Một số lớp nửa vành

-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ HỒNG THẮM MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN-12.2011 -2- MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA VÀNH 1.1 NỬA VÀNH: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 1.2 XÂY DỰNG VÀNH MỚI TỪ CÁC VÀNH ĐÃ BIẾT CHƯƠNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH 2.1 NỬA VÀNH ĐƠN NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH 12 19 19 2.2 NỬA VÀNH GIẢN ƯỚC ĐƯỢC NỬA VÀNH VỚI PHÉP CHIA NỬA VÀNH GELFAND 26 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 -3- LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết vành đời từ kỷ 19 đạt nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối kỷ Bước sang kỷ 20, dựa thành tựu lý thuyết môđun, đặc trưng số lớp vành phát nghiên cứu cấu trúc môđun chúng Vào năm kỷ 20, nhu cầu nội toán học, lý thuyết nửa vành xuất thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Đặc biệt, vào năm cuối kỷ 20 đầu kỷ 21, phát triển công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành tỏ có nhiều ưu việc áp dụng toán học vào khoa học tính tốn Luận văn chúng tơi dựa sách “The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science” Jonathan S.Golan (1992) (xem [4]) để trình bày kiến thức lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính, tìm hiểu số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được, nửa vành Gelfand… Luận văn gồm chương: Chương Cơ sở lý thuyết nửa vành Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày khái niệm liên quan đến nửa vành thí dụ nửa vành Sau chúng tơi xây dựng tích trực tiếp, nửa vành ma trận nửa vành biết Chương Một số lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước nửa vành Gelfand -4- Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số - Khoa toán – Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả -5- CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT NỬA VÀNH 1.1 NỬA VÀNH: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 1.1.1 Định nghĩa a Nửa vành tập hợp khác rỗng R mà xác định hai phép toán cộng nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) (R,+) vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị (2) (R,.) nửa nhóm (3) Phép nhân phân phối với phép cộng (4) 0r  r  r tất r  R b Nửa vành R gọi nửa vành với đơn vị (R,.) vị nhóm với đơn vị thỏa mãn: (5)  Chú phần tử R thỏa mãn điều kiện (4): Nếu z phần tử thuộc R thỏa mãn zr=z=rz tất r  R  z  z Một nửa vành R quy phần tử R quy nhân tính (Nghĩa với r  R có s  R cho rsr=r) Giả sử R nửa vành Kí hiệu I  ( R)  r  R | r  r  r I x ( R)  {r  R | r  r} Đặt I ( R)  I  ( R)  I X ( R) Chú ý a  I (R) {0, a} nửa vành chứa R , khơng phải nửa vành trừ a  Một nửa vành R lũy đẳng I ( R)  R Một nửa vành R gọi bất khả đối r  r ' kéo theo r  r ' Thật R vành (-1)+1=0 R, hai -1 không thiết khác Nếu R nửa vành bất khả đối, R’= 0 {r  R|rb  tất  b  R} nửa vành R -6- Một phần tử khác nửa vành R ước bên trái tồn phần tử khác không b  R cho ab=0 Nó ước bên phải tồn phần tử khác khơng b  R cho ba=0 Nó ước ước không bên trái ước không bên phải Một nửa vành R khơng có ước gọi miền nguyên Một phần tử a nửa vành R vô hạn a  r  a tất r  R Một phần tử cần phải a, a’ phần tử vơ hạn R a=a+a’=a’+a=a’ Chú ý khơng phải vơ hạn    Một nửa vành R đơn phần tử vô hạn, nghĩa  r  tất r  R Một cách tương đương, R đơn P( R)  {0,1} (Chú ý nửa vành R, kí hiệu P( R)  {0} {r  | r  R} ) Khi P(R) nửa vành R Nếu R đơn 1+1=1 nên lũy đẳng cộng tính từ R lũy đẳng cộng tính Đảo lại, R lũy đẳng cộng tính {a  R | a  1} nửa vành R R đơn nửa vành thân R Sự tồn nửa vành đơn có nhiều phần tử (như đây) chứng tỏ phần tử vô hạn a nửa vành R không thiết thỏa mãn ar  a tất  r  R Một phần tử vơ hạn a R có tính chất ra=a=ar tất  r  R gọi vô hạn mạnh Các vành rõ ràng nửa vành, có nhiều ví dụ khác nửa vành Sau số ví dụ từ ngành toán học khác ứng dụng chúng 1.1.2 Ví dụ Tập N số ngun khơng âm với phép toán cộng nhân số ngun thơng thường nửa vành ngun, giao hốn, bất khả đối khơng lũy đẳng cộng tính Cùng cấu trúc nửa vành Q + tất số hữu tỉ không âm, nửa vành R+ số thực khơng âm, nói chung S   S  R  S vành tùy ý R Cho trước số vô hạn c cố định tập hợp -7- tất số d  c có cấu trúc nửa vành Rõ ràng, N nửa vành Q+ Q+ nửa vành R+ 1.1.3 Ví dụ Giả sử R vành Dedekind tập hợp Iđêan(R) gồm R iđêan nó, với phép tốn cộng nhân iđêan thông thường, nửa vành bất khả đối lũy đẳng cộng tính mà khơng giao hoán hay nguyên Họ tất iđêan nửa vành có cấu trúc Giả sử R vành giao hoán A tập hợp tất phần tử R mà chúng khơng có ước Giả sử S  A1 R vành thương R Một iđêan phân thức K R R-môđun S thỏa mãn điều kiện aK  R a  R Tập hợp farct(R) tất iđêan phân thức R khép kín phép lấy giao, tổng tích Hơn nữa, (farct(R),+,.) nửa vành bất khả đối, lũy đẳng cộng tính, giao hoán với đơn vị phép cộng (0) đơn vị phép nhân R Họ tất iđêan phân thức hữu hạn sinh R nửa vành nửa vành Một miền nguyên giao hoán R miền nguyên Priifer iđêan phân thức hữu hạn sinh R nghịch đảo phép nhân fract(R) Điều kiện tương ứng với điều kiện: Iđêan(R) giao phân phối phép cộng nghĩa (Iđêan(R),+,  ) nửa vành Hơn tập hợp tất iđêan hữu hạn sinh R nửa vành nửa vành Miền nguyên Priifer Nơte gọi miền Dedekind Chúng miền ngun giao hốn có tính chất: Mỗi iđêan viết dạng tích iđêan nguyên tố Lý thuyết nhân iđêan vành tốn lý thuyết nửa vành 1.1.4 Ví dụ Một lý thuyết liên quan chặt chẽ với lý thuyết nửa vành lý thuyết dàn Nếu (R,  ,  ) dàn phân phối giới nội có phần tử nhỏ nhất phần tử lớn nhất nửa vành đơn lũy đẳng, -8- giao hoán Thực ra, tính chất đặc trưng dàn phân phối giới nội Nếu R nửa vành đơn lũy đẳng, giao hốn (R,+,.) dàn phân phối giới nội với phần tử nhỏ nhất phần tử lớn nhất Đặc trưng khác dàn phân phối giới nội sau: (R,  ,  ) dàn phân phối giới nội có phần tử nhỏ nhất phần tử lớn nhất nửa vành lũy đẳng giao hoán a  (a  b)=a=a  (a  b) tất a, b thuộc R Năm 1958, Henriken cho đặc trưng khác dàn phân phối giới nội họ nửa vành cách chứng tỏ nửa vành giao hoán R dàn phân phối giới nội điều kiện sau thỏa mãn phần tử a  R: (1) (1  a)   a   a  (2) Tồn số tự nhiên n(a)  cho a n( a )  a Vì dàn đối ngẫu dàn phân phối dàn phân phối, nên (R,  ,  ) nửa vành đơn, giao hoán Như trường hợp riêng, ý gian nửa vành Một gian dàn đầy đủ mà giao phân phối hợp tùy ý Nếu a b phần tử gian (L,  ,  ) giả bù b tương đối a, kí hiệu (a : b) phần tử lớn nhất c L thỏa mãn b  c  a Giả bù phần tử a  L (0 : a) Nếu (0 : a) , a trù mật L Các phần tử trù mật gian thực chất phần tử ước khơng Ví dụ đơn giản gian B  0,1 Chú ý cấu trúc B khơng giống cấu trúc trường Z /( 2) 1+1=1 B 1+1=0 Z /( 2) Nửa vành B gọi nửa vành Bun có nhiều áp dụng lý thuyết ơtơmát lý thuyết mạch, thường biết đại số mạnh Dàn tất iđêan dàn phân phối gian -9- Chú ý R dàn phân phối giới nội  r  R r lũy đẳng rRr  [0, r ]  {r ' R / r '  r} nửa vành R thân vành với đơn vị phép nhân r 1.1.5 Ví dụ Có nhiều nửa vành hữu hạn Chẳng hạn, số nguyên dương n xét tập hợp X n   ,0,1, , n Với giả thiết -  thỏa mãn -   i   i   tất i  X n Định nghĩa phép toán cộng nhân i  h  max{ i, h} ih  min{i  h, n} Thế X n nửa vành bất khả đối giao hốn (Smith, 1966) 1.1.6 Ví dụ Nếu (M, *) nửa nhóm, họ R  Sub(M ) nửa vành với phép toán cho A  B  A  B AB  {a * b | a  A, b  B} Đơn vị phép cộng Nếu M vị nhóm Sub(M) nửa vành với đơn vị phép nhân 1M  Nửa vành khảo sát vào năm 1972 Kunt-Zman Các nửa vành phận đại số phận khác tìm thấy nhiều ứng dụng lý thuyết phân loại liệu trừu tượng khoa học máy tính lý thuyết (Manes Atbib, 1986) 1.1.7 Ví dụ Ví dụ sau đưa áp dụng quan trọng lý thuyết nửa vành Nếu A tập hợp khác rỗng vị nhóm tự A* tập hợp tất dãy hữu hạn a1…an phần tử thuộc A (bao gồm từ rỗng, kí hiệu  hay 1) Hai từ a1…an = b1…bn n=m a1=b1 với i=1,2,…,n Tích hai từ a1…an b1…bn a1a2…anb1…bm Khi A* trở thành vị nhóm với đơn vị từ rỗng  Nếu u= a1…an  A*\   n gọi độ dài từ u ký hiệu u Ta quy ước  =0 Thế uv  u  v với u, v  A* Đối với a  A u  A*, kí hiệu u a số lần xuất a từ u hàm p gán - 10 - mũ w  A* với hàm p(w): A  N xác định p(w)(a)= w a gọi ánh xạ Parikh Các tập A* gọi ngơn ngữ (hình thức) bảng chữ A Nếu B    vị nhóm A* B’=B\  , C=(B’)\(B’)2 tập sinh nhỏ B, gọi sở B Một sở vị nhóm tự A* gọi mã (độ dài biến thiên) bảng chữ A Giả sử C tập khác rỗng A*\   thỏa mãn điều kiện uv C tất u  C   w A* Khi C mã Các mã quen thuộc mã tiền tố Nếu tập hợp A hữu hạn, A= a1 , , ak  có hàm song ánh  :A*  N xác n định  ( ) =0  (ai (0) (1) ( n) ) =  i(h)k h h 0 Nếu m phần tử nửa nhóm (M,*), tập hợp ước bên trái m LD(m)={m’  M|m=m’.m” phần tử m” thuộc M} tập hợp ước bên phải m RD(m)={m”|  m’  M: m=m’.m”} Các tập hợp rỗng nửa nhóm tùy ý M khơng rỗng M vị nhóm Thật vậy, M vị nhóm 1, m  LD(m)  RD(m) tất m  M Một vị nhóm (M,*) hữu hạn phần tử tùy ý M viết dạng m’*m” nhiều hữu hạn cách chọn m’ m” M Chú ý w A* LD(w) RD(w) ln ln hữu hạn, vị nhóm tự hữu hạn Tổng quát hơn, xét vị nhóm dạng M=A1*x…xAn*, Ai tập hợp khơng rỗng phép nhân M xác định phép nhân thành phần: (x1,…xn)(y1,…yn)=(x1y1,…xnyn) Có thể mở rộng định nghĩa A* với từ có độ dài vơ hạn Giả sử A  gồm A* với dãy vô hạn đếm từ A Định nghĩa phép toán A  cách đặt ww’=w w dãy vô hạn đếm phần A Thế - 24 - Chứng minh Trước hết khẳng định h, k  N tùy ý tồn phần tử c  R cho an=bhanbk+c Thật vậy, điều tầm thường h = k = Theo Mệnh đề 2.1.2, an=ban+an kết h=1 k = Bây giả thiết tồn phần tử c’  R cho an = bhan+c’ Thế an = ban+an=b(bnan+c’)+an = bh+1an+c”, c”=bc’+an Như kết tất giá trị h k = Tương tự kết tất giá trị k h = Cuối cùng, giả sử h  0, k  Giả sử d, d’ phần tử thuộc R thỏa mãn bhan+d=an anbk+d’=an Thế an=bhanbk+d” d”=bhd’+d Điều thiết lập khẳng định Tiếp theo ý hạng tử tùy ý a|n|.b|m| có dạng bm(1)an(1)…an(t)bm(t+1) m n(1)+…+n(t) n Bằng cách thay áp dụng khẳng định, thấy tồn phần tử dr  R cho r+dr=an Cuối cùng, ý a|n|.b|m| +  d r =an+…+an=an nửa vành đơn lũy đẳngcộng tính Đẳng thức thứ chứng minh tương tự. 2.1.9 Mệnh đề Giả sử R nửa vành đơn cho tồn số nguyên n thỏa mãn rn=rn+1 tất r  R Thế thì: (1) rn+sn=(r+s)n tất r, s  R (2) Nếu  phép toán IX(R) định nghĩa ab= (ab)n (IX(R), +, ) nửa vành đơn Chứng minh (1) Giả sử r, s  R Bằng khai triển, thấy tồn phần tử d  R thỏa mãn (r+s)n=rn+sn+d Mặt khác (r+s)n=(r+s)2n-1 biểu thức triển khai thành dạng r h s k đó, hạng tử, h  n k  n Theo Mệnh đề 2.1.8, tồn phần tử e R thỏa mãn rn+sn=(r+s)n, chứng minh(1) - 25 - (2) Rõ ràng thuộc IX(R) Theo Hệ 2.1.6, (IX(R),+) vị nhóm giao hoán Hơn nữa, a+1=1 tất a  IX(R) điều R Nếu a, b, c  IX(R) theo (1), a[b+c]*=(a[b+c])n = (ab+ac)n =(ab)n +(ac)n =ab+ac, tương tự [b+c]a = ba+ca Như  phân phối + từ phía Hơn nữa, theo chứng minh Mệnh đề 2.1.8 thấy tồn   R thỏa mãn (abc)n= (ab)nc+d Mệnh đề 2.1.3 có (ab)n=(ab)nc+(ab)n Do tồn phần tử d’ R với (abc)n=(ab)nc+d’ tồn d’ R với (abc)n=(ab)nc+d’ nên tồn d” R thỏa mãn (abc)n[a(bc)n]nd” Một lập luận tương tự chứng tỏ tồn phần tử e R thỏa mãn (ab)ncn=[(abc)n(abc)n+e=(abc)n=e (abc)n=[(ab)nc]n theo Mệnh đề 2.1.2 Một lập luận chứng tỏ [a(bc)n]n = (abc)n a (bc)=[a(bc)n]n = [(ab)n]cn = (ab)c Như phép toán  kết hợp Cuối cùng, ý (ab)2 = abab = ba+d d  R nên tồn d’ R thỏa mãn (ba)n=(ab)2n+d’=(ab)n+d’ tương tự tồn phần tử d”  R thỏa mãn (ab)n = (ba)n+d” theo Mệnh đề 2.1.2, ab =(ab)n = (ba)n = ba Điều chứng tỏ phép toán  giao hoán (IX(R),+,.) nửa vành đơn giao hốn  Chúng ta thấy nửa vành đơn lũy đẳng cộng tính điều ngược lại khơng Hơn nữa, ta có kết sau: 2.1.10 Mệnh đề Mỗi nửa vành lũy đẳng cộng tính có nửa vành đơn Chứng minh Giả sử R vành lũy đẳng – cộng tính S= a  R / a   1 Khi 0,  S a,b  S a+b+1 = a+1 = ab+1 = ab+a+b+1= (a+1)(b+1)=1 S nửa vành R, mà rõ ràng S đơn. 2.1.11 Hệ Mỗi nửa vành lũy đẳng-cộng tính có nửa vành mà dàn phân phối giới nội Chứng minh Đây hệ trực tiếp Mệnh đề 2.1.10 Hệ 2.1.6. - 26 - Trong Mệnh đề 2.1.10 thấy R vành lũy đẳng- cộng tính a  R | a   1 nửa vành R Mệnh đề sau bổ sung cho kết 2.1.12 Mệnh đề Nếu R nửa vành lũy đẳng- cộng tính S= 0 a  R / a   a nửa vành R Chứng minh Rõ ràng a  S,  S R lũy đẳng –cộng tính Nếu a,b  S a  0, b  Thế (a+b)+1 = a+(b+1) = a+b nên a+b  S Hơn nữa, ab+1=a(b+1)+1=(a+1)b+a+1=ab+a+b+1=(a+1)(b+1)=ab ab  S Điều chứng minh S nửa vành R. Cuối thiết lập số kết cấu trúc vị nhóm cộng nửa vành lũy đẳng-cộng tính cách chứng minh số tính chất tương tự kết quen thuộc nửa nhóm Trước hết cần số ký hiệu Đối với phần tử a nửa vành R đặt H(a)= b  R|  phần tử c R cho a+b+c= a Chú ý H(a)  a  R a+0=a kéo theo  H(a), a  I+(R) a  H(a) 2.1.13 Mệnh đề Nếu R nửa vành lũy đẳng-cộng tính a, a’  I+(R) thì: (1) (H(a),+) nửa nhóm giao hốn; (2) G(a)= a  b / b  H (a) nhóm H(a); (3) G(a)G(a’)  G(aa’) Chứng minh (1) b, b’ H(a) tồn c, c’  R cho a=a+b+c, a=a+b’+c’ a=a+a=a+(b+b’)+(c+c’) Như b+b’ H(a) phép cộng R giao hốn kết hợp, nên H(a) nửa nhóm giao hoán (2) Chúng ta ý a=a+0  G(a), (1) tính lũy đẳng a, tổng phần tử G(a) phần tử G(a) Nếu a+b  G(a) a+(a+b)=(a+a)+b=a+b nên a đơn vị phép cộng G(a) Cuối cùng, - 27 - a+b  G(a) tồn phần tử c thuộc R ( từ thuộc H(a) thỏa mãn a+b+c=a a=(a+b)+(a+c) Như a+b khả nghịch G(a) (3) Nếu a+b  G(a) a’+b’ G(a’) tồn phần tử c, c’ R cho a=a+b+c, a’=a’+b’+c’ Do aa’=(a+b+c)(a’+b’+c’)= =aa’+ab’+ac’+ba’+bb’+bc’+ca’+cb’+cc’= =aa’+(a+b)(a’+b’)+(ac’+bc’+ca’+cb’+cc’), chứng minh (a+b)(a’+b’)  H(aa’) Nhưng aa’+(a+b)(a’+b’)=(a+b)(a’+b’) nên thực tế thuộc G(aa’) Vì G(aa’) đóng phép lấy tích hữu hạn, điều chứng minh (3). Như Hệ Mệnh đề 2.1.13 thấy nửa vành lũy đẳng –cộng tính R hợp nhóm cộng tính 2.2 Nửa vành giản ước Nửa vành với phép chia Nửa vành Gelfand Bây trở lại quan tâm đến nghịch đảo cộng tính 2.2.1 Định nghĩa kí hiệu Giả sử a phần tử vành R Phần tử b  R gọi nghịch đảo-cộng tính a a+b=0 Nếu a có nghịch đảo-cộng tính nghịch đảo a+b=0=a+b’ nên b=b+0=a+a+b’=0+b’=b’ Chúng ta ký hiệu nghịch đảo-cộng tính a –a Ký hiệu tập hợp tất phần tử R có nghịch đảo- cộng tính V(R): V(R)= a  R | b  R : a  b  0 Vì 0+0  nên  V(R) Vậy V(R)  , V(R) vị nhóm (R,+) V(R) đóng kín phép lấy tổng Nếu a+b  V(R) a, b V(R) Do R vành V(R)=R R bất khả đối V(R)= 0 Một phần tử vô hạn R khơng thể thuộc V(R) Vì khơng phải phần tử nửa vành có nghịch đảo-cộng tính nên ta quan tâm đến điều kiện yếu Một phần tử a vành R gọi giản ước a+b=a+c kéo theo b=c R Ký hiệu tập hợp tất phần tử - 28 - giản ước R K+(R) Tập hợp khác rỗng V(R)  K+(R) Một phần tử vô hạn nửa vành không giản ước Hơn nữa, K+(R) đóng phép cộng Như vậy, K+(R) vị nhóm vị nhóm cộng (R,+) Nếu K+(R)=R nửa vành R giản ước Chú ý I+(R)  K+(R)= 0 nên nửa vành lũy đẳng-cộng tính khơng có phần tử giản ước khác chúng nửa vành giản ước 2.2.2 Ví dụ a Nửa vành N, vành, giản ước Như có R=K+(R)  V(R)= 0 b Nếu X tập hợp có nhiều phần tử nửa vành (Sub(X),  ,  ) không giản ước c Giả sử  phần tử không nằm N R=N   Thế K+(R)= N (Smith, 1966) 2.2.3 Chú ý a Một nửa vành vành giản ước nửa vành giản ước Nếu {Ri|i   } họ nửa vành giản ước Xi  Ri nửa vành giản ước b Giả sử (M,*) vị nhóm với đơn vị e R nửa vành họ R[M] tất hàm f RM có giá hữu hạn nửa vành phép toán cộng + nhân xác định (1) ( f  g )(m)  f (m)  g (m) tất m M (2) ( F  *  G)(M )  { f (m' ) g (m") /( m, m' )  Supp( f ).Supp( g ) m' , m"  m} Đơn vị cộng tính R[M] hàm chuyển phần tử M thành 0R Đơn vị nhân tính R[M] hàm chuyển e thành 1R tất phần tử khác thành R Nếu A tập tùy ý khác rỗng M=A* vị nhóm tự A nửa vành R[M] ký hiệu R - 29 - 2.2.4 Ví dụ (H.E.Stone, 1977) Nếu R nửa vành giản ước Mn(R) giản ước số nguyên dương n Đó hệ trực tiếp kiện: phép cộng Mn(R) xác định theo thành phần Tương tự, A tập vô hạn đếm được, nửa vành MA,r(R), MA,c(R), MA,rc(R) giản ước 2.2.5 Định nghĩa Giả sử R nửa vành Đặt W(R)={a  R|  b  R=>  r R: a+r=b  b+r =a} Nếu R=W(R) nửa vành R gọi Y-nửa vành 2.2.6 Ví dụ N Q+ Y-nửa vành Tương tự, R tập thứ tự toàn phần với phần tử tối tiểu phần tử tối đại (R, max, min) Y- nửa vành Như I N   Y-nửa vành 2.2.7 Mệnh đề Nếu I H nửa vành Y-nửa vành R thỏa mãn điều kiện IH  V(R) I2  V(R) H2  V(R) Chứng minh Giả thiết I2  V(R) Khi tồn a, a’  I cho aa’ V(R) Giả sử b, b’  H Nếu tồn r  R cho a+r=b a’a+a’r=a’b  IH  V(R) a’,a  V(R): mâu thuẩn Từ đó, R Y-nửa vành, tồn r R: a=b+r Nhưng bb’+rb’=ab’  IH  V(R) bb’ V(R) Điều chứng minh H2  V(R). 2.2.8 Định nghĩa Giả sử R nửa vành Khi tập Z(R)={ r  R|r+a=a với a  R đó} gọi zeroic R Như vậy, a  R b  H(a) kéo theo b+c  Z(R) c  R Rõ ràng I+(R)  Z(R) nên Z(R)  Nếu Z(R)=R nửa vành R gọi nửa vành zeroic Nếu ngược lại khơng zeroic Nếu R có phần tử vơ hạn R nửa vành zeroic Một nửa vành R gọi thô Z(R) = 0 Nếu R vành R nửa vành thô Nếu S nửa vành nửa vành R Z(S)  Z(R) Như vậy, nói riêng, nửa vành nửa vành thô nửa vành thô - 30 - 2.2.9 Mệnh đề Một Y-nửa vành giản ước nửa vành thơ Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa. Theo nghĩa đó, cỡ zeroic độ đo sai khác nửa vành vành, đóng vai trò quan trọng việc khảo sát sau Bây trở lại với khả nghịch- cộng tính khả nghịch nhân tính 2.2.10 Định nghĩa Một phần tử r nửa vành R gọi ước đơn vị (unit) tồn r’ R cho rr’=1=r’r Phần tử r’được gọi nghịch đảo r R Nếu r’ tồn phải Thật vậy, r” R thỏa mãn rr”=1=r”r r’=r’.1=r’(rr”)=(r’r)r”=1.r”=r” Do ta ký hiệu r’ r-1 Trực tiếp thấy r r’ ước đơn vị khả nghịchnhân tính R rr’)-1=r’-1r-1, (r-1)-1=r Từ suy trực tiếp r-1=(r’)-1 r=r’ Ký hiệu: U(R)={ r  R/  r’  R: rr’=1=r’r} Khi U(R)   U(R), U(R)  R  U(R) Hơn nữa, U(R) vị nhóm (R, ), mà thực tế U(R) nhóm Nếu U(R)=R\ 0 R gọi nửa vành với phép chia Nửa vành với phép chia nửa vành nguyên Tích trực tiếp nửa vành với phép chia nửa vành với phép chia Một nửa vành giao hoán với phép chia gọi nửa trường Chú ý R nửa vành đơn U(R)= 1 Thật vậy, a U(R) tồn b  R cho ab=1 Theo Mệnh đề 2.1.3, có a=a+ab=a+1 2.2.11 Ví dụ Các nửa vành (Q+, +, ), (Q+, max, ), (R+, +, ), (R+, max, ) rõ ràng nửa trường Một vành (Q+, +, ) nửa trường số nguyên tố p  N tồn số nguyên n(p) N cho n( p )  S \N (H.E.Stone, 1977) p - 31 - Y-nửa trường (R+, +, ) khảo sát Eihauer vào năm 1968, ơng không tồn hai Y- trường phân biệt (R+, +, ) đẳng cấu với 2.2.12 Ví dụ Giả sử G nhóm nhân thứ tự toàn phần giả sử R=G  0 Mở rộng thứ tự G tới R cách đặt  g g G Hơn nữa, định nghĩa 0g=g0=0 tất g G Thế (R+, max, ) nửa trường 2.2.13 Ví dụ (Cuninghame-Green, 1984) Đại số Schedule R=(R    ,  ,  ) nhắc đến Ví dụ 1.1.10, nửa trường Thật vậy, a   , có nghịch đảo – nhân tính a(-1)= -a Nếu n  N lũy thừa thứ n phần tử r  R r(n)=nr Nếu a b phần tử R min{a, b}=a+b-max{a, b}=[a  b][a  b](-1) Nếu t phần tử bất định R phần tử R[t] có dạng n p(t)=  (bi  t(i))= max{bi+it/0  i  n} Đại số đa thức nghiên cứu chi tiết i 0 Cuninghame-Green Meijer vào năm 1980 Nói riêng, đa thức p(t) có phân tích nhân tử dạng p(t)=a  p1(t)  …  pn(t) a  R pi(t) t t  bi với bi  R Chúng ta ý (N   ,  ,  ) nửa trường R Nếu S=Mn(R) số tự nhiên A=[aij] thuộc U(S) dịng cột A có phần khơng   2.2.14 Mệnh đề Một nửa vành với phép chia bất khả đối vành với phép chia Chứng minh Giả sử R khơng phải bất khả đối Thế tồn phần tử khác khơng a  R có nghịch đảo-cộng tính –a Nếu  c  R - 32 - c+ca-1(-a)=ca-1(a+(-a))=ca-10=0 c có nghịch đảo-cộng tính Như (R, +) nhóm R nửa vành, mà phải nửa vành với phép chia. Như trường hợp phép cộng, nói giản ước điều kiện yếu điều kiện khả nghịch- cộng tính Hơn nữa, phép nhân nửa vành tùy ý khơng giao hốn nên cần cẩn thận giữ vết phía Như phần tử a nửa vành giản ước- nhân tính phải ba=ca kéo theo b=c Tính giản ước –nhân tính trái định nghĩa tương tự Một phần tử a  R giản ước được- nhân tính giản ước nhân tính theo hai phía Rõ ràng ước đơn vị R giản ước được-nhân tính khơng có phần tử giản ước được-nhân tính R ước không Chúng ta ký hiệu K+(R) tập hợp tất phần tử giản ước được- nhân tính nửa vành R Vì  U(R)  K+(R) nên Kx(R)  ,  R nên Kx(R)  R Mặt khác, Kx(R) vị nhóm (R, ) Nếu phần tử khác không R giản ước được-nhân tính (trái, phải) nửa vành R gọi giản ước được- nhân tính (trái, phải) Nửa vành với phép chia nửa vành giản ước được-nhân tính 2.2.15 Ví dụ a Nửa vành N nửa vành giản ước được-nhân tính nửa vành với phép chia Thật U(N)= 1 b Nếu R miền nguyên giao hốn Nơte nửa vành lũy đẳng-cộng tính Iđêal(R) giản ước được- nhân tính R miền Priifer Tổng quát hơn, miền nguyên giao hoán R miền Priifer Iđêal khác không hữu hạn sinh R giản ước được- nhân tính (Larsen & Mecarthy, 1971) c Một phần tử nửa vành R giản ước được- nhân tính chắn khơng phải ước Điều ngược lại khơng nửa vành Thật vậy, giả - 33 -  1 sử R nửa vành M2(C+) giả sử A=   1 1  Thế A ước 1 a b  khơng   A=0 kéo theo a+b=0=c+d nên a=b=c=d=0 Mặt khác, A không c d  giản ước được- phân tính chẳng hạn 1  1 2 2   A=   A (Barbut, 1967) 2  2 2.2.16 Mệnh đề Nếu R Y- nửa vành giản ước phần tử tùy ý R- ước không-là giản ước –nhân tính Chứng minh Giả sử a phần tử R ước không; b, c  R thỏa mãn ba=ca Vì R Y-vành, tồn d  R cho b=c+d c=b+d Giả sử b=c+d ca+0=ca=ba=(c+d)a=ca+da Từ da=0 R giản ước Vì a ước không nên d=0 Như b=c, chứng tỏ a giản ước được- theo phép nhân bên phải Phép chứng minh a giản ước theo phép nhân trái hoàn toàn tương tự. 2.2.17 Mệnh đề Nếu R nửa vành điều kiện a  R kéo theo điều kiện (1) a+1=1; (2) an+1=1 tất n  N; (3) an+1=1 tất n  N Chúng tương đương R lũy đẳng cộng tính giản ước theo phép nhân Chứng minh (1)=> (2) Quy nạp theo n Giả sử n>1 ak+1=1 tất k(3) Hiển nhiên - 34 - (3)=>(1) Giả sử R lũy đẳng- cộng tính & giản ước theo phép nhân Nếu an+1=1 (a+1)n= an+an-1+…+1= an-1+…+1=(a+1)n-1 Do tính giản ước theo phép nhân, từ (a+1)n=(a+1)n-1 suy a+1=1. Bây ta xét tình tổng quát chút so với điều kiện ấn định Mệnh đề 2.2.17 Trong việc nghiên cứu Jacobson vành, phần tử quy đóng vai trị quan trọng Đó phần tử a R cho 1+a  U(R) Đối với nửa vành R, ký hiệu: G(R)={r  R/1+r  U(R)} Vì  G(R) nên G(R)  Nếu R vành G(R)=J(R)-căn Jacobson R 2.2.18 Ví dụ Giả sử R nửa vành S=Mn(R) n số nguyên lớn Nếu  i  j  n r  V(R), giả sử eij;r  S xác định bởi: eij;r(i,j)=r eij;r(h,k)=0 (h,k)  (i,j) [1s+eij;r].[1s+eij;-r]=1s=[1s+eij;-r].[1s+eij;r] ei.j;r  G(S) tất  i  j  n r  V(R) 2.2.19 Mệnh đề Tập hợp U(R)  G(R) đóng phép lấy nghịch đảo Chứng minh Giả thiết a  U(R)  G(R) Thế a-1  U(R) Vì a G(R) nên 1+a  U(R) Thế a(1+a-1)=a+aa-1=a+1  U(R) nên 1+a-1=(a-1)(a+1) U(R) Như a-1  G(R). 2.2.20 Định nghĩa Nửa vành R gọi nửa vành Gelfand R=G(R) Bằng lập luận quy nạp, thấy R nửa vành Gelfand n.1R  U(R) số nguyên không âm n Gelfand người xét điều kiện không gian Banch (1941) Sowikowski & Zawadowski tổng quát cho nửa vành (vào năm 1955) 2.2.21 Ví dụ a Nửa vành đơn nửa vành Gelfand Như nửa vành Ví dụ 1.1.4 nửa vành Gelfand - 35 - b Nửa vành N nửa vành bất khả đối nửa vành Gelfand Thật vậy, G(N)= 0 U(N)= 1 Ví dụ chứng tỏ G(R)  U(R) tập rỗng nửa vành c Giả sử A tập hợp khác rỗng có nhiều phần tử giả sử R=(R+)A Đây nửa vành không đơn Mặt khác, U(R)={ f  R/ f (a)>0 tất a  A} R nửa vành Gelfand Như hệ trực tiếp định nghĩa, ta thấy họ nửa vành Gelfand đóng phép lấy tích trực tiếp 2.2.22 Mệnh đề Một nửa vành R nửa vành Gelfand r+c  U(R) c  U(R) r  R Chứng minh Nếu điều kiện phát biểu R nửa vành Gelfand Đảo lại, giả sử R mộ nửa vành Gelfand, r R c  U(R) Thế d=c-1r+1 ước đơn vị R r+c=cd  U(R). 2.2.23 Mệnh đề Nếu R nửa vành Gelfand cho tồn số nguyên dương n>m thỏa mãn n1R = m1R R lũy đẳng cộng tính Chứng minh Đặt h=n-m Khơng tính tổng qt, giả thiết h>1 n1R=m1R (n+h)1R=m1R Nếu k  m k1R=k1R+th1R số ngun khơng âm t Chọn số nguyên dương w cho hw > m Thế hw1R+hw-1h1R=2hw1R hw > m Vì R nửa vành Gelfand nên hw.1R  U(R) 1R=2.1R Do a =2a tất a  R, chứng tỏ R lũy đẳng cộng tính. Vì (h+k)1R=h1R+k1R hk1R=(h1R)(k1R) số nguyên không âm h k, nên nửa vành tùy ý R, tập B(R)={h1R|h N} nửa vành C(R), gọi nửa vành sở R Theo Mệnh đề 2.2.22, thấy R nửa vành Gelfand, B(R)={0, 1} B(R) - 36 - coppy N Hơn nữa, R nửa vành Gelfand, ý, B(R)  U(R) 2.2.24 Mệnh đề Giả sử R nửa vành Gelfand giả sử h, k, n số nguyên không âm Thế h1R(k1R)-1+m1R(n1R)-1=(hn1R+km1R)(kn1R)-1 Chứng minh Vì R nửa vành Gelfand nên n1R  U(R) số tự nhiên n Do tính phân phối giao hốn phần tử có dạng n1R, ta có: [h1R(k1R)-1+m1R(n1R)-1](kn1R)=hn1R+km1R cách nhân hai vế đẳng thức cuối với (kn1R)-1 ta nhận đẳng thức cần chứng minh. KẾT LUẬN Luận văn thực vấn đề sau: Trình bày khái niệm sở nửa vành, cách xây dựng tích trực tiếp nửa vành ma trận nửa vành Chứng minh số tính chất nửa vành đơn (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.5); nửa vành lũy đẳng cộng tính (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.12, Mệnh đề 2.1.13) mối liên hệ hai lớp nửa vành (Mệnh đề 2.1.10) Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất Y-nửa vành (Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.9) Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất nửa vành Gelfand (Mệnh đề 2.2.22, Mệnh đề 2.2.23, Mệnh đề 2.2.24) - 37 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Lê Quốc Hán (2009), Bài giảng Đại số đại, Đại học Vinh 2 S Lang (1974), Đại số ( tập 1, 2, 3), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 3 Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết mô đun lý thuyết vành, Nxb Giáo dục Tiếng Anh 4 Jonathan S.Golan (1992), The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific technical, copublished in the United States with John & Sons Ins New York 5 Cao Zhigiang (1984), Comparison between two kinds of semilate semigroups, Acta Math Scientica 4, 311-317 6 Ernest G.Manes, Michad A Arbib (1985), The inverse semigroup of sum – ordered semiring, Semigroup Forum 31, 129-152 7 Olga Sokratova (2002), On semimodules over commutative, additively idempotent semirings, Semigroup Forum 64, 1-11 - 38 - 8 Takayuki Tamura (1981), Note on semirings whose multiplicative semigroups are groups, in Naamakura (ed): Proceeding of the 5th Symyposium on semigroups, Josai University, Sakado ... thức lớp nửa vành lũy đẳng cộng tính, tìm hiểu số lớp nửa vành: nửa vành đơn, nửa vành lũy đẳng cộng tính, nửa vành giản ước được, nửa vành Gelfand… Luận văn gồm chương: Chương Cơ sở lý thuyết nửa. .. Z(R)=R nửa vành R gọi nửa vành zeroic Nếu ngược lại khơng zeroic Nếu R có phần tử vơ hạn R nửa vành zeroic Một nửa vành R gọi thô Z(R) = 0 Nếu R vành R nửa vành thơ Nếu S nửa vành nửa vành R... gọi nửa vành với phép chia Nửa vành với phép chia nửa vành nguyên Tích trực tiếp nửa vành với phép chia nửa vành với phép chia Một nửa vành giao hoán với phép chia gọi nửa trường Chú ý R nửa vành