Quan hệ thứ tự trên một số lớp nửa nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ BẢO QUAN HƯ THø Tù TR£N MéT Sè LíP NưA NHãM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VINH - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TỐN QUAN HƯ THø Tù TR£N MéT Sè LíP NưA NHã M KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Quốc Hán VINH - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 Chương QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN CÁC NỬA NHĨM LŨY ĐẲNG GIAO HỐN 1.1 NỬA NHĨM NỬA NHÓM CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP 1.2 THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN CÁC NỬA NHĨM LŨY ĐẲNG GIAO HỐN BĂNG CHỮ NHẬT Chương 2.THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC 14 2.1 NỬA NHĨM CHÍNH QUY NỬA NHÓM NGƯỢC 14 2.2 QUAN HỆ THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC .22 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 MỞ ĐẦU Trong “Lý thuyết nửa nhóm” A H Cliphơt G B Presơn (xem [1], trang 47-49), quan hệ thứ tự nửa nhóm lũy đẳng S=E(S) thiết lập: e  f  ef = fe = e Tuy nhiên, quan hệ thứ tự tương tự nửa nhóm S tùy ý chưa phát Dựa “Fudamentals of Semigroup Theory”của J M Howie (xem [4]), chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự nửa nhóm ngược Quan hệ thứ tự khơng mở rộng quan hệ thứ tự xác lập trên, mà cịn làm cho nửa nhóm ngược trở thành nửa nhóm thứ tự Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia thành hai chương: Chương Quan hệ thứ tự nửa nhóm giao hốn Trong chương chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự tập, quan hệ thứ tự tự nhiên nửa nhóm giao hốn số vấn đề liên quan đến băng giao hoán Chương Thứ tự tự nhiên nửa nhóm ngược Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số lớp nửa nhóm quy: nửa nhóm ngược, nhóm phải, nửa nhóm quy suy rộng Sau trình bày thứ tự tự nhiên nửa nhóm ngược Khóa luận thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả q trình hồn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn tập thể 49A Tốn động viên tơi thời gian làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng trình độ thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo góp ý thầy bạn để khóa luận hồn thiện Vinh, tháng năm 2012 Tác giả Chương QUAN HỆ THỨ T�1 2.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi thứ tự S xác định quan hệ thứ tự tương thích 2.2.5 Hệ Nửa nhóm ngược S nửa nhóm thứ tự 2.2.6 Nhận xét i) Nếu S nhóm quan hệ thứ tự tự nhiên xác định quy quan hệ ii) Nếu S nửa dàn quan hệ thứ tự tự nhiên xác định trùng với quan hệ nửa dàn: x  y x=xy Nếu S nửa nhóm lũy đẳng giao hốn quan hệ E(S) = S quan hệ thiết lập iv) Nếu S=IX nửa nhóm ngược đối xứng quan hệ  cho       Ở ta hình dung   tập X X ,     thu hẹp  , nghĩa dim  dim   (x)= (x),x  dim dim  dim  miền xác định   tương ứng 2.2.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm ngược với nửa dàn E lũy đẳng, giả sử a, b  S Khi điều kiện sau tương đương: (1) a  b (2) e  E : a  be (3) aa -1  ba1 (4) aa -1  ab1 23 (5) a -1a  b1a (6) a -1a  a 1b (7) a  ab1a (8) a  aa 1b Chứng minh Chúng ta chứng minh số điều kiện cần thiết: (1)  (3)  (7) (1)  (3) Giả thiết a  eb, e  E (S ) Thế aa -1  ebb1e  bb1e  b(eb)1  ba 1 (3)  (7) Giả thiết aa -1  ba 1 Thế a -1  a1aa1  a1ba 1 Từ a  (a 1 )1  (a1ba 1 )1  ab1a (7)  (1) Giả sử a  ab1a Thế (ab1 )2  ab1ab1  ab1 ab1  E (S ) Từ a  eb với e  ab1  E (S ) , nên a  b nên  2.2.8 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm H tập S Bao đóng H  H S xác định H  s  S : (h  H )h  s Thuật ngữ “bao đóng” dựa tính chất sau (mà ta kiểm tra trực tiếp được): H  H, H  K  H  K,( H)  H với H K tập S Tập H gọi đóng H  H Rõ ràng nửa nhóm nửa nhóm ngược nửa nhóm ngược Một nửa nhóm H nửa nhóm ngược S nửa nhóm ngược (x  S ) x  H  x1  H Trong trường hợp ta nói S nửa nhóm ngược S 2.2.9 Mệnh đề Nếu H nửa nhóm ngược nửa nhóm ngược S H  nửa nhóm ngược đóng S Chứng minh Vì ( H)  H nên H  đóng S Giả sử x, y  H Thế theo định nghĩa 2.2.8 tồn h, k  H cho x  h, y  k Vì H  H nên xy  hk  H xy  H Như H nửa nhóm S Bây giả sử x  H , tồn h  H cho x  h Nhưng x1  h1  H , nên x 1  H  Vậy H  nửa nhóm ngược S 24  KẾT LUẬN Dựa tài liệu tham khảo, khóa luận hồn thành việc sau: - Trình bày thứ tự tập tùy ý thứ tự nửa nhóm lũy đẳng - Trình bày khái niệm băng chữ nhật chứng minh đặc trưng (Định lý 1.2.12) - Trình bày khái niệm: Nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược, nhóm phải chứng minh đặc trưng chúng (Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.14) - Trình bày thứ tự tự nhiên nửa nhóm ngược tính chất chúng (Hệ 2.2.5, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.9) 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] A H Cliphơt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại Học Vinh Tiếng Anh [4] J.M.Howie (1995), Fundaments of Semingroup Thery ,Oxford University Prees Inc, New York 26 ...nghĩa Nửa nhóm S gọi thứ tự S xác định quan hệ thứ tự tương thích 2.2.5 Hệ Nửa nhóm ngược S nửa nhóm thứ tự 2.2.6 Nhận xét i) Nếu S nhóm quan hệ thứ tự tự nhiên xác định quy quan hệ ii) Nếu S nửa ... Quan hệ thứ tự nửa nhóm giao hốn Trong chương chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự tập, quan hệ thứ tự tự nhiên nửa nhóm giao hốn số vấn đề liên quan đến băng giao hoán Chương Thứ tự tự nhiên nửa. .. [4]), chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự nửa nhóm ngược Quan hệ thứ tự không mở rộng quan hệ thứ tự xác lập trên, mà cịn làm cho nửa nhóm ngược trở thành nửa nhóm thứ tự Ngồi phần mở đầu, kết