2.3.1 Định nghĩa ([8]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian không liên thông cực trị nếu clU ∈ τ với mọi U ∈ τ.
2.3.2 Định lý ([3]). SO(X, τ) là tôpô trên X nếu và chỉ nếu (X, τ) là không gian không liên thông cực trị.
2.3.3 Định lý ([13]). Trong không gian tôpô các khẳng định sau là tương đương
i) X là không gian không liên thông cực trị;
ii) Với mỗi tập con đóng chính quy của X là tiền mở; iii) Với mỗi tập con nửa mở của X là tiền mở;
iv) Bao đóng của tập tiền mở là mở; v) Bao đóng của tập tiền mở là tiền mở.
2.3.4 Định lý ([8]). Nếu (X, τγ) là không gian không liên thông cực trị thì
(X, τ) là không gian không liên thông cực trị.
Chứng minh. Giả sử (X, τγ) là không gian không liên thông cực trị. Khi đó với bất kì U ∈ τ, do τ ⊂ τγ ta có U ∈ τγ. Suy ra clγU ∈ τγ kéo theo clγU mở theo τγ. Nhờ Định lý 2.1.4 ta có clγU là tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τ).
Từ U ∈ τ suy ra U mở trong không gian tôpô (X, τ) suy ra U = intU, áp dụng Định lý 2.1.7 b) ta có cl(intU) = clγ(intU) kéo theo clU = clγU. Vì thế clU vừa là tập đóng, vừa là tiền mở trong (X, τ). Do đó clU ∈ τ. Vậy (X, τ) là không gian không liên thông cực trị.
Chiều ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy, giả sử X = {a, b, c} và τ = {∅, X,{a, b}} thì (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nhưng (X, τγ) không là không gian không liên thông cực trị. Vì {a} ∈ τγ nhưng clγ{a} = {a, c} 6∈ τγ .
2.3.5 Định lý ([8]). Không gian tôpô (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nếu và chỉ nếu SO(X, τ) ⊂ τγ.
Chứng minh. (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nếu và chỉ nếu SO(X, τ) = τα. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu sclA = ˜A, với mọi A là tập con của X. Nhờ Hệ quả 2.2.11 điều này có nếu và chỉ nếu clγA ⊂ sclA, với mọi A nếu và chỉ nếu SO(X, τ) ⊂ τγ.
2.3.6 Hệ quả ([8]). Không gian tôpô X là không liên thông cực trị khi và chỉ khi clγA∈ P O(X) với mọi A ∈ P O(X).
Chứng minh. Giả sử không gian tôpô X không liên thông cực trị và giả sử A ∈ τ suy ra A ∈ P O(X) thì A ⊂ int(clA) kéo theo clA ⊂ cl(int(clA). Từ int(clA) ⊂ clA kéo theo cl(int(clA)) ⊂ A. Do đó clA = cl(int(clA)) là mở và clγA ∈ P O(X) (theo Hệ quả 2.2.17).
Ngược lại, áp dụng Hệ quả 2.2.17 giả sử A ∈ τ ⊂ P O(X) và clγA ∈
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây
1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của các tập nửa mở, tập tiền mở, nửa tiền mở; không gian tôpô τα và τγ và tìm mối quan hệ giữa chúng...
2. Chứng minh một cách chi tiết các kết quả đã có trong các tài liệu [8], [9], [12] mà chưa được chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt, thể hiện ở Định lý 1.2.6, 1.2.8, 1.2.9, 1.2.13, 2.1.4, 2.1.6, 2.2.22; Hệ quả 2.1.9, 2.1.17; Bổ đề 2.2.20, 2.2.21.
3. Đưa ra và chứng minh chi tiết một số kết quả, đó là các Nhận xét 1.2.3, 1.2.5 và Định lý 1.2.10, 1.2.11 đồng thời đưa ra một số kết quả đó là Mệnh đề 1.2.17, 1.2.20, 2.3.3, Định lý 1.2.18 và Bổ đề 1.2.19.
[1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh. [2] J. L. Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản ĐH & THCN, Hà
Nội.
[3] Đặng Lệ Thuý(2007), γ - tập và các vấn đề liên quan, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh.
[4] Bùi Minh Tuyển (2006),Về các tập đóng suy rộng trong tôpô, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh.
[5] Võ Thị Thuý Vân, (2006) T1
2 - không gian, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Vinh.
[6] D. Andrijevic (1984), Some properties of the topology of α - sets,
Matematikii Vesnik, 36, 1-10.
[7] D. Andrijevic (1986), Semi - preopen sets, Matematikii Vesnik,38, 24- 32.
[8] D. Andrijevic (1987), On the topology generated by preopen sets,
Matematikii Vesnik, 39, 367-376.
[9] D. Andrijevic (1988), A note on preopen sets, Rend. Civc. Math. Palermo, 18, 195-201.
[10] D. Andrijevic (1993), A note on - equivalent topologies, Matematikii Vesnik, 45, 65-69.
[11] D. Andrijevic (1996), On b - open sets, Matematikii Vesnik, 48, 59-64. [12] D. Andrijevic, M. Ganster (1987), A note on the topology generated by
preopen sets, Matematikii Vesnik, 39, 115-119. [13] Julian Dontchev (1998), Survey on preopen sets.
[14] O. Njastad (1965), On some classes of nearly open sets, Pacific. J. Math, 15, 961-970.