Trong mục này ta nghiờn cứu lớp nhúm cú “nhúm con compact cực đại và mỗi nhúm con compact đều chứa trong một nhúm con compact cực đại và cỏc nhúm con compact cực đại liờn hợp với nhau”.Ta gọi đú là tớnh chất (1)
2.3.1. Định lý
Giả sử G là nhúm tụpụ mà nhúm con compact được chứa trong nhúm con compact cực đại và mọi nhúm con cực đại đều liờn hợp với nhau. Khi đú nhúm
thương
0
G
G là nhúm cú nhúm con compact chứa trong nhúm con compact cực
đại và tất cả nhúm con compact cực đaị liờn hợp với nhau và ngược lại.
Chứng minh. Nếu G là nhúm cú tớnh chất (1) thỡ đối với bất kỳ nhúm con compact cực đại B và ỏnh xạ : ,( )
0 * * G G G G G→ = ϕ thỡ khi đú ϕ( )B là nhúm con compact cực đại trong G*. Theo giả thiết ϕ( )B được chứa trong nhúm con compact cực đại B*∈G* theo định lý 2.2.1 thỡ ϕ−1( )B* là nhúm compact cực đại và ( ) 0
*
1 B =B.G
−
ϕ . Vậy ϕ( )B =B*.
Nếu K* là nhúm con compact bất kỳ của G* thỡ ỏp dụng định lý 2.2.1 ta thu được g.ϕ−1( )K* .g−1∈ϕ−1( )B* với g∈G cú nghĩa là ϕg( )K* .(ϕg)−1∈B*.
Giả sử ngược lại G* là nhúm thoả món điều kiện (1) đối với nhúm con bất kỳ compact R∈G thỡ nhúm R.G0 là nhúm compact sinh ra và ta cú
0 0 0 . G R R G G R ∩
≅ là nhúm compact. Theo điều kiện tồn tại nhúm con H∈G
để
0
G
H là nhúm con compact cực đại của G*. Theo định lý 2.2.1 ta cú
0
.G B
H = với B là nhúm con compact cực đại của H và với g thớch hợp ta cú g.R.g−1∈H tức là ta cú h∈H để h.g−1.h−1∈B.