TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lý thuyết toán 12 fb: https://www.facebook.com/phong.baovuong File giáo viên nhóm Word Tốn chia sẻ A HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 01 I H oc Bài tốn 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến hàm số: Cho hàm số  y  f  x  +)  f '  x    ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.  +)  f '  x    ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.  uO nT hi D Quy tắc: +) Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x    tìm nghiệm.  +) Lập bảng xét dấu  f '  x    +)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.  Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đơn điệu khoảng (a,b) +) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a, b   thì  f '  x   0x   a, b      +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a, b   thì  f '  x   0x   a, b    iL ie     ax  b Có TXĐ tập D Điều kiện sau: cx  d +) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì  y '  0x  D     +) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì  y '  0x  D      y '  0x   a, b   +) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a; b   thì     d x    c     y '  0x   a, b   +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a; b   thì     d x    c  c om /g ro up s/ Ta *) Riêng hàm số: y  ok *) Tìm m để hàm số bậc y  ax  bx  cx  d đơn điệu R +) Tính  y '  3ax  2bx  c  là tam thức bậc 2 có biệt thức     bo   a  +) Để hàm số đồng biến trên R        a  a +) Để hàm số nghịch biến trên R        fa   ce   w w w Chú ý: Cho hàm số  y  ax  bx  cx  d   +) Khi  a   để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k   y '   có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x  sao cho  x1  x  k   Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Trang 1  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lý thuyết tốn 12 fb: https://www.facebook.com/phong.baovuong +) Khi  a   để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k   y '   có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x   sao cho  x1  x  k   CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 01 II H oc Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu hàm số Dấu hiệu 1:   +) nếu   f '  x    hoặc  f '  x   không xác định tại  x  và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua  x   thì  x  là điểm cực đại của hàm sô.  uO nT hi D +) nếu   f '  x    hoặc  f '  x   khơng xác định tại  x  và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua  x     thì  x  là điểm cực tiểu của hàm sơ.  *) Quy tắc 1:   +) tính  y '   +) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó  y '   hoặc  y '  khơng xác định)    +) lập bảng xét dấu  y '  dựa vào bảng xét dấu và kết luận.  iL s/ f '  x   +)  x  là điểm cđ      f "  x   ro up f '  x   +)  x  là điểm cđ      f "  x   *) Quy tắc 2:   +) tính  f '  x  , f "  x       Ta Dấu hiệu 2:   cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm đến cấp 2 tại  x   ie   +) giải phương trình  f '  x    tìm nghiệm.    +) thay nghiệm vừa tìm vào  f "  x   và kiểm tra. từ đó suy kết luận.  om /g   c Bài toán 2: Cực trị hàm bậc Cho hàm số:  y  ax  bx  cx  d  có đạo hàm  y '  3ax  2bx  c   ok 1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu   y '   có 2 nghiệm phân biệt        ce bo 2. Để hàm số có khơng cực đại, cực tiểu   y '   hoặc vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép        3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.  +) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.  +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được:  y   mx  n  y '  Ax  B   Phần dư trong phép chia này là  y  Ax  B   fa chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.  Bài tốn 3: Cực trị hàm số bậc trùng phương w w w Cho hàm số:  y  ax  bx  c  có đạo hàm  y '  4ax  2bx  2x  2ax  b    1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi  ab    a    +) Nếu    hàm số có 1 cực tiểu và khơng có cực đại.  b  Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Trang 2  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lý thuyết toán 12 fb: https://www.facebook.com/phong.baovuong a  +)  nếu    hàm số có 1 cực đại và khơng có cực tiểu.  b  2. hàm số có 3 cực trị khi  ab   (a và b trái dấu).  a    +) nếu    hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.  b  H oc 01   a  +) Nếu    hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.  b  3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và  A  Oy ,  A  0; c  , B  x B , yB  , C  x C , yC  , H  0; y B    uO nT hi D   +) Tam giác ABC luôn cân tại A  +) B, C đối xứng nhau qua Oy và  x B   x C , y B  y C  y H       +) Để tam giác ABC vuông tại A:  AB.AC      +) Tam giác ABC đều:  AB  BC   1   +) Tam giác ABC có diện tích S:  S  AH.BC  x B  x C y A  y B     2 4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số  y  x  2bx  c    ie     iL +) Hàm số có 3 cực trị khi  b    +) A, B, C là các điểm cực trị     A  0; c  , B   +) Tam giác ABC vuông tại A khi  b      +) Tam giác ABC đều khi  b  3       1200   khi  b    +) Tam giác ABC có  A 3   +) Tam giác ABC có diện tích  S0  khi  S0  b b     +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp  R  khi   2R    +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp  r0  khi   r0  III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ta  HB=HC= b AH=b2 AB=AC= b4+b s/   b2 up b, c  b , C  b; c  b   O C b x H b B b3    b b2 b3     ce bo ok c om /g ro  y A     Định nghĩa: Cho hàm số  y  f  x  xác định trên D w w w fa M  f  x  x  D +) M là GTLN của hàm số trên D nếu:    Kí hiệu:  M  max f  x    D  x  D : f x  M    0 m  f  x  x  D +) m là GTNN của hàm số trên D nếu:    Kí hiệu:  m  f  x    D  x  D : f x  m    0 Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Trang 3  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lý thuyết toán 12 fb: https://www.facebook.com/phong.baovuong +) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình  f  x   m  & f  x   M   có nghiệm trên D.   -  Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x    tìm nghiệm trên   a, b       - Giả sử phương trình có 2 nghiệm  x1 , x   a, b     - Tính 4 giá trị  f  a  , f  b  , f  x1  , f  x   So sánh chúng và kết luận.  uO nT hi D     - Lập BBT cho hàm số trên D.    - Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.  *) Quy tắc riêng: (Dùng cho   a; b  ) . Cho hàm số  y  f  x   xác định và liên tục trên   a; b    H oc 01 Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số: *) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)    - Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x    tìm nghiệm trên D.  ie Chú ý:   1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.    2. Hàm số liên tục trên đoạn   a, b   thì ln đạt GTLN, NN trên đoạn này.  3. Nếu hàm sồ  f  x   đồng biến trên   a, b   thì  max f  x   f  b  , f  x   f  a      4. Nếu hàm sồ  f  x   nghịch biến  trên   a, b   thì  max f  x   f  a  , f  x   f  b      5. Cho phương trình  f  x   m  với  y  f  x   là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm  s/ Ta iL   D D TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ro IV up khi  f  x   m  max f  x    om /g Định nghĩa: +) Đường thẳng  x  a  là TCĐ của đồ thị hàm số  y  f  x   nếu có một trong các điều kiện sau:  lim y    hoặc  lim y    hoặc lim y    hoặc  lim y     x a  x a x a x a c +) Đường thẳng  y  b  là TCN của đồ thị hàm số  y  f  x   nếu có một trong các điều kiện sau:  ok lim y  b  hoặc  lim y  b    x  x  ce bo Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.  +) Hàm phân thức mà bậc của tử    bậc của mẫu có TCN.   ,y   bt, y  bt   có TCN. (Dùng liên hợp)  fa +) Hàm căn thức dạng:  y  w +) Hàm  y  a x ,   a  1  có TCN  y    w w +) Hàm số  y  log a x,   a  1  có TCĐ  x    Cách tìm: +) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử.  +) TCN: Tính 2 giới hạn:   lim y  hoặc  lim y    x  x  Chú ý:  Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Trang 4  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lý thuyết toán 12 fb: https://www.facebook.com/phong.baovuong +) Nếu  x    x   x  x  x   V 01 +) Nếu  x    x   x  x   x   BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ a