Các tập tiền mở và tôpô sinh bởi các tập tiền mở

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương Các tập tiền mở 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Các tập tiền mở số tính chất chúng Chương Tôpô sinh tập tiền mở 15 2.1 Không gian tôpô (X, τγ ) 15 2.2 Mối quan hệ không gian tôpô (X, τα ) không gian tôpô (X, τγ ) 20 2.3 Không gian không liên thông cực trị 27 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 LỜI NÓI ĐẦU Tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu tập mở với ứng dụng chúng, nhằm xây dựng lớp hàm mở rộng khái niệm tôpô quan trọng compact, paracompact, liên thông, năm gần nhà toán học đưa khái niệm tập nửa mở, nửa đóng, tiền mở, tiền đóng, nửa tiền mở, nửa tiền đóng Các tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở α- tập giới thiệu Levine, Mashhour, Andrijevic Njastad Họ tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở không trở thành tôpô X Njastad họ α- tập tôpô X đưa điều kiện để họ tập nửa mở trở thành tôpô X Katetov đưa vấn đề tương tự họ tập tiền mở Reilly Vamanamurthy giải vấn đề Trên cở sở báo On the topology generated by preopen sets, A note on preopen sets A note on the topology generated by preopen sets D.Andrijevic, tiếp cận theo hướng nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu sâu tính chất tôpô tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở Bên cạnh đó, luận văn tìm hiểu mối liên hệ không gian tôpô (X, τα ), (X, τγ ) không gian không liên thông cực trị Từ đưa điều kiện cần đủ để giao hai tập tiền mở tập tiền mở Với mục đích trên, luận văn trình bày thành hai chương Chương Các tập tiền mở Trong chương này, trước tiên giới thiệu số kiến thức tính chất tôpô đại cương để làm sở cho phần sau Sau giới thiệu tập tiền mở, tiền đóng liệt kê số tính chất chúng Chương Tôpô sinh tập tiền mở Trong chương này, nghiên cứu tôpô τγ với họ tập tiền mở, tính chất không gian tôpô(X, τγ ) Tiếp theo giới thiệu không gian (X, τα ), đưa vào số kết mối quan hệ hai không gian (X, τα ) không gian tôpô (X, τγ ), đồng thời đưa số tính chất mối liên hệ không gian không liên thông cực trị với không gian (X, τγ ) không gian (X, τα ) Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, thầy giáo, cô giáo khoa, đặc biệt thầy cô giáo tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn học viên cao học khoá 14 Toán - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt khoá học Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG CÁC TẬP TIỀN MỞ 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập X = ∅ Họ τ tập X gọi tôpô X thoả mãn i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; ii) Với A, B ∈ τ A ∩ B ∈ τ ; iii) Với họ {Ai , i ∈ I} ⊂ τ ∪{Ai , i ∈ I} ∈ τ Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô Mỗi tập A ∈ τ gọi tập mở Phần bù tập mở gọi tập đóng Giả sử τ σ tôpô X Ta nói tôpô τ yếu (thô hơn) tôpô σ τ ⊂ σ Lúc ta nói tôpô σ mạnh (hay mịn hơn) tôpô τ 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử X không gian tôpô A ⊂ X Hợp tất tập mở chứa A gọi phần A kí hiệu intA Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A kí hiệu clA 1.1.3 Nhận xét ([1]) Từ định nghĩa ta có i) intA (tương ứng, clA) tập mở lớn (tương ứng, tập đóng nhỏ nhất) chứa A; ii) Tập A ⊂ X mở (tương ứng, đóng) intA = A (tương ứng, clA = A); iii) Nếu A, B tập X A ⊂ B intA ⊂ intB clA ⊂ clB 1.1.4 Định lý ([1]) Giả sử X không gian tôpô A, B tập X Khi a) intA ⊂ A A ⊂ clA; b) cl(A ∪ B) = clA ∪ clB int(A ∩ B) = intA ∩ intB; c) int(intA) = intA cl(clA) = clA; d) cl(A ∩ B) ⊂ clA ∩ clB 1.1.5 Định lý ([1]) Nếu A tập không gian tôpô X, intA = X\ cl(X \ A) 1.1.6 Bổ đề ([2]) a) Với tập G mở không gian tôpô X A ⊂ X ta có clA ∩ G ⊂ cl(A ∩ G); b) Với tập F đóng không gian tôpô X A ⊂ X ta có int(A ∪ F ) ⊂ intA ∪ F 1.1.7 Định nghĩa ([8]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi mở quy tồn tập đóng F cho A = intF Phần bù tập mở quy tập đóng quy Họ tất tập mở quy X kí hiệu RO(X, τ ) 1.1.8 Nhận xét Từ định nghĩa ta có i) A mở quy A = int(clA); ii) A đóng quy A = cl(intA) 1.1.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử A tập không gian tôpô X A gọi trù mật X clA = X A gọi không đâu trù mật X int(clA) = ∅ Kí hiệu họ tất tập không đâu trù mật không gian tôpô (X, τ ) N (X, τ ) 1.1.10 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi liên thông không tồn tập mở khác rỗng U, V X cho X = U ∪ V U ∩ V = ∅ 1.1.11 Nhận xét ([1]) Không gian tôpô X không liên thông tồn tập mở khác rỗng U, V X cho X = U ∪ V U ∩ V = ∅ 1.2 CÁC TẬP TIỀN MỞ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHÚNG 1.2.1 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô Tập A ⊂ X gọi nửa mở (semi - open) A ⊂ cl(intA) Phần bù tập nửa mở tập nửa đóng (semi - closed) Họ tập nửa mở X kí hiệu SO(X) Họ tập nửa đóng X kí hiệu SC(X) 1.2.2 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô Tập A ⊂ X gọi tiền mở (preopen) A ⊂ int(clA) Phần bù tập tiền mở tập tiền đóng (preclosed) Họ tập tiền mở X kí hiệu P O(X) Họ tập tiền đóng X kí hiệu P C(X) 1.2.3 Nhận xét ([3]) Giả sử X không gian tôpô Khi i) Một tập mở tập tiền mở, tập đóng tập tiền đóng; ii) Hợp tuỳ ý tập nửa mở X tập nửa mở; iii) Giao họ tuỳ ý tập nửa đóng X tập nửa đóng; iv) Hợp tuỳ ý tập tiền mở X tập tiền mở; v) Giao họ tuỳ ý tập tiền đóng X tập tiền đóng; vi) Giao hai tập tiền mở X chưa tập tiền mở Chứng minh i) Giả sử A ⊂ X A mở Khi A ⊂ clA kéo theo intA ⊂ int(clA) mà A mở nên intA = A Do A ⊂ int(clA) Vậy A tiền mở Vì A đóng nên X \ A mở suy X \ A tiền mở Do A tiền đóng ii) Giả sử {Ai , i ∈ I} họ tập nửa mở Khi ta có Ai ⊂ cl(intAi )), i ∈ I Từ ta có Ai ⊂ cl(intAi )) ⊂ cl(int(∪Ai )), với i ∈ I Vì ta có ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ cl(int(∪{Ai , i ∈ I})) Do ∪{Ai , i ∈ I} tập nửa mở iii) Suy từ định nghĩa tập nửa đóng Nhận xét 1.2.3 ii) iv) Giả sử {Ai , i ∈ I} họ tập tiền mở X Khi ta có Ai ⊂ int(clAi ), i ∈ I kéo theo ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ ∪{int(clAi ), i ∈ I} Mặt khác int(clAi ) ⊂ cl(Ai ) nên int(clAi ) ⊂ ∪{clAi , i ∈ I}, i ∈ I kéo theo ∪{int(clAi ), i ∈ I} ⊂ ∪{clAi , i ∈ I}, mà ∪{int(clAi ), i ∈ I} tập mở nên ∪{int(clAi ), i ∈ I} ⊂ int (∪{clAi , i ∈ I}) ⊂ int(cl(∪{Ai , i ∈ I})) Do ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ int(cl(∪{Ai , i ∈ I})) Vậy ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ P O(X) v) Suy từ định nghĩa tập tiền đóng Nhận xét 1.2.3 iv) vi) Cho X = {a, b, c} Trên X trang bị tôpô τ = {∅, X, {a, b}} Ta có {a, c} ⊂ int(cl{a, c}) = intX = X, {a, c} tập tiền mở {b, c} ⊂ int(cl{b, c}) = intX = X, {b, c} tập tiền mở Tuy nhiên {a, c}∩{b, c} = {c} không tập tiền mở {c} ⊂ int(cl{c}) = int{c} = ∅ 1.2.4 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô Tập A ⊂ X gọi nửa tiền mở (semi - preopen) A ⊂ cl(int(clA)) Phần bù tập nửa tiền mở tập nửa tiền đóng (semi - preclosed) Họ tập nửa tiền mở X kí hiệu SP O(X) Họ tập nửa tiền đóng X kí hiệu SP C(X) 1.2.5 Nhận xét ([12]) Giả sử X không gian tôpô Khi i) Hợp tuỳ ý tập nửa tiền mở X tập nửa tiền mở; ii) Giao họ tuỳ ý tập nửa tiền đóng X tập nửa tiền đóng; iii) SO(X), P O(X) SP O(X) mịn tôpô τ Chứng minh i) Giả sử {Ai , i ∈ I} tập nửa tiền mở Khi ta có Ai ⊂ cl(int(clAi )), i ∈ I Từ ta có Ai ⊂ cl(int(clAi )) ⊂ cl(int(cl( ∪Ai ))), với i ∈ I Vì ta có ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ cl(int(cl( ∪{Ai , i ∈ I}))) Do ∪{Ai , i ∈ I} tập nửa tiền mở ii) Suy từ định nghĩa tập nửa tiền đóng Nhận xét 1.2.5 i) iii) Lấy A ∈ τ Khi A = intA ta có A ⊂ clA = cl(intA) Do A ⊂ cl(intA) hayA ∈ SO(X) Vậy τ ⊂ SO(X) Lấy A ∈ τ Khi A = intA ta có A ⊂ clA Suy A = intA ⊂ int(clA) Do A ⊂ int(clA) hayA ∈ P O(X) Vậy τ ⊂ P O(X) Lấy A ∈ τ Khi A = intA ta có A ⊂ clA = cl(intA) ⊂ cl(int(clA)) Do A ⊂ cl(int(clA)) hayA ∈ SP O(X) Vậy τ ⊂ SP O(X) 1.2.6 Định lý ([8]) Giả sử X không gian tôpô Khi SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X) Chứng minh Lấy A ∈ SO(X) ∪ P O(X) Khi A ∈ SO(X) A ∈ P O(X) Nếu A ∈ SO(X), A ⊂ cl(intA) mà cl(intA) ⊂ cl(int(clA)) Do A ⊂ cl(int(clA)) suy A ∈ SP O(X) Nếu A ∈ P O(X), A ⊂ int(clA) mà int(clA) ⊂ cl(int(clA)) Do A ⊂ cl(int(clA)) suy A ∈ SP O(X) Vậy SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X) 1.2.7 Định nghĩa ([9]) Không gian tôpô X gọi cực đại (submaximal) tập trù mật X mở 1.2.8 Định lý ([9]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi tập tiền mở mở (X, τ ) cực đại Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A ⊂ X clA = X Khi ta có A ⊂ clA = X = intX = int(clA), kéo theo A ⊂ int(clA) Suy A tập tiền mở Theo giả thiết điều kiện đủ ta có A mở Vậy (X, τ ) cực đại Điều kiện đủ Giả sử A tập tiền mở không gian tôpô (X, τ ) Khi A ⊂ int(clA kéo theo clA ⊂ cl(int(clA)) ⊂ clA hay clA = cl(int(clA)) Đặt B = A ∪ X\int(clA)) Ta có clB = cl(A ∪ X\int(clA))) = clA ∪ X\cl(int(clA))) = X Vì (X, τ ) cực đại, B tập mở X Từ suy A = int(clA) ∩ B tập mở X 1.2.9 Định lý ([9]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi tập tập tiền mở (X, τ ) tập mở (X, τ ) đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập mở (X, τ ) Khi clA ⊂ X, nên theo giả thiết ta có clA ⊂ int(clA) Vì A mở nên ta có int(clA) ⊂ A Suy clA ⊂ A Vậy A đóng Điều kiện đủ Giả sử A tập (X, τ ) Từ giả thiết điều kiện đủ int(clA) tập mở ta suy int(clA) tập đóng Vì ta suy A ⊂ int(clA) Do A tập tiền mở 1.2.10 Định lý ([9]) a) Nếu U tập mở A nửa mở không gian tôpô X, A ∩ U nửa mở; b) Nếu U tập mở A tiền mở không gian tôpô X, A ∩ U tiền mở; c) Nếu U tập mở A nửa tiền mở không gian tôpô X, A ∩ U nửa tiền mở Chứng minh a) Giả sử U tập mở A nửa mở không gian tôpô X Khi A ⊂ cl(intA) intU = U Do A ∩ U ⊂ cl(intA) ∩ intU = cl(int(A ∩ U )) suy A ∩ U ⊂ cl(int(A ∩ U )) Vậy A ∩ U tập nửa mở b) Nhờ Bổ đề 1.1.6 a) ta có clA ∩ U ⊂ cl(A ∩ U ) suy int(clA ∩ U ) ⊂ int(cl(A ∩ U )) hay int(clA) ∩ intU ⊂ int(cl(A ∩ U )) mà A tiền mở nên A ⊂ int(clA) U mở nên intU = U Do A ∩ U ⊂ int(clA) ∩ intU ⊂ int(cl(A ∩ U )) suy A ∩ U ⊂ int(cl(A ∩ U )) Vậy A ∩ U tập tiền mở c) Nhờ Bổ đề 1.1.6 a) ta có clA ∩ U ⊂ cl(A ∩ U ) suy int(clA ∩ U ) ⊂ int(cl(A ∩ U )) hay int(clA) ∩ intU ⊂ int(cl(A ∩ U )) kéo theo cl(int(clA) ∩ intU ) ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))) mà A nửa tiền mở nên A ⊂ cl(int(clA)) U mở nên intU = U Do A ∩ U ⊂ cl(int(clA)) ∩ intU ⊂ cl(int(cl(A ∩ U )) (do Bổ đề 1.1.6 a)) suy A ∩ U ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))) Vậy A ∩ U tập nửa tiền mở 10 1.2.11 Định lý ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) A nửa đóng int(clA) ⊂ A; b) A tiền đóng cl(intA) ⊂ A; c) A nửa tiền đóng int(cl(intA)) ⊂ A Chứng minh a) Giả sử A nửa đóng Khi X \A nửa mở suy X \A ⊂ cl(int(X \ A)) kéo theo X\ cl(int(X \ A)) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta có X\ cl(int(X \ A)) = int(X\int(X \ A)) = int(clA) Do int(clA) ⊂ A Ngược lại, giả sử A ⊂ X int(clA) ⊂ A X \ A ⊂ X\ int(clA) = cl(X\ clA) = cl(int(X \ A)) suy X \ A ⊂ cl(int(X \ A)) Do X \ A tập nửa mở Vậy A tập nửa đóng b) Giả sử A tiền đóng Khi X \ A tiền mở suy X \ A ⊂ int(cl(X \ A)) kéo theo X\ int(cl(X \ A)) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta có int(cl(X \ A)) = X\ cl(X\ cl(X \ A)) Kéo theo X\ int(cl(X \ A)) = cl(X\ cl(X \ A)) = cl(intA) Do cl(intA) ⊂ A Ngược lại, giả sử A ⊂ X cl(intA) ⊂ A X \ A ⊂ X\ cl(intA) = X\ cl(X\ cl(X \ A)) = int(cl(X \ A)) suy X \ A ⊂ int(cl(X \ A)) Do X \ A tập tiền mở Vậy A tập tiền đóng c) Giả sử A nửa tiền đóng Khi X \ A nửa tiền mở suy X \ A ⊂ cl(int(cl(X \A))) kéo theo X\ cl(int(cl(X \A))) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta có cl(int(cl(X \ A))) = cl(int(X\intA)) = cl(X\cl(intA)) = X\int(cl(intA)) Suy X\cl(int(cl(X \ A))) = int(cl(intA)) Do int(cl(intA) ⊂ A Ngược lại, giả sử A ⊂ X int(cl(intA)) ⊂ A X \A ⊂ X\ int(cl(intA)) = cl(int(cl(X \ A))) Suy X \ A ⊂ cl(int(cl(X \ A))) Do X \ A tập nửa tiền mở Vậy A tập nửa tiền đóng 1.2.12 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô A ⊂ X Hợp họ tất tập nửa mở X chứa A gọi nửa phần A kí hiệu sintA Giao họ tất tập nửa đóng X chứa A gọi nửa bao đóng A kí hiệu sclA 16 Chứng minh Lấy A ∈ τγ Khi theo Nhận xét 1.2.5 ta có X ∈ τ ⊂ P O(X) A = A ∩ X nên theo định nghĩa τγ ta suy A = A ∩ X ∈ P O(X, τ ) Vậy τγ ⊂ P O(X, τ ) 2.1.5 Định lý ([9]) P O(X, τ ) tôpô X τγ = P O(X) Chứng minh Theo Định lý 2.1.4 ta có τγ ⊂ P O(X, τ ) Ta cần chứng minh P O(Xτ ) ⊂ τγ Thậy vậy, giả sử với A ∈ P O(X) Khi P O(X, τ ) tôpô X nên A ∩ B ∈ P O(X) với B ∈ P O(X) Do A ∈ τγ Ngược lại, τγ = P O(X) theo Nhận xét 2.1.2 ta có τγ tôpô X Do P O(X, τ ) tôpô X 2.1.6 Định lý ([8]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) đóng không gian tôpô (X, τγ ) A ∪ B tiền đóng với tập tiền đóng B Chứng minh Giả sử tập A không gian tôpô (X, τ ) đóng không gian tôpô (X, τγ ) Suy X\A mở theo không gian tôpô(X, τγ ) Từ B tập tiền đóng suy X \ B tập tiền mở Nhờ Định nghĩa 2.1.1 ta có X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) tập tiền mở kéo theo A ∪ B tập tiền đóng với tập tiền đóng B Ngược lại, giả sử A tập không tôpô (X, τ ) A ∪ B tập tiền đóng với tập tiền đóng B Để chứng minh A đóng không gian tôpô (X, τ ) ta chứng minh X \ A mở (X, τ ) Thật giả sử C tập tiền mở (X, τ ) Khi X \ C tập tiền đóng Theo giả thiết ta có A ∪ (X \ C) tập tiền đóng Từ ta suy (X \ A) ∩ C = (X \ A) ∩ (X \ (X \ C)) = X \ (A ∪ (X \ C)) tiền mở Vì X \ A mở (X, τ ) A đóng (X, τγ ) 2.1.7 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) intγ (clA) = int(clA); b) clγ (intA) = cl(intA) Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ ta có int(clA) ⊂ intγ (clA) Mặt khác áp dụng Định lý 2.1.4 Định lý 1.2.14 a) ta có intγ (clA) ⊂ pint(clA) = int(clA) 17 Vậy intγ (clA) = int(clA) b) Từ τ ⊂ τγ ta có clγ (intA) ⊂ cl(intA) Mặt khác áp dụng Định lý 2.1.4 Định lý 1.2.14 b) ta có cl(intA) = pcl(intA) ⊂ clγ (intA) Vậy clγ (intA) = cl(intA) 2.1.8 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA); b) cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) ⊂ cl(int(clA)) Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ ⊂ P O(X, τ ) áp dụng Định lý 1.2.14 c) ta có int(cl(intA)) = int(pclA) ⊂ intγ (clγ A) Từ τ ⊂ τγ ta có clγ A ⊂ clA áp dụng Định lý 2.1.7 a) ta intγ (clγ A) ⊂ intγ (clA) = int(clA) Vậy int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA) b) Từ τ ⊂ τγ áp dụng Định lý 2.1.7 b) ta có cl(intA) = clγ (intA) ⊂ clγ (intγ A) Mà intγ A ⊂ A ⊂ clA kéo theo intγ A ⊂ int(clA) Lại nhờ Định lý 2.1.7 b) ta có clγ (int(clA)) = cl(int(clA)) Từ ta có clγ (intA) ⊂ clγ (int(clA)) = cl(int(clA)) Suy clγ (intγ A) ⊂ clγ (int(clA)) ⊂ cl(int(clA)) Vậy cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) ⊂ cl(int(clA)) 2.1.9 Hệ ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)) ⊂ int(clA); b) cl(intA) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)) Chứng minh a) Từ τ ⊂ τγ áp dụng Định lý 2.1.8 ta có cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(clγ (intγ A)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)) Sử dụng Định lý 2.1.8 a) từ intγ A ⊂ A suy clγ (intγ A) ⊂ clγ A kéo theo intγ (clγ (intγ A)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA) Vậy int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)) ⊂ int(clA) b) Sử dụng Định lý 2.1.8 b) ta có cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) Từ A ⊂ clγ A suy intγ A ⊂ intγ (clγ A) kéo theo clγ (intγ A) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) Do cl(intA) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) Sử dụng Định lý 2.1.8 a) ta có intγ (clγ A) ⊂ int(clA) kéo theo clγ (intγ (clγ A)) ⊂ clγ (int(clA)) ⊂ cl(int(clA)) Vậy cl(intA) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)) 18 2.1.10 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Kí hiệu họ tập nửa mở không gian tôpô (X, τγ ) SO(X, τγ ) Kí hiệu họ tập tiền mở không gian tôpô (X, τγ ) P O(X, τγ ) Kí hiệu họ tập nửa tiền mở không gian tôpô (X, τγ ) SP O(X, τγ ) 2.1.11 Định lý ([8]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi quan hệ sau a) P O(X, τγ ) ⊂ P O(X, τ ); b) SP O(X, τγ ) ⊂ SP O(X, τ ); c) SO(X, τ ) ⊂ SO(X, τγ ) Chứng minh a) Sử dụng Định lý 2.1.8 a) ta có với A ∈ P O(X, τγ ) A ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA) Do A ∈ P O(X, τ ) Vậy P O(X, τγ ) ⊂ P O(X, τ ) b) Sử dụng Hệ 2.1.9 b) ta có với A ∈ SP O(X, τγ ) A ⊂ clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)) Do A ∈ SP O(X, τ ) Vậy SP O(X, τγ ) ⊂ SP O(X, τ ) c) Sử dụng Định lý 2.1.8 b) ta có với A ∈ SO(X, τ ) A ⊂ cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) Do A ∈ SO(X, τγ ) Vậy SO(X, τ ) ⊂ SO(X, τγ ) Ví dụ sau chứng tỏ đẳng thức a) c) nói chung không Đối với b) xem [12] 2.1.12 Ví dụ ([8]) Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a, b}} Khi τ = SO(X, τ ), P O(X, τ ) = {∅, X, a, b, {a, b}, {a, c}, {b, c}}, τγ = P O(X, τγ ) = {∅, X, a, b, {a, b}} SO(X, τγ ) = {∅, X, a, b, {a, b}, {a, c}, {b, c}} 2.1.13 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Kí hiệu họ tất tập mở quy không gian tôpô (X, τγ ) RO(X, τγ ) Kí hiệu họ tất tập không đâu trù mật không gian tôpô (X, τγ ) N (X, τγ ) 19 2.1.14 Định lý ([8]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi a) RO(X, τ ) ⊂ RO(X, τγ ); b) N (X, τ ) ⊂ N (X, τγ ) Chứng minh a) Với A ∈ RO(X, τ ) ta có A = int(clA) Sử dụng Định lý 2.1.7 a) ta có int(clA) = intγ (clA) Vì τ ⊂ τγ , nên F = clA đóng τ nên F đóng τγ Do ta có clF = clγ F Suy A = intF = int(clF ) = intγ (clγ F ) Do A ∈ RO(X, τγ ) Vậy RO(X, τ ) ⊂ RO(X, τγ ) b) Nhờ Định lý 2.1.8 ta có intγ (clγ A) ⊂ int(clA) với tập A (X, τ ) Vì int(clA) = ∅ kéo theo intγ (clγ A) = ∅ Do N (X, τ ) ⊂ N (X, τγ ) Ví dụ sau chứng tỏ đẳng thức nói Định lý 2.1.14 a) không 2.1.15 Ví dụ ([8]) Giả sử X tập hợp chứa điểm Kí hiệu A tôpô không rời rạc X Khi Aγ = P O(X, A) = 2X , RO(X, A) = {∅, X} RO(X, A)γ ) = 2X 2.1.16 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) clγ (sintA) = cl(intA); b) sint(clγ A) = cl(int(clγ A)) Chứng minh a) Từ τγ ⊂ P O(X, τ ) Định lý 1.2.15 b) ta có clγ (sintA) ⊃ pcl(sintA) = cl(intA) Mặt khác τ ⊂ τγ nên áp dụng Định lý 1.2.14 b) ta có clγ (sintA) ⊂ cl(sintA) = cl(intA) Vậy clγ (sintA) = cl(intA) b) Vì clγ A đóng τγ ⊂ P O(X, τ ) nên clγ A tiền đóng, áp dụng Định lý 1.2.11 cl(int(clγ A)) ⊂ clγ A Vì nhờ Định lý 1.2.13 a) ta có sint(clγ A) = clγ A ∩ cl(int(clγ A)) = cl(int(clγ A)) Vậy sint(clγ A) = cl(int(clγ A)) 2.1.17 Hệ ([8]) Nếu A tập nửa mở, clγ A = clA 20 Chứng minh Vì τ ⊂ τγ nên clγ A ⊂ clA Do A nửa mở nên A ⊂ cl(intA) Nhờ Định lý 1.2.13 a) Định lý 2.1.16 a) ta có clA ⊂ cl(intA) = clγ (sintA) = clγ (A ∩ cl(intA)) ⊂ clγ A ∩ clγ (cl(intA)) Suy clA ⊂ clγ A Vậy clγ A = clA Ví dụ sau chứng tỏ nói chung hai loại bao đóng không 2.1.18 Ví dụ ([8]) Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a, b}} Khi {a} ∈ τγ = {∅, X, a, b, {a, b}} cl{a} = X clγ {a} = {a, c} 2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τα ) VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τγ ) 2.2.1 Định nghĩa ([9]) Tập A không gian tôpô X gọi α tập A ⊂ int(cl(intA)) Phần bù α - tập gọi α - đóng Họ tất α - tập X kí hiệu τα 2.2.2 Nhận xét ([14]) Giả sử X không gian tôpô A ⊂ X Khi τα tôpô X τα mịn τ 2.2.3 Định lý ([8]) Giả sử X không gian tôpô Khi τα = SO(X) ∩ P O(X) Chứng minh Lấy A ∈ τα ta có A ⊂ int(cl(intA)) ⊂ cl(intA) kéo theo A ⊂ cl(intA) Do A ∈ SO(X) Từ intA ⊂ A suy cl(intA) ⊂ clA kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(clA) Do A ⊂ int(clA) hay A ∈ P O(X) Vì A ∈ SO(X) ∩ P O(X) Ngược lại, với A ∈ SO(X) ∩ P O(X) ta có A ∈ SO(X) A ∈ P O(X) Vì A ∈ SO(X) nên A ⊂ cl(intA) suy clA ⊂ cl(intA) kéo theo int(clA) ⊂ int(cl(intA)) Từ A ∈ P O(X) nên A ⊂ int(clA) Vì A ⊂ int(cl(intA)) hay A ∈ τα Vậy τα = SO(X) ∩ P O(X) 2.2.4 Định lý ([6]) Các không gian tôpô (X, τ ) (X, τα ) có chung lớp tập tiền mở 21 2.2.5 Định lý ([14]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi τ = τα tất tập không đâu trù mật đóng 2.2.6 Định nghĩa ([7]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Kí hiệu bao đóng (phần trong) tập A không gian tôpô (X, τα ) A˜ (tương ứng, A◦ ) 2.2.7 Định lý ([7]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) A˜ = A ∪ cl(int(clA)); b) A◦ = A ∩ int(cl(intA)) 2.2.8 Định lý ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a)(pintA)∼ = cl(int(clA)); ˜ b) pcl(sclA) = A Chứng minh a) Sử dụng Định lý 2.2.7, Định lý 1.2.13 Định lý 1.2.14 ta có (pintA)∼ = pintA ∪ cl(int(cl(pintA))) = (A ∩ int(clA)) ∪ cl(int(cl(int(clA)))) = (A ∩ int(clA)) ∪ cl(int(clA)) = (A ∪ cl(int(clA))) ∩ (int(clA) ∪ cl(int(clA))) = cl(int(clA)) Vậy (pintA)∼ = cl(int(clA)) b) Sử dụng Định lý 1.2.13 Định lý 1.2.14 a) ta có pcl(sclA) = sclA ∪ cl(int(sclA)) = A ∪ int(clA) ∪ cl(int(clA)) = A ∪ ˜ cl(int(clA)) = A ˜ Vậy pcl(sclA) = A 2.2.9 Định lý ([9]) Giả sử X không gian tôpô Khi τα ⊂ τγ Chứng minh Giả sử A ∈ τα Khi A mở không gian tôpô (X, τα ) Theo Định lý 1.2.10 Định lý 2.2.4 suy A ∩ B ∈ P O(X), với B ∈ P O(X) Do A ∈ τγ Vậy τα ⊂ τγ 2.2.10 Định lý ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi A˜ = clγ A ∪ int(clA) Chứng minh Vì int(int(clA) \ A) = int(clA)\ clA = ∅ Sử dụng Định lý 1.2.11 a) ta int(clA) \ A tập tiền đóng Do áp dụng Định lý 2.1.6 22 suy clγ A ∪ int(clA)\A = clγ A ∪ int(clA) tiền đóng Theo Định lý 1.2.13 b) ta có sclA = A ∪ int(clA) ⊂ clγ A ∪ int(clA) Do pcl(sclA) ⊂ clγ A ∪ int(clA) Từ Định lý 2.2.8 b) A˜ ⊂ clγ A ∪ int(clA) ˜ Ngược lại từ τα ⊂ τγ ta có clγ A ⊂ A˜ suy clγ A ∪ int(clA) ⊂ A Vậy A˜ = clγ A ∪ int(clA) 2.2.11 Hệ ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi A˜ = clγ A ∪ sclA Chứng minh Sử dụng Định lý 1.2.13 b) Định lý 2.2.10 ta có ˜ Vậy A˜ = clγ A ∪ clγ A ∪ sclA = clγ A ∪ A ∪ int(clA) = clγ A ∪ int(clA) = A sclA 2.2.12 Định lý ([9]) Đối với tập A không gian tôpô X ta có A◦ = intγ A ∩ cl(intA) = intγ A ∩ sintA Chứng minh Sử dụng Định lý 1.2.13 a) Định lý 2.2.10 ta có intγ A ∩ sintA = intγ A ∩ A ∩ cl(intA) = intγ A ∩ cl(intA) = A◦ 2.2.13 Hệ ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) Nếu A nửa mở, A◦ = intγ A; b) Nếu A nửa đóng, A˜ = clγ A; c) Nếu A ∈ τγ , A◦ = sintA; d) Nếu A ∈ Fγ , A˜ = sclA Chứng minh a) Vì A nửa mở nên A ⊂ cl(intA) Sử dụng Định lý 1.2.13 a) ta có sintA = A ∩ cl(intA) = A Sử dụng Định lý 2.2.12 ta có A◦ = intγ A ∩ sintA = intγ A ∩ A = intγ A Vậy A◦ = intγ A b) Vì A nửa đóng nên X \ A nửa mở, suy X \ A ⊂ cl(int(X \ A)) = cl(X\ cl(X \ (X \ A))) = cl(X\clA) Kéo theo A ⊃ X\ cl(X\ clA) = int(clA) Sử dụng Định lý 1.2.13 b) ta có sclA = A ∪ int(clA) = A Do từ Hệ 2.2.11 ta có A˜ = clγ A ∪ sclA = clγ A ∪ A = clγ A Vậy A˜ = clγ A c) Vì A ∈ τγ nên A mở không gian tôpô (X, τγ ) Suy intγ A = A Từ Định lý 1.2.13 a) suy sintA ⊂ A Sử dụng Định lý 2.2.12 ta có A◦ = 23 intγ A ∩ sintA = A ∩ sintA = sintA Vậy A◦ = sintA d) Vì A ∈ Fγ nên A đóng không gian tôpô (X, τγ ) Suy clγ A = A Từ Định lý 1.2.13 b) suy A ⊂ sclA Nhờ Hệ 2.2.11 ta có A˜ = clγ A ∪ sclA = A ∪ sclA = sclA Vậy A˜ = sclA 2.2.14 Định lý ([9]) Đối với không gian tôpô (X, τ ) ta có τα = τγ τγ ⊂ SO(X, τ ) Chứng minh Ta có τα = τγ clγ A = A˜ với A Vì nhờ Hệ 2.2.11 điều xảy sclA ⊂ clA với A Nhưng điều xảy τγ ⊂ SO(X, τ ) 2.2.15 Định lý ([9]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) cl(int(clA)) = clγ (pintA) ∪ int(clA); b) A˜ = clγ (pintA) ∪ sclA Chứng minh a) Sử dụng Hệ 2.2.11 cho pintA ta có (pintA)∼ = clγ (pintA) ∪ scl(pintA) Do theo Định lý 1.2.15 a) ta có (pintA)∼ = clγ (pintA) ∪ int(clA) Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 Định lý 1.2.14 d) ta có (pintA)∼ = pintA ∪ cl(int(cl(pintA))) = (A ∩ int(clA)) ∪ cl(int(clA)) = cl(int(clA)) Vậy cl(int(clA)) = clγ (pintA) ∪ int(clA) b) Sử dụng câu a) Định lý 1.2.13 ta có A˜ = A ∪ cl(int(clA)) = A ∪ clγ (pintA) ∪ int(clA) = clγ (pintA) ∪ (A ∪ int(clA)) = clγ (pintA) ∪ sclA Vậy A˜ = clγ (pintA) ∪ sclA 2.2.16 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi a) pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA); b) clγ (pintA) = clγ A ∩ cl(int(clA)) Chứng minh a) Sử dụng Định lý 1.2.13 ta có pint(clγ A) = clγ A ∩ int(cl(clγ A)) = clγ A ∩ int(clA) Vậy pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA) 24 b) Sử dụng Định lý 1.2.13 Định lý 2.2.15 ta có clγ A ∩ int(clA) ⊂ clγ (A ∩ int(clA)) = clγ (pintA) Từ clγ A ∩ cl(int(clA)) = clγ A ∩ (clγ (pintA) ∪ int(clA)) = clγ (pintA) ∪ clγ A ∩ int(clA) = clγ (pintA) Vậy clγ (pintA) = clγ A ∩ cl(int(clA)) 2.2.17 Hệ ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi clγ A tiền mở clA mở Chứng minh Giả sử clγ A ∈ P O(X, τ ) clγ A ⊂ int(cl(clγ A)) Sử dụng Định lý 1.2.13 Định lý 2.2.16 a) ta có clγ A = pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA) clγ A ⊂ int(clA) Từ Định lý 2.2.10 suy A˜ = int(clA) kéo theo A ⊂ A˜ ⊂ int(clA) A tiền mở Vì A˜ = clA clA mở Ngược lại, từ clA mở suy clA = int(clA) Sử dụng Định lý 2.2.16 a) ta có pint(clγ A) = clγ A ∩ clA = clγ A Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 ta có pint(clγ A)= clγ A ∩ int(cl(clγ A) Do clγ A = clγ A ∩ int(cl(clγ A)) kéo theo clγ A ⊂ int(cl(clγ A) kéo theo clγ A tiền mở 2.2.18 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi A nửa tiền mở clγ (pintA) = clγ A Chứng minh Ta có A ∈ SP O(X) A ⊂ cl(int(clA)) clγ A ⊂ cl(int(clA)) clγ (pintA) = clγ A (do Định lý 2.2.16 b)) 2.2.19 Định lý ([8]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi ˜ clγ (sclA) = scl(clγ A) = A Chứng minh Ta có τα ⊂ τγ suy A˜ ⊃ clγ A = (clγ A)∼ mà A ⊂ clγ A suy A˜ ⊂ (clγ A)∼ Do A˜ = (clγ A)∼ Sử dụng Hệ 2.2.11 cho clγ A sclA ta có A˜ = clγ A ∪ scl(clγ A) = scl(clγ A) Vì τα ⊂ SO(X) nên A˜ ⊃ sclA = (sclA)∼ , mà A ⊂ sclA suy A˜ ⊂ (sclA)∼ 25 Do A˜ = (sclA)∼ = clγ (sclA) ∪ sclA = clγ (sclA) ˜ Vậy clγ (sclA) = scl(clγ A) = A 2.2.20 Bổ đề ([9]) Giả sử A tập nửa tiền đóng thoả mãn A˜ = sclA int(cl(intA)) = cl(intA) ∩ int(clA) Khi A tiền đóng Chứng minh Sử dụng Định lý 2.2.8 b) ta có pcl(sclA) = A˜ = sclA suy pclA ⊂ sclA Để chứng minh A tiền đóng ta chứng minh cl(intA) ⊂ A (theo Định lý 1.2.11 b)) Giả sử với x ∈ cl(intA) ⊂ pclA ⊂ sclA = A ∪ int(clA), x ∈ int(clA) x ∈ cl(intA) ∩ int(clA) kéo theo x ∈ int(cl(intA)) ⊂ A với A nửa tiền đóng (theo Định lý 1.2.11 c)) Do x ∈ A Ngược lại x ∈ int(clA) x ∈ A Vậy A tiền đóng 2.2.21 Bổ đề ([9]) Giả sử X không gian tôpô Khi A˜ = pclA ∪ sclA với tập A X cl(int(clA)) = int(clA) ∪ cl(intA) Chứng minh Giả sử A tập X Sử dụng hệ thức (pintA)∼ = pcl(pintA) ∪ scl(pintA) Theo Định lý 2.2.8, Định lý 1.2.15 Định lý 1.2.16 ta có cl(int(clA)) = pintA ∪ cl(intA) ∪ int(clA) = cl(intA) ∪ int(clA) Ngược lại, giả sử cl(int(clA)) = int(clA) ∪ cl(intA) Khi theo Định lý 2.2.7 ta có A˜ = A ∪ cl(int(clA)) = A ∪ (int(clA) ∪ cl(intA)) = (A ∪ int(clA)) ∪ (A ∪ cl(intA) Theo Định lý 1.2.13 ta có A˜ = pclA ∪ sclA 2.2.22 Định lý ([9]) Họ P O(X) tôpô X thoả mãn hai điều kiện sau: i) Giao hai tập tiền mở X tập nửa tiền mở X; ii) Với tập A không gian tôpô X A˜ = pclA ∪ sclA Chứng minh Giả sử P O(X) tôpô X Khi theo Định lý 2.1.5 P O(X) = τγ pclA = clγ A với tập A X Sử dụng Hệ 2.2.12 ta có A˜ = clγ A ∪ sclA = pclA ∪ sclA từ ta có b) 26 Giả sử A, B ∈ P O(X) Vì P O(X) tôpô X nên A ∩ B ∈ P O(X) suy A ∩ B ⊂ int(cl(A ∩ B)) ⊂ cl(int(cl(A ∩ B))) kéo theo A ∩ B ⊂ cl(int(cl(A ∩ B))) Do A ∩ B ∈ SP O(X) Từ ta có a) Ngược lại, giả sử hai điều kiện thoả mãn ta cần chứng minh hợp hai tập tiền đóng X tập tiền đóng X Giả sử A, B ∈ P C(X) theo điều kiện a) A ∪ B ∈ SP C(X) Vì ˜= A, B ∈ P C(X) nên theo điều kiện b) ta có A˜ = pclA ∪ sclA = sclA B pclB ∪ sclB = sclB ˜ = sclA ∪ sclB ⊂ scl(A ∪ B) Do (A ∪ B)∼ = A˜ ∪ B Sử dụng Bổ đề 2.2.21 với tập X \(A ∪B) ta cl(int(cl(X \A ∪B))) = int(cl(X \ (A ∪ B))) ∪ cl(int(X \ (A ∪ B))) suy int(cl(int(A ∪ B))) = cl(int(A ∪ B)) ∩ int(cl(A ∪ B)) Theo Bổ đề 2.2.20 ta có A ∪ B tập tiền đóng Vậy P O(X) tôpô X 2.2.23 Nhận xét ([9]) Theo Định lý 2.2.8 điều kiện Định lý thay pcl(sclA) = scl(pclA) Hai ví dụ sau chứng tỏ điều kiện nói Định lý độc lập 2.2.24 Ví dụ ([9]) Giả sử X = {a, b, c} τ = {∅, X, {a, b}} Khi τ = τα = SO(X, τ ), P O(X, τ ) = SP O(X, τ ) = {∅, X, a, b, {a, b}, {a, c}, {b, c}}, τγ = {∅, X, a, b, {a, b}} Vì τ = SO(X, τ ) ⊂ P O(X, τ ) nên sclA ∪ pclA = sclA = A˜ với A ⊂ X, điều kiện thoả mãn Mặt khác {a, c}∩{b, c} = {c} ∈ SP O(X, τ ) 2.2.25 Ví dụ ([9]) Giả sử X = {a, b, c, d} τ = {∅, X, a, {b, c}, {a, b, c}} Khi τ = τα , SO(X, τ ) = {∅, X, a, {b, c}, {a, d}, {a, b, c}, {b, c, d}}, P O(X, τ ) = {∅, X, a, b, c, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}} τγ = {∅, X, a, b, c, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Khi {a, b, d}∩{a, c, d} = {a, d} nửa mở Vì điều kiện thoả mãn Mặt khác ˜b = {b, c, d}, pcl{b} = {b}, scl{b} = {b, c} ˜b = pcl{b} ∪ scl{b} 27 2.3 KHÔNG GIAN KHÔNG LIÊN THÔNG CỰC TRỊ 2.3.1 Định nghĩa ([8]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian không liên thông cực trị clU ∈ τ với U ∈ τ 2.3.2 Định lý ([3]) SO(X, τ ) tôpô X (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 2.3.3 Định lý ([13]) Trong không gian tôpô khẳng định sau tương đương i) X không gian không liên thông cực trị; ii) Với tập đóng quy X tiền mở; iii) Với tập nửa mở X tiền mở; iv) Bao đóng tập tiền mở mở; v) Bao đóng tập tiền mở tiền mở 2.3.4 Định lý ([8]) Nếu (X, τγ ) không gian không liên thông cực trị (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Chứng minh Giả sử (X, τγ ) không gian không liên thông cực trị Khi với U ∈ τ , τ ⊂ τγ ta có U ∈ τγ Suy clγ U ∈ τγ kéo theo clγ U mở theo τγ Nhờ Định lý 2.1.4 ta có clγ U tập tiền mở không gian tôpô (X, τ ) Từ U ∈ τ suy U mở không gian tôpô (X, τ ) suy U = intU , áp dụng Định lý 2.1.7 b) ta có cl(intU ) = clγ (intU ) kéo theo clU = clγ U Vì clU vừa tập đóng, vừa tiền mở (X, τ ) Do clU ∈ τ Vậy (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Chiều ngược lại nói chung không Thật vậy, giả sử X = {a, b, c} τ = {∅, X, {a, b}} (X, τ ) không gian không liên thông cực trị (X, τγ ) không không gian không liên thông cực trị Vì {a} ∈ τγ clγ {a} = {a, c} ∈ τγ 2.3.5 Định lý ([8]) Không gian tôpô (X, τ ) không gian không liên thông cực trị SO(X, τ ) ⊂ τγ 28 Chứng minh (X, τ ) không gian không liên thông cực trị ˜ với A tập SO(X, τ ) = τα Điều xảy sclA = A, X Nhờ Hệ 2.2.11 điều có clγ A ⊂ sclA, với A SO(X, τ ) ⊂ τγ 2.3.6 Hệ ([8]) Không gian tôpô X không liên thông cực trị clγ A ∈ P O(X) với A ∈ P O(X) Chứng minh Giả sử không gian tôpô X không liên thông cực trị giả sử A ∈ τ suy A ∈ P O(X) A ⊂ int(clA) kéo theo clA ⊂ cl(int(clA) Từ int(clA) ⊂ clA kéo theo cl(int(clA)) ⊂ A Do clA = cl(int(clA)) mở clγ A ∈ P O(X) (theo Hệ 2.2.17) Ngược lại, áp dụng Hệ 2.2.17 giả sử A ∈ τ ⊂ P O(X) clγ A ∈ P O(X) ta có clA mở suy X không gian không liên thông cực trị KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Trần Văn Ân, đạt kết sau Hệ thống số khái niệm tính chất tập nửa mở, tập tiền mở, nửa tiền mở; không gian tôpô τα τγ tìm mối quan hệ chúng Chứng minh cách chi tiết kết có tài liệu [8], [9], [12] mà chưa chứng minh chứng minh vắn tắt, thể Định lý 1.2.6, 1.2.8, 1.2.9, 1.2.13, 2.1.4, 2.1.6, 2.2.22; Hệ 2.1.9, 2.1.17; Bổ đề 2.2.20, 2.2.21 Đưa chứng minh chi tiết số kết quả, Nhận xét 1.2.3, 1.2.5 Định lý 1.2.10, 1.2.11 đồng thời đưa số kết Mệnh đề 1.2.17, 1.2.20, 2.3.3, Định lý 1.2.18 Bổ đề 1.2.19 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] J L Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất ĐH & THCN, Hà Nội [3] Đặng Lệ Thuý(2007), γ - tập vấn đề liên quan, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh [4] Bùi Minh Tuyển (2006),Về tập đóng suy rộng tôpô, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh [5] Võ Thị Thuý Vân, (2006) T - không gian, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh [6] D Andrijevic (1984), Some properties of the topology of α - sets, Matematikii Vesnik, 36, 1-10 [7] D Andrijevic (1986), Semi - preopen sets, Matematikii Vesnik, 38, 2432 [8] D Andrijevic (1987), On the topology generated by preopen sets, Matematikii Vesnik, 39, 367-376 [9] D Andrijevic (1988), A note on preopen sets, Rend Civc Math Palermo, 18, 195-201 [10] D Andrijevic (1993), A note on - equivalent topologies, Matematikii Vesnik, 45, 65-69 [11] D Andrijevic (1996), On b - open sets, Matematikii Vesnik, 48, 59-64 [12] D Andrijevic, M Ganster (1987), A note on the topology generated by preopen sets, Matematikii Vesnik, 39, 115-119 [13] Julian Dontchev (1998), Survey on preopen sets [14] O Njastad (1965), On some classes of nearly open sets, Pacific J Math, 15, 961-970 30 [...]... không gian tiền mở A; b) Nếu A là tiền mở thoả mãn B ⊂ A ⊂clB, thì B cũng là tiền mở; c) Tập A là mở chính quy nếu và chỉ nếu A là nửa đóng và tiền mở; d) Nếu A là tiền mở và B là nửa mở, thì A ∩ clB = cl(A ∩ intB)= cl(A ∩ B) = cl(A ∩ clB) = cl(int(clA ∩ B)) CHƯƠNG 2 TÔPÔ SINH BỞI CÁC TẬP TIỀN MỞ 2.1 KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τγ ) 2.1.1 Định nghĩa ([9]) Tập con A của không gian tôpô X được gọi là γ tập nếu... một tập mở chính quy F chứa A sao cho clA = clF 1.2.19 Bổ đề ([13]) Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con của X Nếu A là nửa mở và B là tiền mở, thì A ∩ B là nửa mở trong B và tiền mở trong A 1.2.20 Mệnh đề ([13]) Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con của X Khi đó a) Nếu A là tiền mở và B là đóng chính quy (tương ứng, mở chính quy) thì A ∩ B) là đóng chính quy (tương ứng, mở. .. gian tôpô (X, τγ ) Suy ra X\A là mở theo trong không gian tôpô( X, τγ ) Từ B là tập tiền đóng suy ra X \ B là tập tiền mở Nhờ Định nghĩa 2.1.1 ta có X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) là tập tiền mở kéo theo A ∪ B là tập tiền đóng với mọi tập tiền đóng B Ngược lại, giả sử A là tập con của không tôpô (X, τ ) và A ∪ B là tập tiền đóng với mọi tập tiền đóng B Để chứng minh A là đóng trong không gian tôpô. .. ([13]) Nếu A là tập con của không gian tôpô X, thì các khẳng định sau là tương đương i) A là tiền mở; ii) Nửa bao đóng của A tập mở chính quy; iii) A là giao của tập mở và tập trù mật; iv) A là giao của tập mở chính quy và tập trù mật; v) A là tập con trù mật của không gian con mở chính quy; vi) A là tập con trù mật của không gian con mở; 14 vii) A là tập con trù mật của không gian con tiền mở; viii) sclA... tất cả các tập tiền mở của X được chứa trong A được gọi là tiền phần trong của A và kí hiệu là pintA Giao của họ tất cả các tập tiền đóng của X chứa A được gọi là tiền bao đóng của A và kí hiệu là pclA Hợp của họ tất cả các tập nửa tiền mở của X được chứa trong A được gọi là nửa tiền phần trong của A và kí hiệu là spintA Giao của họ tất cả các tập nửa tiền đóng của X chứa A được gọi là nửa tiền bao... 18 2.1.10 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Kí hiệu họ các tập nửa mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là SO(X, τγ ) Kí hiệu họ các tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là P O(X, τγ ) Kí hiệu họ các tập nửa tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là SP O(X, τγ ) 2.1.11 Định lý ([8]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó các quan hệ sau đây là đúng a) P O(X, τγ ) ⊂ P O(X, τ );... ([6]) Các không gian tôpô (X, τ ) và (X, τα ) có chung lớp các tập con tiền mở 21 2.2.5 Định lý ([14]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó τ = τα khi và chỉ khi tất cả các tập không đâu trù mật là đóng 2.2.6 Định nghĩa ([7]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) Kí hiệu bao đóng (phần trong) của tập A trong không gian tôpô (X, τα ) là A˜ (tương ứng, A◦ ) 2.2.7 Định lý ([7]) Giả sử A là tập. .. nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS TS Trần Văn Ân, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây 1 Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của các tập nửa mở, tập tiền mở, nửa tiền mở; không gian tôpô τα và τγ và tìm mối quan hệ giữa chúng 2 Chứng minh một cách chi tiết các kết quả đã có trong các tài liệu [8], [9], [12] mà chưa được chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt, thể... chứng minh rằng X \ A là mở trong (X, τ ) Thật vậy giả sử C là tập tiền mở bất kỳ trong (X, τ ) Khi đó X \ C là tập tiền đóng Theo giả thiết ta có A ∪ (X \ C) là tập tiền đóng Từ đó ta suy ra (X \ A) ∩ C = (X \ A) ∩ (X \ (X \ C)) = X \ (A ∪ (X \ C)) là tiền mở Vì vậy X \ A là mở trong (X, τ ) và A là đóng trong (X, τγ ) 2.1.7 Định lý ([8]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đó a) intγ (clA)... b}} nhưng cl{a} = X và clγ {a} = {a, c} 2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τα ) VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τγ ) 2.2.1 Định nghĩa ([9]) Tập con A của không gian tôpô X được gọi là α tập nếu A ⊂ int(cl(intA)) Phần bù của α - tập được gọi là α - đóng Họ tất cả các α - tập trong X được kí hiệu là τα 2.2.2 Nhận xét ([14]) Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó τα là tôpô trên X và τα mịn hơn τ 2.2.3 ... tập nửa mở; iii) Giao họ tuỳ ý tập nửa đóng X tập nửa đóng; iv) Hợp tuỳ ý tập tiền mở X tập tiền mở; v) Giao họ tuỳ ý tập tiền đóng X tập tiền đóng; vi) Giao hai tập tiền mở X chưa tập tiền mở. .. nửa tiền mở, nửa tiền đóng Các tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở α- tập giới thiệu Levine, Mashhour, Andrijevic Njastad Họ tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở không trở thành tôpô X Njastad họ α- tập. .. a) Nếu U tập mở A nửa mở không gian tôpô X, A ∩ U nửa mở; b) Nếu U tập mở A tiền mở không gian tôpô X, A ∩ U tiền mở; c) Nếu U tập mở A nửa tiền mở không gian tôpô X, A ∩ U nửa tiền mở Chứng