Nhúm con compact cực đại của một số lớp nhúm tụpụ

Trong mục này chỳng tụi chứng minh một số nhúm con compact cực đại của một số lớp nhúm tụpụ đặc biệt.

2.4.1. Định nghĩa

Phần tử g∈G được gọi là phần tử compact nếu nhúm 〈G〉 là nhúm compact, nhúm mà mọi phần tử g là phần tử compact thỡ được gọi là nhúm xoắn tụpụ. Hiển nhiờn nhúm xoắn trừu tượng đều là nhúm xoắn tụpụ.

Nhúm tụpụ khụng cú phần tử compact thỡ được gọi là nhúm phi xoắn tụpụ.

Nhúm tụpụ mà bao đúng của nhúm con hữu hạn sinh đều là nhúm compact được gọi là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ.

2.4.2. Định lý

Giả sử G là nhúm tụpụ luỹ linh xạ ảnh với nhúm thương

0

G

G là nhúm

compact và nhúm con G0 cú nhúm con xoắn tụpụ trự mật H. Khi đú G là nhúm compact.

Chứng minh. Vỡ nhúm

0

G

G compact, để chứng minh G là nhúm

compact ta chỉ cần chứng minh G0 là nhúm compact. Theo bổ đề 2.2.2. trong

0

G cú ước chuẩn compact K sao cho G0 K là nhúm Lie. Ta đặt G* G0 K 0 =

khi đú ta cú * 0

G là nhúm Lie compact địa phương liờn thụng luỹ linh nờn tồn tại lõn cận đối xứng compact V* của đơn vị *

0 * G e ∈ sao cho ( )i i V V G * 1 * * 0 ∞ = ∪ = 〉 〈 = . Ta cú tập {gi*.V*},i∈I là phủ mở của ( )* 2 V . Do ( )* 2 V là tập compact nờn tồn tại một phủ mở hữu hạn * * * * 2 * * 1.V ,g .V ,...,g .V g k phủ (V*)2. Vỡ H =G0 nờn ta cú thể lấy cỏc phần tử gi*∈H* =ϕi( )H ,i=1,k trong đú * 0 0 :G →G ϕ là đồng cấu tự nhiờn. Thật vậy giả sử *

0 * G g ∈ thỡ g*.V*sẽ là lõn cận của phần tử * 0 * G g ∈ từ đú và do *. 0 * G H = nờn g*.V*∩H* ≠φ cú nghĩa là tồn tại cỏc phần tử * * * * V ,h H

v ∈ ∈ sao cho g*.v* =h*. Từ đú suy ra g* =h*( )v* −1∈h*.V* ta đặt

〉 〈 = * * 2 * 1 * g .g ...gk A khi đú ( )V* 2∈A*.V*

Bằng quy nạp ta chứng minh được ( )V* n∈A*.V* từ đú suy ra * * * 0 A .V G =

bõy giờ để chứng minh * 0

G là nhúm compact ta chỉ cần chứng minh A* là nhúm compact. Thật vậy vỡ *

0

G là nhúm luỹ linh và H* là nhúm xoắn tụpụ nờn suy ra A*là nhúm luỹ linh xoắn tụpụ. Từ đú ta cú dóy tõm của A* là

* * * 2 * 1 * Z Z ... Z e A ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ r = vỡ nhúm * 1 − r Z là nhúm xoắn tụpụ Abel nờn * 1 − r Z là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ. Nhúm thương *

2 − (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

r

Z cũng là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ (theo [4]- mở rộng của một nhúm hữu hạn địa phương tụpụ

bởi một nhúm hữu hạn địa phương tụpụ) nờn nhúm * 1 * 2 − − r r Z Z là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ. Từ đú tiếp tục quỏ trỡnh trờn ta cú A* là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ, do đú * * * 0 A .V G = là nhúm compact vỡ K là nhúm compact nờn G* G0 K 0 = là nhúm compact nờn G0 là nhúm compact.  2.4.3. Định lý

Giả sử G là nhúm lũy linh xạ ảnh, B là tập hợp cỏc phần tử compact của

G. Khi đú trong G cú duy nhất một nhúm con compact cực đại đú chớnh là

B.

Chứng minh. Giả sử h1....hs là một số hữu hạn cỏc phần tử nào đú thuộc B, ta ký hiệu H =〈h1....hs〉. Theo định lý [5] thỡ H là nhúm lũy linh tụpụ xạ ảnh. Từ bổ đề 2.2.2.ta suy ra H∈B và Hlà nhúm compact nờn B là nhúm trừu tượng và là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ. Bõy giờ ta chứng minh B=B. Vậy muốn chứng minh mọi phần tử B đều là phần tử compact. Thật vậy, vỡ bao đúng của một nhúm hữu hạn địa phương tụpụ cũng là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ nờn B là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ thỡ B

cũng là nhúm hữu hạn địa phương tụpụ. Vậy ta cú B =B, vỡ ta cú

0

B B là

Kết luận

Luận văn đó thu được một số kết quả sau:

1/ Định lý đồng cấu của nhúm trừu tượng trờn vẫn đỳng với nhúm compact

2/ Trong nhúm compact khỏi niệm tớch trực tiếp và phõn tớch thành tớch trực tiếp của nhúm tụpụ trựng nhau

3/ Tớnh chất liờn hợp của nhúm con compact cực đại của nhúm tụpụ 4/ Sự tồn tại nhúm con compact cực đại

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Quốc Thi(2002): “ Một số lớp nhúm cơ bản”, giỏo trỡnh sau đại học- Đại học Vinh.

[2]. Lờ Quốc Hỏn(2004): “Lý Thuyết nhúm Tụpụ”, giỏo trỡnh sau đại học.

Tiếng Nga:

[3]. В-п-п-лотолов локальные проективные подгрутв в топочёгических группах Из ва к наук СССР серия матем до (1966) 1257-1274.

Tiếng Anh:

[4]. V.P.Platonov(1964).Theory of topological groups

.Dok.A.N.SSSR.162.4 .

[5]. L.S. Pontjagin(1966). Continuous groups. Fizmath . M. [6]. D.A. Suprunenko(1972). Matrix groups. Nauk M.

[7]. MosTom(1955). Self adjust groups . Ann of math 62 No 1 (1955) 44-55. [8]. K. Iwasawa(1949). On some types of Topological groups. Ann of Math 50 No 3 (1949) 407-558.

[9]. H. Yamabe(1954). On conjecture of Iwasawa and Gleason. Ann of Math 58 No 1 (1953) 48-54.

MỤC LỤC

Lời núi đầu ...1

Chương I: NHểM COMPACT VÀ NHểM COMPACT SINH RA ...3

1.1. Định nghĩa và tớnh chất ...3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

1.2. Ánh xạ đồng cấu và đẳng cấu của nhúm compact và nhúm compact sinh ra ...4

1.3. Tớch trực tiếp của cỏc nhúm tụpụ ...8

1.4. Điều kiện để một số nhúm là nhúm compact ...13

1.5. Một số lớp nhúm compact và lớp nhúm compact sinh ra... 17

Chương II: NHểM CON COMPACT CỰC ĐẠI CỦA NHểM COMPACT ĐỊA PHƯƠNG... 27

2.1. Nhúm con compact cực đại của nhúm Lie ...27

2.2. Nhúm con compact cực đại của nhúm compact địa phương ...28

2.3. Sự tồn tại nhúm con compact cực đại trong nhúm tụpụ ...29

2.4. Nhúm con compact cực đại của một số lớp nhúm tụpụ ...30

Kết luận... 33