Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô

Lời nói đầu Lý thuyết nhóm là một trong những lý thuyết quan trọng nhất của toán học hiện đại, vì nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu các lĩnh vực tiếp theo của toán học. Ngoài ra, các hiểu biết sâu sắc về lý thuyết nhóm sẽ góp phần cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn các lớp nhóm quan trọng. Nhóm hữu hạn và nhóm hữu hạn sinh là hai lớp nhóm quan trọng trong lý thuyết nhóm trừu tượng, đó là các lớp nhóm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học. Nó còn là công cụ để nghiên cứu các lớp nhóm khác vì khi nghiên cứu mọi lớp nhóm người ta tìm cách để đưa về được hai lớp nhóm nói trên để nghiên cứu. Trong Lý thuyết nhóm tôpô có hai lớp nhóm cũng giữ vị trí như nhóm hữu hạn và nhóm hữu hạn sinh, đó là lớp nhóm compact và lớp nhóm compact sinh ra. Hiển nhiên trong lý thuyết nhóm tôpô, lớp nhóm hữu hạn và lớp nhóm hữu hạn sinh cũng là nhóm compact và nhóm compact sinh ra và trong nhóm tôpô nếu ta lấy tôpô rời rạc thì nhóm compact và nhóm compact sinh ra lại là lớp nhóm hữu hạn và lớp nhóm hữu hạn sinh. Với những lý do đó, chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu về “ Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô”. Theo chúng tôi đề tài này mang một ý nghĩa khoa học có tính thời sự và thiết thực đối với sự phát triển toán học. Chúng tôi không có tham vọng chứng minh các tính chất lớn bởi vì đây là một công việc khó khăn và lâu dài. Trong chừng mực nhất định, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề. Điều đó mở ra một con đường nhiều hy vọng để thu được các kết quả có ý nghĩa hơn. Luận văn được chia thành 02 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Các tài liệu trích dẫn được đánh số theo qui định hiện hành, các ký hiệu dùng trong luận văn là ký hiệu thông thường. Các kết quả trình bày theo số thứ tự chương- bài- mục Chương I: Nhóm compact và nhóm compact sinh ra. Trong chương này giới thiệu một số khái niệm, một số tính chất cơ bản của nhóm compact, nhóm compact sinh ra và làm rõ vị trí của nó trong lý thuyết nhóm tôpô, đặc biệt là khái niệm đồng cấu các nhóm tôpô và khái niệm tích trực tiếp của các nhóm tôpô, là tiền đề để nghiên cứu các nội dung tiếp theo. Chương II: Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô. Nội dung của chương II chúng tôi đã chỉ ra được một lớp nhóm compact cực đại và làm rõ vị trí của nó trong một nhóm tôpô. Chương II là chương trọng tâm của luận văn và nội dung chương II gồm: 1 1) Nhóm con compact cực đại của nhóm Lie. 2) Nhóm con compact cực đại của nhóm compact địa phương. 3) Sự tồn tại nhóm con compact cực đại trong nhóm tôpô. 4) Nhóm con compact cực đại của một số lớp nhóm tôpô. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của Thầy giáo – GS.TS. Nguyễn Quốc Thi. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy- Người đã đặt bài toán và dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, giúp tác giả mạnh dạn và vững tin trong quá trình nghiên cứu. Cũng trong dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ, động viên và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được nhiều sự góp ý, trao đổi chân thành của bạn bè, đồng nghiệp. Tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó. Cuối cùng, tác giả xin được nhận sự góp ý chân tình của các Thầy, Cô giáo cùng bạn bè. Vinh, tháng 11/2008. Tác giả 2 Chương I NHÓM COMPACT VÀ NHÓM COMPACT SINH RA 1.1. Định nghĩa và tính chất 1.1.1. Định nghĩa Nhóm tôpô G được gọi là compact (compact địa phương) nếu không gian tôpô G là không gian compact (compact địa phương). 1.1.2. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm compact sinh ra nếu G là bao đóng của nhóm trừu tượng sinh ra bởi một tập con compact M của G , tức là ><= MG với M - compact. 1.1.3. Tính chất Giả sử G là nhóm compact địa phương hoàn toàn không liên thông và U là một lân cận của đơn vị của G . Khi đó tồn tại một nhóm con compact mở H sao cho UH ⊂ và HG / rời rạc. Chứng minh. Vì e là thành phần liên thông của G nên tồn tại một tập mở compact P sao cho UPe ⊂∈ . Ký hiệu { } PpqGqQ ⊂∈= : và 1 − ∩= QQH . Khi đó H là nhóm con compact cần tìm. Thật vậy, trước hết ta chứng minh Q mở. Giả sử q là điểm cố định thuộc Q và Px ∈ . Vì Px q ∈ và P mở nên tồn tại các lân cận xU x ∋ và qV x ∋ sao cho PVU xx ⊂ . Các tập mở x U tạo thành phủ mở của P và P compact nên có phủ con hữu hạn k xxx UUU , .,, 21 . Đặt n xxx VVVV ∩∩∩= . 21 , khi đó PPV ⊂ và do đó QV ⊂ . Như vậy với mỗi Qq ∈ tồn tại lân cận V của q sao cho QV ⊂ nên Q mở. Ta chứng minh Q đóng hay QG / mở. Giả sử QGr / ∈ , vì r P không được chứa trong P nên tồn tại Pp ∈ sao cho Ppr ∉ . Khi đó PGpr / ∈ nên tồn tại lân cận rW ∋ sao cho G/PW ⊂ p , nghĩa là G/QW ⊂ . Bởi vậy QG / mở và do đó Q đóng. Vì Pe ∈ nên Qy ∈ kéo theo Peyy ∈= và bởi vậy PQ ⊂ . Hơn nữa, vì ppe = nên Qe ∈ . Vì P compact nên Q là compact mở do đó 1 − ∩= QQH compact mở, hơn nữa eH ∋ . Giả sử Hhh ∈ 21 , , khi đó Qhh ∈ 21 , và 3 1 2 1 21 1 21 ))(()( −−− ⊂= PhhPhhhP nên Qhh ∈ − 1 21 . Tương tự Qhhhh ∈= −− 1 12 1 21 )( nên 11 21 −− ∈ Qhh . Vậy Hhh ∈ − 1 21 và do đó H là nhóm con của nhóm tôpô G . Vì H mở nên HG / rời rạc.  1.1.4. Tính chất Giả sử G là nhóm compact hoàn toàn không liên thông và U là lân cận đơn vị của nhóm G . Khi đó tồn tại một ước chuẩn mở N của G sao cho UN ⊂ và NG / là nhóm hữu hạn. Chứng minh. Giả sử H nhóm con mở của nhóm G (đã xác định trong tính chất 1.1.4). Ký hiệu { } GxHxxN ∈∩= − : 1 , thế thì N là ước chuẩn của nhóm tôpô G . Cần chứng minh N mở. Giả sử Gx ∈ , vì Hexx ∈ −1 nên tồn tại các lân cận eV x ∋ và x ∋ x W sao cho HV x ⊂ x -1 x WW . Vì G compact nên từ phủ mở { } Gx ∈ :W x có thể tách ra phủ con hữu hạn { } ni , .,1:W xi = . Đặt n xxx VVVV ∩∩∩= . 21 , khi đó HVx x ⊂ − 1 với Gx ∈ . Bởi vậy NV ⊂ và do đó với mọi phần tử Nn ∈ đều có NV n ⊂ , suy ra N mở. Vì N mở nên NG / rời rạc, ta lại có G compact nên NG / compact. Do đó NG / hữu hạn.  1.2. Ánh xạ đồng cấu và đẳng cấu của nhóm compact và nhóm compact sinh ra Một số tính chất của ánh xạ đồng cấu và đẳng cấu của nhóm trừu tượng nói chung không đúng đối với nhóm tôpô, nhưng riêng phần này chúng tôi trình bày một số tính chất đồng cấu vẫn đúng đối với nhóm compact và compact sinh ra. 1.2.1. Định nghĩa Giả sử N là ước chuẩn của nhóm tôpô G, ta đưa vào nhóm thương G/N của nhóm trừu tượng G một tôpô xác định như sau: Giả sử B là một cơ sở của G, với mỗi BU ∈ , xét tập con { } UgNgU ∈= : * của G/N. Khi đó { } BUUB ∈= : ** là cơ sở của không gian G/N. Nhóm tôpô G/N đó được gọi là nhóm thương tôpô của nhóm tôpô G theo ước chuẩn N và được kí hiệu là * G . 1.2.2. Định nghĩa 4 a) Ánh xạ g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô * G được gọi là đồng cấu, nếu thoả mãn hai điều kiện: i) f là nhóm đồng cấu từ nhóm trừu tượng G vào nhóm trừu tượng * G . ii) f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô G vào không gian tôpô * G . b) Ánh xạ f của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô * G được gọi là đẳng cấu, nếu thoả mãn hai điều kiện: i) f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượng * G . ii) f là ánh xạ đồng phôi từ không gian G lên không gian tôpô * G . *) Nếu * GG = thì ánh xạ đẳng cấu f được gọi là tự đẳng cấu của nhóm G . *) Hai nhóm tôpô G và * G được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ G lên * G . c) Ánh xạ đồng cấu g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô * G được gọi là đồng cấu mở, nếu g là ánh xạ mở từ không gian tôpô G vào không gian tôpô * G . 1.2.3.Mệnh đề Giả sử G và * G là hai nhóm tôpô và g là ánh xạ đồng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượng * G . Để g liên tục hay mở, chỉ cần g liên tục hay mở tại đơn vị e của G . Chứng minh. Giả sử g liên tục tại e , đơn vị của G , )(; * agaGa =∈ và * U là lân cận mở nào đó của * a . Khi đó 1** − aU là lân cận mở của * e - đơn vị của * G . Vì g liên tục tại e nên tồn tại lân cận ' U của e sao cho ( ) 1**' − ⊂ aUUg . Tập mở aUU ' . = chứa lân cận V của a , và ta có **1**' )().()()( UaaUagUgUgVg =⊂⊆⊆ − Bởi vậy g liên tục. Lý luận tương tự, ta có g mở khi g mở tại e . Giả sử G là nhóm tôpô và N là ước chuẩn của G . Khi đó ánh xạ NxxPNGGP =→ )(,/: là ánh xạ liên tục và mở, và được gọi là ánh xạ tự nhiên từ G lên nhóm thương NG / .  1.2.4. Định lý 5 Giả sử * : GGg → là ánh xạ toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô * G , khi đó: i) )(gKerN = là ước chuẩn tôpô của nhóm G . ii) Nhóm thương NG / đẳng cấu với * G . Chứng minh. Vì * : GGg → là liên tục và * e là tập đóng của * G nên N - tạo ảnh toàn phần của * e là tập đóng trong G . Mặt khác, N là ước chuẩn của nhóm trừu tượng G , do đó N là ước chuẩn của nhóm tôpô G . Giả sử * Gx ∈ , thế thì Xxg = − )( *1 là một lớp ghép của G theo N . Đặt Xxf = )( * , khi đó f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng * G lên nhóm trừu tượng NG / . Cần chứng tỏ rằng f là ánh xạ đồng phôi từ không gian * G lên NG / . Muốn vậy chỉ còn cần chứng tỏ f liên tục hai chiều. Giả sử ** Ga ∈ và Aaf = )( * , ký hiệu * U là một lân cận cận nào đó của phần tử A trong không gian NG / . { } UxNxU ∈= : * với U là lân cận xác định nào đó trong không gian G . Giả sử Ua ∈ , A=Na, vì g mở nên tồn tại lân cận ** aV ⊃ sao cho ( ) * VUg ⊃ . Do ( ) * aag = , Từ đó suy ra ( ) ** UVf ⊂ và do đó f liên tục. Giả sử N G NaA ∈= , ( ) *1 aAf = − và * U là một lân cận nào đó của * a . Vì g liên tục nên tồn tại lân cận V của a sao cho ( ) * UVg ⊂ , do ( ) * aag = , ký hiệu { } VxNxV ∈= : * , khi đó * V là lân cận của A trong N G và ( ) **1 UVf ⊂ − , do đó f liên tục. Như vậy, f là đẳng cấu đại số và liên tục hai chiều, nên f là đẳng cấu từ nhóm tôpô G * lên nhóm tôpô N G .  1.2.5. Mệnh đề Giả sử * : GGg → là đồng cấu từ nhóm compact G lên nhóm compact địa phương * G , khi đó g là ánh xạ mở. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ rằng: với mỗi lân cận U của đơn vị trong G , tìm được lân cận * U của * e sao cho * )( UUg ⊃ . Vì { } GxVx ∈ : phủ G và G compact nên tồn tại phủ con hữu hạn { } n VaVaVa , .,, 21 của G . Đặt ii FaF = , khi đó { } n FFF , .,, 21 phủ G nên { } ** 2 * 1 , .,, n FFF phủ * G ; trong đó )( * ii FgF = với ni , .,2,1 = . Ta hãy chứng minh )(Fg chứa một tập con mở của * G . Giả sử )(Fg không chứa một tập mở nào của * G , thì mỗi tập hợp * i F không chứa tập mở nào của * G . Chúng ta hãy chứng tỏ điều này không xảy ra. 6 Thật vậy, giả sử * 0 W là lân cận tuỳ ý của * G sao cho * 0 W compact. Vì * 1 F không chứa tập mở nên tồn tại lân cận * 1 W sao cho bao đóng của nó compact được chứa trọn vẹn trong * 1 * 0 \W F . Vì * 2 F không chưa tập mở nên tồn tại lân cận * 2 W sao cho * 2 W compact được chứa trọn vẹn trong * 2 * 1 \W F . Tiếp tục quá trình đó chúng ta nhận được dãy các lân cận , .W, .,W,W * 1-n * 1 * 0 với bao đóng compact sao cho: niF i , .,2,1;\WW ** 1-i * i =⊂ . Vì các tập hợp * i W compact và không rỗng nên giao của chúng không rỗng và giao không thuộc ** 1 GF i n i = ∪ = . Mâu thuẫn. Như vậy, ta đã chứng minh được )(Fg chứa một tập mở * V nào đó. Giả sử ** Va ∈ và F ∈ a sao cho * )( aag = , vì UFF ⊂ − 1 nên UFa ⊂ −1 , do đó 1**1 .).()( −− ⊃⊃ aVaFgUg Trong đó 1*** − = aVU là tập mở chứa đơn vị của * G . Vậy g mở.  1.2.6. Mệnh đề Giả sử * : GGf → là toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô * G và )( fKerN = , khi đó tồn tại tương ứng một - một giữa các nhóm con của * G với các nhóm con của G chứa N . Tương ứng một - một đó được thiết lập bằng cách sau: Nếu * H là một nhóm con của * G thì * H được đặt tương ứng với nhóm con )( *1 HfH − = của G . Nếu H là một nhóm con của G chứa N thì H được đặt tương ứng cới nhóm con )( * HfH = của * G . Sự tương ứng như vậy là một - một. Ngoài ra, nếu H và * H là các ước chuẩn tương ứng với nhau thì các nhóm thương ** / HG và HG / đẳng cấu. Chứng minh. Trước hết ta xét việc chuyển từ * H đến H . Tạo ảnh toàn phần H của tập đóng * H là tập đóng chứa N . Mặt khác, * H là nhóm con của nhóm trừu tượng * G nên H là nhóm con của nhóm trừu tượng G . Vậy H là nhóm con của nhóm tôpô G . Nếu * H là ước chuẩn của * G và *** /: HGGP → là toàn cấu chính tắc thì fPh . = là toàn cấu mở từ G lên ** / HG và HhKer = )( . Do đó ** // HGHG ≅ 7 Bây giờ ta xét việc chuyển H lên * H , với )( * HfH = và NH ⊃ Trước hết, ta chứng minh rằng tạo ảnh toàn phần của * H trong nhóm G dưới ánh xạ f trùng với H . Thật vậy nếu * )( Haf ∈ thì tồn tại Hb ∈ sao cho )()( bfaf = khi đó *1 )( eabf = − nên HNab ⊂∈ − 1 . Từ đó HHba =∈ , Suy ra ** \)\( HGHGf = và vì f là mở nên ** \ HG mở trong * G , nghĩa là * H đóng trong *G . Do đó * H là nhóm con(ước chuẩn) của nhóm tôpô * G .  1.2.7. Mệnh đề Giả sử G là nhóm tôpô compact, H là nhóm con và N là ước chuẩn của G sao cho HN đóng trong không gian G , khi đó HN là nhóm con của G và NH ∩ là ước chuẩn của H . Hơn nữa NH H N HN ∩ ≅ . Chứng minh. Vì N là ước chuẩn của G nên NHHN = . Do đó ( ) HNHHNN HN HN == −− − 11 1 , nên HN là nhóm con của nhóm trừu tượng G và do HN đóng nên HN là nhóm con của nhóm tôpô G . Giả sử N HN HNP → : là ánh xạ tự nhiên, vì )( pKerN = nên )()( HpHNp = . Giả sử * p là thu hẹp của p trên H . Thế thì N HN p = )Im( * và NHKerp ∩= * . Vì G compact nên N HN compact. Theo mệnh đề 1.2.5 Đồng cấu N HN HP → : * mở, do đó theo định lý 1.2.3. N HN KerP H ≅ * hay N HN NH H ≅ ∩ .  1.3. Tích trực tiếp của các nhóm tôpô Trong lý thuyết nhóm trừu tượng, khái niệm tích trực tiếp của các nhóm phân tích thành tích trực tiếp của các nhóm con. Nhưng trong lý thuyết nhóm tôpô thì hai khái niệm đó không trùng nhau có nghĩa là một nhóm tôpô phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con không đẳng cấu tôpô với tích trực tiếp của các nhóm con đó nhưng đặc biệt với nhóm compact định lý đó vẫn đúng. 1.3.1.Định nghĩa Giả sử m NNN , .,, 21 là một dãy hữu hạn các nhóm tôpô. 8 Ký hiệu: ' G là tích trực tiếp của các nhóm trừu tượng m NNN , .,, 21 , { } miNxxxxG iim , .,2,1;:), .,,( 21 ' =∈= . Tôpô đưa vào ' G là tôpô tích, Thế thì các phép toán nhóm có trong ' G liên tục trong không gian đó và ' G được gọi là tích trực tiếp của các nhóm tôpô m NNN , .,, 21 . Ký hiệu m NNNG ×××= . 21 ' Chứng minh. Chúng ta chứng tỏ rằng các phép toán nhóm có trong ' G là liên tục trong không gian tôpô ' G . Giả sử ' 21 ), .,,( Gxxx m ∈ ; ' 21 ), .,,( Gyyy m ∈ mà zxy = − 1 . Trong đó ), .,,( 21 m zzzz = với ), .,1(, 1 miyxz iii == − . Hơn nữa, giả sử )W, .,W,W(W 21 m = là một lân cận tuỳ ý của z trong ' G , ở đây i W là lân cận của i z trong i N .Theo tính liên tục của phép toán nhóm đã có trong các nhóm tôpô i N tồn tại trong i N các lân cận i U và i V của i x và i y sao cho iii VU W 1 ⊂ − . Khi đó ), .,,( 21 n UUUU = và ), .,,( 21 m VVVV = là các lân cận của x và y tương ứng, hơn nữa W 1 ⊂ − UV . Bởi vậy, tính chất liên tục của các phép toán nhóm trong ' G được chứng minh.  1.3.2. Mệnh đề Giả sử m NNN , .,, 21 là dãy nhóm tôpô với các đơn vị tương ứng m eee , .,, 21 với ' G là tích trực tiếp các nhóm tôpô đó. Mỗi phần tử ii Nx ∈ được đặt tương ứng với phần tử ), .,,,, .,,()( 1121 miiii eexeeexf +− = . Thế thì i f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm tôpô i N lên ước chuẩn ' i N nào đó của nhóm tôpô ' G . Khi đó ' G phân tích được thánh tích trực tiếp (theo nghĩa đại số trừu tượng) các nhóm con '' 2 ' 1 , .,, m NNN của nó. Hơn nữa, nếu '' 2 ' 1 , .,, m UUU là các lân cận của ' e trong nhóm tôpô '' 2 ' 1 , .,, m NNN tương ứng thì tích (hiểu nghĩa nhóm) '' 2 ' 1 , .,, m UUU chứa một lân cận ' U nào đó của ' e trong ' G . Chứng minh. Thật vậy, i f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng i N lên ước chuẩn của nhóm trừu tượng ( đã chứng minh trong lý thuyết nhóm). (Tính chất đóng ' i N đã được chứng minh trong lý thuyết không gian tôpô). Ta chứng minh i f là ánh xạ liên tục và mở từ i N lên ' i N . Trước hết ta hãy làm sáng tỏ cấu trúc của lân cận tuỳ ý ' U của e trong nhóm tôpô ' i N . Lân cận trong không gian ' i N được xác định như trong không gian con của không gian ' G . Bởi vậy, muốn xây dựng lân cận ' i U chúng ta cần xuất phát từ lân cận ), .,,( 21 ' m UUUU = của đơn vị ' e trong không gian ' G , với i U là lân cận đơn vị i e trong không gian ), .,2,1( miN i = . Lân cận 9 ' i U được xác định như là giao của ' i N với ' i U nên )( ' iii UfU = . Bởi vậy, đối với một lân cận tuỳ ý ' i U của ' i e trong nhóm ' i N tồn tại lân cận i U của đơn vị i e trong nhóm i N sao cho )( ' iii UfU = và ngược lại nếu i U là lân cận tuỳ ý của đơn vị trong nhóm ' i N , thì )( iii UfU = là lân cận của đơn vị trong ' i N , từ đó suy ra i f là mở và liên tục. Vì i f là đồng cấu từ nhóm trừu tượng i N lên nhóm trừu tượng ' i N , do đó i f là đẳng cấu từ nhóm tôpô i N lên nhóm tôpô ' i N . Hơn nữa, dễ thấy rằng ''' 2 ' 1 , .,, UUUU m = . Từ đó suy ra khẳng định cuối cùng của mệnh đề 1.3.2 được chứng minh.  1.3.3. Định nghĩa Giả sử G là một nhóm tôpô và m NNN , .,, 21 là các ước chuẩn của nó. Người ta nói rằng nhóm tôpô G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con m NNN , .,, 21 của nó, nếu nhóm trừu tượng G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm m NNN , .,, 21 và thoả mãn điều kiện sau đây: Với mọi họ lân cận m UUU , .,, 21 của đơn vị e trong các nhóm m NNN , .,, 21 , tích (hiểu theo nghĩa nhóm) m UUU , .,, 21 chứa một lân cận nào đó của đơn vị e của G . 1.3.4. Mệnh đề Giả sử nhóm tôpô G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc m NNN , .,, 21 và ' G là tích trực tiếp của các nhóm tôpô m NNN , .,, 21 . Mỗi phần tử ' 21 ), .,,( Gxxxx m ∈= được đặt tương ứng với một phần tử Gxxxxf m ∈= .)( 21 . Thế thì f là đẳng cấu từ nhóm tôpô ' G lên nhóm tôpô G và i ff là ánh xạ đồng nhất từ nhóm i N lên chính nó. Chứng minh. Theo lý thuyết nhóm, ta có f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượng G và i ff là ánh xạ đồng nhất i N . Cần phải chứng minh f là ánh xạ liên tục và mở tại đơn vị. Trước hết ta chứng minh f liên tục. Giả sử U là lân cận tuỳ ý của đơn vị trong G và V là lân cận của đơn vị trong G . Cho UV m ⊂ , đặt VNV ii ∩= . Khi đó ), .,,( 21 ' m VVVV = là lân cận của đơn vị trong ' G . Rõ ràng UVVVVVf m m ⊂⊂= )( 2.1 ' , vậy f liên tục. Bây giờ giả sử ), .,,( 21 ' m UUUU = là lân cận tuỳ ý của nhóm ' G với i U là lân cận của đơn vị trong nhóm i N . Khi đó, theo định nghĩa 1.3.3 tích m UUU . 21 chứa một lân cận U nào đó của đơn vị trong nhóm G , nghĩa là UUUUUf m ⊃= .)( 21 ' . Bởi vậy f là ánh xạ mở ⇒ mệnh đề 1.3.4 được chứng minh.  10 . compact cực đại của nhóm compact địa phương. 3) Sự tồn tại nhóm con compact cực đại trong nhóm tôpô. 4) Nhóm con compact cực đại của một số lớp nhóm tôpô. Luận. nhóm tôpô. Chương II là chương trọng tâm của luận văn và nội dung chương II gồm: 1 1) Nhóm con compact cực đại của nhóm Lie. 2) Nhóm con compact cực đại