Hàm giải tích và diện tích trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ HÀM GIẢI TÍCH VÀ DIỆN TÍCH TRONG MẶT PHẲNG CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ NGÀNH: 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc oOo Tp HCM, ngày 30 tháng năm2009 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Nguyễn Thị Ngọc Hà Ngày, tháng, năm sinh : 14/05/1985 Giới tính : Nữ Nơi sinh : Quảng Nam Chuyên ngành : Toán Ứng dụng Khoá (Năm trúng tuyển) : 2008 1- TÊN ĐỀ TÀI: HÀM GIẢI TÍCH VÀ DIỆN TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 2- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : ngày 19 tháng năm 2009 3- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : ngày 30 tháng năm 2009 4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS ĐẬU THẾ CẤP 5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1: TS NGUYỄN BÁ THI 6- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2: TS TRẦN ĐÌNH THANH Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) PGS TS Đậu Thế Cấp CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) PGS.TS Nguyễn Đình Huy LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS TS Đậu Thế Cấp, người ln khuyến khích, tận tình bảo, ln quan tâm giúp đỡ truyền đạt kiến thức, tạo điều kiện để em hồn thành luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể Thầy Cơ Bộ mơn Tốn Ứng dụng , Khoa Khoa học Ứng dụng , Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia Tp HCM , thầy tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho em suốt năm học vừa qua Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thương u nhất, ln u thương, quan tâm, động viên khích lệ để em vượt qua khó khăn thời gian học tập Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy cô phản biện, dành nhiều thời gian để đọc đóng góp ý kiến quý báu cho Luận văn Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến tập thể anh chị bạn K 2007, 2008 lớp Cao học Toán Ứng dụng , người bạn giúp đỡ chia sẻ với em năm học vừa qua Em xin chân thành cảm ơn NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Mặc dù ngành em theo học ngành Toán ứng dụng, nghiên cứu ứng dụng Toán học đời sống, thiết nghĩ khơng thể xa rời lý thuyết Vì vậy, thơng qua luận văn này, em mong muốn sâu vào nghiên cứu tinh túy toán học mà bậc thầy để lại , đào sâu vào chất vấn đề…Hơn nữa, lý thuyết giải tích có giá trị to lớn, liên quan tác động nhiều đến ngành toán học khác Luận văn trình bày tính chất hàm giải tích, khơng theo cách thức trình bày nhiều tài liệu giải tích có, nhiều định lý chứng minh độc đáo, ngắn gọn súc tích định lý Liouville, định lý Rouché … Bên cạnh có tính chất lạ , đặc sắc mà chưa có tài liệu tốn học tiếng Việt đề cập đến Nội dung mà luận văn muốn trọng thực định lý tiếng : định lý Picard Như định lý Liouville mà biết: Nếu f hàm giải tích bị chặn tồn mặt phẳng, f hàm Định lý Picard mạnh tổng quát hơn: hàm nguyên bỏ qua hai giá trị phân biệt, hàm (định lý Picard bé) tổng quát hơn: Nếu hàm giải tích bỏ qua hai giá trị phân biệt lân cận thủng điểm bất thường lập, điểm bất thường cực điểm, bỏ (định lý Picard lớn) Cuối luận văn vài ứng dụng Ngoài ứng dụng định lý Liouville để chứng minh định lý tồn giá trị phổ ứng dụng vào lý thuyết, ứng dụng khác tham gia giải vấn đề thực tế Do thời gian vốn kiến thức có hạn, luận văn hẳn có nhiều hạn chế thiếu sót, em kính mong tận tình hướng dẫn bảo Quý thầy để luận văn hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn TP HCM, tháng năm 2009 Tác giả MỤC LỤC Lời cảm ơn Tóm tắt luận văn thạc sĩ Trang Kí hiệu Chương I Các kiến thức chuẩn bị §1 Đạo hàm hàm phức §2 Lý thuyết Cauchy §3 Các khai triển chuỗi lũy thừa thặng dư 10 §4 Ánh xạ bảo giác 15 §5 Định lý Cauchy tồn cục 16 §6 Một số kiến thức Giải tích hàm 19 Chương II Tính chất hàm giải tích 21 §1 Định lý ánh xạ Riemann 21 §2 Định lý Rouché 27 Chương III Hàm giải tích diện tích mặt phẳng 30 §1 Định lý diện tích hệ 30 §2 Định lý Picard 37 Chương IV Một vài ứng dụng 41 §1 Định lý tồn giá trị phổ 41 §2 Đánh giá nghiệm đa thức 45 §3 Kiểm tra hàm nguyên 46 §4 Tìm bán kính lỗ hổng 48 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Lý lịch trích ngang KÍ HIỆU Trong luận văn có sử dụng kí hiệu sau  miền , tức tập mở, liên thông  K tập compact   miền bị chặn cần thiết liên tục khúc biên  , luôn giả sử hướng dương , nghĩa dọc theo  ,  phía tay trái    nghĩa bao đóng  tập compact  d (K,E) khoảng cách tập K tập E D(a, r)  z   : z  a  r đĩa mở tâm a, bán kính r U = D(0,1) T  U  z : z  1 D, r   z : z  r đĩa mở , tâm  L1   không gian hàm đo , khả tích  lấy giá trị    Lp    f :   R ; f  L1   , f đo p Lp loc  không gian hàm f cho f K  Lp    , K   , K compact C k () tập hàm khả vi k lần  C     C    tập hàm liên tục   C ()   Ck    k 0   Ck  tập hàm khả vi k lần  , liên tục  C0k () tập hàm thuộc C k () có giá compact d độ đo Lebesgue  d chiều dài cung dọc theo đường cong f = 0(g) z  a nghĩa lim z a f (z )  g (z ) uc f n  f  nghĩa f n  f tập compact  CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC Ta đồng  với  cách đồng số phức z  x  iy với điểm (x, y)   Dạng vi phân Pdx + Qdy ln viết fdz  gd z , với dz  dx  idy , d z  dx  idy ( lấy f  P  iQ P  iQ g  ) 2 Điều đưa đến dạng toán tử vi phân  1      i  z  x y  ;  1      i   z  x y  ta có df  f f f f dx  dy  dz  dz x y z z (1.1) Cho hàm f xác định  Hàm f gọi khả vi a   f (a  z)  f (a )  Az  0(z), A số , 0(z) vô bé cao z z  1.1 Định lý Cho f khả vi điểm a Khi tồn f (a  z)  f (a) z 0 z lim (1.2) 37 § ĐỊNH LÝ PICARD 2.1 Định lý Picard bé Cho f giải tích  Nếu f không nhận hai giá trị phân biệt  f số Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả thiết f khơng nhận hai giá trị Do  liên thông nên theo bổ đề 5.1 chương I, tồn logarit f logf U Khi ta có hàm  log f  log f   1 g(z)  log  2i  2i  Đặt a  log f i e g  a  a  e  g  a  a  e g  e g a ta có đẳng thức nên f e  eg e g i        (2.1) Đặt   E   ln   n  n   m2i : n  1, m  0, 1, 2, Ta thấy E  g ( U )   f ( z)  Dễ thấy số dương d đủ lớn đĩa bán kính d giao với E Theo định lý Bloch, a  E , ảnh đĩa D(a,d) chứa đĩa với bán kính g' (a ) d Vì g ' (a )  chọn d1  2d Khi g  D(a, d1 )  chứa đĩa g '(a)  với bán kính d, ta gặp mâu thuẫn đĩa bán kính d giao với E Vậy g số, f số  38 2.2 Định lý Schottky Cho f giải tích   z :  z  r điểm bất thường cốt yếu Khi f(  ) trù mật  Chứng minh Nếu f (  ) không trù mật  w   , lân cận W w cho f(  )  W   Xét hàm g(z)  , z  Vì g bị chặn  điểm bất thường bỏ f (z)  w g Từ g (z)  z N h (z), h (0)  Vì f ( z)  w  z  N h (z)  suy điểm cực z, ta gặp mâu thuẫn Để chứng minh định lý Picard lớn, cần đến bất đẳng thức Schottky 2.3 Bất đẳng thức Schottky Tồn hàm dương m ( , , r ), M (, , r ) cho f thuộc A(U) không nhận và   f (0)   m(, , r)  f (z)  M(, , r) , với z  r  Chứng minh Giả sử f  A( U) không nhận giá trị Vì U đơn liên, tồn g  A ( U) cho (2.1) Hơn ta chọn g cách xác định giá trị g(0) cho g(0)  C(, )    f (0)   Nếu z  r  1thì hàm (z)  g  z  (1  r)  1  r  g '(z) (2.2) giải tích đĩa đơn vị ' (0 )  Do theo định lý Bloch, ảnh chứa đĩa bán kính  , nghĩa đĩa 39 với bán kính (1-r) g ' (z ) )  chứa g(U) Tuy nhiên, g loại trừ tập E, ta phải có g' (z)  d (1  r ) Vì z g(z)  g(0)   g' ()d Do ta có ước lượng g(z)  g(0)  dz (1  z )  C(, )  dz (1  z ) (2.3) Từ (2.3) (2.2) ta có f (z)  M(, , r) z  r  Áp dụng với ta có ước lượng f  Ta cần ước lượng lẫn ước lượng f(0) để thu ước lượng f (z)  M 2.4 Định lý Picard lớn Nếu f giải tích đĩa thủng   0  z  a  r, f   khơng nhận hai giá trị phân biệt, a điểm cực, a điểm bất thường bỏ f Chứng minh Ta chứng minh f giải tích với z  / không nhận hai giá trị 1, f bị chặn ,  cực điểm f Thật vậy, không, ảnh f tập z  R trù mật theo định lý Schottky Do tồn  n   cho /  f ( n )  1 Đặt f n ( z)  f ( n z) Khi f n giải tích z  ;  f n (1)  Do theo 2 40 bất đẳng thức Schottky ta có c  f n (z)  C, z  D(1, ) Với   T  D(1, ) , ta lặp lại lí luận thu số c’ C’ cho c'  f n (z)  C' , z  D(,1 / 4) Sau hữu hạn bước ta phủ đường trịn đơn vị, có số k K cho k  f n (z )  K , z  T , nghĩa f  K z   n Theo nguyên lý môđun cực đại, f  max  K , sup f  T   với  z   n Do f bị chặn với  z   , mâu thuẫn  Nhận xét Ta có tính chất : Nếu f hàm nguyên a) f số  điểm bất thường bỏ b) f đa thức  điểm cực Vì vậy, từ định lý Picard lớn, ta suy : Hàm nguyên f khơng nhận hai giá trị phân biệt f đa thức , f số Do từ định lý Picard lớn suy định lý Picard bé 41 CHƯƠNG IV MỘT VÀI ỨNG DỤNG §1 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI GIÁ TRỊ PHỔ 1.1 Đại số L (E) Cho E không gian định chuẩn trường Kí hiệu L (E) = L(E, E) khơng gian định chuẩn ánh xạ (tốn tử) tuyến tính liên tục từ E vào E Ngồi cấu trúc tuyến tính, L (E) cịn có phép nhân ( phép hợp thành ánh xạ) Phép nhân có tính kết hợp phân phối phép cộng (nhưng khơng giao hốn) Khơng gian L (E) với phép nhân đại số Đại số L (E) cịn đại số định chuẩn chuẩn L (E) thỏa mãn điều kiện f.g  f g theo 6.4 chương I Nếu E không gian Banach đại số L (E) Banach theo 6.4 chương I Kí hiệu = IE ánh xạ đồng E Ta có 1.f = f.1 = f với f  L(E) Phần tử gọi đơn vị L (E) Phần tử f  L(E) gọi khả nghịch tồn phần tử g  L (E) cho fg = gf = 1.Phần tử g gọi nghịch đảo của f kí hiệu f-1 Với f  L (E) n   ta viết f n  f f (n lần) Một hàm  xác định lân cận điểm 0  nhận giá trị L (E) gọi giải tích  lân cận viết  f         f n hàm f n L (E) n 0 n 42 1.2 Định nghĩa phổ Số   gọi quy f  L (E)   f  .1  f phần tử khả nghịch L (E) Trong trường hợp cịn lại , ta nói  thuộc phổ f Kí hiệu tập số quy f S(f), phổ f kí hiệu (f ) Ta thấy S(f )   (f )   ; S(f )  (f )  Số  gọi giá trị riêng ánh xạ tuyến tính f  L (E) tồn x  E, x  cho x  f ( x )  Trong trường hợp này,   f khơng khả nghịch ,  giá trị riêng f   (f ) 1.3 Định lý Nếu L (E) đại số Banach với f  L (E), phổ f tập , hàm     f  giải tích tập mở S(f) = 1 compact \ (f ) Chứng minh Lấy tùy ý    Do chuỗi fn  n 0 n 1 với   f  fn hội tụ nên chuỗi  n 1 hội tụ không gian L (E) n 0  Kí hiệu fn  L (E) n 1 n 0   g    Ta có g        Vì  fn g      f      f  g        f   n 1 n 0  f n  f n 1   n 1  n n 0  n0    nên   f khả nghịch có nghịch đảo g  Do  tùy ý,   f nên 43  f   {   :   f } nghĩa f  bị chặn Để chứng minh f  compact , ta cần phải đóng hay S(f) mở Lấy tùy ý   S(f ) , ta thấy chuỗi    n0      f    n 1 n   hội tụ đến hàm giải tích h  lân cận U    K :       f 1      điểm  Với   U , ta có h      f      f  h       0  f    0      0     0  f  n  n 1 n 0      0       f         n n 0 n n 0 n 1  0  f   (n 1)  Do   f khả nghịch U  S(f ) Vậy S(f) mở, f  compact     f  hàm giải tích S(f) 1  1.4 Định lý (Định lý tồn giá trị phổ) Nếu E đại số Banach phức f  L (E) có   f    Chứng minh Nếu L phiếm hàm tuyến tính liên tục từ L (E) vào    L  f 1 hàm giải tích phức tập S(f) Theo chứng minh định lý 1.3 , hàm dần đến    Nếu f    S(f) =  , theo định lý Liouville , L  f   với 1    Theo định lý Hahn-Banach, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục L L (E) 44 cho  L   f  Ta gặp mâu thuẫn Vậy f    1     f  1   45 §2 ĐÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Cho đa thức f (z)  a z n  a 1z n 1   a n , a  0, n  Đặt g  z   a1z n 1   a n Nếu f  z  g z với z có z  R tất nghiệm f(z) thuộc đĩa D(0,R) (theo chứng minh định lý đại số ( định lý 2.3 chương II)) Đặt M  max a j 1 j n Khi , số R  Mn có tính chất địi hỏi a0 Tuy nhiên, số R tìm theo cách đơn giản thường chưa phải tốt Ví dụ Tìm số R cho tất nghiệm đa thức f (z)  5z6  7z5  8z4  6z3  10z2  5z  thuộc đĩa D(0,R) Ta có M  10,a  5, n  Do số R  Dễ thấy R = 10 có tính chất 6.10  12 có tính chất địi hỏi 46 §3 KIỂM TRA MỘT HÀM NGUYÊN LÀ HẰNG Sử dụng định lý Picard Liouville hàm nguyên thỏa mãn số điều kiện Ví dụ Hàm ngun f hàm thỏa mãn điều kiện sau 1) R ef  1, z   2) Tồn   w   cho f (z)  w  , z   3) f (z)  f (z  1) f (z)  f (z  i), z   Thật vậy, f thỏa mãn 1) Ref  f (z)  với z Từ g  hàm nguyên Với z   g(z)  1  1 f (z) R ef  z  nên theo định lý Liouville, g = const f = const Nếu f thỏa mãn 2) f (z)  w  0, z   Từ h(z)  hàm nguyên f (z)  w Mọi z   , h(z)  1  f (z)  w  nên h = const theo định lý Liouville Từ f = const Cuối cùng, f thỏa mãn 3) xét hình vng K  x  iy :  x, y  1 Do f liên tục nên sup f (z)  M   zK Mọi z   , tồn k, l   cho z + k +il K Do f 47 f (z)  f (z  1)  f  z     f (z  k)  f (z  k  i)  f  z  k  2i    f (z  k  i)  M Vậy f = const theo định lý Liouville Chú ý theo định lý Picard bé ta thấy f thỏa mãn 1) 2) f số 48 §4 TÌM BÁN KÍNH ‘‘LỖ HỔNG’’ Cho hàm giải tích f biến  thành *  f   Nếu  bị khoét lỗ D(a,R) * xuất lỗ thủng chứa đĩa bán kính nhỏ f 'a R 16 ( theo định lý Bloch) Ví dụ Hàm f (z)  sin z  z3  3z từ  vào  Nếu  bị khoét đĩa D(0,R) f  \ D 0,R  có lỗ hổng chứa đĩa bán kính bé f '(0) R R  16 49 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vài vấn đề hàm biến phức theo cách tiếp cận đại.Cách tiếp cận cho phép sử dụng thành tựu ngành tốn học khác ( giải tích hàm, tôpô đại số ) để nghiên cứu hàm biến phức Nhờ đó, lý thuyết hàm biến phức có tính thời với khám phá bất ngờ độc đáo Vì khả có hạn nên em chưa thể tìm hiểu vấn đề cách sâu sắc có hệ thống Tuy nhiên , qua nhiêu, em hiểu biết thêm nhiều, cảm thấy toán học đẹp nhiều, mong muốn nghiên cứu sâu để khám phá điều chưa biết Và ,em cảm thấy thú vị hơn, nhiệt tình cơng việc ngày mình, dạy tốn cho học sinh phổ thơng 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Mats Andersson, (1996), Topics in Complex Analysis, Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg B Robert Ash, W P Novinger, (2004), Complex variables (Internet) C1 Đậu Thế Cấp, (2006), Hàm biến phức phép tính tốn tử, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh C2 Đậu Thế Cấp, (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam D Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, (2006), Hàm biến phức, NXB ĐHQG Hà Nội E Haim Brezis, (2002), Giải tích hàm – Lí thuyết ứng dụng, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh (Bản dịch Nguyễn Hội Nghĩa & Nguyễn Thành Long) 51 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên : Nguyễn Thị Ngọc Hà Ngày tháng năm sinh : 14/05/1985 Nơi sinh : Quảng Nam Địa liên lạc : 297/17 Lạc Long Quân, P3, Q11, TP HCM QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Từ /003 đến 7/2007 : sinh viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Từ / 2007 đến : học viên Cao học ngành Toán Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Q TRÌNH CƠNG TÁC Từ 9/ 2008 đến 9/ 2009 : giáo viên trường THPT Nguyễn Trung Trực , quận Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh Từ tháng / 2009 đến nay, giáo viên trường Đại học Hồng Bàng, quận Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh ... thức Giải tích hàm 19 Chương II Tính chất hàm giải tích 21 §1 Định lý ánh xạ Riemann 21 §2 Định lý Rouché 27 Chương III Hàm giải tích diện tích mặt phẳng. .. biết: Nếu f hàm giải tích bị chặn tồn mặt phẳng, f hàm Định lý Picard mạnh tổng quát hơn: hàm nguyên bỏ qua hai giá trị phân biệt, hàm (định lý Picard bé) tổng quát hơn: Nếu hàm giải tích bỏ qua... Một hàm f  C1   gọi giải tích  f   Tập tất z hàm giải tích  kí hiệu A    Theo định lý , f  C1    giải tích  (1.2) tồn với a   Định lý Goursat sau f giải tích  f có đạo hàm