Hàm điều hòa dưới và các định lý cổ điển của giải tích phức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA VÕ THANH VŨ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC CHUN NGÀNH : TỐN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Mà NGÀNH : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 09 NĂM 2007 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2007 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC Tp HCM, ngày 30 tháng 07 năm 2007 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: VÕ THANH VŨ Ngày, tháng, năm sinh: Chuyên ngành : 24 –11–1977 Tốn giải tích ứng dụng Phái: Nam Nơi sinh : Bến Tre MSHV : 02405545 I - TÊN ĐỀ TÀI: HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : - Trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, trung bình tích phân, hàm điều hịa Cm Phát biểu giải toán Dirichlet cổ điển - Hàm điều hòa dưới, đặc trưng hàm điều hịa Các tính chất họ hàm điều hịa - Ứng dụng vào hàm chỉnh hình để chứng minh số định lý cổ điển giải tích phức - Nhận xét, đánh giá khả ứng dụng hướng phát triển đề tài III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 27 – 02 – 2007 30 – 07 – 2007 PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Nội dung đề cương luận văn thạc sĩ Hội đồng chuyên ngành thông qua Ngày … tháng … năm 2007 TRƯỞNG PHÒNG ĐT – SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM ƠN Em xin gởi lời chân thành cảm ơn đến Phòng đào tạo sau đại học Bộ mơn Tốn ứng dụng tổ chức lớp Cao học Tốn giải tích ứng dụng để chúng em có điều kiện học tập Em xin chân thành cảm ơn đến Thầy mơn Tốn ứng dụng giảng dạy truyền đạt kiến thức cho chúng em suốt khóa học vừa qua Với lòng biết ơn sâu sắc Em xin gởi đến Thầy PGS.TS Đậu Thế Cấp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em mặt chuyên môn suốt thời gian làm luận văn định hướng cho em q trình hồn thành nội dung hình thức luận văn Xin cảm ơn chân thành đến anh, bạn học lớp bạn bè đồng nghiệp có giúp đỡ q báu q trình học tập thời gian thực luận văn Cuối lòng biết ơn sâu sắc đến Cha Mẹ gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi Con học tập thời gian qua TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Hàm điều hòa, hàm điều hòa vấn đề Lý thuyết vị - ngành Toán xuất phát từ thực tiễn vật lý phát triển không ngừng lý thuyết ứng dụng Luận văn chúng tơi trình bày khái niệm tính chất hàm điều hịa Sau trình bày ứng dụng tính chất vào việc giải toán Dirichlet cổ điển chứng minh số Định lý cổ điển Giải tích phức nhiều chiều Lý thuyết vị công cụ mạnh, áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác Tốn học Phần trình bày luận văn ví dụ minh họa Luận văn gồm có ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, trung bình tích phân hàm điều hịa Cm Phát biểu toán Dirichlet cổ điển chứng minh tốn Dirichlet có nghiệm cầu mở Chương Hàm điều hòa Chương nêu định nghĩa, tính chất đặc trưng hàm điều hịa dưới, tính trơn hàm điều hịa tính chất họ hàm điều hịa Chương Chứng minh số định lý cổ điển Một số định lý cổ điển giải tích phức nhiều chiều chứng minh nhờ cơng cụ hàm điều hịa chương Chú ý vài định lý ( chẳng hạn định lý Hartogs ) chứng minh ngắn gọn so với chứng minh khác MỤC LỤC Trang Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức Cm 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Hàm chỉnh hình 2 Tính chất hàm chỉnh hình 1.3 Trung bình tích phân 1.4 Hàm điều hịa Hàm điều hịa Bài tốn Dirichlet cổ điển 10 Chương : HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI 2.1 Định nghĩa đặc trưng 26 2.2 Tính trơn tính điều hịa 31 2.3 Họ hàm điều hòa 39 Chương : CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 3.1 Nguyên lý đồng 44 3.2 Nguyên lý modul cực đại 45 3.3 Định lý Weierstrass 45 3.4 Định lý Montel 46 3.5 Định lý Osgood 47 3.6 Định lý Hartogs 48 Kết luận, nhận xét, hướng phát triển đề tài 52 Tài liệu tham khảo 54 Lý lịch trích ngang 55 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian phức Cm Ta ký hiệu C trường số phức, đồng với mặt phẳng tọa độ gọi mặt phẳng phức C coi khơng gian vector trường C với phép tốn thơng thường C coi khơng gian định chuẩn với chuẩn ⏐.⏐ modul số phức Ta gọi khơng gian phức Cm tích Descartes m mặt phẳng phức C Ta có Cm không gian vector trường C Trên Cm ta sử dụng hai chuẩn sau, chuẩn Euclide : ( z = z1 z1 + z z + z m z m ) ⎛ m ⎞2 = ⎜ ∑ zi zi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ chuẩn max : z = max { z1 , z2 , , zm } với z = ( z1, , zm )∈Cm Hai chuẩn tương đương thỏa mãn bất đẳng thức z ≤ z ≤ m z với z∈Cm Với a, z∈Cm r > 0, ta ký hiệu B(a, r) = {z ∈ C m : z − a < r} cầu mở tâm a bán kính r { B (a , r ) = z ∈ C m : z − a ≤ r { } P(a, r) = z ∈ C m : z − a < r { P(a, r) = z ∈ C m : z − a ≤ r { ∂B(a, r) = {z ∈ C } cầu đóng tâm a bán kính đa đĩa mở tâm a bán kính r } đa đĩa mở đóng a bán kính r } = r, j = 1, , m} biên cầu ∂P(a, r) = z ∈ Cm : z j − a j = r, j = 1, , m biên đa đĩa m : zj − a j 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Hàm chỉnh hình Cho miền Ω ⊂ Cm hàm f : Ω → C, với z = ( z1, , zm )∈ Ω, ta viết zj = xj + ixm + j với xj , xm + j ∈ R ; ≤ j ≤ m Khi hàm f coi hàm 2m biến biến thực x1, , x2m Nếu f khả vi theo nghĩa Giải tích thực (R2m – khả vi) vi phân hàm f df = Vì x j = ( m ⎛ ⎞ ∂f ∂f ∂f ∂f dx + + dx m = ∑ ⎜ dx j + dx m + j ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ∂x ∂x m ∂x m + j j=1 ⎝ j ⎠ ) ( 1 z j + z j x m+ j = zj − zj 2i dx j = ( dz j + dz j ) dx m+ j = ( ) dz j − dz j 2i Theo đạo hàm hàm hợp ta có ) nên ∂f ∂x j = ∂f ∂z j ∂f ∂ z j ∂f ∂f × + × = + ∂z j ∂x j ∂ z j ∂x j ∂z j ∂ z j ∂z j ∂f ∂f ∂f ∂z j ∂f ∂f = × + × =i −i ∂x m + j ∂z j ∂x m + j ∂ z j ∂x m+ j ∂z j ∂ z j Khi df trở thành m ⎡⎛ ⎤ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∂f ⎞ + × + + − × − df = ∑ ⎢⎜ (dz dz ) i i (dz dz ) j j ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ j j ⎜ ∂ z 2i ∂ ∂ z z j j j=1 ⎢ ∂z j ⎥⎦ j ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎝ Sau khai triển rút gọn, ta : m ⎛ ⎞ ∂f ∂f dz j + dz j ⎟ df = ∑ ⎜⎜ ⎟ ∂z j j=1 ⎝ ∂z j ⎠ Định nghóa Hàm f gọi khả vi phức ( hay gọi tắt Cm – khả vi ) f hàm R2m – khả vi ∂f = , với j = 1, , m ∂z j Vậy f khả vi phức m df = ∑ j=1 ∂f dz j ∂z j Nhận xét Vì ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ = ⎜ −i ⎟ ∂z j ⎜⎝ ∂x j ∂z m + j ⎟⎠ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ = ⎜ +i ⎟ nên ∂z m + j ⎟⎠ ∂ z j ⎜⎝ ∂x j f khả vi phức ∂f ∂f +i = , ∀ j = 1, , m ∂x j ∂x m + j Xét hàm f = u + iv với f = f(zj) ; zj = xj + ixm + j ; u = u(xj, xm + j) ; v = v(xj, xm + j) Ta có ∂f ∂u ∂v = +i ∂x j ∂x j ∂x j ∂f ∂u ∂v = +i ∂x m + j ∂x m + j ∂x m + j Suy ⎛ ∂u ∂f ∂f ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂u ⎞ i +i =⎜ − + + ⎟ ⎜ ⎟ ∂x j ∂x m + j ⎜⎝ ∂x j ∂x m + j ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x j ∂x m + j ⎟⎠ Vì hàm f Cm – khả vi R2m – khả vi thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann : ∂v ⎧ ∂u = ⎪ ∂x ∂x m+ j ⎪ j ⎨ ⎪ ∂u = − ∂v ⎪⎩ ∂x m+ j ∂x j Định nghóa Cho z0 ∈ Ω, với Ω tập mở Cm Hàm f : Ω → C gọi chỉnh hình z0 f hàm Cm – khả vi điểm lân cận z0 Hàm f : Ω → C gọi chỉnh hình Ω f chỉnh hình z∈Ω Tập hợp tất hàm chỉnh hình miền Ω ký hiệu O(Ω) Tính chất hàm chỉnh hình Cho miền Ω ⊂ Cm hàm f : Ω → C, ta ký hiệu (A) mệnh đề : “ f liên tục Ω z0 ∈ Ω f chỉnh hình theo biến ” Tính chất Nếu f thỏa (A) đa đĩa P(a,r) z∈P(a,r), ta có f (z) = ( 2πi ) m f (ζ )dζ1 dζ m , Γ ( ζ1 − z1 ) ( ζ m − z m ) ∫ ∫ Γ 41 Kết U nửa liên tục Ngồi tính điều hịa cho định lý Fubini định lý đặc trưng hàm điều hịa (định lý 2.1.1) ■ Định lý 2.3.4 Cho Ω tập mở Rm Ta có (i) Cho u, v điều hịa Ω v > Nếu Φ: R → R lồi v Φ ⎛⎜ u ⎞⎟ ⎝v⎠ điều hịa Ω (ii) Cho u∈SH(Ω); v∈H(Ω) v > Ω Nếu Φ: R → R lồi tăng v Φ ⎛⎜ u ⎞⎟ điều hịa Ω với Φ ( −∞ ) ≡ lim Φ (x) x → −∞ ⎝v⎠ (iii) Cho u, -v ∈SH(Ω), u ≥ Ω v > Ω Nếu Φ : [0; ∞ ) → [0; ∞ ) lồi Φ(0) = v Φ ⎛⎜ u ⎞⎟ ∈SH(Ω) ⎝v⎠ Chứng minh Nhận xét tương ứng phần định lý Φ viết lại sau : (i) Φ(x) = sup{ ax + b : x ≥ ; a, b ∈ R at + b ≤ Φ(t) , ∀t ∈ R } (ii) Φ(x) = sup{ ax + b : x ≥ ; a ≥ 0, b ∈ R at + b ≤ Φ(t) , ∀t ∈ R } (iii) Φ(x) = sup{ ax + b : x ≥ ; a ≥ 0, b ≤ at + b ≤ Φ(t) , ∀t ∈ R } ⎡ ⎛u⎞ ⎤ Ở trường hợp v ⎢a ⎜ ⎟ + b⎥ = au + bv ∈ SH (Ω) cho giá trị thích hợp a ⎣ ⎝ v⎠ ⎦ ⎛u⎞ b, v Φ ⎜ ⎟ viết lại w = Supαuα , với uα ∈ SH (Ω) ⎝v⎠ Nếu ta chứng tỏ w hàm liên tục định lý chứng minh theo định lý 2.3.1 phần (iv) Đối với (i), hiển nhiên w hàm nửa liên tục hàm liên tục Đối với (ii), w nửa liên tục Φ hàm liên tục tăng 42 Đối với (iii), ta chứng minh sau, Mở rộng hàm x −1Φ ( x ) −1 hàm liên tục [0; ∞) cách xác định lim x Φ(x) Hàm mở rộng x →0− tăng u nửa liên tục nên Vì v −1 ⎛u⎞ ⎛u⎞ ⎛u⎞ ⎜ ⎟ Φ ⎜ ⎟ v.Φ ⎜ ⎟ ⎝v⎠ ⎝v⎠ ⎝v⎠ tích hai hàm nửa liên tục khơng âm nên điều hịa Ω.■ Chú yù Trong trường hợp đặc biệt (i) (ii), ứng với v ≡ biết từ lâu với tên gọi bất đẳng thức Jensen Heä Nếu u ∈ SH(Ω) eu ∈ SH(Ω) Nếu u ∈ SH(Ω) u ≥ uα ∈ SH(Ω), ∀α ≥ Chứng minh Vì hàm t et t t α hàm lồi tăng ■ Hệ Nếu u1, u2 hàm không âm Ω ⊂ Rm logu1, logu2 ∈ SH(Ω) u1, u2 log(u1 + u2) ∈ SH(Ω) Chứng minh Vì u1u2 = elogu +logu nên u1, u2 ∈ SH(Ω) Để chứng minh log(u1 + u2) ∈ SH(Ω), ta lấy tập mở G cho G tập compact Ω ( ) Lấy h ∈ H (G) ∩C G cho log( u1 + u2 ) ≤ h ∂G ( u1 + u2 )e-h ≤ ∂G điều hịa G 43 Bởi hàm u1e-h u2e-h điều hòa theo phần đầu chứng minh nửa liên tục G nên theo nguyên lý modul cực đại ( u1 + u2 )e-h ≤ G log( u1 + u2 ) ≤ h G   44 Chương CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN Dựa sở kiến thức trình bày chương chương 2, chương chứng minh lại số Định lý cổ điển Giải tích phức nhiều chiều theo cơng cụ sử dụng hàm điều 3.1 Nguyên lý đồng Nếu f, g chỉnh hình Ω, Ω tập liên thông f = g tập mở khác trống Ω f = g Ω Chứng minh Để ý h chỉnh hình Ω h khơng đồng log h ∈SH(Ω\h-1(0)) log h = - ∞ tập h-1 (0), theo định lý 2.1.1 ta có log h ∈ SH (Ω) Từ trái lại, f ≠ g ( xem f – g = h) {z∈Ω : f(z) = g(z)} = {z∈Ω : log (f − g)(z) = - ∞} tập cực Theo hệ 2.1.3, độ đo Lebesgue tập 0, ta gặp mâu thuẫn chứa tập mở khác rỗng Vậy f đồng với g Ω 45 3.2 Nguyên lý modul cực đại Cho f : Ω → C m ánh xạ chỉnh hình cho z f (z) đạt cực đại địa phương điểm a∈Ω Khi Ω liên thơng f số Chứng minh Trước tiên, ta thấy hàm z f (z) hàm điều hịa Ω, m n m n ∂f ∂2 Δ f (z) = ∑∑ f j (z) = ∑∑ j (z) ≥ j=1 k =1 ∂z k ∂ z k j=1 k =1 ∂z k ( ) Theo nguyên lý modul cực đại hàm điều hòa (định lý 2.1.2), ta kết luận tồn lân cận U điểm a ∈Ω hàm hàm ( U Khi Δ f (z) ) = U Suy ∂f j ∂z k ≡ 0, với j, k Nghĩa f số U mở khác ∅ theo nguyên lý đồng f số Ω Chú ý chuẩn Euclide nguyên lý modul cực đại thay chuẩn max kết sai Ví dụ Xét hàm f (z, w) = (z,l) , ta có f không đồng số lân cận ( chẳng hạn cầu (0, 1/2) ) (0,0) f đạt cực đại (0,0) 3.3 Định lý Weierstrass Nếu hàm fj chỉnh hình Ω dãy {f j} j∈N hội tụ địa phương hàm phức f : Ω → C f chỉnh hình Ω 46 ⎧ ∂f j ⎫ ⎧ ∂f ⎫ ⎬ hội tụ địa phương đến ⎨ ⎬ , với k = 1, 2, ⎩ ∂z k ⎭ j∈N ⎩ ∂z k ⎭ Hơn nữa, dãy ⎨ Chứng minh Định lý xem hệ Định lý Harnack (Định lý 1.4.10) 3.4 Định lý Montel Mọi họ hàm phức chỉnh hình bị chặn địa phương Ω chuẩn tắc Chứng minh Đây nguyên lý compact ( Định lý 1.4.11)   Để chứng minh định lý Osgood sau đây, trước hết ta nhắc lại khái niệm ánh xạ riêng đưa bổ đề sau Định nghóa Cho X, Y hai khơng gian Hausdorff Một ánh xạ liên tục f : X → Y gọi riêng ánh xạ ngược tập compact Y tập compact X Ta chứng minh bổ đề tôpô sau Bổ đề Cho f : X → Y ánh xạ liên tục từ không gian compact địa phương X vào khơng gian Hausdorff Y Khi E tập Y cho f −1 (E) compact X tồn lân cận mở, compact tương đối U f −1 (E) tồn tập mở V Y cho f (U) ⊂ V f : U → V ánh xạ riêng Chứng minh Chọn B lân cận mở f −1 (E) , cho B tập compact int B = B Đặt V = Y\f(∂B) U = f −1(V) ∩ B 47 Gọi K tập compact V, đặt L = f −1(K) ∩ U , rõ ràng L ⊂ B Ta cần chứng L ⊂ U Thật vậy, tập f −1 (K) đóng L ⊂ f −1 (K) ⊂ f −1 (V) Ngồi L ∩∂B = ∅ f (L ∩∂B) ⊂ f (L) ∩ f (∂B) ⊂ V ∩ f (∂B) = ∅ Vì L ⊂ B ■ 3.5 Định lý Osgood Nếu f : Ω → Cm ánh xạ đơn ánh chỉnh hình f(Ω) tập mở ánh xạ f : Ω → f(Ω) song chỉnh hình Chứng minh Khơng tính tổng qt giả sử Ω liên thông đặt ⎡ ∂f ⎤ h f (z) = det ⎢ k (z) ⎥ ⎥⎦ j,k =1, ,m ⎣⎢ ∂z j (z ∈ Ω ) Lấy A = h f−1 (0) , ta thấy để chứng minh định lý ta cần chứng tỏ A = ∅ sau sử dụng định lý ánh xạ ngược Trước tiên, ý A ≠ Ω Thật điều khơng hạng (thực) vi phân dzf số k nhỏ 2m tập mở khác trống Ω Theo tài liệu [8] điều dẫn đến f khơng đơn ánh Nếu ∀ a ∈Ω , tồn lân cận U a cho U∩A = ∅ cách áp dụng Định lý ánh xạ ngược hoàn tất chứng minh định lý Lấy a ∈Ω , chọn U V bổ đề với E = {f(a)} tập W = f(U\A) Theo định lý ánh xạ ngược f (U \ A) : U \ A → W ánh xạ song chỉnh hình W tập mở Cm ⎡ ∂g k (z) ⎤ với z∈W h g ∈O (W) ⎥ ⎣⎢ ∂z j ⎦⎥ j,k =1, ,m Lấy g = ( f (U \ A) ) h g (z) = det ⎢ −1 48 h f ( g(z) ) h g (z) = (z ∈ W) Đặt ⎧ ⎪ H(z) = ⎨ h g (z) ⎪ ⎩ , (z ∈ W) , (z ∈ V \ W) H liên tục V Thật cho b0∈∂W∩V cho bv = W∩V, chứng tỏ bV → b0 v → ∞ −1 Vì f U ánh xạ riêng, f ( {b V : v = 0,1, }) ∩ U tập compact U chứa {g(bv) : v = 1,2, }, điểm tụ tập {g(hv) : v = 1, 2, } thuộc A ∩ U Vì h f ( g(hv) ) → v → ∞ Theo định lý Rado (có tài liệu tham khảo [6]) H chỉnh hình V, U bị chặn nên ta sử dụng định lý Riemann mở rộng để mở rộng hàm g thành ánh xạ chỉnh hình g V có lấy giá trị U Vì fog = idW W trù mật V nên ta có fo g = Id V điều chứng tỏ ( f U ) chỉnh hình V Vậy U∩A = ∅.  −1 Bây chứng minh định lý Hartogs mối liên hệ chỉnh hình tổng quát chỉnh hình theo biến, định lý mạnh hay Giải tích phức nhiều chiều Định nghóa Một hàm f gọi chỉnh hình theo biến chỉnh hình theo biến biến khác coi cố định 3.6 Định lý Hartogs Cho Ω tập mở Cn ( n ≥ 2) Một hàm phức f : Ω → C chỉnh hình theo biến chỉnh hình theo tập biến 49 Chứng minh Trước tiên, ta f chỉnh hình theo biến bị chặn địa phương f liên tục Thật vậy, giả sử P(a,2r)⊂ Ω f ≤ M đa đĩa đóng Theo cơng thức tích phân Cauchy cho hàm biến w = (w1, …,wn) z = (z1, , zn )∈ P(a,r) Ta có n f (z) − f (w) ≤ ∑ f (w , , w j , z j+1 , , z n ) − f (w , , w j−1 , z j , , z n ) j=1 ⎛ f (w , , w j−1 , ζ, z j+1 , , z n ) f (w , , w j−1 , ζ, z j+1 , , z n ) ⎞ n = ∑ ∫ ⎜ − ⎟⎟dζ 2π j=1 ∂P(a ,2r ) ⎜⎝ ζ − wj ζ − zj ⎠ ≤ M n w j − zj 2Mn 2π.2r ≤ w−z ∑ 2π j=1 r r Mặt khác, f chỉnh hình theo biến liên tục f thỏa mãn cơng thức tích phân Cauchy Suy f C∞ thỏa mãn phương trình Cauchy Riemann Do đó, để chứng minh định lý Hartogs ta cần chứng tỏ hàm chỉnh hình theo biến bị chặn địa phương Ta chứng minh điều quy nạp sau : • Trong trường hợp hàm chiều hiển nhiên • Giả sử định lý cho hàm (n-1) biến, với n > • Ta chứng minh định lý hàm có n biến Để tiện lợi ta sử dụng ký hiệu sau : Nếu z = (z1 , , z n ) ∈ Cn z' = (z1 , ,zn−1 ) z = (z',zn ) Chứng minh chia làm ba bước Bước 50 Nếu D1,…,Dn đĩa mở cho D1 × × Dn ⊂ Ω tồn đĩa ~ ~ mở D n ⊂ D n cho f bị chặn D1 × × D n −1 × D n , để thấy điều ta đặt { } Fm = z n ∈ Dn : ∀z ' ∈ D1 × × Dn −1 , f (z ', z n ) ≤ m Rõ ràng, Fm đóng ∀m∈N Theo giả thiết quy nạp ∪F m ≥1 m = Dn Theo định lý Baire’s phần Fm khác rỗng Bây lấy đĩa ~ D n ⊂ Fm Bước Lấy P(a,R) ⊂ Ω, giả sử ∀r > 0, Hàm f chỉnh hình P(a’,R)×D(an,r) f chỉnh hình P(a,R) Khơng tính tổng qt giả sử a = 0∈ Cn f bị chặn số M > P(0',R) × D(0n ,r) Chọn R1, R2 cho < R1< R2< R, ta biết ∞ f = ∑ c j (z').z nj , ( z ∈ P(0,R) ) j=0 với j ⎛ ∂ ⎞ f (z ', 0) c j (z ') = ⎜ ⎟ j! ⎝ ∂z n ⎠ Hơn nữa, cj chỉnh hình P(0’,R) theo Bất đẳng thức Cauchy c j (z') ≤ M rj Đặt u j (z ') = log c j (z ') j , z' ∈ P(0',R) 51 uj điều hịa P(0’,R) u j ≤ log ∞ M r Hơn nữa, chuỗi f(x) = ∑ c j (z ') × z n hội tụ, nên j j=0 c j (z ') R 2j → j → ∞ limSupu j (z') ≤ − log R , ( z' ∈ P(0',R) ) j→∞ Theo bổ đề Hartogs (định lý 2.3.2) u j ≤ − logR1 , P(0',R1 ) j đủ lớn j Hay nói cách khác c j (z ') R ≤ với j đủ lớn z' ∈ P(0',R1 ) ∞ Như ta vừa chứng minh chuỗi ∑ c (z ') × z j=0 j j n hội tụ tuyệt đối tập compact đa đĩa P(0,R) theo định lý Weierstrass tổng riêng chuỗi hàm chỉnh hình Bước Bây ta chứng minh f chỉnh hình Ω Cho ζ ∈Ω , lấy R > cho P ( ζ, 2R ) ⊂ Ω Ở bước ta thấy tồn đĩa mở D(a n , r) ⊂ P ( ζ n , R ) cho hàm f chỉnh hình P(ζ’,R)×D(an,r) Theo bước 2, ta có hàm f chỉnh hình P((ζ’,an), R) ζ ∈ P ( (ζ ', a n ), R ) nghĩa f chỉnh hình lân cận ζ   52 Kết luận – Nhận xét – Phương hướng phát triển Lý thuyết vị công cụ mạnh, áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác Toán học Để kết thúc luận văn, xin nêu lên số nhận xét số thí dụ sau : 1/ Có thể mở rộng điều kiện Định lý Hartogs chỉnh hình theo biến cho hàm thuộc lớp C∞ - theo biến không ? Xét phản ví dụ sau : Cho hàm g : R2 → R , với ⎧ xy , (x, y) ≠ (0,0) ⎪ g(x, y) = ⎨ x + y ⎪ , (x, y) = (0,0) ⎩ Ta thấy hàm C∞ - theo biến không liên tục gốc (0,0) g khơng thể C∞ - theo tập biến 2/ Theo Định lý Hartogs ta nói hàm điều hịa theo biến điều hịa theo tập biến Bây vấn đề đặt “ Nếu hàm điều hịa theo m biến phức có hàm điều hịa theo 2m biến thực khơng ? ” Xét phản ví dụ Wiegerinck (1988) sau : Xây dựng hàm v : C2 → C , cho i) v(z,w) điều hòa theo biến phức z, w; ii) hàm theo biến thực v(z1,z2,w1,w2) khơng điều hịa i Xét dãy số phức {a j} j∈N với a j = e1+ j j 53 tập ⎧ ⎫ K j = ⎨z ∈ D(o, j) : < arg(z) < 2π ⎬ ∪ {0} ( j ∈ N) j ⎩ ⎭ Theo định lý Runge hàm phức biến ta tìm dãy đa thức phức Pj : C → C, cho P(aj) = j + Pj Kj < 1/ Đặt { } ∞ v j = max Pj − 1,0 , ∀j ∈ N v(z, w) = ∑ v j (z).v j (w) j=1 ( ∀(z, w) ∈ C ) Ta thấy hàm v hồn tồn xác định với z∈C có hữu hạn hàm vj ≠ Dễ dàng kiểm chứng hàm v điều hòa theo biến phức z, w Nhưng hàm v khơng nửa liên tục lim v(a j ,a j ) = ∞ j→∞ Suy hàm v khơng điều hịa ™ Đề tài phát triển theo hướng sau : - Có thể giải toán Dirichlet cổ điển tập ( không thiết cầu mở ) không gian Cm - Phát triển ứng dụng Lý thuyết vị vào ngành toán học đại khác 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ber, Partial differential equations, New York – London – Sydney, 1964 [2] Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức Phép tính tốn tử, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2006 [3] G.B Folland, Real Analysis, Wiley – Interscience, New York, 1985 [4] L Hörmander, An introduction to Complex analysis in several variables, North Holland, Amsterdam, 1973 [5] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006 [6] M Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford – New York – Tokyo, 1991 [7] B Malgrange, Lectures on the theory of functions of several complex variables, Bombay, 1958 [8] W Rudin, Principles of mathematical Analysis, Mc Graw Hill, 1976 [9] B.V Sabat, Nhập mơn giải tích phức, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1974 [10] A.D Wunsch, Complex Variables with applications, Addison – Wesley Publishing company, 1994 55 TĨM TẮT LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ Tên : Võ Thanh Vũ Ngày, tháng năm sinh : 24 – 11 – 1977 Nơi sinh : Bình Đại – Bến Tre Địa liên lạc : 59B Trần Bình Trọng, P.5, Q.Bình Thạnh, TP.Hồ Chí Minh QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Bậc học Chuyên ngành Nơi đào tạo Khóa học Đại học Tốn Đại Học Khoa Học 1997 – 2001 Tự Nhiên TP.HCM Q TRÌNH CƠNG TÁC Năm Nơi công tác 2001 – 2002 Trường PTTH DL Nguyễn Khuyến, Q.Tân Bình - TP.HCM 2003 – 2006 Trường PTTH DL Đơng Đơ, Q Bình Thạnh - TP.HCM 2006 – Trường ĐH Cơng Nghiệp, Q Bình Thạnh - TP.HCM ... hàm điều hịa dưới, tính trơn hàm điều hịa tính chất họ hàm điều hòa Chương Chứng minh số định lý cổ điển Một số định lý cổ điển giải tích phức nhiều chiều chứng minh nhờ cơng cụ hàm điều hòa. .. tất hàm điều hòa Ω ký hiệu SH(Ω) Theo nguyên lý modul cực đại hàm điều hịa hàm điều hòa hàm điều hòa dưới, nghĩa H(Ω) ⊂ SH(Ω) Định lý sau cho thấy hàm điều hịa có đặc trưng quan trọng Định lý. .. thức hàm chỉnh hình, trung bình tích phân, hàm điều hịa Cm Phát biểu giải tốn Dirichlet cổ điển - Hàm điều hịa dưới, đặc trưng hàm điều hòa Các tính chất họ hàm điều hịa - Ứng dụng vào hàm chỉnh