Các đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác và áp dụng

Các đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác và áp dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ A n (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + ··· + a n cos nx + b n sin nx, a n b n 0 a 2 n +b 2 n > 0 a i , b j ∈ R i = 0, 1, . . . , n; j = 1, 2, . . ., n n n ∈ N ∗ b j = 0 j = 1, 2, . . . , n C n (x) = a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + ··· + a n cos nx (a n = 0), n a i = 0 i = 0, 1, . . . , n S n (x) = b 0 + b 1 sin x + b 2 sin 2x + ··· + b n sin nx (b n = 0), n A n (x) B m (x) max {n, m}. A n (x) B m (x) n + m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ A n (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + ··· + a n cos nx + b n sin nx, x ∈ R 0 a 0 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = ··· = a n = b n = 0. sin n x cos n x z = cos t + i sin t z −1 = (cos t + i sin t) −1 = cos t − i sin t. cos t = z + z −1 2 sin t = z −z −1 2i · (z + z −1 ) n = z n + C 1 n z n−1 z −1 + C 2 n z n−2 z −2 + ··· + C n−1 n zz −n+1 + z −n =  (z n + z −n ) + C 1 n (z n−2 + z −(n−2) ) + ··· + C n 2 n n , (z n + z −n ) + C 1 n (z n−2 + z −(n−2) ) + ··· + C n−1 2 n (z + z −1 ) n . (z − z −1 ) n = z n − C 1 n z n−1 z −1 + C 2 n z n−2 z −2 + ··· + (−1) n z −n =  (z n + z −n ) − C 1 n (z n−2 + z −(n−2) ) + ··· + (− 1) n 2 C n 2 n , (z n − z −n ) − C 1 n (z n−2 − z −(n−2) ) + ··· + (−1) n−1 2 C n−1 2 n (z −z −1 ). cos n x =      1 2 n−1  cos nx + C 1 n cos(n − 2)x + ··· + 1 2 C n 2 n  n , 1 2 n−1  cos nx + C 1 n cos(n − 2)x + ··· + C n−1 2 n cos x  n . sin n x =        (−1) n 2 2 n  2 cos nx − 2C 1 n cos(n − 2)x + ··· + (−1) n 2 C n 2 n  , (−1) n−1 2 2 n  2 sin nx − 2iC 1 n sin(n − 2)x + ··· + (− 1) n−1 2 C n−1 2 n 2 sin x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ f(x) = sin 2p x p e ix = cos x + i sin x sin x = e ix − e −ix 2i ; cos x = e ix + e −ix 2 · sin 2p x =  e ix − e −ix 2i  2p , f(x) = (−1) p 2 2p · 2p  k=0 (−1) k C k 2p .e ikx .e −i(2p−k)x = (−1) p 2 2p ·  p−1  k=0 (−1) k C k 2p .e 2ikx−2ipx + 2p  k=p+1 (−1) k C k 2p .e 2i(k−p)x  + C p 2p 2 2p = (−1) p 2 2p · p−1  k=0 (−1) k C k 2p (e 2i(k−p)x + e −2i(k−p)x ) + C p 2p 2 2p = (−1) p 2 2p−1 · p−1  k=0 (−1) k .C k 2p . cos 2(k − p)x + C p 2p 2 2p · f(x) 2p {a n } d S n = n  k=1 sin a k , T n = n  k=1 cos a k . d = 2kπ (k ∈ Z) S n = n sin a 1 d = 2kπ (k ∈ Z) sin d 2 = 0 2 sin a n sin d 2 = 2 sin[a 1 + (n − 1)d] sin d 2 = cos  a 1 + (n − 3 2 )d  − cos  a 1 + (n − 1 2 )d  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ g( n) = cos  a 1 + (n − 3 2 )d  2 sin a n . sin d 2 = g(n) − g(n + 1).                  2 sin a 1 . sin d 2 = g(1) − g(2), 2 sin a 2 . sin d 2 = g(2) − g(3), ········· 2 sin a n . sin d 2 = g(n) − g( n + 1). 2S n sin d 2 = g(1) − g(n + 1) = cos  a 1 − d 2  − cos  a 1 +  n − 1 2  d  = −2 sin  a 1 + n − 1 2 d  sin  − n 2 d  . S n = sin  a 1 + n − 1 2 d  sin  n 2 d  sin d 2 · d = 2kπ (k ∈ Z) T n = n cos a 1 . d = 2kπ (k ∈ Z) T n = cos  a 1 + n − 1 2 d  sin n 2 d sin d 2 · x = lπ(l ∈ Z) T n = n  k=1 cos(2k −1)x = cos  x + n − 1 2 .2x  . sin  n 2 .2x  sin 2x 2 = cos nx. sin nx sin x = sin 2nx 2 sin x · Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ x sin 2nx = sin x (sin x = 0) T n = 1 2 · n = 2, x = π 5 , cos π 5 + cos 3π 5 = 1 2 · n = 3, x = π 7 cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = 1 2 · n = 4, x = π 9 cos π 9 + cos 3π 9 + cos 5π 9 + cos 7π 9 = 1 2 · S n = n  k=1 k sin kx, T n = n  k=1 k cos kx x = 2lπ (l ∈ Z). n  k=1 sin kx = sin  n + 1 2 x  sin  n 2 x  sin x 2 , n  k=1 cos kx = cos  n + 1 2 x  sin n 2 x sin x 2 · S n = n  k=1 k. sin kx = n  k=1 [−(cos kx) ′ ] = −  n  k=1 cos kx  ′ , T n = n  k=1 k. cos kx = n  k=1 [(sin kx) ′ ] =  n  k=1 sin kx  ′ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... C  2 2  cos cos 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 2 http://lrc.tnu.edu.vn/ ¾¿ ËÙÝ Ư tan Ì Ø Ị Ị p = r cot ËÙÝ Ư A C B D + tan = cot + cot · 2 2 2 2 A B C D A B C D +cot +cot +cot = r tan +tan +tan +tan 2 2 2 2 2 2 2 2 r = p tan A B C D + tan + tan + tan 2 2 2 2 S = pr = p2 tan ỊòỊ −1 Ú A B C D + tan + tan + tan 2 2 2 2 −1 p2 A B C D = tan + tan + tan + tan · S 2 2 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... 3α = (2 cos2 α − 1)(4 cos3 α − 3 cos α) − 2 sin α cos α(3 sin α − 4 sin3 α) = 8 cos5 α − 4 cos3 α − 6 cos3 α + 3 cos α − 6(1 − cos2 α) cos α − 8(1 − cos2 α)2 cos α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + 5 cos α Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ½½ Ỵ ØƯ α= π 3π 5π 7π 9π , α= , α= , α= , α= 10 10 10 10 10 Ø ø cos 5α = 0º Ĩ Ú Ý cos π 3π 5π 7π 9π , cos , cos , cos , cos 10 10 10 10 10 Ð Ị ÷Đ Ø f... cos Ä º Ø S1 = cos Ì Ĩ ØĨ Ị ½º¿ Ø π 2π 6π + cos + + cos · 7 7 7 π 2π 6π + cos + + cos · 7 7 7 π 5π 3π π 3π cos( + ) sin cos sin 7 14 14 = 2 14 = 0 S1 = π π sin sin 14 14 Ỵ Ý ỊòỊ S = cos 0 = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ½¾ ØĨ Ị ½º º ÌùỊ Ø Ị S = cos Ä º Ì Ĩ π 3π 5π 17π + cos + cos + · · · + cos · 19 19 19 19 ØĨ Ị ½º¿ Ø π 8π 9 2π 9π 9π + sin · cos · sin 19 19 2 19 19 19... ma, mb, mc; la, lb, lc; ha , hb, hc; R, r; ra¸ a+b+c rb , rc ; p = Ð Ị Ù Ú Ø Đ ¸ S Ð ÷Ị Øù Ø Đ º 2 ½º¾º½ ÷ Ø Ị ØƯĨỊ Ø Đ Ị Ð ½º½ ´ Đ ℄¸ Ị Ðù Đ × Ĩ× Ịµº ÌƯĨỊ Ø Đ ABC ¸ Ø ÐÙ Ị a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ½¿ Ø Ị Ø Ø ÷Ø Ú b, cº Ị Ð ½º¾ ´ Đ ℄¸ Ị Ðù Đ × × Ịµº ÌƯĨỊ óÙ Đ Ø Đ ABC ¸ Ø a b c = = = 2R sin A sin B sin C Ị Ð ½º¿ ´ Đ ℄¸ Ị Ø ABC ¸ Ø ÐÙ Ị Ị ØỨỊ ØÙÝơỊµº... ac sin B = bc sin A, 2 2 2 abc S= , 4R S = p.r, S= Ị Ð ½º ´ Đ ℄µº p(p − a)(p − b)(p − c) Ị ùỊ Ị ØƯ Ị Ị Ĩ Ø ơƠ Ø Đ a b c R= = = , 2 sin A 2 sin B 2 sin C abc R= , 4S abc R= · 4 p(p − a)(p − b)(p − c) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ị ½ Ị Ð ½º ´ Đ ℄µº Ị ùỊ Ị ØƯ Ị Ị Ø ơƠ Ø Đ A B C = (p − b) tan = (p − c) tan 2 2 2 (p − a)(p − b)(p − c) · p r = (p − a) tan S = p = Ị Ð ½º ´ Đ ℄µº Ị... 2 2 B+C B−C cos 2 2 B+C B+C B−C = 2 sin cos + cos 2 2 2 A B C = 4 cos cos cos · 2 2 2 sin A + sin B + sin C = sin(B + C) + 2 sin Ø ØĨ Ị ½º½¾º Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin Số hóa bởi Trung tâm Học liệu ABC Ø ÐÙ Ị ÷ A B C sin sin · 2 2 2 http://lrc.tnu.edu.vn/ ½ Ä º Ì Ø Ú Ý¸ Ø A B+C B−C + 2 cos cos 2 2 2 A B−C A = 1 + 2 sin cos − sin 2 2 2 A B−C B+C = 1 + 2 sin cos − cos 2 2... º Ĩ A, B, C Ð 3 Đ ØØ Đ º ÅÊ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Ä º Ỵø B + C = π − A ỊòỊ tan(B + C) = − tan A tan B + tan C = − tan A ⇔ 1 − tan B tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A tan B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ½ ØĨ Ị ½º½ º Ị Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ cot Ä º ABC Ø ÐÙ Ị A B C A B C + cot + cot = cot cot cot · 2 2 2 2 2 2 Ỵø π − A = B + C ỊòỊ 2 2 2 2 π A B C cot( − )... a2 a R(b2 + c2 − a2 ) = : = sin A 2bc 2R abc R(b2 + c2 − a2 ) b2 + c2 − a2 = = · 4RS 4S cot A = ½º¿ Å Ø × Ị ÷Ø Ð Ị ØĨ Ị ½º½ º Ĩ Ø Đ ABC º ØỨỊ ØÙÝơỊ Ø Đ Ị ĐỊ Ư Ị ABC º Ãù ÷Ù cot α + cot β + cot γ = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu ØƯĨỊ øỊ × GÐ Ĩ ưĐ Ị GAB = α, GBC = β, GCA = γ 3(a2 + b2 + c2 ) · 4S http://lrc.tnu.edu.vn/ ½ ¿ ma , mb , mc º Ơ Ị Ä º Ì Ị Ø Ị ØỨỊ ØÙÝơỊ Ị Ú ¿ Ị BC, CA, AB Ð Ị Ðù Đ × Ĩ× Ị Ĩ... ½º½ º Ĩ Ø Đ ABC Ú A 1 , B1 , C 1 Ð øỊ M Ð Đ Ø ưĐ Ø M ÐòỊ BC, CA, AB ØƯĨỊ Ø Đ Ị ĐỊ cot AA1 B + cot BB1 C + cot CC1 A = 0 Ä º Ơ Ị Ị Ø ´½º½µ Ú Ĩ Ø Đ ABA1¸ Ø AA2 + BA2 − AB 2 1 1 cot AA1 B = · 4SAA1B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ´½º µ ½ Ì cot AA1 B = − cot AA1 C, Ú Ĩ Ð Ø Ĩ Ị Ø ´½º½µ Ơ Ị Ú Ĩ Ø Đ ´½º µ AA1C AA2 + A1 C 2 − AC 2 1 cot AA1 C = · 4SAA1C ´½º µ Ì ´½º µ¸ ´½º µ¸ ´½º µ ×ÙÝ... ×ÙÝ Ư óÙ Ơ Ị Đ Ị º ØĨ Ị ½º¾¼º Ĩ øỊ øỊ Ị Ú Ị a, b (a > b)º À Ị Ĩ 2x, 2y (x > y)º ϕÐ Ị Ị øỊ øỊ Ị ¸ Ú ϕ1 Ð Ị Ị Ị 2 Ĩº 2 2Ị Đ Ị 2 y )(a ½º cos ϕ cos ϕ1 = (x − 4abxy − b ) · sin ¾º tan ϕ1 = 2ab− b2ϕ · a2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ½ Ä º ½º Ơ Ị Ị Ðù Đ × Ĩ× Ị ØƯĨỊ Ø Đ b2 = x2 + y 2 − 2xy cos ϕ1 , 4y 2 = a2 + b2 − 2ab cos ϕ Ì ´½º½¿µ ×ÙÝ Ư ABD¸ Ø ´½º½¿µ ´½º½ µ 2xy cos ϕ1 = x2 + y 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm. Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ A n (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + ··· +. b 2 sin 2x + ··· + b n sin nx (b n = 0), n A n (x) B m (x) max {n, m}. A n (x) B m (x) n + m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ A n (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + ··· +