Phơng trình lợng giácA... Tìm nghiệm trong những trờng hợp này... Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx.. Phơng trình đối xứng đối với tanx và cotx... Bây giờ ta xét đến trờng hợp tổ
Trang 1Phơng trình lợng giác
A Phơng trình lợng giác gần cơ bản:
Câu 1:
Giải phơng trình:
a) sin3x =
2
2 b) ) 1
5 2 sin( x− π = c) sin(xπ ) = 0
Kq:
a)
+
=
+
=
3
2 4
3
2 12
π π
π π
k
x
k
x
với k ∈ Z
20
7
Z k k
x= π + π ∈
c) x = k (k ∈ Z)
Câu 2:
Giải phơng trình:
2 cos(
) 3
3
cos( x−π = x+π b)
5 cos 2
4 2 sin(
cosx= x+π
Kq:
a)
+
−
=
+
=
2
24
12
5
π π
π π
l x
k x
10 k k Z
2 24
12
5
Z k k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π π
Câu 3:
Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình
0 ) sin(
) 2
1 2
(
cos π x2 + x− − πx2 =
Giải:
Ta có:
) 2
cos(
)
sin( πx2 = π − πx2
nên phơng trình đã cho trở thành:
) 2 cos(
) 2
1 2
(
cosπ x2 + x− = π −x2
⇔
⇔ 2x2 + 2x – 1 – 2k =0 (1) hoặc x = k (2) (với k ∈ Z)
Do k ∈ Z nên nghiệm dơng nhỏ nhất có đợc từ (2) là x = 1
Trang 2Xét (1) : ∆ 'x = 4k+ 3 nên (1) có nghiệm khi
4
3 0
3
4k+ ≥ ⇔k ≥ − , do k ∈ Z nên
k ≥ 0 Khi đó: nghiệm dơng của (1) là 0
2
3 1 2
3 4 1
>
+
−
≥ + +
−
x
Khi k = 0 ta có
2
1
3 −
=
x < 1
Vậy nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình đã cho là:
2
1
3 −
=
Câu 4:
Giải phơng trình :
cos( π sinx) = cos( 3 π sinx)
kq:
) ( 6
k
x
k
x
∈
+
±
=
=
π
π
π
Câu 5:
B Phơng trình Asinx + Bcosx = C
Câu 1:
Cho phơng trình: sinx + mcosx = 1
a) Giải phơng trình với m = - 3
b) Tìm m để pt vô nghiệm
Kq:
2 6
5
2
k x
k
x
∈
+
−
=
+
=
π π
π π
b) mọi m
Câu2:
Tìm x sao cho:
x
x
y
cos
2
sin
1
+
+
= là số nguyên
Giải:
Ta tìm miền giá trị của y, tức là tìm y để pt y
x
x = +
+
cos 2
sin 1
có nghiệm đối với ẩn x
Do 2 + cosx ≠ 0 với mọi x nên pt tơng đơng với :
sinx - y.cosx = 2y – 1
Điều kiện để pt có nghiệm là:
1 + y2 ≥ (2y - 1)2 ⇔ 3y2 -4y ≤ 0
3
4
0 ≤ ≤
Trang 3Do đó y là số nguyên
−
= +
+
−
=
⇔
=
−
−
=
⇔
=
=
⇔
2
2 )
4 cos(
2 2 1
cos sin
1 sin
1
0
π
π π
x
k x
x x
x y
y
) ( 2
2 2 2
2 2
2 2
2 4
3 4
2
k x
k x
k x
k x
k x
k x
k
x
∈
+
−
=
+
=
⇔
+
−
=
+
=
+
−
=
⇔
+
±
=
+
+
=
⇔
π π
π π π
π
π π
π π
π π π
π π
Câu 3:
Cho hàm số f(x) = acosx + bsinx bằng không tại x1 và x2 sao cho x1 – x2
π
k
≠
với mọi k ∈ Z.
Chứng minh rằng f(x) = 0 với mọi x
Giải:
Giả sử a2 + b2 ≠ 0 Do f(x1) = f(x2) = 0 nên
= +
= +
0 sin cos
0 sin cos
2 2
1 1
x b x a
x b x a
= +
+ +
= +
+ +
⇔
) 2 ( 0 sin cos
) 1 ( 0 sin cos
2 2 2 2 2
2
1 2 2 1 2
2
x b a
b x
b
a
a
x b a
b x
b
a
a
2 2 2
2 2
+ +
b b
a
a
nên tồn tại ϕ ∈[0 ; 2 π) sao cho:
+
=
+
=
2 2
2 2
sin
cos
b a b
b a a
ϕ ϕ
2
2 0
) cos(
0 ) cos(
2 1 2 2
1 1
2
k x
k x
x
x
∈
+
=
−
+
=
−
⇔
=
−
=
−
π
π ϕ
π
π ϕ ϕ
ϕ
π
π k k
k
x
⇒ 1 2 ( 1 2) với k = k1 – k2 ∈ Z mâu thuẫn với giả thiết Vậy a2
+ b2 = 0
suy ra: a = b = 0 nên f(x) = 0 với mọi x (đpcm)
Câu 5:
Giải pt:
Sin 8x – cos6x = 3(sin6x + cos8x)
Trang 4) ( 7 12
4
) ( 2 6 6
5 3
8
2 6
6 3
8
) 6 6 sin(
) 3
8
sin(
6 cos 2
1 6 sin 2
3 8 cos 2
3 8
sin
2
1
6 cos 6
sin 3 8 cos 3 8
sin
Z k k x
k
x
Z k k
x x
k x
x
x x
x x
x x
x x
x x
pt
∈
+
=
+
=
⇔
∈
+
−
=
−
+ +
=
−
⇔
+
=
−
⇔
+
=
−
⇔
+
=
−
⇔
π π
π π
π π
π
π π π
π π
Câu 6:
Giải các pt:
a) sin2x - 3cos2x = 3
b) Sinx + cosx = 2sin4x
c) Cos7x – sin5x = 3(cos5x – sin7x)
d) Sin2x – 2cos2x = 0,5 – sin2x
Câu 7:
Cho pt:
(m + 1)cosx + (m – 1)sinx = 2m + 3
a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Chứng minh rằng: không có quá hai giá trị của m để pt có hai nghiệm x1,
x2 thoả mãn
3
2 1
π
=
−x
Câu 8:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 cos
sin
1 cos
2
sin
+ +
+ +
=
x x
x x
y
Câu 9:
CMR trong hai pt: acosx + bsinx = c và acotgx + btgx = 2c, có ít nhất một pt có nghiệm
Câu 10:
Tìm a để pt: (a – 1)sinx + 2 acosx = a2 có nghiệm Tìm nghiệm trong những trờng hợp này
Câu 11:
Tìm m để mọi nghiệm của pt sinx + mcosx = 1 cũng là nghiệm của pt: msinx + cosx = m2
Câu 12:
Giải phơng trình:
Trang 56
1 sin 4 cos 3
6 sin
4
cos
+ +
+ +
x x
x x
C Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx.
Câu1:
Cho pt: sinxcosx = 6 (sinx + cosx + m) (1)
a) Giải pt với m = -1
b) Tìm m để pt có nghiệm
Giải:
Đặt X = sinx + cosx ∈[− 2 ; 2] ta có:
) 2 ( 12 1 12
12 12
1
) (
6
2
1
2
2
2
m X
X
m X X
m X
X
−
−
−
⇔
+
=
−
⇔
+
=
−
a) với m = -1 (2) trở thành:
=
=
⇔
=
−
−
11
1 0
11
12
2
X
X X
X Do X ≤ 2 nên X = 1 ⇔ sinx+ cosx= 1
Câu 2:
Giải phơng trình:
x x
2
3 cos
sin
1 + 3 + 3 =
Hd:
Đặt X = sinx + cosx ∈ [- 2 ; 2] thay vào pt ta giải đợc:
±
−
=
−
=
6
1
1
X
X
vì điều kiện của X nên X = -1 suy ra nghiệm x
Chú ý:
Nếu các biểu thức trong pt có thể biểu diễn qua sinx cosx – và sinxcosx thì
ta đặt ẩn phụ X = sinx cosx – ∈ [- 2; 2].
Câu 3:
Giải pt:
1 + sin2x = sinx + cosx
Câu 4:
Giải pt:
sinx− cosx + 4 sin 2x= 1
Câu 5:
x
3 sin
1 3
cos
1
có nghiệm
D Phơng trình đối xứng đối với tanx và cotx.
Trang 6Câu 1:
Cho phơng trình:
0 1 ) cot (tan
tan 3
sin
a) Giải pt với m = 4
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải:
(1) 3(tan2x + cot2x) + m(tanx + cotx) – 1 = 0
Đặt X = tanx + cotx, với X ≥ 2, ta có:
3(X2 – 2) + mX + 2 = 0 ⇔ f(X) = 2X 2 + mX 4 = 0 (2)–
a) Với m = 4 thì f(X) = 3X2 + 4X – 4 = 0
2 2
3 2
2
−
=
⇒
≥
=
−
=
X X
Khi đó tanx + cotx = - 2 hay tanx = -1
Vậy phơng trình có nghiệm ( )
4 k k Z
x= −π + π ∈
b)(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm thoả mãn X ≥ 2
Nhận xét: (2) có P = - 0
3
4 < nên luôn có 2 nghiệm X1,X2 thoả mãn
2 ,
2 3
4 3
4
2 1
2 1 2
Do đó, (1) có nghiệm khi (2) có một nghiệm ngoài (-2;2) và một nghiệm trong(-2;2)
4 0
) 2 8 )(
2
8
(
0 ) 2 ( )
2
(
≥
⇔
≤ +
−
⇔
≤
−
⇔
m m
m
f f
Câu 2:
Giải pt:
tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6
Chú ý:
Nếu gặp pt mà phải đặt ẩn phụ X = tanx cotx thì với mọi X đều tồn tại x –
vì
X = tanx cotx = - 2cotx – và khi đó tan 2 x + cot 2 x = X 2 + 2
Ví dụ:
Câu 2:
Cho phơng trình:
tan2x + cot2x = m(tanx – cotx) (1)
Tìm m để pt có nghiệm
Kq: m ≥ 2 2
E.Phơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d
Câu1:
Trang 7Giải pt:
cos2x + 2 2sinxcosx + sin2x = 1
Kq:
) ( 3
Z k k x
k
x
∈
+
−
=
=
π π
π
Câu 2:
Cho phơng trình :
msinx + (m + 1)cosx =
x
m
cos
a) Giải pt khi m = 0,5
b) tìm m để pt có nghiệm
Câu 3:
Cho phơng trình
(m2 – 2)sin2x – (m + 2)sin2x – cos2x = 2
a) tìm mđể pt có nghiệm
b) Tìm m để pt có nghiêm thuộc (0;
2
π )
F.Phơng trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx.
Ta đã biết phơng trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Bây giờ ta xét đến trờng hợp tổng quát hơn Bậc của đơn thức umvn chính là m + n Nếu f(u,v) là một đa thức của u và v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thi f(u,v) gọi là
đa thức đẳng cấp bậc k của u và v Khi đó
F(nu;nv) = nkf(u,v)
Tuy nhiên, khi u = sinx, v = cosx thì việc bậc không đơn giản nh vậy vì sin2x + cos2x = 1 Chẳng hạn, u2v3 là đơn thức bậc 5, nhng u2v3 = sin2xcos3x(sin2x + cos2x) = sin4xcos3x + sin2xcos5x =u4v3 +u2v5 thành thử u2v3
đợc viết thành tổng hai đơn thức bậc 7 Điều lu ý này giúp ta khi nhận biết phơng trình đẳng cấp tốt hơn
Câu 1:
Giải phơng trình:
2sin3x = cosx.(1)
Giải:
x x
x x
x x
x x
3 2
3
2 2
3
cos sin
cos
sin
2
) cos (sin
cos sin
2
)
1
(
+
=
⇔
+
=
⇔
với cosx = 0, pt không có nghiệm
với cosx ≠ 0, ta chia hai vế của phơng trình cho cos3x và đặt X = tanx thì ta đợc: 2X3 – X2 – 1 = 0 giải ra ta đợc X = 1 hay x = ( )
4 +kπ k∈Z
Câu 2:
Tìm m để phơng trình :
msin2x + cos2x + sin2x + m = 0 (1) có nghiệm
Trang 8Kq: m≤ 0
Câu 3:
Giải pt:
a) sin3x + cos3x =sin2x + sinx + cosx
b) 5cos4x + 3cos3xsinx + 6cos2xsin2x – cosxsin3x + sin4x = 2 c) 6sinx – 2cos3x = 5sin2xcosx
H Một số phơng trình cần có sự biến đổi hoặc đặt ẩn phụ: Câu1:
Giải pt:
sin
2 (sin
sin
4
sin 2 + 2 = − + +
x
x x
x
b)
5
8 cos 3 1 5
6
cos
c) 3 sin 3x− 3 cos 9x= 1 + 4 sin 3 3x
Câu 2:
Cho pt:
Sin4x +(sinx + 2)4 = m
Tìm m để phơng trình có nghiệm
K Phơng trình lợng giác chứa căn.
n f x
2 ( ) ĐK: f(x) ≥ 0
Một số kiến thức hay sử dụng:
1 – cos2x = 2sin2x
1 + cos2x = 2cos2x
1 + sin2x = (sinx + cosx)2
Câu 1:
∈
2
5
; 2
3 π π
x của phơng trình:
(1 + cosx)2 + sin 2 x+ 2 sinx= 0 (1)
Giải:
( )
3
5 6
5
2
2
1 2 sin 0 1 2 sin 2 2 cos 0
2
cos 2 sin 2 2
cos
)
2
(
0 2
cos 4
5
; 4
3 2 2
5
;
2
3
.,
2 0 sin 2 cos 0
sin 2 2 cos 2 0 sin 2 2 cos
2
.
2
0 sin 2 cos 2 2 0 sin 2 sin cos
cos
2
1
)
1
(
2
2 2
π π
π π π
π
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
= +
−
⇔
<
⇒
∈
⇔
∈
= +
⇔
= +
⇔
= +
⇔
= +
+
⇔
= +
+ +
+
⇔
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
Câu 2:
Giải phơng trình:
Trang 9x cos
sin = (1)
§K:
≥
≥
0 cos
0 sin
x
x
) ( 4
2 2
2 2
2 sin sin
cos sin
)
1
l x x
k x x
x x
x
+ +
=
+
−
=
⇔
−
=
⇔
=
π π
π
π π
So s¸nh ®iÒu kiÖn, Ta cã nghiÖm cña pt lµ:
) (
x=π + π ∈
C©u 3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )1 0 2
2 sin 1
2
cos x+ − x =
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: cos 2x≤ 0
(k l Z)
l x
k x
loai m
x
l x
k x
x
x
x x
x
x x
x
∈
+
=
+
=
⇔
+
−
=
+
=
+
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
−
⇔
=
−
⇔
−
=
−
⇔
, 12
7 4 )
( 2 6 2
2 6
7 2
2 2 2
2
1 2
sin
1
2
sin
2 sin 1 2 2 sin 1 2 cos 2
2 sin 1 2 cos 2
2 sin
1
π π
π π
π π
π π
π π
C©u4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )1 1 sin 2 2 sin
2
sin 2 x− x+ = x−
Gi¶i:
NhËn xÐt:
Sin2x – 2sinx + 2 =(sinx-1)2 + 1 > 0 víi mäi x
§k: 2 sinx− 1 ≥ 0
( )
(k Z)
k x
loai x
x
x x
x x
x x
∈ +
=
⇔
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔ +
−
= +
−
⇔
π
π 2
2 )
( 3
1
sin
1
sin
0 1 sin 2 sin 3 1 sin 4 sin 4 2 sin 2 sin
C©u 5:
Gpt: 1 − sinx + 1 + sinx = 2 cosx ( )1
§k: cosx≥ 0
Trang 10( )
(k Z)
k x loai x
x
x x
x x
∈
=
⇔
−
=
=
⇔
= +
⇔
=
− +
⇔
π
2 )
( 2
1 cos
1
cos
cos 2 cos 1 cos
4 sin
1
2
2
C©u 6:
Gpt:
( x) x( x) x x
x1 cot cos 1 tan 2 sin cos
Gi¶i:
§k: sin 2x≥ 0
( )
π
π k
x x
x x x
x x
x x
x
+
=
⇔
=
⇔
= +
⇔
= +
⇔
⇔
4 1
2
sin
cos sin 4 cos sin 2 1 cos sin 2 cos sin
1
KÕt hîp ®iÒu kiÖn: sinx + cosx > 0
>
>
0 cos
0 sin
x x
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: π 2 π
4 l
x= +
C©u 7:
Gpt:
( )1 2 1 cos cos
3 − x − x+ =
Gi¶i:
( )1 ⇔ 3 − cosx = 2 + cosx+ 1
NhËn xÐt:
≥
≤
2
2
VP
VT
nªn ta cã VT =VP = 2
) ( 2 1
cosx= − ⇔x = +k k∈Z
C©u 8:
Gi¶i pt:
( )1 0 1 3 cos 1 2
cos
.
4
cos
8 x 2 x+ − x+ =
Gi¶i:
( )
(m Z)
m x
l x
k x x
x
x x
x x
x
∈ +
±
=
⇔
+
±
=
=
⇔
=
−
= +
⇔
−
−
= +
⇔
=
− + + +
⇔
π
π π
π
π
2 6 2
6
3 2 0
3
cos
1
0 1 4
cos
2
3 cos 1 1
4 cos 2 0 3 cos 1 1 4 cos 4 4
cos
4
)
1
C©u 9:
Gi¶i c¸c pt:
( x x)
x x
c
x x
x
b
x x x
x
a
cos sin
2 2 sin 1 2
cos
)
sin
1 tan
cot
)
cos sin 4 cos 1 cos
1
)
+
= +
+
+
=
= +
+
−
Trang 11Câu 10:
Gpt:
(1 sin 2 ) ( )1 2
3 cos 2
3
cos x+ − 2 x = + 2 x
Giải:
Ta có: 2(1 + sin 2 2x)≥ 2 ∀x(1)
Mặt khác: (áp dụng bđt Bunhia)
( )2 2
3 cos 2 3
4 ) 3 cos 2 3 (cos 2 3
cos 2
3
cos
2
2 2
2 2
x x
x
Cos
x x
x x
∀
≤
− +
⇒
=
− +
≤
−
+
Từ (1) và (2) ta có:
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
3 2
2 2
3
2 1
3
cos
0 2
sin 2
π
π π
π
l x
k x l
x
k x x
x Pt
Vậy phơng trình có nghiệm:
(m Z)
m
x= 2 π ∈
I Bài tập về phơng trình lợng giác
Câu 1: (Đề đại học khối A năm:2003 – 2004)
Giải phơng trình:
( )1 2 sin 2
1 sin tan
1
2 cos
1
x
x
+
=
−
Giải:
Đk:
1 tan
0
cos
0
sin
−
≠
≠
≠
x
x
x
( Hình câu 10 )
Trang 12( ) ( )( )
(k Z)
k x
VN
k x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
∈ +
=
⇔
= +
⇔
= +
=
⇔
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
− +
−
=
−
⇔
−
−
=
−
⇔
− +
=
−
⇔
−
= +
−
⇔
−
= +
−
⇔
−
= +
−
−
− +
⇔
−
= +
− +
−
⇔
2 4 2
2 3 2 cos
2
sin
0
2
cos
0 2
1 2 cos 2 sin 2 2 cos 2
) 1 2 (cos 2 cos ) 2 sin 2
1 1
(
2
cos
4
2 cos 2 2 cos 2 ) 2 sin 2
1 1 ( 2 cos 4
2 sin 2 cos 2
cos 2 1 ) 2 sin 2
1 1
(
2
cos
2 sin 4
1 4
) 2 cos 1 ( ) 2 sin 2
1 1 ( 2 cos )
2 sin 2
1 )(sin 2 sin 2
1 (sin ) 2 sin 2
1 1
(
2
cos
2 sin 2
1 sin cos
sin ) tan 1 (
) cos sin 1 ( 2 cos 2
sin 2
1 sin tan
1
2 cos cos
sin
2
cos
2 sin 2
1 sin tan
1
2 cos tan
1 1 cot 2
sin 2
1 sin tan
1
2 cos tan
1 1 cot
1
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
π π π
π
Khối A - 2007
1 Giải phươ ng trình:
Vậy ta có nghiệm :
Khối B – 2007 Câu II : (2 đ)
1 Giải phươ ng trình :
Trang 13Khối D – 2007 Câu II.
1 Giải phươ ng trình :
CĐ Nghệ An 2007
Giải các phươ ng trình:
Với điều kiện
Vậy nghiệm là:
§Ò:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin2x + sin22x + sin23x = 1.5 HD:
( ) (k Z)
k x
k
x
x x
x x
x
Pt
∈ +
±
= +
=
⇔
= +
⇔
= +
+
⇔
π π π
π
3
, 4 8
0 1 2 cos 2 4 cos 0
6 cos 4
cos 2
cos
§Ò:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: (cos 2x− cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x
Kq: x=π2 +k2π,k∈Z
§Ò:
Gi¶i pt: (1 + cosx)(1 + sinx) = 2
Kq: x=k x= +k2 ,k∈Z
2 ,
§Ò:
1 cot
sin cos 2 2
cot tan
1
−
−
=
x x x
x
§k:
Trang 14( )
Z k k
x tm k
x
loai k
x
x x
x x x
x
x x x
x x
x
pt
∈ +
−
=
⇔
+
−
=
+
=
⇔
=
⇔
=
⇔
−
−
= +
⇔
, 2 4 )
( 2 4
) ( 2 4
2
2 cos
sin 2 cos
sin 2 1
sin cos
sin cos 2 2
sin
2 cos cos
sin
1
π
π π
π
π π
§Ò:
x
x x
cot tan
2
1 2
sin
cos sin 4 4
+
= +
HD:
§k:
) ( 0 2 sin 0 cos sin 2 cos
sin cos
VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
§Ò: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin2x + 2tanx = 3
Z k k x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
pt
∈ +
=
⇔
=
⇔
= +
−
−
⇔
=
− +
−
⇔
+
= +
+
⇔
= +
⇔
, 4 1
tan
0 ) 3 tan tan
2 )(
1 (tan 0
3 tan 4 tan 3
tan
2
tan 1 3 ) tan 1 ( tan 2 tan 2 3 tan 2 cos
sin
2
2 2
3
2 2
π π
Gi¶i ph¬ng tr×nh cotgx - tgx + 4sin2x =
x
2 sin 2
1 Gi¶i ph¬ng tr×nh 32
x
x
1 2 cos
2 cos sin
2 2 sin cos
2 cos
=
−
− +
+
+
x
x x x
x x
1 T×m c¸c gi¸ trÞ x
2 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh :
x x
2
11 cos
2
9 2
−
−
x sin
cos 8
1
2 = −
1 Gi¶i ph¬ng tr×nh : 1−sinx + 1−cosx =1
Câu 3: Cho hệ phương trình:
+ +
= +
+
+
= +
4
1 3 sin
cos 3 sin
cos
1 sin
cos
3 3
m y x
Câu 3: Giải phương trình sau: 3 sin 2x− 2 cos 2x= 2 2 + 2 cos 2x
Trang 15Câu 3: Giả phương trình: tg2x cotg2 2x cotg3x=tg2x− cotg2 2x+ cotg3x
Câu 3: Cho hệ phương trình
= +
= +
m y x
y x
2
sin
1 2 sin 2 sin
1) Giải hệ khi m=
2 3
2) Định m để hệ có nghiệm
Câu 3: Cho f(x) = cos 2 2x+ 2 (sinx+ cosx) 2 − 3 sin 2x+m
1) Giải phương trình f(x) = 0 khi m=-3
2) Tính theo m GTLN và GTNN của f(x) Từ đó tìm m sao cho f2 (x) ≤ 36
với mọi số thực
Câu 9: Cho tam giác ABC có:
2
sin 2
sin 2 sin 9 cos cos cos
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
Câu 3: Cho 2 hàm số f(x) = ( 2 sinx+ cosx)( 2 cosx− sinx)và
x x
x x
x x
x x
x
g
sin cos 2
cos sin
2 cos sin
2
sin cos
2
)
(
−
− +
+
+
=
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2) Tìm các giá trị của tham số m để (m− 3 )g(x) = 3 [f(x) −m]
Câu 3: Giải các phương trình
1)sinx+ cosx= 2 ( 2 − sin 3x)
2)cos 3x+ 2 − cos 2 3x = 2 ( 1 + sin 2 2x)
Câu 3:
1) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y= 2 sin 8 x+ cos 4 2x
2) Giải phương trình: sin 2x(cotgx+tg2x) = 4 cos 2x
Câu 3: Tìm m để phương trình sin 2x+m= sinx+ 2mcosx có đúng 2 nghiệm thuộc
]
4
3
;
0
[ π