Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm trừu tợng, lớp nhóm hữu hạn hay lớp nhóm sinh bởi một tập hữu hạn có một vị trí quan trọng, nó đợc sử dụng nh một công cụ hiệu lực để nghiên cứu các lớp nhóm khác. Một lớp nhóm tôpô mà khi lấy tôpô rời rạc thì trùng với lớp nhóm trừu tợng hữu hạn sinh, đó là lớp nhóm sinh bởi một tập compact. Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact giữ một vị trí quan trọng trong nhóm tôpô. Đặc biệt, nó còn giữ lại đ- ợc nhiều tính chất trong lý thuyết nhóm trừu tợng nh ánh xạ đồng cấu, tích trực tiếp của các nhóm tôpô . Khoá luận nghiên cứu một số tính chất của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact có liên quan với các tính chất của nhóm trừu tợng. Khoá luận gồm hai chơng : Chơng I. Khái niệm tổng quát về nhóm tôpô. Đây là chơng tóm tắt một số đặc tính của nhóm tôpô cần thiết cho việc nghiên cứu của chơng II. Nội dung cụ thể trong chơng này gồm: Đ 1. Nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng của nhóm tôpô. Đ 2. Nhóm compact và nhóm compact địa phơng. Đ 3. Đồng cấu, đẳng cấu của nhóm tôpô. Đ 4. Tích trực tiếp của các nhóm tôpô . Chơng II. Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact. Nội dung gồm có: 1 Đ 1. Một số tính chất của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact. Đ 2. ánh xạ đồng cấu của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact. Đ 3. Tích trực tiếp của các nhóm tôpô sinh bởi một tập compact. Đ 4. Tính compact của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact. 3 Để thuận tiện trong việc nghiên cứu ta giả thiết rằng, nhóm tôpô đợc xét trong khoá luận này là nhóm compact địa phơng. Em xin bày tỏ lời cảm ơn trân trọng tới GS.TS . Nguyễn Quốc Thi, ngời đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình làm khoá luận . Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và trong khoa Toán nói chung đã góp ý cho em những ý kiến quý báu, để khoá luận này đợc hoàn thành. Cuối cùng, khoá luận này lần đầu đợc viết ra chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy, rất mong các thầy cô góp ý và chỉ bảo để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. 4 Chơng I . Khái niệm tổng quát về nhóm tôpô Đ 1. Nhóm con - Ước chuẩn - Nhóm thơng của nhóm tôpô 1.1. Định nghĩa nhóm tôpô. Nhóm tôpô là một tập hợp G, trên đó đã đợc trang bị một cấu trúc nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện: i) ánh xạ (x,y) x.y từ G ì G vào G liên tục. ii) ánh xạ x x -1 từ nhóm G vào chính nó liên tục. Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm tôpô tơng thích với nhau. Hai điều kiện trên tơng đơng với điều kiện ánh xạ (x,y) x -1 y từ G ì G vào G liên tục. 1.2. Ví dụ. Tập hợp các số thực với tôpô tự nhiên và phép cộng thông thờng là một nhóm tôpô. Chứng minh . Ta cần phải chứng minh ánh xạ f : R ì R R liên tục . (x,y) x - y Giả sử a, b R và c = a - b. Khi đó w = (- + c, + c) , ( với > 0) là lân cận bất kỳ của điểm c thì tồn tại các lân cận của a và b tơng ứng U = ( , 2 a + a + 2 ) và V = ( bb ++ 2 , 2 ), thoả mãn điều kiện f(U,V) W hay U- V W. Thật vậy, x U thì axa +<<+ 22 (1) y V thì byb +<<+ 22 byb << 22 (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc - +(a - b) < x- y < + (a - b) - + c < x- y < + c x- y W. Vì x, y bất kỳ tơng ứng thuộc U và V U - V W. Vậy f liên tục . 5 1.3. Nhóm con của nhóm tôpô. Giả sử G là nhóm tôpô. Tập con H của G đợc gọi là nhóm con tôpô của nhóm tôpô G nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn: i) H là nhóm con trừu tợng của G. ii) H là nhóm tập đóng của không gian tôpô G. 1.4. Ước chuẩn của nhóm tôpô. Nhóm con tôpô N của nhóm tôpô G đợc gọi là ớc chuẩn tôpô của nhóm tôpô G nếu N là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G. 1.5. Tính chất của nhóm con và ớc chuẩn . 1.5.1. Định lí . Giả sử H là nhóm con trừu tợng của nhóm tôpô G. Khi đó H là nhóm tôpô với tôpô cảm sinh trên H bởi tôpô đã cho trong G. Nói riêng nhóm con tôpô của nhóm tôpô là nhóm tôpô. Chứng minh. Giả sử a, b H và ab -1 = c . Với mọi lân cận W' của c trong không gian H (có thể lấy W' = H W, trong đó W' là lân cận của c trong G). Khi đó tồn tại các lân cận U của a, V của b trong G sao cho UV -1 W.Thế thì U' = U H và V' = V H là các lân cận của a và b trong H thoả mãn điều kiện U'V' -1 W H = W'. Do đó H là nhóm tôpô với tôpô cảm sinh. 1.5.2.Định lí. Giả sử G là nhóm tôpô và H là nhóm con trừu tợng của G. Khi đó H là nhóm con tôpô của G. Chứng minh. Giả sử a H , b H . Khi đó ab -1 H . Thật vậy, giả sử W là lân cận tuỳ ý của ab -1 . Khi đó tồn tại các lân cận U và V tơng ứng của a và b sao cho UV -1 W. Vì a H và b H nên tồn tại các phần tử x H , y H sao cho x U, y V. Vì H là nhóm con trừu tợng của G nên x.y -1 H. Mặt khác, x.y -1 UV -1 W do đó x.y -1 W H. Từ đó suy ra ab -1 H . Hơn nữa, H đóng trong G nên H là nhóm con tôpô của G. 1.5.3. Định lí. Giả sử H là nhóm con trừu tợng của nhóm tôpô G và H mở. Khi đó H đóng. Chứng minh. Giả sử a H . Khi đó aH là lân cận của a nên aH H . 6 Do đó tồn tại b aH H. Vì b aH nên tồn tại h H sao cho b = ah. Khi đó a = b h -1 HH -1 H (vì H là nhóm con trừu tợng của G). Do đó H = H nên H đóng trong G. 1.5.4. Định lí . Giả sử G là nhóm tôpô và N là ớc chuẩn trừu tợng của G. Khi đó N là ớc chuẩn tôpô của G. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi phần tử a N và mọi phần tử g G, ta đều có g -1 ag N . Thật vậy, vì a N nên tồn tại một lân cận U của a sao cho g -1 Ug V trong đó V là lân cận của g -1 ag. Vì a N nên tồn tại x N sao cho x U. Thế thì g -1 xg N (vì N là ớc chuẩn trừu tợng của G ). Mặt khác, g -1 xg g -1 Ug V nên g -1 xg N V. Vậy mỗi lân cận V tuỳ ý của g -1 ag đều có giao khác rỗng với N, do đó g -1 ag N . Theo định lí 1.5.2, N là nhóm con tôpô của G, và do đó N là ớc chuẩn tôpô của G. 1.6. Nhóm thơng của nhóm tôpô . Giả sử N là ớc chuẩn của nhóm tôpô G. Ta đa vào nhóm thơng G/N của nhóm trừu tợng G một tôpô xác định nh sau: Giả sử là một cơ sở của G. Với mỗi U B, xét tập con U* = {N g | g U} của G/ N. Khi đó B* = {U* | U B } là cơ sở của không gian G/ N. Trớc hết ta hãy chứng tỏ rằng, với cách tôpô hoá G/ N nh trên, ánh xạ tự nhiên p : G G/ N là liên tục và mở. Thật vậy, giả sử U* là một lân cận nào đó của Ng và U là lân cận nào đó của g. Khi đó tập con NU mở trong G và NU chứa g. Thế thì p(V) U* nên p liên tục. Mặt khác, nếu g G và A = Ng = p(g), U là một lân cận tuỳ ý của g. Khi đó U* = {Nx | x U} là lân cận của A trong G/ N thoả mãn điều kiện p(V) = U* nên p mở. 7 Bây giờ ta chứng minh các phép toán trong nhóm thơng trừu tợng G/ N là liên tục với tôpô vừa đợc thiết lập. Thật vậy, giả sử A,B G/ N và C = AB -1 , W* là một lân cận của C .Khi đó W* = {Nx | x W} trong đó W là lân cận nào đó trong G. Bởi vì C W* nên tồn tại g W sao cho C = Ng. Giả sử b W và a = gb. Khi đó a A. Do tính chất liên tục của các phép toán trong G, nên tồn tại lân cận U và V của a và b sao cho UV -1 W . Khi đó U* = {Nx | x U } là lân cận của A và V* = { Nx | x V } là lân cận của B sao cho U*. V* -1 W*. Thật vậy, ta có Nx(Ny) -1 = Nxy -1 N -1 = N N -1 xy -1 = Nxy -1 W. Do đó G/N là nhóm tôpô với tôpô hoá nh trên. Nhóm tôpô G/ N đó đợc gọi là nhóm thơng tôpô của nhóm tôpô G theo ớc chuẩn N và ký hiệu là G*. Đ 2. Nhóm compact và nhóm compact địa phơng 2.1. Không gian compact và không gian compact địa phơng. 2.1.1. Định nghĩa. . Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý và F = {M X | I} khi đó F đợc gọi là cái phủ của X nếu I M = X. . Giả sử X là một không gian tôpô, F = {M X | I } là một cái phủ của X. Khi đó F đợc gọi là cái phủ mở của X nếu I, M mở trong X. . Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu từ một phủ mở bất kỳ của X có thể trích ra đợc một phủ con hữu hạn, nghĩa là F = { M X | I } là phủ mở của X I 1 I , I 1 < sao cho F 1 = { M X | I 1 }. . Tập con A của không gian tôpô X đợc gọi là tập compact nếu A cùng với tôpô cảm sinh là một không gian compact. 8 . Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact địa phơng nếu x X, tồn tại lân cận U của x sao cho U compact. 2.1.2. Tính chất. 1) Tích của hai không gian compact là không gian compact . 2 2) ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact . 3) Giả sử X là không gian compact Hausdoff khi đó A X đóng khi và chỉ khi A compact. 2.2 . Nhóm compact và nhóm compact địa phơng. 2.2.1. Định nghĩa. - Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm compact nếu không gian G là không gian compact. - Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm compact địa phơng nếu không gian G là không gian compact địa phơng . - Nhóm compact địa phơng đợc gọi là hữu hạn địa phơng tôpô nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ H của G là compact. - Nhóm tôpô G đợc gọi là compact sinh ra, nếu tồn tại tập compact V sao cho G = }{V . 2.2.2. Định lí. Giả sử G là nhóm tôpô và N là ớc chuẩn của G. Khi đó : i) Nếu G compact thì G/N compact . ii) Nếu G compact địa phơng thì G/N compact địa phơng . Chứng minh . i) ánh xạ tự nhiên p : G G/ N là ánh xạ liên tục và toàn cấu . x Nx Vì G compact suy ra p(G) = G/ N cũng là compact. ii) Giả sử G là compact địa phơng và a G, A = p(a) ; U là lân cận bất kỳ của a sao cho U compact. Khi đó p( U ) compact. Mặt khác, G* = G/N là không gian Hausdoff nên đóng trong không gian G/N. Vì U U nên p(U) p( U ),và do đó ( ) Up p( U ).Bởi vậy )(Up cũng compact. 9 Hơn nữa , lân cận U* của phần tử A trong G* gồm tất cả các lớp ghép có giao với U trùng với p(U), U* = p(U). Do đó *U compact và tính compact của G* = G/N đợc chứng minh. 2.2.3.Định lí. Giả sử G là một nhóm tôpô, P và Q là hai tập compact. Khi đó P.Q cũng là tập compact. Chứng minh. Xét ánh xạ : P ì Q P .Q (p,q) p.q Ta có là ánh xạ liên tục và P ì Q là không gian compact nên suy ra (P ì Q) = P .Q compact. Đ 3. Đồng cấu - Đẳng cấu của nhóm tôpô 3.1. Các định nghĩa . 3.3.1. Định nghĩa. ánh xạ f của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G * đợc gọi là đẳng cấu nếu thoả mãn hai điều kiện sau : i) f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G lên nhóm trừu tợng G* . ii) f là ánh xạ đồng phôi từ không gian tôpô G lên không gian tôpô G* . Nếu G = G* thì ánh xạ đẳng cấu f đợc gọi là tự đẳng cấu của nhóm G. Hai nhóm tôpô G và G* đợc gọi là đẳng cấu với nhau, nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ G lên G*. 3.1.2. Định nghĩa . ánh xạ f từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G * đợc gọi là đồng cấu nếu thoả mãn hai điều kiện : i) f là đồng cấu từ nhóm trừu tợng G vào nhóm trừu tợng G*. ii) f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô G vào không gian G*. 3.1.3. Định nghĩa . ánh xạ đồng cấu g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G* đ- ợcgọi là đồng cấu mở nếu g là ánh xạ mở từ không gian tôpô G vào không gian tôpô G*. 10 3.2. Một số tính chất của ánh xạ đồng cấu. 3.2.1. Định lí . Giả sử G và G* là hai nhóm tôpô và g là ánh xạ đồng cấu từ nhóm trừu tợng G lên nhóm trừu tợng G*. Để g liên tục hay mở ta chỉ cần g liên tục hay mở tại đơn vị e của G. Chứng minh . ánh xạ g: G G* Gọi e và e' là các đơn vị của G và G* tơng ứng . Giả sử g liên tục tại lân cận U của điểm e ta chứng minh g liên tục trên G. Thật vậy, vì g liên tục tại lân cận U của điểm e nên g liên tục tại e. x G, W' là lân cận của g(x) = x' G' suy ra W'x' -1 e' là lân cận của e' = g(e). Mà g liên tục tại e nên tồn tại lân cận U của e sao cho g(U) W'x' -1 g(U).x' W' g(U).g(x) W' g(Ux) W'( vì U là lân cận của e nên Ux lân cận của ex). Do đó g liên tục tại x. Vì x tuỳ ý thuộc G nên g liên tục trên G. Lý luận tơng tự , ta có g mở. 3.2.2. Định lí . Giả sử G là nhóm tôpô, N là ớc chuẩn của G. Khi đó ánh xạ p : G G/ N x Nx là ánh xạ liên tục và mở và đợc gọi là ánh xạ tự nhiên từ G lên nhóm thơng của nó . Chứng minh. x,y G ta có p(x,y) = Nx.y = Nx . Ny = p(x).p(y) p là đồng cấu của nhóm trừu tợng. Theo định lí 3.2.1, ta chỉ cần chứng minh p liên tục và mở tại điểm đơn vị e của G. . Chứng minh p mở tại e. Giả sử U là lân cận tuỳ ý của e . Ký hiệu U* = {Nx | xU} thì U* là lân cận của e* = p(e) = N e = N. Theo cách xác định của p ta có : p(U) = U* P(U) U* p mở tại e. . Chứng minh p liên tục tại e. 11 Giả sử U* là lân cận tuỳ ý của e* = p(e) = Ne = N. Khi đó tồn tại U B sao cho U* = {Nx | x U }. Vì U* e* NU là tập mở chứa e tồn tại V B sao cho e V NU. Đặt V*= {Nx | x V } thì V* là lân cận của e* và p(V) = V* U* p liên tục tại e. Đ 4. Tích trực tiếp của các nhóm tôpô 4.1. Các định nghĩa. 4.1.1. Định nghĩa. Giả sử N 1 , N 2 , .,N m là một dãy hữu hạn các nhóm tôpô. Ta ký hiệu G' = {(x 1 , x 2 , .,x m ) | x i N i , i = 1,2,3, .m }. Khi đó G' là một nhóm trừu t- ợng và là một không gian tô pô. Thế thì các phép toán có trong G' liên tục trong không gian đó và G' đợc gọi là tích trực tiếp của các nhóm tôpô N 1 , N 2 , .,N m và ta viết G' = N 1 ì N 2 ì . ì N m . 4.1.2. Định nghĩa . Giả sử G là một nhóm tôpô và N 1 , N 2 , .,N m là các ớc chuẩn của G. Ngời ta nói rằng nhóm tôpô G phân tích đợc thành tích trực tiếp của các nhóm N 1 , N 2 , .,N m của nó, nếu nhóm trừu tợng G phân tích đợc thành tích trực tiếp của các nhóm N 1 , N 2 , .,N m và thoả mãn điều kiện sau đây : Với mọi họ lân cận U 1 , U 2 , .,U m của đơn vị e trong các nhóm N 1 , N 2 , .,N m , tích (hiểu theo nghĩa nhóm) U 1 . U 2 .U m chứa một lân cận nào đó của đơn vị e của G. 4.2. Các tính chất. 4.2.1. Mệnh đề. Giả sử nhóm tôpô G phân tích đợc thành tích trực tiếp của các nhóm N 1 , N 2 , .,N m và G là tích trực tiếp của các nhóm tôpô N 1 , N 2 , .,N m . Mỗi phần tử x= ( x 1 ,x 2 , .,x m ) G' đợc đặt tơng ứng với một phần tử f(x) = x 1 x 2 .x m G . Thế thì f là đẳng cấu từ nhóm tôpô G' lên nhóm tôpô G. 12