2.3. Sự tồn tại nhúm con compact cực đại trong nhúm tụpụ. 2.4. Nhúm con compact cực đại của một số lớp nhúm tụpụ.
2.1. Nhúm con compact cực đại trong nhúm Lie.
Trong phần này chỳng tụi nghiờn cứu nhúm con compact cực đại của nhúm Lie với hữu hạn thành phần liờn thụng.
2.1.1. Mệnh đề
Nếu trong nhúm tụpụ G cú ước chuẩn đơn liờn Lie giải được H để sao cho nhúm thương G/H là nhúm compact thỡ khi đú ta cú G = B.H, B là nhúm con compact và tất cả cỏc B thành phần bự của H đều liờn hợp với nhau.
Chứng minh. Xem [7]
2.1.2.Mệnh đề
Giả sử G là nhúm Lie liờn thụng, khi đú nhúm con compact được chứa trong nhúm con compact cực đại và cỏc nhúm con compact cực đại của G liờn hợp với nhau.
Chứng minh. Xem [8]
Giả sử G là nhúm Lie với nhúm thương G/G0 là nhúm hữu hạn với G0 là thành phần liờn thụng của đơn vị. Khi đú bất kỳ nhúm con compact của nhúm G đều được chứa trong nhúm con compact cực đại và tất cả cỏc nhúm con compact cực đại liờn hợp với nhau trong G.
Nếu B là một trong chỳng thỡ G = B.H1…Hn. Trong đú Hi , i = 1, …, n là nhúm vộc tơ một chiều (đẳng cấu với nhúm phộp cộng cỏc số thực) đồng thời tồn tại ỏnh xạ f :BìH1...Hn →B.H1...Hn là ỏnh xạ đồng phụi. Chứng minh. */ Trường hợp 0 G G hữu hạn.
Trước tiờn ta giả thiết G0 là nhúm nửa đơn (nhúm khụng cú ước chuẩn giải được). Khi đú bất kỡ một nhúm con đặc trưng S của nú đều trựng với chuẩn tập của nú, và định lý đỳng đối với thành phần liờn thụngG0 theo mệnh đề 2.1.2. Ta suy ra G =NG(S).G0đồng thời chỉ số [NG(S):S] [= G:G0]
Nhờ sự liờn hợp của cỏc nhúm con đặc trưng trong G0 từ đú suy ra nhúm S =B0ìA với B0 là nhúm con compact cực đại của nhúm G0 và A là nhúm vộc tơ. Khi đú nhúm con
0 * ( ) B S N N = G là mở rộng hữu hạn bởi nhúm vộctơ. Theo mệnh đề 2.1.1 thỡ N* =D*ìA* trong đú D* là nhúm hữu hạn và
*
A là nhúm vộc tơ.
Rừ ràng B=ϕ−1( )D* với ϕ là đồng phụi chớnh tắc ϕ:NG( )S →N* là nhúm con compact cực đại của nhúm G. Theo cỏch xõy dựng của ta thỡ
0 .G B G = , Hơn nữa G0 =B0.H1...Hn tức là G =B.H1...Hn và n n BH H xH x BxH
f : 1 ... → . 1... là ỏnh xạ đồng phụi bởi vỡ định lý đỳng với G0, cũn sự liờn hợp của cỏc nhúm con compact cực đại suy ra từ định lý Kartnan về sự tồn tại của điểm bất động bởi vỡ khụng gian GB và
0 0
B
G là đồng phụi. */Trường hợp tổng quỏt ta chứng minh quy nạp theo dimG0.
Nếu R0 là căn liờn thụng của G0 thỡ ta cú thể giả thiết R cỏc đơn vị e khi đú G của nhúm con Abel liờn thụng bất biến A=TìV là nhúm con compact bất kỳ của nhúm G . Khi đú ta lại ỏp dụng định lý trờn với T là nhúm compact, V là nhúm vộctơ. Nếu T ≠e thỡ mệnh đề đỳng theo quy nạp
* * 1 * * GT B .H ...HT G = = .
Nếu ϕ:G→G* là ỏnh xạ chớnh tắc thỡ ϕ−1( )B* là nhúm con compact cực đại của G cũn ϕ−1( )Hi* =Hi.T theo 2.1.1.Khi đú định lý đó được chứng minh.
Nếu T ={ }e thỡ ta ký hiệu ϕ−1( )B* =B.V với tất cả cỏc Bliờn hợp với nhau trong 1( )*
B
−
ϕ . Theo mệnh đề 2.1.1 rừ ràng ϕ−1( )A* =Hi.V .
2.2. Nhúm con compact cực đại của nhúm compact địa phương
2.2.1. Định lý
Giả sử G là nhúm tụpụ với nhúm thương
0
G
G là nhúm compact, khi đú
bất kỳ nhúm con compact của G đều được chứa trong nhúm con compact cực đại và tất cả cỏc nhúm con compact cực đại đều liờn hợp với nhau trong G. Nếu L là một trong chỳng thỡ G =L.H1...Hm với Hi,i =1,m là nhúm vộc tơ một chiều và ỏnh xạ f :LìH1...Hm →L.H1...Hm là ỏnh xạ đồng phụi.
2.2.2. Bổ đề .(Định lý Yamabe)
Giả sử G là nhúm compact địa phương với
0
G
G là nhúm compact và U là một lõn cận bất kỳ của đơn vị e∈G. Khi đú tồn tại một ước chuẩn compact B thuộc U để BG là nhúm Lie.
Chứng minh. Xem [9]
Chứng minh định lý 2.2.1. Theo bổ đề 2.2.2 ta cú ước chuẩn B
compact để cho nhúm G* = GB
là nhúm Lie. Rừ ràng G*là nhúm hữu hạn thành phần liờn thụng. Khi đú theo định lý 2.1.2( đối với nhúm Lie) ta cú
* * 1 *
* L.B .H ...Hm
G = và cỏc nhúm L* liờn hợp với nhau trong G*. Nếu
* :G→G
ϕ là ỏnh xạ chớnh tắc khi đú ϕ−1( )Hi* =Hi.B với Hi là nhúm vộctơ một chiều. Nhờ tớnh chất cực đại của L* trong G* thỡ 1( )*
L
L =ϕ− là nhúm con compact cực đại trong G và G =L.H1...Hm. Nếu F là một nhúm con compact nào đú của G và g∈G khi đú ta cú ϕ(g.F.g−1)∈L*, vậy F∈L . Ảnh đồng phụi của ỏnh xạ f suy ra từ ỏnh xạ đồng phụi
* * 1 * * * 1 * * :L H ...Hm L .H ...Hm f ì → với fi :HiìB→Hi.B.