MỘT SỐ GỢI Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LAISAC biên soạn I.BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Thí dụ :Giải phương trình :cosx.cos2x.cos4x = HD.Phương trình khơng có nghiệm x = kπ ,nhân vế phương trình cho sinx ,phương trình trở thành 2π ⎡ ⎢ x = m 9h − sin8x = sinx ⇒ x = ⎢ (m ≠ 7l , n ≠ ; l , h ∈ ] ) ⎢ x = π + n 2π ⎢⎣ 9 x cos x + cos x + cos x = − ( Nhân hai vế cho sin (≠ 0) ) 2 sin x cos x − sin x cos x = ; cos x cos x − sin x sin x = cos x (Sd ct nhân ba) sin x + sin x + sin x = ; sin x + cos x cos x = cos x + cos x (ct biến đổi ) cos x + cos x + cos x II.ĐẶT ẨN SỐ PHỤ Thí dụ 1.Giải phương trình: tgx+2sin2x=3 4t HD Đăt t = tgx.Phương trình trở thành t + = ⇔ t − 3t + 5t − = 1+ t π⎞ ⎛ Thí dụ Giải phương trình : sin ⎜ x − ⎟ = sin x 4⎠ ⎝ HD.Phương trình viết lại: sin x − sin x cos x + sin x cos x − cos x = sin x Phương trình khơng có nghiệm thoả cosx = ,chia hai vế phương trình cho cos3x ( ≠ ) Thí dụ 3.Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x HD.Phương trình tương đương + (sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin x cos x π Đặt t = sinx + cosx = sin( x + ) ⇒ − ≤ t ≤ Bài tập đề nghị:Giải phương trình sau đây: 1 1) 2) + 2tg x + 5tgx + = + sin x + + sin x = ; sin x sin x sin x 3) sin2x + cos2x + tgx =2 ; 4) 2cos3x + sinx – 3sin2x.cosx = 5) sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x ; 6) cos3x + sin3x = cosx –sinx π 7) sin x − = − sin x ; 8) sin(3 x + ) = + sin x cos x 9) sin x + sin( x − π ) =1 ; 10) 2 (cos x + sin x ) = tgx + cot gx III ĐẶT THỪA SỐ CHUNG Thí dụ1.Giải phương trình :sin3x – cos3x = – cotgx - cos2x HD: ĐK sin x ≠ Phương trình tương đương (sin x − cos x )(1 + sin x cos x − − sin x − cos x ) = sin x x x 3x 3x Thí dụ 2.Giải phương trình : cos x.cos cos − sin x.sin sin = 2 2 HD: Biến tích thành tổng, đặt thừa số chung phương trình trở thành : cos2x.(cosx + sinx) –sinx.(cosx + sinx) = Chú ý :Các số hạng chứa thừa số (sinx + cosx) :cos2x, sin3x + cos3x; cos4x – sin4x cos3x –sin3x ;1+ tgx ;tgx –cotgx… Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: x⎞ ⎛ 2) cotgx+sinx ⎜1 + tgx.tg ⎟ = 2⎠ ⎝ 3 2 4)cos x(1 + cosx) + sin x(1 + sinx ) = 2cos2x 3) sin x + cos x = cos2x ; 5) (2sinx – )(2sin2x + 1) = – 4cos x ; 6) cotgx + cotg2x = sin3x; 1 7) sin x − ; 8) (1 – tgx)(1 + sin2x) =1 + tgx − cos x + sin x sin x IV.TỔNG HỢP.(Thông thường ta sử dụng công thức hạ bậc,biến đổi…) π Thí dụ Giải phương trình : sin x + cos ( x + ) = HD : Hạ bậc dẫn đến phương trình tương đương sin2x + cos2x = ⎛ 17π ⎞ Thí dụ Giải phương trình: sin 2 x − cos x = sin ⎜ + 10 x ⎟ ⎝ ⎠ HD: Hạ bậc ,biến tổng thành tích đưa phương trình :cos10x(cos6x+1) = Bài tập đề nghị : Giải phương trình sau : x x π x − cos x 1) sin4x + cos4x = ; 2) + sin x sin − sin x cos = cos ( − ) 2 2 π π 3) cos ( x + ) + cos ( x + 4) 2cos6x + sin4 x + cos2x = ; ) = (sin x + 1) ; 3 x x⎞ ⎛ 5) cos2x +4sin4x= 8cos6x ; 6) cos4x + sin4x - 2⎜ cos + sin ⎟ + = 2⎠ ⎝ π π 7) cos4x + sin4x + cos( x − ) sin(3 x − ) − = ;8) cos23x.cos2x – cos2x = 4 6 cos x + sin x − sin x cos x = 0; 9) 10) – tgx.tg2x = cos3x − sin x V PHƯƠNG PHÁP KHÔNG MẪU MỰC * ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Thí dụ 1.Giải phương trình: (cos4x –cos2x )2 = + sin3x HD: Vế trái: (cos4x –cos2x )2 = 4sin23x.sin22x ≤ ; vế phải: + sin3x ≥ ⎧sin x sin 2 x = ⇔ sin x = −1 Phương trình trở thành ⎨ ⎩sin x = Bài tập đề nghị :Giải phương trình sau: 1) cos2x+cos22x+cos33x = ; 2) sin2007x + cos2007 x = 1) 1+ sinx + cosx+ sin2x + cos2x = 0; ( 3) ) + cos x = + sin x ; 4) cos x + − cos x = 2(1 + sin x ) 5.sin3x.sinx = ; 6) sin x + cos x = (2 − sin x ) *TỔNG BÌNH PHƯƠNG Thí dụ 1.Giải phương trình :2+ sin2x –sin23x = 2cos3x ⎧cos x = ⇒ cos x = HD:Phương trình tương đương (cos3x – 1)2 +sin2x =1 ⇔ ⎨ ⎩sin x = Bài tập đề nghị:Giải phương trình sau: x 1.2tg2x – (sin2x+1)tgx + 1- sin2x = ; 2) cos x − cos x + 2007 sin = 3) sin x + sin x = sin x sin x ; 4) sin2x(sin2x – 2)+4cosx(cosx + ) + = Lưu ý: Khi giải phương trình dạng phân thức,chứa hàm tag,cotg,căn thức… ta nhớ đặt điều kiện chọn nghiệm thích ứng.Tham khảo thêm tìm nghiệm đoạn ,khoảng cho trước dạng phương trình có chứa tham số ... *TỔNG BÌNH PHƯƠNG Thí dụ 1 .Giải phương trình :2+ sin2x –sin23x = 2cos3x ⎧cos x = ⇒ cos x = HD :Phương trình tương đương (cos3x – 1)2 +sin2x =1 ⇔ ⎨ ⎩sin x = Bài tập đề nghị :Giải phương trình sau:... thức hạ bậc,biến đổi…) π Thí dụ Giải phương trình : sin x + cos ( x + ) = HD : Hạ bậc dẫn đến phương trình tương đương sin2x + cos2x = ⎛ 17π ⎞ Thí dụ Giải phương trình: sin 2 x − cos x = sin ⎜... + = Lưu ý: Khi giải phương trình dạng phân thức,chứa hàm tag,cotg,căn thức… ta nhớ đặt điều kiện chọn nghiệm thích ứng.Tham khảo thêm tìm nghiệm đoạn ,khoảng cho trước dạng phương trình có chứa