Tóm tắt lý thuyết toán 12 (file word)

TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) +) f ' ( x ) > đâu hàm số đồng biến +) f ' ( x ) < đâu hàm số nghịch biến Quy tắc: +) Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm +) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) +)Dựa vào bảng xét dấu kết luận Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu khoảng (a,b) / +) Để hàm số đồng biến khoảng ( a, b ) f ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a, b ) / +) Để hàm số nghịch biến khoảng ( a, b ) f ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( a, b ) ax + b 1) Riêng hàm số: y = Có TXĐ tập D Điều kiện sau: cx + d +) Để hàm số đồng biến TXĐ y ' > 0∀x ∈ D +) Để hàm số nghịch biến TXĐ y ' < 0∀x ∈ D  y ' > ∀x ∈ ( a, b )  +) Để hàm số đồng biến khoảng ( a; b )  d  − ∉ ( a, b )  c  y ' < ∀x ∈ ( a, b )  +) Để hàm số nghịch biến khoảng ( a; b )  d  − ∉ ( a, b )  c 2) Tìm m để hàm số bậc y = ax + bx + cx + d đơn điệu R +) Tính y ' = 3ax + 2bx + c tam thức bậc có biệt thức ∆ a > a > +) Để hàm số đồng biến R ⇔  +) Để hàm số nghịch biến R ⇔  ∆ ≤ ∆ ≤ BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu hàm số Dấu hiệu 1: 1) Nếu f ' ( x0 ) = f ' ( x ) khơng xác định x đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm số 2) Nếu f ' ( x0 ) = f ' ( x ) không xác định x đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm số *) Quy tắc 1: +) Tính y ' +) Tìm điểm tới hạn hàm số (tại y ' = y ' khơng xác định) +) Lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu kết luận Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp x  f ' ( x0 ) = ⇒ x điểm cực đại +)   f " ( x0 ) < *) Quy tắc 2: +) Tính f ' ( x ) , f " ( x )  f ' ( x0 ) = ⇒ x điểm cực tiểu +)   f " ( x0 ) > +) Giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm +) Thay nghiệm vừa tìm vào f " ( x ) kiểm tra từ suy kết luận Bài tốn 2: Cực trị hàm bậc Cho hàm số: y = ax + bx + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax + 2bx + c Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > Để hàm số có khơng cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu +) Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B ) Phần dư phép chia y = Ax + B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu  2c 2b  bc y = +) Cách : Công thức :  − ÷x + d − 9a  9a  +) Cách : Công thức : y = y − y ' y '' 18.a b − 3ac 4k + 16k Khoảng cách điểm cực trị : AB = với k = 9a a Bài toán 3: Cực trị hàm số bậc trùng phương Cho hàm số: y = ax + bx + c có đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) Hàm số có cực trị ab ≥ a > +) Nếu  hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b ≥ a < +)  hàm số có cực đại khơng có cực tiểu b ≤ hàm số có cực trị ab < (a b trái dấu) a > +)  hàm số có cực đại cực tiểu b < a < +) Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b >  b ∆   b ∆  , C − ; − Giả sử hàm số y = ax + bx + c có cực trị: A(0; c ), B  − − ; − ÷  ÷  2a 4a ÷ 2a 4a ÷     tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab < · ĐẶT BAC =α α −b Tổng quát: cot = 8a Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH (TRẮC NGHIỆM) HÀM SỐ: y = ax + bx + c Dữ kiện Công thức thỏa ab < Tam giác ABC vuông cân A b3 = −8a Tam giác ABC b3 = −24a 32a ( S0 ) + b5 = Tam giác ABC có diện tích S ∆ABC = S0 Tam giác ABC có diện tích max ( S0 ) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r∆ABC = r0 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R∆ABC = R Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác Tam giác ABC ABC ABC ABC ABC ABC có trọng tâm O có trực tâm O điểm O tạo thành hình thoi có O tâm đường trịn nội tiếp có O tâm đường trịn ngoại tiếp có cạnh BC = kAB = kAC Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh Cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C : y = ax4 + bx2 + c trục hồnh có diện tích phần phần ( ) S0 = − r= b5 32a b2  b3  a 1 + − ÷  8a ÷   b3 − 8a R= 8ab am02 + 2b = 16a n02 − b + 8ab = b = 4ac b(8a + b3 ) > b = 6ac b3 + 8a − 4ac = b = 2ac b3 − 8a − 4abc = b3 − 8a − 8abc = b3 k − 8a (k − 4) = b = ac b = 8ac 100 b2 = ac b2 = 36 ac 2 ∆  2 ∆  2 + c ÷y + c  − ÷= Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC là: x + y −  −  b 4a   b 4a  BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D  M ≥ f ( x ) ∀x ∈ D f ( x) +) M GTLN hàm số D nếu:  Kí hiệu: M = max D ∃ x ∈ D : f x = M ( )  0  m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D f ( x) +) m GTNN hàm số D nếu:  Kí hiệu: m = D ∃x ∈ D : f ( x ) = m Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 +) Nhận xét: Nếu M, m GTLN GTNN hàm số D pt f ( x ) − m = & f ( x ) − M = có nghiệm D Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số: *) Quy tắc chung: (Thường dùng cho D khoảng) - Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm D - Lập BBT cho hàm số D - Dựa vào BBT định nghĩa từ suy GTLN, GTNN *) Quy tắc riêng: (Dùng cho [ a; b ] ) Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [ a; b ] - Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm [ a, b ] - Giả sử phương trình có nghiệm x1 , x ∈ [ a, b ] - Tính giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x ) So sánh chúng kết luận Chú ý: GTLN,GTNN hàm số số hữu hạn Hàm số liên tục đoạn [ a, b ] ln đạt GTLN, NN đoạn Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến [ a, b ] max f ( x ) = f ( b ) , f ( x ) = f ( a ) Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến [ a, b ] max f ( x ) = f ( a ) , f ( x ) = f ( b ) Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) hàm số liên tục D phương trình có nghiệm f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) D D BÀI TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a TCĐ đồ thị hàm số y = f ( x ) có điều kiện sau: lim+ y = +∞ lim+ y = −∞ lim− y = +∞ lim− y = −∞ x →a x →a x →a x →a +) Đường thẳng y = b TCN đồ thị hàm số y = f ( x ) có điều kiện sau: lim y = b lim y = b x →+∞ x →−∞ Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm mẫu khơng nghiệm tử có tiệm cận đứng +) Hàm phân thức mà bậc tử ≤ bậc mẫu có TCN +) Hàm thức dạng: y = có TCN (Dùng liên hợp) − ,y = − bt, y = bt − x +) Hàm y = a , ( < a ≠ 1) có TCN y = +) Hàm số y = log a x, ( < a ≠ 1) có TCĐ x = Cách tìm: +) TCĐ: Tìm nghiệm mẫu không nghiệm tử y lim y +) TCN: Tính giới hạn: xlim →+∞ x →−∞ Chú ý: ax + b a +) Với đồ thị hàm phân thức dạng y = ( c ≠ 0; ad − bc ≠ ) ln có tiệm cận ngang y = cx + d c d tiệm cận đứng x = − c +) Nếu x → +∞ ⇒ x > ⇒ x = x = x +) Nếu x → −∞ ⇒ x < ⇒ x = x = − x Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 BÀI BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định hình hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d a>0 y ' = có hai nghiệm phân biệt hay ∆ y/ > a Định hình hàm số bậc 4( Trùng phương) : y = ax + bx + c x = +) Đạo hàm: y ' = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) , y ' = ⇔   2ax + b = a>0 y ' = có nghiệm phân biệt hay ab < a : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a < : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn +) ( ∆, d ) = α ⇒ tan α = Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : MŨ VÀ LÔGARIT BÀI LŨY THỪA Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α α = n∈ N* α =0 Cơ số a a∈R a≠0 α = −n ( n ∈ N * ) a≠0 Luỹ thừa a α a n = a.a a (n thừa số a) a0 = 1 a−n = n a m (m ∈ Z , n ∈ N * ) a>0 n α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * ) a>0 Tính chất luỹ thừa • Với a > 0, b > ta có: m n α= a = n a m ( n a = b ⇔ b n = a) aα = lim a rn α aα aα a α −β α β α β α α α a a = a ; =a ; (a ) = a ; (ab) = a b ;  ÷ = α aβ b b α β α β • a >1 :a > a ⇔ α > β ; < a a ⇔ α < β • Với < a < b ta có: a m < bm ⇔ m > ; am > bm ⇔ m < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương Định nghĩa tính chất thức • Căn bậc n a số b cho b n = a • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: α n β α +β ab = n a n b ; n a na = (b > 0) ; b nb n p q = n a p = m a q (a > 0) ; Đặc biệt n m • Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n a < n b Nếu a p = ( n a ) ( a > 0) ; p n m n a = m n a a = mn a m Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b n a < n b Chú ý: + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu n a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA 1) Hàm số luỹ thừa y = xα (α số) Số mũ α Hàm số y = xα Tập xác định D α = n (n nguyên dương) y = xn D=R α = n (n nguyên âm n = 0) y=x n y=x α D = R \ {0} D = (0; +∞) α số thực không nguyên n Chú ý: Hàm số y = x không đồng với hàm số y = n x (n ∈ N*) 2) Đạo hàm • ( xα ) ′ = α xα −1 ( x > 0) ; ( uα ) ′ = α uα −1.u ′ Trang 10 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 • z ≥ 0, ∀z ∈ C , • z.z ' = z z ' Chia hai số phức: −1 • z = z (z ≠ 0) z Căn bậc hai số phức: z =0⇔z=0 z z = • z' z' • • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = z z.z z • z' = w ⇔ z ' = wz z  x − y2 = a z = x + yi • bậc hai số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔   2xy = b • w = có bậc hai z = • w ≠ có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a > ± a • Hai bậc hai a < ± −a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = B2 − 4AC −B ± δ • ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = , ( δ bậc hai ∆) 2A B • ∆ = : (*) có nghiệm kép: z1 = z = − 2A Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) Trang 19 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ, CẦU I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos α = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AB AC tan α = (ĐỐI chia KỀ) cot α = (KỀ chia ĐỐI) AC AB B sin α = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB = BC − AC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH A α C H AB2 = BH.BC 1 = + 2 AH AB AC III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c A = = = 2R IV ĐỊNH LÍ SIN sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC N M AM AN MN AM AN = = = a) ; b) AB AC BC MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG B C Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp) a a2 Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a2 (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2 A Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có góc 30o 60o BC BC b) BC = 2AB c) AC = d) S = 60 o 30 o B C Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S = d1.d (d1, d2 đường chéo) A S = ( a + b ).h Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) N 10 Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a M 11 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) G 12 Đường tròn: a) C = π R b) S = π R2 (R: bán kính đường trịn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC B P C Trang 20 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm Đường cao: Giao điểm đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tgiác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đ trịn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp ( α ): d ⊥ a; d ⊥ b (α ) ⊥ (β)   ⇒d ⊥ (α ) a) a ∩ b b) (α ) ∩ (β) = a ⇒ d ⊥ ( α ) d a, b ⊂ α a ⊥ d ⊂ (β)   A c) Đt d vng góc với mp ( α ) d vng góc với đt nằm mp ( α ) Góc ϕ đt d mp ( α ): d cắt ( α ) O A∈ d O  AH ⊥ (α) ϕ d' Nếu  góc d ( α ) ϕ hay ·AOH = ϕ H α  H ∈ (α ) Góc mp ( α ) mp ( β ): β (α) ∩ (β) = AB  · Nếu  FM ⊥ AB; EM ⊥ AB góc ( α ) ( β ) ϕ hay EMF =ϕ  EM ⊂ (α), FM ⊂ (β)  Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): Nếu AH ⊥ ( α ) d(A, ( α )) = AH (với H ∈ ( α )) IX DIỆN TÍCH HÌNH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN: V = h.Sđáy Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối chóp: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Diện tích xq hình nón trịn xoay: F E B ϕ M α A h.Sđáy VS.A′B′C′ SA′ SB′ SC′ = VS.ABC SA SB SC S xq = π rl V = Diện tích xq hình trụ trịn xoay: 1 V = h.Sđáy = h.π r (diện tích đáy đường trịn) 3 S xq = 2π rl (r: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối trụ trịn xoay: V = h.Sđáy = h.π r ( h: chiều cao khối trụ) Diện tích mặt cầu: S xq = 4π R (R: bk mặt cầu ) V = π R (R: bán kính mặt cầu) Thể tích khối nón trịn xoay: Thể tích khối cầu: Trang 21 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Trang 22 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 I KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: + Các mặt đa giác n cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại { n, p} Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3;3 , loại 4;3 , loại 3;4 , loại 5;3 , loại { } { } { } { } { 3;5} Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạn h Số mặt Loại Số MPĐX Tứ diện { 3;3} Khối lập phương 12 { 4;3} Bát diện 12 { 3;4} Mười hai mặt 20 30 12 { 5;3} 15 Hai mươi mặt 12 30 20 { 3;5} 15 { } Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: pĐ = 2C = nM II MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP ( TÍNH CHẤT 1/ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC vng góc với đơi một, diện )( )( HÌNH VẼ A ) tích tam giác SAB, SBC , SAC S1,S2,S3 Khi đó: V = S ABC S 2S1.S2 S3 C B Trang 23 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 ( ) S 2/ Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt ( ) ( ) · · phẳng SAB SBC vuông góc với nhau, BSC = α , ASB =β Khi đó: VS.ABC = SB 3.sin2α tan β 12 C A B 3/ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b a2 3b2 − a2 Khi đó: V = S ABC 12 S C A G M B 4/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α a3 tanα Khi đó: VS ABC = 24 S C A G M B 5/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: V S ABC = 3b3.sin β cos2 β S C A G M B 6/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: VS.ABC = a3.tan β 12 S C A G M B 7/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = b S 2 Khi đó: VS ABC = a 4b − 2a D A M O C B Trang 24 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 8/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy α a3.tanα Khi đó: VS ABCD = S A D M O B C 9/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, π π  · SAB = α , với α ∈  ; ÷   Khi đó: VS ABCD S D a3 tan2 α − = A O C B 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên  π a, góc tạo mặt bên mặt đáy α với α ∈  0; ÷  2 Khi đó: VS.ABCD = S 4a3.tanα ( + tan2 α A ) D ( ) ( M O B C 11/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi P M S mặt phẳng qua A song song với BC vng góc F N ) ( ) với SBC , góc P Khi đó: VS.ABCD với mặt phẳng đáy α A E x G a3 cot α = 24 12/ Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V = C M B A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C 13/ Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương Khi đó: V = 2a 27 S G2 D A G1 N M C B S' Trang 25 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : HÌNH KHƠNG GIAN OXYZ I TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ uuur AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) uuur 2 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) z r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) r r a = a12 + a22 + a32 k ( 0;0;1)  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r r r r r r r a a a a / / b ⇔ a = k b ⇔ a ∧ b = ⇔ = = b1 b2 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = r ur urr a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a.b 10 cos(a,b) = r r = a.b a1 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 r r r r a 11 Tích cóhướ ng: a ∧ b =  a, b  =   b2 r r r r r r 12 a, b, c đồng phẳng ⇔ a ∧ b c = r r r r r 13 a, b, c không đồng phẳng ⇔ a ∧ b ( ) ( a3 a3 , b3 b3 r j ( 0;1;0 ) O x a1 a1 , b1 b1 r i ( 1;0;0 ) a2  ÷ b2  r ) c ≠ y − kyB z −kz B   x − kxB , A , A 14 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A ÷ 1− k 1− k   1− k  x + x y + yB z A + zB  , 15 M trung điểm AB: M  A B , A ÷ 2    x + x + x y + y B + yC z A + z B + zC , 16 G trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A 3  r r r 17 Véctơ đơn vị : i = (1, 0, 0); j = (0,1, 0); k = (0, 0,1) 18 M ( x, 0, 0) ∈ Ox; N (0, y, 0) ∈ Oy; K (0, 0, z ) ∈ Oz 19 M ( x, y , 0) ∈ Oxy; N (0, y, z ) ∈ Oyz; K ( x, 0, z ) ∈ Oxz uuur uuur a1 + a22 + a32 20 S ∆ABC = AB ∧ AC = 2 u u u r u u u r u uur AB ∧ AC AD 21 VABCD = r uuur uuur uuuu / 22 VABCD A/ B /C / D / = ( AB ∧ AD) AA ( y  ,÷  ) II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG r r r Vectơ pháp tuyến mp(α) : n ≠ véctơ pháp tuyến α ⇔ n ⊥ (α) Trang 26 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 r r r r Cặp véctơ phương mp(α) : a , b cặp vtcp mp(α) ⇔ gía véc tơ a , b // (α)       Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]  Pt mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A ( x – xo ) + B ( y – yo ) + C ( z – zo ) =  (α): Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) x y z + + =1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm mặt phẳng : Giả sử α1 ∩ α2 = d đó: (α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0  ; (α ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = Phương trình mặt phaúng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Để lập phương trình mặt phẳng α ta cần xác định điểm thuộc α VTPT u r Dạng 1: α qua điểm M x0;y0;z0 có VTPT n = A;B;C : ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ( ) r r Dạng 2: α qua điểm M x0;y0;z0 có cặp VTCP a,b : r r r Khi VTPT α n = a,b  ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 3: α qua điểm M x0;y0;z0 song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = (α ) : A (x − x ) + B (y − y ) +C (z − z ) = 0 ( ) 0 Dạng 4: α qua điểm không thẳng hàng A, B,C uuur uuuu r r Khi ta xác định VTPT α là: n = AB, AC  ( ) Dạng 5: ( α ) qua điểm M đường thẳng ( d) không chứa M : r – Trên ( d) lấy điểm A VTCP u uuuur r r – Một VTPT ( α ) là: n = AM , u Dạng 6: ( α ) qua điểm M , vng góc với đường thẳng ( d) : r VTCP u đường thẳng ( d ) VTPT ( α ) Dạng 7: ( α ) qua đường thẳng cắt d , d : r r – Xác định VTCP a,b đường thẳng d1, d2 r r r – Một VTPT α là: n = a,b  ( ) ( ) – Lấy điểm M thuộc d1 d2 ⇒ M ∈ α ( ) Dạng 8: α chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2( d1, d2 chéo ) : r r – Xác định VTCP a,b đường thẳng d1, d2 Trang 27 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 r r r – Một VTPT α là: n = a,b  ( ) ( ) – Lấy điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ α ( ) Dạng 9: α qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2 : r r – Xác định VTCP a,b đường thẳng d1, d2 r r r – Một VTPT α là: n = a,b  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 10: α qua đường thẳng d vng góc với mặt phẳng β : r r – Xác định VTCP u d VTPT nβ β r r r – Một VTPT α là: n = u, nβ  ( ) ( ) ( ) – Lấy điểm M thuộc d ⇒ M ∈ α ( ) ( ) ( ) Dạng 11: α qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt   β , γ : r r – Xác định VTPT nβ , nγ β γ r r r – Một VTPT α là: n = uβ , nγ  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 12: α qua đường thẳng d cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: ( ) – Giả sử (α) có phương trình: Ax + By + Cz+D = A + B + C ≠ () ( ) – Từ điều kiện khoảng cách d(M ,(α )) = k , ta phương trình ( 3) – Giải hệ phương trình ( 1) , ( 2) , ( 3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13: ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S) điểm H : – Giả sử mặt cẩu ( S) có tâm I bán kính R uuu r – Một VTPT ( α ) là: nr = IH ( ) ( ) – Lấy điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ α ( ta hai phương trình , ) III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  x = x0 + a1t  Phương trình ttham số đường thẳng :  y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t  r Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1 ; a2 ; a3 ) vtcp đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 = = Phương trình tắc đuờng thẳng : a1 a2 a3 r Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1 ; a2 ; a3 ) vtcp đường thẳng  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Phương trình tổng quát đường thẳng:  (với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ur uu r uu r uur uu r n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) hai VTPT VTCP u∆ = [ n1 , n2 ] y = x = x = †Chú ý: a Đường thẳng Ox:  ; Oy:  ; Oz:  z = z = y = Trang 28 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 r uuur b Đường thẳng (AB): Có VTCP u AB = AB uur uuu r c ∆1//∆2 ⇒u∆1 = u∆2 uur uuu r u∆1 = n∆2 d ∆1⊥∆2 ⇒ CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP r Dạng 1: d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = xo + a1t  ( d ) :  y = y o + a2 t ( t ∈ R) z = z + a t o  uuur Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / / ∆ nên VTCP ∆ VTCP d Dạng 4: d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d ⊥ P nên VTPT ( ) ( ) ( ) P VTCP d ( ) ( ) Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng P , Q : • Cách 1: Tìm điểm VTCP  (P ) – Tìm toạ độ điểm A ∈ d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị (Q)   cho ẩn) r r r – Tìm VTCP d : a =  nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a =  ad1 , ad  Dạng 7: d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng ∆ H ∈ ∆  uuuuur r M 0H ⊥ u∆ Khi đường thẳng d đường thẳng qua M 0, H • Cách 2: Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với d ; ( Q ) mặt phẳng qua A chứa d ( ) ( ) Khi d =   P ∩ Q Dạng 8: d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 : • Cách 1: Gọi M ∈ d1, M ∈ d2 Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi ( P ) = (M 0,d1) , ( Q ) = (M 0,d2) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) Do đó, VTCP d có r r r thể chọn a = nP , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng ( P ) cắt hai đường thẳng d1,d2 : Tìm giao điểm Trang 29 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 ( ) ( ) A = d1 ∩ P , B = d2 ∩ P Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với ∆ cắt hai đường thẳng d1,d2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) (P ) ( ) chứa ∆ d1, mặt phẳng Q chứa ∆ d2 Khi d= P ∩ Q Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN ⊥ d1 • Cách 1: Gọi M ∈ d1, M ∈ d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường MN ⊥ d2 thẳng MN • Cách 2: r r r – Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad1,ad2  ( ) – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 r r r + Một VTPT P là: nP = a,ad1  ( ) ( ) – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d d2 ( ) ( ) Khi d = P ∩ Q ( ) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng P : • Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ∆ vng góc với mặt phẳng ( P ) cách: – Lấy M ∈ ∆ r r r – Vì Q chứa ∆ vng góc với P nên nQ = a∆ , nP  ( ) ( ) ( ) ( ) Khi d = P ∩ Q Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua M vng góc với d1 ( ) – Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M d2 ( ) ( ) Khi d = P ∩ Q IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính R Dạng 1: ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 = R (S) Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( ) với a + b + c − d > S có tâm I ( −a; −b; −c ) bán kính R = a + b + c − d ( ) Để viết phương trình mặt cầu S , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Trang 30 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 ( ) 2: ( S ) 3: ( S ) 1: S có tâm I ( a; b; c ) bán kính R : (S): ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R có tâm I ( a; b; c ) qua điểm A : Khi bán kính R = IA nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : x +x y + yB z +z xI = A B ; y I = A ; zI = A B 2 AB – Bán kính R = IA = 4: S qua bốn điểm A, B, C , D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ): ( ) ( ) – Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: ( ) x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d =   * ( ) – Thay toạ độ điểm A, B, C , D vào  * , ta phương trình ( ) – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu S ( ) ( ) 5: S qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước: Giải tương tự dạng ( ) cho trước: Khi bán kính R = d ( I ;( P ) ) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R ' mặt cầu ( T ) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu ( S ) ( ) 7: ( S ) 6: S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) V KHOẢNG CÁCH uuur 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) r r Cho M ( xM ; yM ; zM ) , mp(α ) : Ax + By + Cz + D = , ∆ : M ( x0 ; y0 ; z0 ) , u , ∆ ' : M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') , u ' a Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d ( M , ( α ) ) = { } { } AxM + ByM + CZ M + D A2 + B + C uuuuur r [ MM , u ] r b Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d ( M , ∆) = u r ur uuuuuuur [u, u '].M M '0 uu r ur c Khoảng cách hai đường thẳng: d (∆, ∆’) = [u , u '] VI GÓC ur r r r u.v r r Góc hai véc tơ u , v : cos u , v = r r u.v ( ) r r Góc hai đường thẳng có vectơ phương u , v : Trang 31 rr u.v r r cos ϕ = cos(u; v) = r r = u.v TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 aa ' + bb ' + cc ' , (0 ≤ ϕ ≤ 900 ) a +b +c a +b +c r r Cho đường thẳng d có vecto phương u = (a; b; c ) mặt (α ) có pháp tuyến n = ( A; B; C ) , ϕ góc đường thẳng mặt phẳng đó: rr u.n aA + bB + cC sin ϕ = r r = u n a + b + c A2 + B + C 2 2 '2 '2 '2 ur uur Góc hai mặt phẳng (α), (α’) có véc tơ pháp tuyến n, n ' : ur uur n.n ' cos((α),(α’))=cosϕ= r ur n n' VII.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐIỂM, MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU Vị trí tương đối hai mặt phẳng: (α ) , ( β ) có véc tơ pháp tuyến (A1; B1; C1), (A2; B2; C2): (α ) cắt ( β ) : A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D (α ) / /( β ) : = = ≠ , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 A B C D (α ) ≡ ( β ) : = = = , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 (α ) ⊥ ( β ) : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = uur r Vị trí tương đối đường thẳng: (d) qua M có vtcp a d , (d’) qua N có vtcp a d / r uur → d chéo d’ ⇔ [ a d , a d / ] MN ≠ (không đồng phẳng) r uur → d, d’ đồng phẳng ⇔ [ a d , a d / ] MN = r uur r r uur → d, d’ cắt ⇔ [ a d , a d / ] ≠ [ a d , a d / ] MN =0 uur r d, d’ song song ⇔ { a d // a d / M ∉ ( d / ) } uur r d, d’ trùng ⇔ { a d // a d / M ∈ ( d / ) } Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: 2 2 Cho mp α : Ax + By + Cz + D = mặt cầu S : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R ( ) • ( α ) ( S ) khơng có điểm chung • ( α ) tiếp xúc với ( S ) ( ) ⇔ d(I ,(α )) > R (α) ⇔ d(I ,(α )) = R tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d α H tiếp điểm S với α • ( α ) cắt ( S ) theo đường tròn ⇔ d(I ,(α )) < R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vuông góc với α ( ) ( ) ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d α Trang 32 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 ( ) ( ) H tâm đường tròn giao tuyến S với α Bán kính r đường tròn giao tuyến: r = R − IH Trang 33 ... mặt cầu) Thể tích khối nón trịn xoay: Thể tích khối cầu: Trang 21 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Trang 22 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 I KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai... nghịch biến) f (u) = f (v) ⇔ u = v e) Đưa phương trình phương trình đặc biệt Trang 12 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 A = A = 2 • Phương trình tích A.B = ⇔  • Phương trình A + B = ⇔  B = B = f)... ∀x ∈ D f ( x) +) m GTNN hàm số D nếu:  Kí hiệu: m = D ∃x ∈ D : f ( x ) = m Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 +) Nhận xét: Nếu M, m GTLN GTNN hàm số D pt f ( x ) − m = & f ( x ) − M = có nghiệm