả sử H N là nhóm con tựa đạt đợc của nhóm thơng G N , nghĩa là:
HN G NN=H NN I p p (1) trong đó H N N (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
p là p-nhóm con Sylow nào đó của H N , còn Hp là p-nhóm con
Sylow nào đó của H. Vì H N N p ≃ Hp N p nên từ hệ thức (1), ta có: H N p p≃ HN G Np N I Mặt khác, áp dụng đồng nhất thức Dedekind, nhận đợc: HN G Np N I = [H G N] N P ∩ = N. H G N p ∩ ≃
≃ H Gp [N H GP] ∩ ∩ ∩ = [ ] [ ] H G N G P P ∩ ∩ = [H G ] N P P ∩
Do đẳng cấu, từ hai hệ thức cuối cùng, ta có đẳng cấu về cấp: H N P P = H GP N P ∩ ,
từ đó, Hp = ∩H Gp . Nhng vì Hp là nhóm con Sylow của nhóm H nên H∩Gp
cũng là nhóm con Sylow của H.
2.1.18. Định nghĩa. Giả sử K là một trờng. Khi đó tập hợp các hàm phân tuyến:
f(x) = ax b cx d
+
+ với hệ số trên trờng K và định thức ad - bc ≠1 là một nhóm với
phép hợp thành ánh xạ. Nó đợc gọi là nhóm phân tuyến tính cấp hai và đợc ký hiệu là LF(2;K).
Nếu K là trờng hữu hạn đặc số p thì số phần tử của K sẽ là pn và khi đó ta sẽ dùng ký hiệu LF(2;pn) thay cho LF(2;K).
2.1.19. Chú ý. Giả sử G =SL(n;K) là nhóm nhân các ma trận với hệ số trên tr-
ờng K với định thức bằng 1, Z là tâm của G. Khi đó nhóm thơng G Z đợc gọi là
nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh và đợc ký hiệu là PSL(n;K). Theo lý thuyết nhóm cổ điển, ta có:
LF(2;K) ≃ PSL(2;K).
2.1.20. Định lí. Nếu trong nhóm G tất cả các nhóm con của tập hợp Γ4 là tựa đạt đợc, thì G có một trong các dạng sau đây:
1) Nhóm G giải đợc. 2) G ≃ SL(2;5).
3) G ≃ LF(2;p), trong đó p=5 hoặc p là một số nguyên tố nào đó sao cho p-1 và p+1 là tích của không nhiều hơn ba số nguyên tố (không nhất thiết khác nhau), p ≡± 3(mod 40) hay p ≡± 13(mod 40).
Chứng minh. Từ định lí 2.1.15 và bổ đề 2.1.10 suy ra tất các nhóm con nguyên sơ của G giải đợc. Giả thiết rằng nhóm G có cấp nhỏ nhất sao cho kết luận của định lí không đúng. Giả sử R là ớc chuẩn tối đại của G. Từ bổ đề 2.1.11 suy ra rằng tất cả các nhóm con thuộc tập hợp Γ4 là đạt đợc trong G. Bởi vậy nếu R=E
thì áp dụng định lí 2.1.12 và từ [5] suy ra G là nhóm dạng LF(2;p) nói đến trong 3).
Bây giờ, giả sử R≠E. Nếu nhóm thơng G R là nhóm xyclic cấp nguyên tố, thì G là nhóm giải đợc. Bởi vậy từ đây ta sẽ xét trờng hợp G R là nhóm đơn không Abel. Theo mệnh đề 2.1.17, nhóm thơng G R thoả mãn điều kiện của định lí cần chứng minh. Theo giả thiết qui nạp, nhóm thơng G R đẳng cấu với nhóm dạng 3). Từ định lí 2.1.15 suy ra nếu trong G tất cả các nhóm con của F là đạt đợc trong G. Vì nhóm con sinh bởi các nhóm con đạt đợc cũng là nhóm con đạt đợc (xem [12]), và bởi vì F không đạt đợc trong G, nên F là p-nhóm con xyclic, thêm vào đó cấp của F R bằng p. Từ cấu trúc của nhóm LF(2;p) suy ra rằng các nhóm đẳng cấu với nhóm thơng G R có thể đợc chọn là nhóm cấp 2. Còn nếu G R≄ LF(2;5) thì F R có thể lấy đợc là nhóm cấp nguyên tố lẻ.
Giả thiết rằng G R≄ LF(2;5). Khi đó nh đã thiết lập, R có thể là 2- nhóm xyclic hay q-nhóm xyclic đối với nguyên tố lẻ q. Mâu thuẫn nhận đợc chứng tỏ R=E. Nhng điều cuối cùng không thể xảy ra do giả thiết trên. Do đó
G
R≃ LF(2;5), và khi đó rõ ràng R là 2-nhóm xyclic. Giả sử R =2α, α ≥1. Khi đó trong G tồn tại nhóm con H, chứa R, có cấp bằng 3.2α+1 và nó là mở rộng của nhóm xyclic bởi nhóm siêu giải. Giả thiết rằng α >1. Khi đó trong H có nhóm con tối đại thứ ba K có cấp 3.2α-2. Vì H là nhóm con tối đại của G, nên K là nhóm con tối đại thứ t của G. Điều đó có nghĩa là tất cả các 3-nhóm con Sylow của G thuộc vào K, nghĩa là nhóm G chứa ớc chuẩn thực sự, cấp của nó chia hết cho 3. Nhng điều đó không thể xảy ra, vì nh đã chỉ ra trớc đó, ớc chuẩn tối đại của G là 2-nhóm, dẫn tới mâu thuẫn. Do đó α =1. Theo định lí J.Schur (xem [4]), nhóm G hoặc đẳng cấu với nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2;5) hoặc là tích trực tiếp của nhóm xyclic cấp hai với nhóm LF(2;5). Dễ thấy nhóm SL(2;5) thoả mãn điều kiện của định lí. Nhóm có dạng thứ hai chứa nhóm con tối đại A cấp 2, hơn nữa A thuộc vào nhóm LF(2;5).
Theo bổ đề 2.1.10, nhóm A tựa đạt đợc trong LF(2;5), mà dựa vào bổ đề 2.1.11, nhóm A cũng đạt đợc trong nhóm LF(2;5). Nhng điều đó không thể xảy ra do tính đơn của nhóm LF(2;5). Do đó, nhóm có dạng 2) không thoả mãn điều kiện của định lí 2.1.20.