Một số Định hướng khi giải phương trình lượng giác

- 1 - LƯỢNG GIÁC Phần 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 2cos k k                                       2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin k k                  2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng:       sin sinacosb sinbcosa cos cosa cosb sinasinb tan tan tan b 1 tan tan a b a b a b a a b           Công thức nhân: 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin 3tan tan tan3 = 1 3tan a a a a a a a a a a a a a a a a a a              Tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(ab)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b     sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b      sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 2 (1+cos2a); sin 2 a = 1 2 (1cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  : 2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t       3. Phương trình LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k             * cosu=cosvu=v+k2  * tanu=tanv  u=v+k  * cotu=cotv  u=v+k    Z k  . 4. Một số phương trình LG thường gặp www.VNMATH.com - 2 - 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c   . Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a   , ta được: sinx+tan  cosx= cos c a   sinx cos  + sin  cosx= cos c a   sin(x+  )= cos c a  sin   ñaët . Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b  , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b       . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b      hay   2 2 sin sin c x a b       ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t  . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k     . + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x             Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. Chú ý:+ Cách giải 1 được áp dụng đối với phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx! + Phương trình chỉ chứa sinx và cosx mà mỗi đơn thức trong đó có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ được coi là phương trình đẳng cấp (nhờ hệ thức 2 2 sin cos 1 x x   ) 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t  2  . sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x                    Löu y ùcaùc coâng thöùc : Chú ý: Với sin cos t x x   thì 3 3 3 3 3 sin cos 2 t t S x x      ; 4 2 4 4 4 2 1 sin cos 2 t t S x x       ; 2 1 2 1 sin cos . 2 n n n n n t S x x S t S              5. Phương trình đối xứng đối với tan x và cot x Phương trình được đại số hóa nhờ phép đặt 2 tan cot sin2 t x x x    . Điều kiện 2 t  . Khi đó 2 2 2 2 tan cot 2 S x x t     ; 3 3 3 3 tan cot 3 S x x t t     4 4 4 2 4 tan cot 4 2 S x x t t      ; 1 2 tan cot . n n n n n S x x t S S       Chú ý: Nếu phương trình cần đặt tan cot 2cot2 t x x x     thì không cần điều kiện cho t.và khi đó 2 2 2 2 tan cot 2 S x x t     www.VNMATH.com - 3 - Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x         cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2). Giải Ta có (2)  cos 6 x(2cos 2 x1) = sin 6 x(12sin 2 x) cos2x(sin 6 x–cos 6 x) = 0  cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0 cos2x = 0  2 ,( ) 2 4 2 π π kπ x kπ x k       Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0 x x x x     (3). Giải Ta có: 3 3 3 2 2 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2 2 2(cos2 cos2 cos4 ) 2 cos 2 (1 cos4 ) 2 2 2 cos2 .cos 2 cos2 4 2 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π x x x x                             ,( ) kπ k  Phương pháp 2:Đặt thừa số chung. Những phương trình loại này đòi hỏi kĩ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phép giải. Ở đây chỉ nêu lên một vài kinh nghiệm. Trước hết, ta cần nắm được những họ các biểu thức có thừa số chung thường gặp sau:   f x Biểu thức chứa thừa số   f x sinx sin2x ; sin3x; tanx; tan2x; tan3x… cosx sin2x ; cos3x; tan2x; cotx; cot3x… 1+cosx 2 2 2 2 cos ;cot ;sin ;tan 2 2 x x x x 1-cosx 2 2 2 2 sin ;tan ;sin ;tan 2 2 x x x x 1+sinx 2 2 2 2 cos ;cot ;cos ; sin 4 2 4 2 x x x x                 1-sinx 2 2 2 2 cos ;cot ;cos ; sin 4 2 4 2 x x x x                 sinx+cosx cos2 ;cot2 ;1 sin2 ;1 tan ;1 cot ;tan cot x x x x x x x     cosx-sinx cos2 ;cot2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ;tan cot x x x x x x x     Ví dụ 4: Giải phương trình sin sin2 sin3 0 a x b x c x    HD:   3 sin 2 sin cos 3sin 4sin 0 PT a x b x x c x x      www.VNMATH.com - 4 -   2 sin 4sin 2 cos 3 0 x x b x a c       Ví dụ 5: Giải phương trình 1 tan 1 sin2 1 tan x x x     HD: ĐK: tan 1 4 cos 0 2 x k x k Z x x k                       PT       1 sin cos sin cos 0 1 tan cos x x x x x x               2 2 2 2 cos sin 1 sin cos 0 cos sin sin cos 0 tan 1 cos2 1 cos sin 1 0 x x x x x x x x x x x x                             Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x  (4). Giải Ta có (4) 4 4 4 2 1 cos 2 1 cos2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x                      Đặt cos 2 2x = t, với t[0; 1], ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 13 4 4 2 t t t t t t                  Vì t[0;1], nên 2 1 1 cos 4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x       cos4x = 0  4 ,( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k       Ví dụ 7. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x k π k x x x x              Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2 t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0  t 2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2 ( 4 t π x x x nπ n t lo                ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π x n π    ; 2 , ( , ) x k π n k    Phương pháp 4: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 8. Giải phương trình: |sin | cos x π x  (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0, x  nên |sin | 0 1 x π π   , mà |cosx| ≤ 1. www.VNMATH.com - 5 - Do đó 2 2 2 0 | sin | 0 ,( ) (6) 0 | cos | 1 ,( ) k n x k π k π n x x kπ k x x nπ x nπ x x nπ n                                         (Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 5: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 9: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x   . Giải Đặt 2 ( )=cos 2 x f x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x    , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 10: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; 2 π       thoả mãn phương trình: 2 2 sin cos 2 n n n x x    . Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x. = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; 2        , ta có minf(x) = f 4        = 2 2 2 n  Vậy x = 4  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n       2. tanx.sin 2 x2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ; 2 4 3 x k x n           3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m               4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 x k   . 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l               với 1 sin 4    . 6. sinx4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k     . 7. sin 3 sin2 .sin 4 4 x x x                  ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k     8. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 x k   . www.VNMATH.com - 6 - 9. 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   ĐS: 4 8 5 8 x k x k x k                        10. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin cos x x x x x x    HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x = 3 k     , 4 x k      11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k             12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). HD (1) 2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. 2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1 t  , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 .    1 1 2 cos 2 sin - 2 t x t x          loaïi …(biết giải) 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1 t  . 2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … =(4cosx–1) 2 . 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 15. Giải phương trình lượng giác:   2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x     Giải: Điều kiện:   cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x         Từ (1) ta có: cos .sin 2 2 sin cos x x x x      2 4 2 4 2 4 DK x k k x k k x k                           16. Giải phương trình:   4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x    (1) Giải:Điều kiện: sin 2 0 x  2 1 1 sin 2 1 sin cos 2 (1) sin2 2 cos sin x x x x x x           2 2 1 1 sin 2 1 1 2 1 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 sin 2 2 x x x x x         Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 17. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x           . www.VNMATH.com - 7 - Giải:Pt 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x           (cosx )0  2 1 cos 2 cos 2sin .cos sin 2 x x x x x                    (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phương trình:     3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0 x x c x c x x        . HD 2 3 2 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 PT x x x x x x x x          2 2 ( 3cos sin )( 2cos 6cos 8) 0 tan 3 3cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai) x x x x x x x x x x x                         lo , 3 2 x k k x k              19. Giải phương trình: cosx=8sin 3 6 x         HD: cosx=8sin 3 6 x          cosx =   3 3sin cos x x   3 2 2 3 3 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0 x x x x x x x      (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)  3 2 3 3tan 8tan 3 3 tan 0 x x x    tan 0 x x k      20. Giải phương trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x     Giải: Phương trình  (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( ) x x x x loai              2 2 2sin 1 sin sin ( ) 4 4 4 2 x k x x k Z x k                        21. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 ĐS: x = 3 2 k    (kZ) 22. Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8  HD: Ta có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8   cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8     2 2 2 3 2 cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin 2 x x x x x x       2 cos4 , 2 16 2 x x k k Z         . 23. Định m để phương trình sau có nghiệm 2 4sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0 4 4 4 x x x x x m                             Giải: Ta có: *   4sin3 sin 2 cos2 cos 4 x x x x   ; *   4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 cos4 4 4 2 x x x x x x                                   *   2 1 1 cos 2 1 cos 4 1 sin 4 4 2 2 2 x x x                           Do đó phương trình đã cho tương đương:   1 1 2 cos2 sin 2 sin 4 0 (1) 2 2 x x x m     Đặt cos2 sin 2 2 cos 2 4 t x x x            (điều kiện: 2 2 t   ). www.VNMATH.com - 8 - Khi đó 2 sin4 2sin 2 cos2 1 x x x t    . Phương trình (1) trở thành: 2 4 2 2 0 t t m     (2) với 2 2 t   2 (2) 4 2 2 t t m     Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ): 2 2 D y m   (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4 y t t   với 2 2 t   . x 2  2 y’ + y 2 4 2  2 4 2  Trong đoạn 2; 2      , hàm số 2 4 y t t   đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2  tại 2 t   và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2  tại 2 t  . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2 m     2 2 2 2 m    . o0o Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT Bài 1: Tìm nghiệm thuộc (0;2 )  của pt: os3 sin3 5 sin os2 3. 1 2sin 2 c x x x c x x            (A 2002) ĐS: 1 2 5 ; . 3 2 x x     Bài 2: Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6 . x c x x c x    (B 2002) ĐS: ; ( ). 9 2 x k x k k       Bài 3: Tìm x thuộc   0;14 nghiệm đúng pt: cos3 4cos2 3cos 4 0. x x x     (D 2002) ĐS: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         . Bài 4: Giải phương trình: 2 os2 1 cot 1 sin sin 2 . 1 tan 2 c x x x x x      (A 2003) ĐS: ( ). 4 x k k       Bài 5: Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 (1) sin 2 x x x x    (B 2003) ĐS: , . 3 x k k        Bài 6: Giải phương trình: 2 2 2 sin tan os 0. 2 4 2 x x x c           (D 2003) ĐS: 2 ( ). 4 x k hay x k k            Bài 7: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện os2 2 2 os 2 2 osC=3. c c c    Tính ba góc của tam giác ABC. (A 2004) ĐS: 0 0 90 45 C           Bài 8: Giải phương trình: 2 5sin 2 3(1 sin ) tan . x x x    (B 2004) ĐS: 2 6 x k     hoặc 5 2 , 6 x k k       . Bài 9: Giải phương trình: (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin . x x x x x     (D 2004) www.VNMATH.com - 9 - ĐS: 2 à , . 3 4 x k v x k k             Bài 10: Tìm nghiệm trên (0; )  của pt: 2 2 3 4sin 3 os2 1 2cos 2 4 x c x x            . (Dự bị 1A 2005) ĐS: 1 2 3 5 17 5 ; ; . 18 18 6 x x x       Bài 11: Giải phương trình: 3 2 2 os 3cos sin 0 . 4 c x x x            (Dự bị 2A 2005) ĐS: , . 2 4 x k hay x k k           Bài 12:Giải phương trình: 2 2 3 sin cos2 os (tan 1) 2sin 0 x x c x x x     (Dự bị 1B 2005) ĐS: 5 2 2 , . 6 6 x k hay x k k           Bài 13: Giải phương trình: 3 sin tan 2. 2 1 cos x x x            (Dự bị 1D 2005) ĐS: 5 2 2 , . 6 6 x k hay x k k           Bài 14: Giải phương trình: 2 2 os2 1 tan 3tan . 2 os c x x x c x            (Dự bị 2B 2005) ĐS: ; . 4 x k k        Bài 15: Giải phương trình: sin 2 os2 3sin cos 2 0. x c x x x      (Dự bị 2D 2005) ĐS: 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 ( ) 2 6 6 x k x k x k x k k                   Bài 16: Giải phương trình: 2 2 cos 3 cos2 os 0. x x c x   (A 2005) ĐS: ( ). 2 x k k     Bài 17: Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 os2 0. x x x c x      (B 2005) ĐS: 2 2 ( ). 3 x k k        Bài 18: Giải phương trình: 4 4 3 os sin os sin 3 0. 4 4 2 c x x c x x                     (D 2005) ĐS: ( ). 4 x k k       Bài 19: Giải phương trình: 6 6 2( os sin ) sin cos 0. 2 2sin c x x x x x     (A 2006) ĐS: 5 2 , ( ). 4 x m m       Bài 20: Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4. 2 x x x x          (B 2006) ĐS: 5 ; ( ), 12 12 x k x k k           Bài 21: Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0. c x c x x     (D 2006) ĐS: 2 2 ( ). 3 x k k        Bài 22: Giải phương trình: 3 3 2 os sin 2sin 1 (1). c x x x   (Dự bị 1D 2006) ĐS: 4 x k     ; 2 ( ). 2 x k k        Bài 23:Giải phương trình: 1 4 2 2(2 1)sin(2 1) 2 0 x x x x y         (Dự bị 1D 2006) www.VNMATH.com - 10 - ĐS: 1 à 1 2 , . 2 x v y k k          Bài 24: Giải phương trình: cos2 (1 2cos )(sin -cos ) 0 x x x x    (Dự bị 2B 2006) ĐS: ; 2 ; 2 ( ). 4 2 x k x k x k k               Bài 25: Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 x x x x     (Dự bị 2D 2006) ĐS: 2 2 ; 2 2 3 x k x k           , . k   Bài 26: Giải phương trình: 2 2 2 (2sin 1)tan 3(cos 1) 0 x x x     (Dự bị 1B 2006) ĐS: , . 6 2 x k k        Bài 27: Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6 x x            (Dự bị 2A 2006) ĐS: 7 ; 2 6 x k x k       , . k   Bài 28:Giải phương trình: 3 3 2 3 2 os3 cos sin3 sin 8 c x x x x    (Dự bị 1A 2006) ĐS: , . 16 2 x k k        Bài 29:Giải phương trình: 2 2sin 2 sin 7 1 sin . x x x    (B 2007) ĐS: 2 5 2 ; ( ). 8 4 18 3 18 3 x k x k hay x k k               Bài 30: Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2. 2 2 x x c x          ( D 2007) ĐS: 2 2 ( ). 2 6 x k hay x k k            Bài 31: Giải phương trình: 2 2 (1 sin )cos (1 os )sin 1 sin 2 . x x c x x x      (A 2007) ĐS: ; 2 ; 2 ( ). 4 2 x k x k x k k              Bài 32: Giải phương trình: 5 3 sin os 2 os . 2 4 2 4 2 x x x c c                   (Dự bị 1B 2007) ĐS: 2 ; 2 ; 2 , . 3 3 2 x k x k x k k               Bài 33: Giải phương trình:   2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos . x x x x x     (Dự bị 2A 2007) ĐS: 2 , . 3 x k k       Bài 34: Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 . 2sin sin2 x x x x x     (Dự bị 1A 2007) ĐS: ( ). 4 2 x k k       Bài 35:Giải phương trình: sin3 3cos 2sin 2 . x x x   (CĐ 2008) ĐS: 4 2 ( ). 15 5 k x k       Bài 36: Giải phương trình: 2sin (1 os2 ) sin 2 1 os2 . x c x x c x     (D 2008) ĐS: 2 ; 2 ( ). 4 3 x k x k k            Bài 37: Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3 os sin cos 3sin cos . x c x x x x x    (B 2008) www.VNMATH.com [...]... 2  k    6 6 Bài 44: Giải phương trình  sin 2 x  cos 2 x  cos x  2 cos 2 x  sin x  0   ĐS: x   k  k    4 2 Bài 45: Giải phương trình sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0  5 ĐS: x   k 2  x   k 2  k    6 6 Bài 46: Giải phương trình 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x 1  cot 2 x    k hay x =  k 2 (k  Z) 2 4 Bài 47: Giải phương trình sin 2 x cos x  sin... , x    2k  ,  k    42 7 6 Bài 41: Giải phương trình 3 cos 5 x  2 sin 3 x cos 2 x  sin x  0     ĐS: x   k , x    k ,  k    18 3 6 2 (B 2009) ĐS: x  2 Bài 42: Giải phương trình 1  2sin x  cos x  1  sin x  cos x ĐS: x  (D 2009) (CĐ 2009)  5  k , x   k ,  k    12 12 1  sin x  cos 2 x  sin  x   Bài 43: Giải phương trình ĐS: x     4  1  tan x  1 cos...www.VNMATH.com     k ; x    k (k  ) 4 2 3 1 1 Bài 38: Giải phương trình:  3 sin x  sin  x  2    5 ĐS: x    k ; x    k hay x   k 4 8 8 ĐS: x  Bài 39: Giải phương trình:  7   4 sin   x    4    (A 2008) ( k  ) 1  2 sin x  cos x  1  2 sin x 1  sin x  3 (A 2009)  2 k , k   18 3 Bài 40: Giải phương trình: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2  cos 4 x... 2 (k  Z) 2 4 Bài 47: Giải phương trình sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x   ĐS: x =  k 2 hay x =  + k2 hay x =   k 2 (k  Z) 2 3 s in2x  2cos x  sin x  1 Bài 48: Giải phương trình 0 tan x  3  ĐS: x   k 2 ( k  ) 3 (Khối B_2010) (Khối D_2010) (Khối A_2011) ĐS: x = - 11 - (Khối B_2011) (Khối D_2011) . 4. Một số phương trình LG thường gặp www.VNMATH.com - 2 - 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải. giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0.          Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x  (4). Giải Ta có (4) 4 4 4