43) Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn. Trong công ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọ[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP I – Giai thừa:
1) Cho n2 Chứng minh rằng:
2
2 !
1 !
n n
n n
2) Cho x>0, nN Chứng minh rằng:
2
1
2! 3! !
n
x x x x
e x
n
3) Giải phương trình:
! ! ! !
2 ! ! !
x x x x
x x x
4) Chứng minh :
2
! n
n n
5) Với n số lẻ, n3, x0 Chứng minh:
2 3
1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
6)
1 !
! !
6
6! ! 5! ! 6! !
n
n n
n
n n n
7) 1.1! 2.2! n n !n1 ! 1. II – Chỉnh hợp – hốn vị:
8) Giải phương trình :
5 720 n
n n
P A P
9) Giải phương trình :
3
1
1
3
2
n n n
A A P
10) Chứng minh:
2 2
1 5
1
!
2
k n n n n
P A C A n k A
11) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện: a) An3 20n; b)
5
2
18
n n
A A ; c) An2 A1n 3
Hốn vị:
12) Có cách xếp người khách gồm nam nữ ngồi vào hàng ghế nếu: a) họ ngồi chỗ được?
b) họ ngồi kề nhau?
c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống? 13) Có cách xếp chỗ ngồi cho người khách
a) vào ghế xếp thành dãy
b) vào ghế chung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế
14) Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách đổi chỗ đứng lẫn Cho lần đổi chỗ chụp ảnh phút, hỏi cần để chụp tất ảnh khác nhau?
15) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác khác biết tổng ba chữ số 8? 16) Một dãy ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ
(2)c) có nữ sinh ngồi kề
17) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác biết tổng ba chữ số 12?
Một phịng khách có chỗ đặt tranh, ảnh tượng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp đặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai tượng khác vào chỗ cịn lại Hỏi có cách trang trí phịng khách?
18) Ta muốn mời người ngồi vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có người bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau?
c) Có người bọn họ không muốn ngồi kề đôi một?
19) Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ ?
b) nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c) nam nữ ngồi đối diện ?
d) nam nữ ngồi xen kẽ đối diện ? Chỉnh hợp:
20) Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ số cho, cho:
a) Số chẵn
b) Số chia hết cho c) Ln có mặt chữ số
21) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ chữ số cho cho số lẻ đứng liền
22) Cho số : 0,1,2,3,4,5,6
a) Có thể lập số gồm chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt lần
b) Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần
23) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số từ số khác lấy từ số cho Sao cho:
a) Ln có mặt chữ số b) Số chia hết cho c) Không chữ số
24) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho:
a) Số đầu số cuối giống nhau, số khác b) chữ số đầu chữ số cuối giống
25) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a) Có thể lập số gồm 10 chữ số cho số có mặt lần, số có mặt lần Các số khác có mặt lần
(3)26) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số gồm chữ số cho số chẵn khơng đứng liền
27) Một nhóm người thành lập công ty Họ muốn chọn ban điều hành gồm giám đốc,một phó giám đốc thủ qũy Có 10 người hội đủ điều kiện để chọn Hỏi có cách chọn ban điều hành?
28) Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11m Có cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? ( Kể thủ môn)
b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số 4?
29) Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu:
a) Người có tượng khác nhau? b) Người có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau?
30) Với năm số 1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số số có mặt hai lần số cịn lại số có mặt lần?
31) Có số tự nhiên gồm chữ số khác biết rằng: a) số chia hết cho 5?
b) số phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?
32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác a) Có số nhỏ 5000 ?
b) Có số chẵn nhỏ 7000 ? III – Tổ hợp:
32)
33) Một lớp học có 30 học sinh Trong có 12 nữ, cần thành lập tổ cơng tác gồm người Có cách lập cho tổ có nữ
34) Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho
35) Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút “ đề thi ” thí sinh này) a) Có đề thi khác nhau? ( Hai đề thi coi khác có câu khác
nhau )
b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có thí sinh gặp đề thi
36) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn học sinh để trực thư viện Có cách chọn nếu:
a) Chọn học sinh được? b) Có nữ sinh chọn? c) Có nữ sinh chọn?
(4)38) Cho tập X = {a, b, c, d } Có tạp X a) Không chứa phần tử a?
b) Chứa phần tử a?
39) Một bình đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a) Có kết khác nhau?
b) Có cách lấy viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu?
40) Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, học sinh Có cách chia?
41) Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n4).
a) Tính số đường chéo đa giác này;
b) Biết ba đường chéo không qua đỉnh khơng đồng quy, tính số giao điểm ( khơng phải đỉnh ) đường chéo
42) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn nhóm học sinh Có cách chọn nhóm phải có nữ sinh?
43) Giám đốc công ty muốn chọn nhóm người vào hội đồng tư vấn Trong cơng ty có 12 người hội đủ điều kiện để chọn, có hai cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn nếu: a) Hội đồng có cặp vợ chồng?
b) Hội đồng gồm vợ lẫn chồng ( có )?
44) Tính số đường chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số đường chéo 45) (ĐH-B-2002) Cho đa giác A A A1 2n(n2,n Z )nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác
có đỉnh 2n điểm A A1, 2, ,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A A1, 2, ,A2n, tìm n?.
46) (ĐH-B-2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2?
47) (ĐH-B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ?
48) Chứng minh rằng:
1
2
2
k k k k
n n n n
C C C C k n
49) Chứng minh rằng:
1
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
50) a) Chứng minh : 11
k k k
n n n
C C C
b) Chứng minh với 4kn thì: 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
51) Giải phương trình: 3.Cx21 2.Ax2 x 52) Giải phương trình:
a)
3
1 14 ;
x
x x
A C x
b)
2
2
1
x x x
(5)53) Giải bất phương trình: a)
4
1
5
0
x x x
C C A
b) 3 14 x x x A P C
54) Giải bất phương trình: 12 11 2000
x x
x x
C C
IV – Nhị thức Newton:
55) Chứng minh bất đẳng thức:
1
n 2n
n n n
C C C n
56) Chứng minh: 1
k k k k k
k k k k m k m
C C C C C
57) Cho mkn Chứng minh: C Cm0 nk C Cm1 nk C Cm2 nk C Cmm nk m Cm nk
58) Chứng minh rằng:
0 1 k k 1 n n 0.
n n n n n
C C C C C
59) a) Chứng minh:
1 0 .1 2 .
1 n n n
n n n n
C C C C
n
b Chứng minh:
2
2 2
n n n
n k n k n
C C C
60) a) Chứng minh: 2.1.Cn2 3.2.Cn3 n n. Cnn n n. n
b) Chứng minh:
2 2
0
2
n n
n n n n
C C C C
61) Tìm x để khai triển:
6
12 lgx
x x
có số hạng thứ 200.
62) Trong khai triển
17 x x
Tìm số hạng khơng chứa x khai triển.
63) (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton
7 x x
với x >
64) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
1x51x61x7 1x11. Ta đa thức: P( )x A0A x A x1 2 A x11 .11
Tính A7=?
65) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức
9
2
1x x
Ta đa thức:
2
0
x
P A A x A x Tính A7
66) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức:
8
1 x x
(6)67) Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức:
2
1 1
x
P x x x x
68) Trong khai triển:
7 x x
.Tìm số hạng chứa x2của khai triển đó.
69) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8trong khai triển nhị thức Newton của:
5 n x x ,
biết rằng: 14 7( 3)
n n
n n
C C n
( n số nguyên dương, x > )
70) (ĐH-D-2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n3là hệ số x3n3trong khai triển thành đa thức
của
2 1 n 2 n
x x
Tìm n để a3n3 26 n
71) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton của:
7 n x x ,
biết rằng: 21 22 23 220
n
n n n n
C C C C ( n số nguyên dương, x > ).
72) Trong khai triển:
21 3 a b b a
Tìm số hạng có số mũ a b nhau.
73) Tìm giá trị lớn giá trị: C C Cn0, 1n, n2, ,Cnn 74) Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển:
n
a b , biết tổng hệ số 4096.
75) (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1
n n
n
x a a x a x
Trong n N * hệ số 0, 1, , n
a a a thỏa mãn hệ thức: 4096
2
n n
a a
a
Tìm số lớn số: a a0, , , an 76) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1 1
0 1
3 3
2 2
2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
( n số
nguyên dương ) Biết khai triển Cn3 5C1nvà số hạng thứ tư 20n, tìm n x. 77) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n cho:
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
78) (ĐH-B-2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng:
2
0 1 2 .
2
n
n
n n n n
C C C C
n
(7)80) (ĐH-D-2005) Tính giá trị biểu thức:
4
1 ,
1 !
n n
A A
M n
biết rằng:
2 2
1 2 149
n n n n