Tính Đa Tách Biến Của Bài Toán Micz-Kepler Chín Chiều Dưới Góc Nhìn Giải Tích Và Đại Số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ĐẠI NAM TÍNH ĐA TÁCH BIẾN CỦA BÀI TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU DƯỚI GĨC NHÌN GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số ngành: 62 44 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên , Đại học Quốc gia TP HCM Người hướng dẫn khoa học: Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Lê Văn Hoàng Phản biện 1: PGS.TS Võ Văn Viên Phản biện 2: TS Trần Nguyên Lân Phản biện 3: TS Trần Chiến Thắng Phản biện độc lập 1: PGS.TS Võ Văn Viên Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Trương Thanh Hiếu Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP HCM, vào hồi 00, ngày 28 tháng 05 năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP HCM Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP HCM Thư viện Trung tâm Đại học Quốc gia TP HCM Mở đầu Bài tốn MICZ-Kepler tốn mơ tả chuyển động hạt mang điện xung quanh giả hạt có tên dyon - hạt vừa có điện tích, vừa có từ tích Sự đối ngẫu toán MICZ-Kepler với số chiều 3, và toán dao động tử điều hòa 4, 8, 16 chiều vừa hệ phép biến đổi Hurwitz vừa kết vật lý hai thời gian Trong toán MICZ-Kepler này, xuất trường chuẩn vi tử đơn cực từ Dirac, Yang SO(8) gắn liền với tồn đại số chia chuẩn hóa R, C, H, O phân thớ Hopf - họ hàng với phép biến đổi Hurwitz Các đối tượng Toán học áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác vật lý vật lý đơn cực từ, hiệu ứng Hall lượng tử phân số vật lý chất ngưng tụ hay mở rộng Mơ hình Chuẩn vật lý lượng cao Xuất phát từ q trình xây dựng tốn MICZ-Kepler chín chiều, đơn cực từ ứng với bất biến gauge SO(8) khám phá vào năm 2009 2011 [20, 21] Đây đơn cực từ xây dựng khảo sát lời giải phương trình Yang-Mills khơng gian chiều hiệu ứng Hall lượng tử chiều [4, 6] Trong nghiên cứu từ 2011 đến 2018, số kết quan trọng tốn MICZ-Kepler chín chiều cơng bố như: nhóm đối xứng khơng gian [29] , nhóm đối xứng động lực [22] , lời giải phổ lượng phương pháp đại số [22], hàm sóng tốn tọa độ cầu [27] , tính siêu khả tích tính đa tách biến toán [28] Tuy nhiên, cịn số vấn đề tốn MICZ-Kepler chín chiều cần giải để có hiểu biết trọn vẹn toán Ở khía cạnh giải tích, tốn MICZ-Kepler chín chiều kì vọng có lời giải giải tích xác phương pháp tách biến tọa độ parabolic cầu dài, tương tự với tọa độ cầu cơng trình [27] Lời giải giải tích hệ tọa độ quan trọng tính đa tách biến tốn MICZ-Kepler chín chiều chứng rõ cho tính chất siêu khả tích cực đại tốn [28] Ở khía cạnh đại số, nhóm đối xứng khơng gian [29] nhóm đối xứng động lực [22] xây dựng cách hoàn chỉnh sử dụng để tính siêu khả tích cực đại tốn [28] Tuy nhiên, chưa có liên hệ trực tiếp lời giải xác tốn MICZ-Kepler chín chiều hệ tọa độ với đại lượng bảo tồn nhóm đối xứng khơng gian toán Mối liên hệ cho biết cấu trúc đại số ẩn sau lời giải giải tích Luận án "Tính đa tách biến tốn MICZ-Kepler chín chiều góc nhìn giải tích đại số" thực với mục tiêu sau: (1) đưa nhìn tổng quát toán MICZ-Kepler nhiều chiều với đối tượng khác toán học vật lý, (2) giải tốn MICZ-Kepler khía cạnh giải tích, (3) giải tốn MICZ-Kepler khía cạnh đại số Các mục tiêu tương ứng với 03 Chương luận án Chương trình bày tìm hiểu tổng quan tranh tốn học - vật lý mà tốn MICZ-Kepler chiều mảnh ghép thiếu Chương đưa lời giải giải tích xác phng trỡnh Schrăodinger mụ t bi toỏn MICZ-Kepler chớn chiu hệ tọa độ parabolic cầu dài phương pháp tách biến bậc suy biến mối quan hệ sở Trong Chương 3, tích phân chuyển động đặc trưng hàm sóng sở cầu, parabolic cầu dài khảo sát thông qua cách khảo sát đối xứng SO(10) toán Mối liên hệ tích phân chuyển động đặc trưng cho hàm sở sử dụng để xác định mối liên hệ hàm sở mà nhờ mối liên hệ hàm sở cầu dài tọa độ cầu xây dựng tường minh Kết luận án báo cáo 02 Hội nghị Vật lý lý thuyết công bố công bố 04 công trình, bao gồm 03 cơng bố quốc tế uy tín tạp chí Journal of Mathematical Physics [15, 16, 18] 01 cơng bố quốc gia uy tín (ACI - ASEAN Citation Index) [17] 1.1 Tổng quan Đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf phép biến đổi Hurwitz Các đại số chia chuẩn hóa Các đại số chia chuẩn hóa tập hợp bốn đại số, bao gồm: đại số thực R, đại số phức C, đại số phức bội bốn (quaternion) H đại số phức bội tám (octonion) O Trước tiên, đại số vector mà phần tử có norm định nghĩa ||a||2 = a · a Trong đại số trên, tồn ánh xạ song tuyến gọi "phép nhân"× hai phần tử a, b đến phần tử khác c = a × b thường kí hiệu c = ab "Phép nhân"trong đại số chia chuẩn hóa tn theo tính chất kết hợp [1] ánh xạ song tuyến ck = D−1 D−1 i=0 j=0 ka b , Cij i j k = 0, 1, D − 1, thỏa mãn tính chất c20 + c21 + + c2D−1 = a20 + a21 + + a2D−1 b20 + b21 + + b2D−1 (1) Khi đó, số cấu trúc phải tuân theo hệ thức l k l Cijk Cmn δkl + Cmj Cin δkl = 2δim δjn (2) Năm 1898, A Hurwitz sử dụng trình xây dựng Cayley chứng minh định lý sau mang tên ông tính chất kết hợp (1) tồn bốn giá trị số chiều D = 1, 2, 4, 8, có nghĩa tồn bốn đại số chia chuẩn hóa có số chiều tương ứng D = (thực, R), D = (phức, C), D = (quaternion, H - W R Hamilton khám phá năm 1843) D = (octonion, O - J T Graves vào năm 1843) [9] Định lý biết đến định lý Hurwitz đại số kết hợp Các phân thớ Hopf Các phân thớ Hopf hay ánh xạ Hopf S n−m → S n → S m ánh xạ liên kết mặt cầu đơn vị n chiều S n với mặt cầu đơn vị m chiều S m mà n ≥ m, đối tượng quan trọng tô pô áp dụng nhiều lĩnh vực khác vật lý H Hopf cơng trình [7] [8] có bốn cặp số (n, m) cho ánh xạ trên: (n, m) = (1, 1), (3, 2), (7, 4) (15, 8), tương ứng với bốn đại số chia chuẩn hóa giới thiệu mục trước Một điểm (u0 , u1 , un−1 , v0 , v1 , vn−1 ) ∈ S 2n−1 biểu diễn hai phần tử đại số chia chuẩn hóa An cách đặt u = u0 e0 + u1 e1 + + un−1 en−1 v = v0 e0 +v1 e1 + .+vn−1 en−1 cho ||u||2 +||v||2 = Ánh xạ An ×An → R×An :xn = uu−vv , x = 2uv tính chất kết hợp số đại số chia chuẩn hóa An dẫn đến x2n + ||x||2 = (||u||2 + ||v||2 )2 = Điều có nghĩa ta viết lại x dạng x = x0 e0 + x1 e1 + + xn en , điểm có tọa độ (x0 , x1 , , xn−1 , xn ) nằm mặt cầu đơn vị S n Ngược lại, xuất phát từ điểm (x, xn ) ∈ S n , dễ dàng n nhiều điểm (u, v) ∈ S 2n−1 có hình chiều (x, xn ) mặt cầu đơn vị S n : u = 1+x g, xg , với norm g đơn vị ||g|| = Khi đó, điểm (g0 , g1 , , gn−1 ) nằm v = 2(1+x n) mặt cầu đơn vị S n−1 Trong ngơn ngữ hình học vi phân tơ pơ, không gian phân thớ S n−1 nhúng vào mặt cầu đơn vị S 2n−1 chiếu lên mặt cầu đơn vị S n Các phép biến đổi Hurwitz Các phép biến đổi Hurwitz lớp phép biến đổi song tuyến liên hệ hai không gian Euclidean Rn+1 R2n Tính chất đặc trưng cho phép biến đổi Hurwitz đồng thức Euler [21] điểm (u0 , u1 , un−1 , v0 , v1 , vn−1 ) ∈ R2n (x0 , x1 , , xn−1 , xn ) ∈ Rn+1 : (u20 + u21 + + u2n−1 + v02 + v12 + + vn−1 )2 = x20 + x21 + + x2n−1 + x2n (3) Các phép biến đổi Hurwitz xây dựng từ đại số chia chuẩn hóa Thực vậy, xét hai khơng gian R2n Rn+1 tọa độ (u1 , u2 , un , v1 , v2 , ) (x1 , x2 , , xn , xn+1 ) cách chia tọa độ cho norm chúng Uj = ρ1 uj , Vj = ρ1 vj , Xj = 1r vj giúp ta đưa điểm nằm mặt cầu đơn vị (U1 , U2 , Un , V1 , V2 , Vn ) ∈ S 2n−1 (X1 , X2 , , Xn+1 ) ∈ S n Sử dụng cách xây dựng ánh xạ Hopf S n−1 → S 2n−1 −→ S n , biểu diễn phép biến đổi Hurwitz cách tổng quát   xk  x = n tensor Γkij = Γkij ui vj , =2 1≤i,j≤n u21 + u22 + 0≤m≤n−1 k = 1, 2, , n, , (4) + u2n − v12 − v22 − − vn2 , k−1 C Ci−1,m m,j−1 Bởi có đại số chia chuẩn hóa R, C, H, O, xây dựng phép biến đổi Hurwitz (2 − 2), (3 − 4), (5 − 8), (9 − 16) Bảng 1: Các hệ đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf phép biến đổi Hurwitz tương ứng Đại số chia chuẩn hóa Số thực R Phép biến đổi Hurwitz 1 Phép biến đổi Levi-Civita [23] Phép biến đổi Kustanheimo-Steifel [12] S → S −→ S Số phức C S → S −→ S Quaternion H S → S −→ S Octonion O 1.2 Phân thớ Hopf S →S 15 −→ S Phép biến đổi Hurwitz [11] Phép biến đổi Hurwitz mở rộng [19] Vật lý đơn cực từ góc nhìn đại số chia chuẩn hóa Đơn cực từ Dirac, Yang, SO(8) đại số chia chuẩn hóa Câu chuyện việc sử dụng đại số chia chuẩn hóa hay phân thớ Hopf vật lý năm 1931 P A M Dirac [5] xây dựng trường chuẩn U (1) cho đơn cực từ, trước hiểu biết H Hopf nhà tốn học [32] Bây giờ, chúng tơi trình bày sơ lược mối liên hệ phân thớ Hopf S → S −→ S đơn cực từ Dirac với trường chuẩn U (1) Đơn cực từ Dirac có từ tích ⃗ = µ0 g ⃗r tương ứng với vector A ⃗ = g tạo từ trường có dạng xuyên tâm B 4π r3 µ0 g 4π r(r+x2 ) [−x1 e0 + x0 e1 ] với kì dị dây x2 = −r Thế vector không đơn trị mà có ⃗ ∇χ ⃗ Khi tích thể xác định đa trị thông qua phép biến đổi gauge sau A⃗ → A⃗ ′ = A− phân toàn từ trường tiết diện xích đạo x2 = mặt cầu bán kính r ⃗l Tác dụng phép biến đổi gauge U (1) lên hàm sóng ψ → ψ ′ = ⃗ ta thu g = ∇χ·d ⃗′ ⃗ ⃗ exp ıqχ ℏ ψ tương đương với phép biến đổi gauge A = A − ∇χ Sự bất biến kết ⃗ · d⃗l = n2π, n ∈ Z ⇒ gq = nh Trong đo dẫn đến điều kiện lượng tử hóa Dirac ℏq ∇χ ánh xạ Hopf S → S −→ S , điểm (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ∈ S tương ứng với tập hợp điểm khác (U0 + ıU1 , V0 + ıV1 ) = (cos 2θ eıα , sin 2θ eı(−ϕ+α) ) ∈ S ds2 2 Metric S trở thành dlS2 = 4S + dα − sin2 2θ dϕ Số hạng dα − sin2 2θ dϕ cho thấy mối liên hệ mặt S S thông qua phân thớ S đồng cầu với nhóm U (1) Số hạng bất biến tác dụng phép biến đổi gauge U (1) mặt cầu đơn vị S dẫn đến xuất trường chuẩn Aϕ = C sin−2 2θ sin2 θ = C(1 + cos θ)/ sin θ vector đơn cực từ Dirac Năm 1975, Wu Yang sử dụng phân thớ Hopf thứ hai tương ứng với đại số H, S → S −→ S , để tìm mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac lên không gian năm chiều [30,31] gọi đơn cực Yang SU (2) Một thập kỷ sau, Grossman cộng sử dụng phân thớ Hopf cuối cùng, tương ứng với đại số octonion O, S → S 15 −→ S để tìm trường chuẩn cấu trúc SO(8) đơn cực từ octonion O khơng gian chín chiều [6] Đơn cực từ biết đến nhiều đơn cực từ SO(8) khám phá lần hiệu ứng Hall lượng tử chiều Bernevig cộng vào năm 2003 toán Kepler chiều Van-Hoang Le cộng năm 2009-2011 [4, 20, 21] Đại số chia chuẩn hóa hiệu ứng Hall lượng tử phân số Hiệu ứng Hall lượng tử (QHE - Quantum Hall effect) hiệu ứng vật lý chất ngưng tụ mà lượng tử hóa độ dẫn điện khí electron D chiều liên hệ với bất biến gauge đơn cực không gian D + chiều Điều dễ hiểu liên thơng Berry trạng thái electron mức Landau đóng vai trị trường gauge GD+1 đơn cực từ D + chiều đó, lượng tử hóa độ dẫn điện khí electron D chiều hệ bất biến số Chern GD+1 Các cơng trình Laughlin, Zhang Hu Zhang Bernevig [4, 13, 33] mối liên hệ phân thớ Hopf toán QHE nhiều chiều Bảng 2: Liên hệ đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf, nhóm Lie, đơn cực từ hiệu ứng Hall lượng tử Đại số Phân thớ Hopf 1 Quaternion H S → S −→ S Octonion O S → S 15 −→ S S → S −→ S Số thực R S → S −→ S Số Phức C 1.3 Nhóm Lie Đơn cực từ Hiệu ứng Hall Z2 – – U (1) Đơn cực Dirac [5] 2D QHE [13] SU (2) Đơn cực Yang [30, 31] 4D QHE [33] SO(8) Đơn cực SO(8) [6] 8D QHE [4] Sự đối ngẫu tốn dao động tử điều hịa toán Kepler Coulomb đại số chia chuẩn hóa Bài tốn dao động tử điều hịa (Harmonic oscillator - HO) toán Kepler Coulomb (KC) hai số toán bật lý, bao gồm thang vĩ mô lẫn thang vi mô Theo hiểu biết tốt chúng tôi, cơng trình [3] Bergmann Frishman cơng bố năm 1965 nghiên cứu mối liên hệ hàm sóng hai tốn Hai ông mối liên hệ hai thành phần bán kính hàm sóng phổ lượng hai toán ta sử dụng phép biến đổi đối ngẫu sau [3] r = ρ2 , ω E=− , Z= E , n= N +2 , ℓ= L , (5) Khi đó, phần hàm sóng theo biến số bán kính r tốn N D-HO hồn tồn tương đương với phần hàm sóng theo biến số bán kính ρ tốn nD-KC Vì vậy, phải tồn phép biến đổi đối ngẫu không gian N = 2, 4, 6, chiều toán HO không gian n = N2+2 = 2, 3, 4, chiều toán KC Phép biến đổi bán kính r = ρ2 (5) thực đồng thức Euler (3) phép biến đối Hurwitz (4) Do cấu trúc bốn hệ phép biến đổi Hurwitz tính đối ngẫu hai toán N D-HO nD-KC áp dụng cho bốn trường hợp sau: (N, n) = (2, 2); (4, 3), (8, 5) (16, 9) Ngoại trừ trường hợp tầm thường (2, 2), trường hợp lại dẫn đến cân xứng số chiều hai toán dẫn đến (N − n) biến phụ xuất thuộc mặt cầu phân thớ S n−2 phân thớ Hopf từ đó, dẫn đến xuất trường đơn cực toán KC Một cách tiếp cận khác đến vấn đề đối ngẫu hai toán HO-KC, gọi vật lý hai thời gian (vật lý 2T - two-time physics) [2], nghiên cứu đối xứng động lực ẩn tốn sử dụng khơng thời gian có hai thời gian tương ứng với nhóm đối xứng động lực Bên cạnh trường hợp từ phép biến đổi Hurwitz, có số trường hợp tồn đối ngẫu (N, n) = (4, 1) (6, 4) Tuy nhiên, trường chuẩn xuất tương ứng với ẩn phụ trường chuẩn nhóm Lie Ví dụ, (N, n) = (6, 4), trường chuẩn xuất U (1) × U (1) Bảng 3: Sự đối ngẫu giữaN D-HO toán nD-MICZ KP theo đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf vật lý 2T Đại số Số thực R HO MICZ-KP 2D 2D Phân thớ Hopf S Gn Đơn cực từ Đối xứng động lực Z2 – Sp(2, R) ⊃ SO(2, 2) ⊗ Z2 Số phức C Quaternion H 4D 8D 3D 5D S S3 U (1) SU (2) Đơn cực Dirac Đơn cực Yang Sp(4, R) ⊃ SO(4, 2) ⊗ U (1) Sp(8, R) ⊃ SO(6, 2) ⊗ SU (2) Octonion O 16D 9D S7 SO(8) Đơn cực SO(8) Sp(16, R) ⊃ SO(10, 2) ⊗ SO(8) 1.4 Bài toán MICZ-Kepler Ở giới hạn học lượng tử phi tương đối tính, Zwanziger [34] độc lập với McIntosh Cisneros [25] nghiên cứu ảnh hưởng đơn cực từ Dirac [5] lên toán vào năm 1968-1970, dẫn đến i ca bi toỏn MICZ-Kepler (MICZ KP) Phng trỡnh Schrăodinger tổng qt cho tốn nD-MICZ KP có dạng: −ı ∂ + Aaj (r) Iˆa (ϕs ) ∂xj − ∂2 Iˆ2 Z + − 2 ∂xn 2r r Ψ (r, ϕs ) = EΨ (r, ϕs ) (6) Trong luận án này, sử dụng số Latin i, j, k, số chạy từ đến n − đó, số Hy Lạp chạy từ đến n (n − 2) góc phụ ϕs (s = 1, 2, (n − 2)) mơ tả khơng gian trừu tượng có liên quan đến tác dụng đơn cực từ lên hàm sóng mà n − tốn tử vi phân Ia (ϕs ) vi tử đơn cực Các vi tử có dạng tương tự tốn tử hình chiếu mơ men động lượng tác dụng lên biến phụ ϕs hàm sóng electron Aaj (r) hình chiếu vector đơn cực từ Dạng tường minh Aaj (r) Ia (ϕs ) cho trường hợp n = 3, đưa cơng trình [21, 24, 34] Riêng với toán MICZ-KP chiều, vi tử Ia (ϕs ) khơng tạo đại số kín nên tác dụng Aaj (r) Ia (ϕs ) biểu diễn lại thành Aab j (r) Qab (ϕs ) mà 56 vi tử Qab (ϕs ) tạo đại số SO(8) mơ tả cơng trình [20] Bài toán MICZ-Kepler ba năm chiều Bài toán MICZ-Kepler ba chiều (3D-MICZ KP) độc lập đưa Zwanziger, McIntosh, Cisneros vào năm 1968 1970 đưa thêm đơn cực từ Dirac vào tốn KC thơng thường [25,34] Bài toán MICZ-Kepler năm chiều (5D-MICZ KP) lần đầu đưa khảo sát Mardoyan cộng từ năm 1997 tổng qt hóa tốn 5D-KC cách thêm vào đơn cực từ Yang SU (2) [24] Bảng 4: Các kết nghiên cứu tiêu biểu toán 3D- 5D-MICZ KP 1.5 MICZ-KP 3D 5D Đơn cực Dirac U (1) Yang SU (2) Đối xứng SO(4) SO(6) Đối xứng động lực SO(4, 2) SO(6, 2) Tính siêu khả tích cực đại Lời giải đại số Dùng bất biến Casimir Lời giải giải tích tọa độ cầu, parabolic, cầu dài Giải hàm Green? Có Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều (9D-MICZ KP) giới thiệu lần đầu Van-Hoang Le cộng sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng (9 − 16) để biến đổi tốn 16D HO [20, 21] khơng gian chiu Phng trỡnh Schrăodinger sau õy ca bi toỏn l : ˆ2 Q Z ˆ ·π ˆ+ 2− π 8r r Ψ (r, ϕ) = EΨ (r, ϕ) (7) Ở đây, Z điện tích Qˆ ij vi tử đơn cực từ SO(8) Qˆ = Qˆ ij Qˆ ij (1 ≤ i < j ≤ 8) toán tử Casimir vi tử đơn cực SO(8) Toán tử động lượng mở rộng xk πˆ = −ı∂j + Ak (r)Qˆ kj , −ı∂9 , j, k = 1, 2, , 8, với Ak (r) = r(r+x vector ) đơn cực từ SO(8) Dựa vào thực tế toán tử Qˆ giao hoán với Hamiltonian phương trình (7), hàm sóng Ψ thỏa mãn phương trình sau Qˆ Ψ = Q(Q + 6)Ψ Ở Biểu diễn octonion O toán 9D-MICZ KP đề xuất báo cáo miệng vào năm 2016 [26] Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc đây, số lượng tử Q ngun biến góc phụ ϕs (s = 0, 1, , 6) phải đóng kín khơng gian trừu tượng S đơn cực SO(8) Hamiltonian toán 9D-MICZ KP biểu diễn cụ thể dạng sau [16, 18, 27, 28]: 1 ˆ = − ∆R9 + ˆ jk Q ˆ jk + ˆ2 − Z , H L Q 2r(r + x9 ) 4r(r + x9 ) r (8) Lˆ jk = −ı(xj ∂k − xk ∂j ) hình chiếu mô men động lượng lên mặt cầu S : ˆ jk Q ˆ jk có dạng tương x21 + x22 + · · · + x28 = thuộc không gian thực R9 Số hạng liên kết L tự tương tác spin-orbit nguyên tử; đó, đơn cực từ SO(8) tương tác với hệ Kepler Coulomb chiều tương tự tương tác “isospin” (giống spin) Suốt thập kỷ gần đây, 9D-MICZ KP khảo sát theo nhiều khía cạnh Đối xứng đối xứng động lực SO(10) SO(10, 2) [22,29] Đối xứng động lực SO(10, 2) sử dụng để dẫn lời giải toán phương pháp đại số [22] Lời giải giải tích tốn đưa ln u bng cỏch tỏch bin phng trỡnh Schrăodinger ca toán tọa độ cầu [27] Bài toán tốn siêu khả tích cực đại giống toán 3D 5D-MICZ KP [28] Một phần lời giải đại số cách sử dụng bất biến Casimir C2 nhóm đối xứng SO(10) đề xuất cơng trình [10] Thực tế, 9D-MICZ KP hệ suy biến vector Do tồn 17 tích phân chuyển động nêu khơng đảm bảo 9D-MICZ KP hệ siêu khả tích cực đại Một tính chất tiêu biểu hệ siêu khả tích cực đại khả đa tách biến, tức tách biến nhiều hệ tọa độ khác May mắn thay, điều với tốn 9D-MICZ KP đó, 9D-MICZ KP ví dụ điển hình cho thấy định nghĩa siêu khả tích cực đại có khả áp dụng cho hệ suy biến vector [28] Các hàm sóng sở tốn MICZKepler chín chiều 2.1 Các hàm sở toán MICZ-Kepler chín chiều tọa độ cầu, parabolic cầu dài Bộ hàm sở tọa độ cầu Phng trỡnh Schrăodinger ca bi toỏn 9D-MICZ KP c vit tường minh tọa độ cầu [27] − ∂r2 + ∂r r − ˆ (φ) L Jˆ2 (φ, ϕ) Z + cot θ∂ ∂ + + − θ θ θ θ r 2r 8r2 sin2 8r2 cos2 Ψ = EΨ, (9) đó, tốn tử Lˆ (φ) Jˆ2 (φ, ϕ) toán tử Casimir bậc hai đại số SO(8) cấu thành vi tử Lˆ ij Jˆij (φ, ϕ) = Lˆ ij (φ) + Qˆ ij (ϕ) Dễ dàng thấy Bộ hàm sở tọa độ cầu dài Hệ tọa độ cầu dài hệ tọa độ hai tâm nhận hệ tọa độ cầu hệ tọa độ parabolic làm hai trường hợp giới hạn hai tâm gần rt xa v phng trỡnh Schrăodinger ca bi toán hệ tọa độ −2 a (ξ − η ) (ξ − 1) ∂2 ∂ ) ∂ + 8η ∂ + 8ξ + (1 − η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ˆ kj L ˆ kj + Q ˆ2 2Q 2Z −E − + a (ξ + 1)(1 + η)(ξ + η) a(ξ + η) ˆ2 2L + 2 a (ξ − 1)(1 − η ) Ψ(ξ, η, φ, ϕ) = (16) Bây giờ, tách biến số (ξ, η, φ, ϕ) cách viết lại hàm sóng dạng Ψ(ξ, η, φ, ϕ) = Ξ(ξ)H(η)D (φ, ϕ), với D (φ, ϕ) hàm siêu cầu mở rộng hàm sở tọa độ cầu parabolic Phương trình (16) lúc trở thành hai phương trình vi phân thường cho hai biến ξ η ∂2 L(L + 6) J(J + 6) 2 ∂ − + + Ea (ξ − 1) + Zaξ + K Ξ = 0, (17) + 8ξ ∂ξ 2(ξ − 1) 2(ξ + 1) ∂ξ ∂ ∂ L(L + 6) J(J + 6) (1 − η ) − 8η − − + Ea (1 − η ) − Zaη − K H = 0, (18) ∂η 2(1 − η) 2(1 + η) ∂η (ξ − 1) cách đưa vào số tách biến K Bộ hàm sóng sở tọa độ cầu dài spheroid spheroid ψn,n (ξ, η, a) = Cn,n (a) e− k ,L,Q,J k ,L,Q,J αaξ (ξ − 1)L/2 (ξ + 1)J/2 e− L+J − Za + 2 L+J ×HeunC −αa; J + 3; L + 3; 2Za; Knk (a) + − Za + 2 ×HeunC −αa; J + 3; L + 3; 2Za; Knk (a) + αaη (1 − η)L/2 (1 + η)J/2 (L + 4)(J + 4) ξ + L+J +7 − ; 2 L+J (L + 4)(J + 4) η + +7 − ; , (19) 2 spheroid Cn,n ,L,Q,J (a) hệ số chuẩn hóa Các số lượng tử n nk xuất từ lượng tử k hóa lượng En,Q = − Z2 2(n+4+Q/2)2 số tách biến K Điều kiện cho lượng tử hóa số tách biến phương trình (19) cơng trình [15] cơng trình [14] nên kí hiệu Knk (a) trị riêng thứ nth k theo thứ tự tăng dần (nk = 0, 1, 2, ) hàm riêng theo biến ξ có nk nút tuân theo định lý chuỗi Sturm [14, 15]) Vậy nk số lượng tử tốt để mô tả trạng thái liên kết toán 9D-MICZ KP Bậc suy biến mức lượng Do đối xứng SO(10) toán 9D-MICZ KP cao đối xứng hình học hiển nhiên SO(9) tốn trường xun tâm chín chiều nên có suy biến mạnh 10 mức lượng Bậc suy biến theo cặp số lượng tử n, Q spherical/parabolic/spheroidal gnQ               ×              2.2 = (1 + n)(1 + Q) × × × 7!         +(97776 + 144036n + 80078n + 23704n + 3904n + 338n + 12n )Q       +(25584 + 80078n + 32417n + 6671n + 686n + 28n )Q 3(2 + n)(3 + n)(4 + n)2 (5 + n)(6 + n)(7 + n) +(−64392 + 23704n + 6671n2 + 861n3 + 42n4 )Q3 (20)              +(−74586 + 3904n + 686n2 + 42n3 )Q4 +(−35790 + 338n + 28n2 )Q5 + (−8310 + 12n)Q6 − 762Q7 Phép biến đổi sở tốn MICZKepler chín chiều Phép biến đổi sở parabolic sở cầu tốn MICZ-Kepler chín chiều Phép biến đổi tọa độ parabolic tọa độ cầu u = r (1 + cos θ), v = r (1 − cos θ) Phép biến đổi liên sở sở parabolic sở cầu viết dạng phép biến đổi tuyến tính hàm sóng parabolic hàm sóng cầu cho số lượng tử n số lượng tử đơn cực Q n+Q/2 parabolic Ψn,n ,L,Q,J,j , ,j ,m (u, v, φ, ϕ) p j n,L,Q,J spherical Ψn,λ,L,Q,J,j , ,j ,m (r, θ, φ, ϕ).(21) p j Wλ;n = λ=(L+J)/2 Sử dụng khai triển chuỗi lũy thừa đa thức cổ điển tích phân Gamma, chúng tơi tìm dạng tường minh hệ số chuyển sở hệ tọa độ cầu parabolic sau: n,L,Q,J Wλ;n = p 16 × (n + + Q/2) (2λ + 7) n + × Q (J + np + 3)! (n − np + (L − J + Q) /2 + 3)! × np ! [n − np − (L + J − Q) /2]! +λ+7 ! λ+3− λ+3+ J−L ! n+ Q J−L ! λ+ −λ ! λ− L+J L+J +6 ! ! n−np −(L+J−Q)/2 λ−(L+J)/2 n+Q/2−λ np × mu =0 (−1) × × mv =0 mu +mv +mθ +mr mθ =0 mr =0 + mθ + ! λ + L+J λ+ + + mu + mv + mr ! (λ + mr + 7)! (J + mu + 3)! (L + mv + 4)! (L + mθ + 4)! L+J n − np − (L + + mv + mθ )! (J + + mu )! (L + J + + mu + mv + mθ )! n+ Q − λ + mr − mr L+J−Q + mv − mv np + mu − mu 11 λ− L+J + mθ − mθ (22) Mối liên hệ sở tọa độ cầu dài sở tọa độ cầu parabolic Như đề cập Mục 2.1, hệ tọa độ cầu parabolic hai trường hợp giới hạn hệ tọa độ cầu dài mà khoảng cách hai tâm a tiến xa vô +∞ nên ta đốn hàm sóng sở hệ tọa độ cầu parabolic tương ứng hai trường hợp giới hạn hệ tọa độ cầu dài Điều chứng minh chi tiết phân tích giải tích: spheroidal spherical (r, θ, φ, ϕ), lim Ψn,n ,L,Q,J,j , ,j ,m (ξ, η, φ, ϕ; a) = Ψ Q j k n,n+ −nk ,L,Q,J,j5 , ,j1 ,mj a→0 spheroidal parabolic lim Ψn,n ,L,Q,J,j , ,j ,m (ξ, η, φ, ϕ, a) = Ψ (u, v, φ, ϕ) Q j k n,n+ − L+J −nk ,L,Q,J,j5 , ,j1 ,mj a→+∞ (23) (24) Các thảo luận khác Tương tự phép chuyển sở sở parabolic cầu, phép chuyển sở sở cầu dài cầu biểu diễn dạng phép biến đổi tuyến tính Q n+ spheroidal Ψn,n ,L,Q,J,j , ,m (ξ, η) = j k n,L,Q,J k Tλ;n λ= L+J spherical (a) Ψn,λ,L,Q,J,j , ,j ,m (r, θ, φ, ϕ) j (25) với phần tử ma trận T có dạng n,L,Q,J (a) = r8 dr sin7 θdθdΩ(φ, ϕ) k spheroidal ×Ψn,n ,L,Q,J,j ,j j ,j ,j ,m (ξ, η) j k Tλ;n ∗ spherical Ψn,λ,L,Q,J,j ,j j ,j ,j ,m (r, θ, φ, ϕ) j × (26) tích phân khơng dễ để tính cách trực tiếp Dù vậy, kết giới hạn sở cầu dẫn Mục 2.2 cho phép dự n,L,Q,J đốn tính chất giới hạn phần tử ma trận Tλ;n (a) sau k n,L,Q,J k Tλ;n (0) = δ Q n+ −nk ,λ , n,L,Q,J k Tλ;n Q n,n+ − L+J −nk (+∞) = Wn,λ (27) Các đối xứng ẩn sau hàm sóng sở tốn MICZ-Kepler chín chiều 3.1 Đối xứng tính siêu khả tích tốn MICZKepler chín chiều Trong cơng trình [29], tính tốn trực tiếp dẫn Hamiltonian 9D-MICZ KP giao hoán với 54 thành phần ma trận toán tử phản xứng sau 12 ˆ: D  ˆ = D ˆ µν −M ˆµ Λ ˆµ M với Λˆ µν = xµ πˆν − xν πˆµ + ır2 πˆµ , πˆν −  , (28) µ, ν = 1, 2, , 9, Mˆ µ = √ ˆ −2H ˆ µν π ˆµ , Λ + + Zxr ν toán tử xung lượng mở rộng Poincare tốn tử Laplace-Runge-Lenz Ở đây, chúng tơi ˆ B] ˆ ± = AˆB ˆ ±B ˆ Aˆ Vì ma trận D ˆ thỏa mãn hệ thức giao sử dụng kí hiệu sau: [A, hốn đại số SO(10) [28, 29], toán 9D-MICZ KP hệ đối xứng SO(10) Như chứng minh cơng trình [28] chúng tơi, khả tích toán 9D-MICZ KP đến từ tồn tích phân chuyển động độc lập đại số Dˆ 12 , Dˆ 22 , Dˆ 92 Số mũ toán tử nhằm nhấn mạnh tốn tử có dạng bậc hai theo toán tử xung lượng Một cách hiển nhiên, thành phần Hamiltonian Hˆ ≡ Dˆ 12 Chúng xây dựng thành phần thông qua nhóm SO(m) ⊂ SO(10) cách lấy ma trận khối m × m góc bên trái ma trận toán tử Dˆ xây dựng toán tử Casimir bậc hai tương ứng = ˆm ˆ , m = 2, 3, , D Λ (29) jk 1≤j