Hàm đơn điệu và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRƯƠNG THỊ HÀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Giáo viên hướng dẫn   ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN     HÀ NỘI, 2012 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích LỜI CẢM ƠN  Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt thời  gian tập dượt nghiên cứu khoa học và hoàn thiện khóa luận này.    Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy trong tổ Giải tích, các thầy  giáo, cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà  Nội 2 đã hết lòng dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua.     Cuối  cùng,  tôi  xin  cảm  ơn  sự  giúp  đỡ,  quan  tâm,  động  viên  của  gia  đình, bạn bè trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận.     Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên      Trương Thị Hà Trương Thị Hà K34A-Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, do chính sức lực  của bản thân tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã được  học và các tài liệu tham khảo. Khóa luận không trùng với kết quả của bất cứ  người nào khác đã có trước đó.     Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên    Trương Thị Hà Trương Thị Hà K34A-Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Hàm đơn điệu 1.1. Các khái niệm hàm số một biến số 1.1.1. Các khái niệm hàm số 4  1.1.2. Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số 4  1.2. Khái niệm hàm đơn điệu 1.3. Một số định lý về hàm đơn điệu 9  Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 14  2.1. Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số 14  2.1.1. Phương pháp 14  2.1.2. Ví dụ minh họa 14  2.1.3. Bài tập vận dụng 23  2.2. Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình  24  2.2.1. Phương pháp 24  2.2.2. Ví dụ minh họa 25  2.2.3. Bài tập vận dụng 28  2.3. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình 29  2.3.1. Phương pháp 29  Trương Thị Hà K34A-Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích 2.3.2. Ví dụ minh họa 29  2.3.3. Bài tập vận dụng 34  2.4. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải bất phương trình 34  2.4.1. Phương pháp 34  2.4.2. Ví dụ minh họa 35  2.4.3. Bài tập vận dụng 40  2.5. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình 41  2.5.1. Phương pháp 41  2.5.2. Ví dụ minh họa 41  2.5.3. Bài tập vận dụng 43  2.6. Ứng dụng hàm đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 43  2.6.1. Phương pháp 43  2.6.2. Ví dụ minh họa 44  2.6.3. Bài tập vận dụng 48  2.7. Ứng dụng hàm đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức thức 49  2.7.1. Phương pháp 49  2.7.2. Ví dụ minh họa 49  2.7.3. Bài tập vận dụng 52  2.8. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm 52  2.8.1. Phương pháp 52  2.8.2. Ví dụ minh họa 53  2.8.3. Bài tập vận dụng 57  Trương Thị Hà K34A-Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Chương Sáng tạo toán  58 3.1. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về dãy 58  3.2. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về phương trình, hệ phương trình59  3.3. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất,  giá trị nhỏ nhất 60  KẾT LUẬN 62  TÀI LIỆU THAM KHẢO 63  Trương Thị Hà K34A-Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích MỞ ĐẦU  Hàm đơn điệu là một lớp hàm cơ bản, quan trọng trong lý thuyết hàm  số và có ứng dụng rất mạnh trong toán sơ cấp cũng như trong toán học hiện  đại ngày nay. Nhờ có tính chất đơn điệu của hàm số mà chúng ta đã giải quyết  được  rất  nhiều  vấn  đề  trong  toán  học.  Trong  toán  sơ  cấp,  các  bài  toán  liên  quan  đến  hàm  đơn  điệu  xuất  hiện  nhiều  trong  các  kỳ  thi  học  sinh  giỏi  toán  phổ thông,  kỳ  thi  Olympic  học  sinh,  Olympic  sinh viên,  các  kỳ  thi  đại  học,  cao đẳng… Đó là các dạng bài toán về dãy số, phương trình, hệ phương trình,  các bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị  lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và phương trình hàm…    Hiện nay,  đã  có  một  số sách  chuyên  đề  viết  về  phương pháp  giải  bài  toán  sử dụng tính đơn điệu của hàm  số cho  từng dạng  bài  toán  cụ thể (xem  [1,3,5,9,12]) và cũng đã có một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóa  luận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan tới hàm đơn điệu (xem [10]). Các  tài liệu đó đã nghiên cứu sự vận dụng của hàm đơn điệu vào giải một số dạng  toán ở toán học phổ thông nhưng vẫn chưa đưa ra phương pháp sáng tạo bài  toán mới dựa trên lớp hàm đơn điệu. Với mục đích là tìm hiểu sâu hơn nữa về  ứng dụng của hàm đơn điệu trong toán học và nghiên cứu phương pháp sáng  tạo  bài  toán  mới  dựa  trên  lớp  hàm  đơn  điệu.  Cũng  là  để  tích  lũy  vốn  kinh  nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này, đồng thời giới  thiệu cho các em học sinh phổ thông, các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan  và sâu sắc hơn về hàm đơn điệu và ứng dụng của hàm đơn điệu.  Trương Thị Hà K34A-Toán   1  Khóa luận tốt nghiệp Đại học   Chuyên ngành: Giải tích Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ  của các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê của  bản thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài   "Hàm đơn điệu ứng dụng"   Dựa trên những kết quả đã có và những hạn chế trong nội dung của các đề  tài khóa luận trước đó, cùng với các tài liệu tham khảo có liên quan tới hàm đơn  điệu. Trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu các ứng dụng của hàm đơn điệu  trong  giải  toán  ở  phổ  thông, ứng  dụng  trong  việc  giải  các  bài  toán  về  dãy  số,  phương  trình,  hệ  phương  trình,  bất  phương  trình,  hệ  bất  phương  trình,  bất  đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương trình hàm, đồng thời đề  ra phương pháp sáng tạo bài toán mới cho các bài toán đó.    Khóa luận của tôi gồm 3 phần:  Phần 1. Mở đầu  Phần 2. Nội dung gồm:  Chương Hàm đơn điệu    Chương này, trình  bày về  các khái niệm  hàm  số, khái  niệm hàm  số  đơn điệu và các tính chất của hàm đơn điệu.  Chương Ứng dụng hàm đơn điệu   Chương này,  nghiên cứu  các  ứng  dụng  của  hàm  đơn  điệu  để  giải  các  dạng bài toán về dãy số, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương  trình, bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương  trình hàm.  Chương Sáng tạo toán Trong chương này, tôi đã đưa ra phương pháp sáng tạo một số bài toán  mới dựa vào các phương pháp giải và các bài toán đã nêu ở chương 2 Trương Thị Hà K34A-Toán   2  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Phần 3. Kết luận.    Mặc  dù  khóa  luận  đã  hoàn  thành  với sự  đam  mê  và  cố  gắng  của  bản  thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi,  nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình in ấn khóa luận không tránh  khỏi những thiếu sót. Tôi kính  mong các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên  đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành khóa luận của mình.    Tôi  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy,  cô  giáo  trong  khoa  toán  trường  Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận  tình  hướng  dẫn  và  tạo  điều  kiện  tốt  nhất  để  tôi  hoàn  thành  khóa  luận Trương Thị Hà K34A-Toán   3  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Chương 1  Hàm đơn điệu 1.1 Các khái niệm hàm số biến số 1.1.1 Các khái niệm hàm số   Cho một tập hợp khác rỗng  D  , hàm số  f  xác định trên  D  là một  quy  tắc  cho  tương  ứng  với  mỗi  số  x  D   với  một  và  chỉ  một  số, kí  hiệu  là  f  x  ; số  f  x   đó được gọi là giá trị của hàm số  f  tại  x     Kí hiệu,  y  f  x   hoặc  x  f  x      Tập  xác  định  (miền  xác  định)  của  hàm  số  y  f  x    là  tập  hợp tất  cả  các số thực  x  sao cho giá trị của biểu thức  f ( x)  được xác định.    Cho  hàm  số  y  f  x    xác  định  trên  tập  hợp  D   Khi  đó  trong  mặt  phẳng  R , tập hợp   G   gồm  các điểm  có  tọa độ   x, f ( x )   với  x  D   được  gọi là đồ thị của hàm số  f   1.1.2 Giới hạn hàm số liên tục hàm số biến số  Khái niệm lân cận   Cho  điểm  x0   thuộc  tập  D   nằm  trong  ,  khoảng   x0   , x0    ,  kí  hiệu là  V  x0  , với     được gọi là   - lân cận của  x0   Trương Thị Hà K34A-Toán   4  Khóa luận tốt nghiệp Đại học f b  f  a   Chuyên ngành: Giải tích ln b ln a    2 b 1 a 1           Vậy,  a ln b  b ln a  ln a  ln b , với   a  b       a ln b  b ln a  ln a  ln b     Bài toán 2.20 (xem  5 ). Chứng minh b a  a   b 1   a     b  , a  b          (Đề Thi TSĐH khối D-2007)   Lời giải. Biến đổi tương đương bất đẳng thức  b b a   a    4b    1     a  a    2b  b    a    b                b    ln 1  4a  a Xét hàm đặc trưng   f  x       f  x   b a  1  4a   1  4b    a  ln 1  a   ln 1  4b        a  ln 1  4b  ln 1  x  x b    với  x  , ta có   x ln  1  x  ln 1  x  x 1  x   0, x    Suy ra, hàm  f  giảm trên   0,    Khi đó, theo tính chất của hàm đơn điệu thì   với  a  b   suy ra  f  a   f  b  , hay   b a  a   b 1   a     b  , a  b          Trương Thị Hà K34A-Toán   50                □  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Bài toán 2.21 (xem  5 ). Chứng minh x x3 x3 x  sin x  x   , x    3! 3! 5! Lời giải Với mọi  x  , ta chứng minh   x3 , x   x  3!  sin x  sin x  x  x  x , x   3! 5! Chứng minh (2.43), xét hàm số  f  x   f  x   (2.43)   (2.44) x3  x  sin x , x  , có các đạo hàm   3! x2   cos x ,  f   x   x  sin x  và  f   x    cos x  0, x    2! Suy  ra,  f    đồng  biến  trên   0,     hay  f   x   f     0, x  ,  từ  đó  f    đồng  biến  trên   0,     hay  f   x   f     0, x    Suy  ra,  f   đồng  biến  trên   0,    hay  f  x   f    0, x   Vậy,  x  x3  sin x   3! x5 x3 Chứng minh (2.44), xét hàm số  g  x     x  sin x , x   có đạo hàm  5! 3! x4 x2 x3 g   x      cosx , x   và  g   x    x  sin x  f  x   0, x    4! 2! 3! Suy  ra,  g    đồng  biến  trên   0,     hay  g  x   g    0, x    Suy  ra,   x x5 x3 x3 x sin x  x    Vậy,  x   sin x  x   , x       3! 3! 5! 3! 5! Trương Thị Hà K34A-Toán   51            Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích 2.7.3 Bài tập vận dụng Bài tập 2.15 (xem  5 ) Chứng minh rằng,  sin x    , x   0,      2 2x Bài tập 2.16 (xem 1 ) Chứng minh rằng , a b  b a , a  b  e   1  Bài tập 2.17 (xem  16 ) Chứng minh rằng, với  x   ,1  ta đều có     2  arctan x    ln  x  1  ln   Bài tập 2.18 (xem  16 ). Chứng minh  a b c    , a, b, c    bc ca ab 2.8 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm 2.8.1 Phương pháp Bước 1. Dựa vào biểu thức chứa hàm số cần tìm và điều kiện bài toán  đã cho, biến đổi đưa hàm  f  về dạng có thể dựa vào các tính chất sau:   Nếu  f  cộng tính và đơn điệu trên   (hoặc   ) thì  f  x   kx ;   Nếu  f  đơn điệu thực sự thì  f  là đơn ánh.   Trong một vài trường hợp, nếu ta dự đoán được công thức của hàm số,  chẳng hạn  f  x   g  x   thì có thể xét  f  x   g  x   và  f  x   g  x  , sau đó  sử dụng tính đơn điệu của hàm số để dẫn tới điều vô lý.   Nếu hàm  f  đơn điệu và ta đã có công thức của  f  trên tập số hữu tỉ    thì dùng kĩ thuật chọn hai dãy hữu tỉ đơn điệu ngược nhau, rồi sau đó chuyển  qua giới hạn.  Trương Thị Hà K34A-Toán   52  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Bước 2. Thử lại với hàm số tìm được.  Bước 3. Kết luận.  2.8.2 Ví dụ minh họa Bài toán 2.29 (xem  11 ) Tìm tất hàm f : f  x  f  y    f  x   y,  thỏa mãn x, y    (2.45)  Lời giải Giả sử  f  là hàm số phải tìm, lấy hai số thực  y1 , y2  sao cho  f  y1     f  y2  , với mọi  x   ta có  f  x  f  y1    f  x  f  y2    f  x   y1  f  x   y2  y  y2     Vậy, hàm  f  là đơn ánh.    Với  y   ta có  f  x  f     f  x  , x    Với  x   ta có  f   f  y    f    y  f  f  y    f    y   Hay  f  f  x    x  f   , x     Khi thay  x  bởi  f  x   trong (2.45), ta có  f  f  x   f  y    f  f  x    y  x  y  f    f  f  x  y     Vì  f  đơn ánh nên  f  x  y   f  x   f  y  x, y   Vì vậy, hàm  f  đơn  điệu và cộng tính trên  , nên ta có  f  x   kx , x  , ( k  tùy ý).  Thay biểu thức  f  x   vào hệ thức (2.45) ta được  f  x  f  y    f  x  ky   kx  k x  và  f  x   y  kx  y   Do đó,  Trương Thị Hà K34A-Toán   53  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích kx  k y  kx  y   k  1 y  , y  k  1     Thử lại, với  k  1  ta có  f  x    x  thấy thỏa mãn.    Vậy, các hàm  f  cần tìm là  f  x    x , x    Bài toán 2.30 (xem  11 ). Tìm tất hàm f xác định tập hợp số thực nhận giá trị thực, cho với x, y  , ta có f  x2  f  y   y   f  x    (2.46) (Olympic toán quốc tế-1992)    Lời giải Giả sử  f  là hàm số phải tìm, lấy hai số thực  y1 , y2  sao cho  f  y1     f  y2  , với mọi  x  , ta có   f  x  f  y1    f  x  f  y2   ,  2 suy ra,  y1   f  x    y   f  x   hay  y1  y2     Vì vậy, hàm  f  là đơn ánh.    Cố định  x , cho  y  thay đổi trên   trong phương trình (2.46). Ta thấy,  vế phải của (2.46) là hàm bậc nhất theo  y  nên tập giá trị của vế phải là  ,  nên tập giá trị của vế trái cũng là        sao  cho  f  a     Đặt  f    b ,  cho  Khi  đó,  có  duy  nhất  số  a  x   thì (2.46) trở thành  f  f  y    y   f    , hay    f  f  x    x  b , x    Cho  x  0, y  a , thì (2.46) trở thành   Trương Thị Hà K34A-Toán   54      (2.47)  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích f  f  a    a   f     b  a  b                (2.48)  Cho  x  y  a , ta có   2 f  a  f  a    a   f  a     f  a    a   Theo (2.47) ta lại có    f  a   f f  a   a  b  a  b   a  b    Vì vậy,  f      Khi đó (2.47) trở thành   f  f  x    x , x                 (2.49)  Thay  y   vào (2.46) ta được  f  x    f  x   , x                                    (2.50)  Từ  đó,  suy  ra  với  x    thì  f  x     và  f  x    x    (do  f   là  đơn ánh).    Áp dụng (2.50) với  x   và  y  , ta có  f  x  y   f     x                      f  y   f           f  f  y     f  y   f  x  x    f  x   f  y  , x  0, y    Giả sử   y   khi đó  x  y   suy ra  f  x  y    Vì  f  cộng tính nên   f  x  f   x  y   y   f  x  y   f  y   f  y    Vậy  f  là hàm tăng thực sự.  Trương Thị Hà K34A-Toán   55  Khóa luận tốt nghiệp Đại học   Chuyên ngành: Giải tích Do  f   cộng  tính  và  đơn  điệu  trên   f 1    suy  ra  f  x   x , x     nên  f  x   kx, x     Bây  giờ  ta  lấy  bất  kỳ  x     Mà  ,  áp  dụng  (2.50) ta có   x  f  x    f  x    f  x    x     Kết hợp với điều kiện  f  tăng thực sự trên toàn  , suy ra  f  x   x, x    Thử lại,  f  x   x , x  cần tìm là  f  x   x , x   vào (2.46), ta thấy thỏa mãn. Vậy, hàm số    Bài toán 2.31 (xem  11 )  Hãy tìm tất hàm tăng thực f :  thỏa mãn f  xf  y    y f  x  , x, y  (2.51) Lời giải Giả sử  f  là hàm số phải tìm, với  f  x   0, x   thay vào (2.51)  thấy thỏa mãn. Với  f  x    tồn tại  x0  sao cho  f  x0    Ta chứng minh  f  là đơn ánh. Thật vậy, giả sử tồn tại  y1 , y2  sao cho  f  y1   f  y2  , ta có     f  x0 f  y1    f  x0 f  y2      y1 f  x0   y2 f  x0   y1  y2   Vì vậy,  f  là đơn ánh.    Thay  x  y    vào  (2.51)  ta  có  f  f 1   f     Vì  f   là  hàm  tăng  thực sự nên  f 1   suy ra  f    f 1    Thay  x   vào (2.51) ta có   f  f  y    yf   , y  Trương Thị Hà K34A-Toán        f f  f  y    f y  f      56  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Suy ra  f  y  f    f  y   Nghĩa là   f  x  f    f  x  , x                    (2.52)  Ta chứng minh  f  x   x , với  x   Giả sử có  x  mà  f  x   x , do    f  tăng thực sự, nên từ (2.52) ta có   f  f  x    f  x   xf    f  x   xf    f  x   f  x  f     Suy ra  f  x   x  (mâu thuẫn với điều giả sử). Ngược lại, nếu có  x  mà  f  x   x , do  f  tăng thực sự, nên từ (2.51) ta cũng có   f  f  x    f  x   xf    f  x   f  x  f     Suy ra  f  x   x  (mâu thuẫn).  Vì vậy,  f  x   x ,  x   Thử lại, ta thấy  f  x   x ,  x   thỏa mãn.     Vậy, hàm  f  tăng thực sự cần tìm là  f  x   x ,  x    2.8.3 Bài tập vận dụng  Bài tập 2.24 (xem  11 ). Tìm tất cả các hàm  f :   thỏa mãn     f  x   f  z    f  y   f  t    f  xy  zt  f  xt  zy                               (Olympic toán quốc tế-2002) Bài tập 2.25 (xem  11 ).  cả  các hàm tăng Tìm tất  thực sự  f : mãn f  f  x   y   f  x  y   1, x, y  Bài toán 2.26 (xem  11 ). Tìm tất cả các hàm  f :    f  x5  f  y    y   f  x   , x, y  Trương Thị Hà K34A-Toán   57     thỏa mãn    thỏa  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích   Chương 3  Sáng tạo toán   Dựa  vào  các  phương  pháp  đã  nêu  trong  chương  2,  tôi  thực  hiện  giải   ngược  các  bước  đã  nêu  trong  các  phương  pháp  giải.  Từ  đó,  tôi  đã  tìm  ra  phương pháp sáng tạo một số bài toán.  3.1 Phương pháp sáng tạo toán dãy Đầu tiên, ta xét một hàm số  y  f  x   xác định, liên tục trên tập  D    nào  đó.  Khảo  sát  sự  biến  thiên  của  hàm  y  f  x  ,  từ  đó  tìm  một  đoạn   a, b  D   sao  cho  hàm  y  f  x    đồng  biến  (hoặc  nghịch  biến)  trên  đó  và  f  a, b   a, b    Khi đó, áp dụng bài toán 2.1. chương 2, ta có dãy số   xn    cho bởi công thức truy hồi    x1   a, b     xn1  f  xn  , n  1,2,3,   đơn điệu và bị chặn (hoặc dãy   x2n   và dãy   x2 n1  đơn điệu, bị chặn) nên nó  hội tụ. Hơn nữa, giá trị giới hạn chính là nghiệm của phương trình  x  f  x    (hoặc  x   f  f  x    Ví dụ 3.1. Xét hàm số  f  x   x3e x  xác định và liên tục trên  , ta có đạo hàm  f   x    x  x  e x  triệt tiêu tại  x   và  x  3  Bảng biến thiên của  f         Trương Thị Hà K34A-Toán   58  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích     x    f  x      f  x   3        0  0    0               0  f 3     Từ  bảng  biến  thiên  trên,  ta  thấy  hàm  f   đồng  biến  trên  đoạn   3,0   và  f  3,0   3,0  Vì vậy, ta có bài toán  "Cho dãy  xn  xác định công thức truy hồi  x1   3,0  x  xn1  xn e n , n  1,2,3, Xét hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy  xn  trên."  3.2 Phương pháp sáng tạo toán phương trình, hệ phương trình   Đầu  tiên,  ta  xét  hai  hàm  số  y  f  x    và  y  g  x    xác  định,  liên  tục  trên  tập  D    nào  đó.  Khảo  sát  sự  biến  thiên  của  hàm  y  f  x    và  y  g  x  ,  từ  đó  tìm  một  đoạn   a, b   D   sao  cho  hàm  y  f  x    đồng  biến  (hoặc nghịch biến) còn hàm  y  g  x   nghịch biến (hoặc đồng biến) trên đó.  Khi đó, phương trình     f  x   g  x  ,  có nghiệm duy nhất trên đoạn   a, b   Hơn nữa, phương trình   f  x   f  x0   g  x   g  x0  ,  với  x0  là giá trị nào đó thuộc đoạn   a, b  , nhận  x0  là nghiệm duy nhất.    Trương Thị Hà K34A-Toán   59  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Ví dụ 3.2 Xét hai hàm số  f  x   x3e x  và  g  x   log  x  1  xác định, liên  tục trên miền   0,   Ta dễ thấy, hàm  f  đồng biến trên miền   0,   (theo  ví dụ 3.1) và hàm  g  nghịch biến trên miền   0,   (vì có cơ số nhỏ hơn  ).  Ta lại có,  f 1  e  và  g 1  log , vì vậy, ta có bài toán   "Giải phương trình x 3e x  log  log  x  1  e ".    Một các tương tự, ta có thể sáng tạo bài toán hệ phương trình mới.  3.3 Phương pháp sáng tạo toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ   Đầu tiên, ta xét một hàm số  y  f  x   xác định, liên tục trên tập  D    nào  đó.  Khảo  sát  sự  biến  thiên  của  hàm  y  f  x  ,  từ  đó  tìm  một  đoạn   a, b  D   sao cho hàm  y  f  x    đồng biến  (hoặc nghich biến) trên  đó.  Từ  đó ta có các bài toán   "Chứng minh rằng,  f  x   f  a   (hoặc  f  x   f  a  …)."   "Tìm giá trị  lớn nhất  (giá trị nhỏ nhất)  của  biểu thức  f  x    trên đoạn   a, b "  Ví dụ 3.3 Xét hàm số  f  x   x  x   xác định, liên tục và đồng biến trên  miền   2,   Vì vậy, ta có  f  x   x  x   7, x       Đặt  x  a b   2, a, b  b a Trương Thị Hà K34A-Toán    , ta có   60  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích a2 b2 a b a b a b a b f                  b a b a b a b a b a Vì vậy, ta có bài toán  "Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức a  b  a 3b  ab3  4a 2b  , với số thực dương a b. " Ví dụ 3.4 Xét  hàm  số  f  t   ln t   xác  định,  liên  tục  và  nghịch  biến  trên  t e,    Với  a  b  e  thì theo tính chất hàm nghịch biến ta có   f  a   f b   ln a ln b    a b                          b ln a  a ln b                           ln ab  ln b a                     a b  b a   Vì vậy, ta có bài toán  "Chứng minh rằng, a b  b a với số thực dương a b cho a  b  e " Trương Thị Hà K34A-Toán   61  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích KẾT LUẬN Khóa luận đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm đơn điệu và các  ứng dụng của nó trong toán học. Cụ thể, khóa luận đã:  1. Đưa ra các khái niệm cơ bản về hàm đơn điệu chứng minh được các  định lý là tính chất của hàm đơn điệu.  2. Nghiên cứu sự vận dụng hàm đơn điệu vào giải các bài tập về dãy số,  giải  phương  trình,  hệ  phương  trình,  bài  toán  tìm  GTLN,  GTNN,  giải  bất  phương  trình,  hệ  bất  phương  trình,  chứng  minh  bất  đẳng  thức  và  ứng  dụng  vào giải phương trình hàm.  3.  Đưa  ra  phương pháp  sáng tạo ra  một  số bài toán  mới dựa vào  tính  đơn điệu của hàm số và các phương pháp nêu ở chương 2.  Khóa luận đã đưa ra cách giải bài toán về dãy số dựa vào hàm đơn điệu  với  hàm  tương  đương  là  hàm  giảm  mà  trong  [9]  chỉ  nêu  cách  giải  với  hàm  tương đương là hàm tăng. Đồng thời, khóa luận cũng đã đưa ra phương pháp  sáng tạo một số bài toán mới dựa vào phương pháp giải các bài toán nêu trong  chương 2 mà trong [10] chưa đề cập đến.   Do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi, nên  trong  khóa  luận  không  tránh  khỏi  những  thiếu  sót.  Tôi  kính  mong  các  quí  thầy, cô và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thiện khóa luận  của mình.  Tôi xin chân thành cảm ơn !       Trương Thị Hà K34A-Toán   62  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích TÀI LIỆU THAM KHẢO   Tài liệu Tiếng Việt   [1] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất  (2001), Các Bài giảng luyện thi môn toán tập ba, Nxb Giáo dục.  [2] Trần  Tuấn  Điệp,  Ngô  Long  Hậu,  Nguyễn  Phú  Trường  (2009),  Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học-cao đẳng toàn quốc môn toán, Nxb  Hà Nội.  [3] Trịnh  Bằng  Giang,  Nguyễn  Ngọc  Anh  (1995), 630 Bài toán Đại sốGiải tích 11, Nxb Trẻ TP.HCM.  [4] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập I, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội.  [5] Trần  Đức  Huyên,  Lê  Mậu  Thống,  Lê  Mậu  Thảo  (1997),  Phân loại phương pháp giải toán Giải tích 12 luyện thi vào trường đại học,  Nxb Trẻ.  [6] W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK, Đoàn Chi (biên dịch) (2003), Bài tập Giải tích số thực Dãy số Chuỗi số, Nxb Đại học Sư phạm.  [7] Phan Huy Khải (1997), 10000 Bài toán sơ cấp phần dãy số, Nxb Giáo  dục.  [8] Trần  Đức  Long,  Nguyễn  Đình  Sang,  Hoàng  Quốc  Toàn  (2005),  Giáo trình giải tích tập 1, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội.   [9]  Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Giới hạn dãy số hàm số, Nxb Giáo dục.  [10] Mai Thảo Nguyên (2004), Vận dụng tính đơn điệu hàm số vào giải toán, Khóa luận tốt nghiệp Đại học.  [11] Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài toán hàm số qua kỳ thi Olimpic,  Nxb Giáo dục.  Trương Thị Hà K34A-Toán   63  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích [12] Võ  Thanh  Văn  (chủ  biên),  TS  Lê  Hiển  Dương,  Nguyễn  Ngọc  Giang  (2009),  Chuyên đề ứng dụng Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit giải toán THPT, Nxb Đại học Sư phạm.  Tài liệu mạng [13] http://tailieu.vn/xtôi-tai-lieu/sang-tao-bat-dang-thuc.1171066.html  [14] http://tailieu.vn/xtôi-tai-lieu/co-so-ly-thuyet-va-mot-so-bai-toan-veday-so.171960.html  [15] http://ttngoctrinh.wordpress.com/toan-2/daiso12/c1b1_hamsodondieu/  [16] http://thuviendientu.org/giao-duc-pho-thong/toan-thpt/ung-dung-daoham-trong-viec-giai-phuong-trinh.html  [17] http://www.mathvn.com/2012/01/toan-bo-e-thi-ai-hoc-cao-ang-co-apcua.html                      Trương Thị Hà K34A-Toán   64  [...]... nói  hàm f   là  hàm đơn điệu giảm  (tương  ứng,   giảm  thực  sự)  hay  nghịch biến trên  D  nếu từ điều kiện  x1 , x2  D, x1  x 2 ta suy ra  f ( x1 )  f ( x2 )   (tương ứng,   f ( x1 )  f ( x2 ) ).       Các hàm tăng và hàm giảm được gọi là hàm đơn điệu.   Trương Thị Hà K34A-Toán   8  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích  Một số tính chất của hàm đơn điệu   Nếu các hàm f và ...  được gọi là  có đạo hàm trên đoạn   a, b   nếu nó có  đạo hàm trên   a, b  và có đạo hàm bên phải tại điểm a, bên trái tại điểm  b   1.2 Khái niệm hàm đơn điệu   Cho tập  D  và hàm số  f : D  , ta nói hàm f  là hàm đơn điệu tăng  (tương  ứng,   tăng  thực  sự)  hay  đồng  biến  trên  D   nếu  từ  điều  kiện  x1 , x2  D, x1  x2  ta suy ra  f  x1   f  x2   (tương ứng,   f  x1   f ... x x0 xA xD          13        xD       Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích Chương 2 Ứng dụng của hàm đơn điệu 2.1 Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số 2.1.1 Phương pháp   Nội dung chính của phương pháp này là  chủ  yếu dựa vào khẳng định  "Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ". Cụ thể, cho dãy   xn   bất kỳ  ta có:    Nếu  x1  x2   thì  xn  lim...  đồng biến trên tập hợp  D  thì hàm f  g   cũng  đồng biến trên D     Nếu hàm f  đồng biến trên tập hợp  D , thì hàm  f  nghịch biến trên  D     Nếu hàm số  y  f ( x)  đồng biến và có dấu không đổi trên tập hợp  D   thì hàm số  y    1  là nghịch biến trên  D   f ( x) Nếu các hàm số  f và g  đồng biến và tương đương trên tập hợp  D , thì  hàm số  f g  đồng biến trên  D   1.3 Một số định lý về hàm đơn điệu Định lý... và đủ để hàm f liên tục trên  a, b  là tập giá trị của nó chính là đoạn với hai đầu mút f (a) và f (b) Chứng minh Ta xét trường hợp hàm f  là hàm tăng (nếu hàm f  là hàm giảm  thì ta xét hàm g : f , khi đó, hàm g  là hàm tăng).   Điều kiện cần:  Giả  sử  hàm f   liên  tục  trên   a, b   ta  chứng  minh   f  a, b      f  a  , f  b   , với mọi  x   a, b   Thật vậy, ta có  f ... 16 ) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  a, b  Nếu f ( x)  0 (hoặc f ( x)  0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng đó thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó Chứng minh Chứng minh tương tự như định lý 1.2.                                          Định lý 1.4 (xem 8 ).  Cho  f :  a, b   là một hàm đơn điệu Điều kiện cần và đủ để hàm f liên... , n  1 Giả sử xn   a, b  , n  , hàm f là hàm giảm, bị chặn trên  a, b  và phương trình x   f  f  x  có nghiệm duy nhất trong đoạn  a, b  Hãy xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy Chứng minh Ta chứng minh, nếu hàm f  là hàm giảm thì hàm hợp  f  f  là  hàm tăng. Thật vậy, lấy hai số  x  y  bất kỳ thuộc đoạn   a, b  , do  f  là hàm giảm trên đoạn   a, b  , nên  f ... theo ý a) và  b) ta có   xn  đơn điệu.  Từ đó, ta suy ra   xn   hội tụ.  Nhận xét 2.1 Bài toán 2.1 được xem như là cơ sở cho phương pháp giải bài  toán về dãy số theo tính chất hàm đơn điệu.  Nhưng ta thấy, nó mới chỉ nhắc  đến tính chất của hàm tương đương xác định dãy số là hàm tăng. Dưới sự gợi  mở  của  thầy  hướng  dẫn,  tôi  đã  nêu  bài  toán  2.2  với  hàm tương  đương  xác  định dãy số  f  là hàm giảm.  ... 1)   Xét hàm số,  y  f ( x)  x  x  x 2  x  1 ,  x  , ta có,     2 x  1  2 x2  x  1 f  x   1  2  0 ,  x    2 4 x  x  x  1 x  x  1 Suy ra, hàm số  y  f ( x)  đồng biến trên    Do đó, ta có  x  x  1  hay  0  1 (vô lý).     Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.  Nhận xét 2.2 Ngoài  việc  ứng dụng để  giải  phương  trình  thì  hàm đơn điệu còn được ứng dụng để chứng minh một phương trình có nghiệm duy nhất trên ... Bước 2. Xét hàm y  f ( x) và y  g ( x)  Dùng lập luận khẳng định hàm số  y  f ( x)  là hàm đồng biến và hàm số  y  g ( x)  là hàm nghịch biến hay là  hàm hằng . Xác định nghiệm duy nhất  x  x0  sao cho  f  x0   g  x0    Bước 3. Kết luận về nghiệm của phương trình (2.7).  Dạng 3: Thực hiện theo các bước    Bước 1. Chuyển phương trình về dạng   f (u )  f (v) ,  với  u , v  là các hàm hợp.  ... các khái niệm  hàm số, khái  niệm hàm số  đơn điệu và các tính chất của hàm đơn điệu.   Chương Ứng dụng hàm đơn điệu   Chương này,  nghiên cứu  các  ứng dụng của  hàm đơn điệu để  giải ... 1.1.2. Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số 4  1.2. Khái niệm hàm đơn điệu 1.3. Một số định lý về hàm đơn điệu 9  Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 14  2.1. Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số... tích Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 2.1 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải toán dãy số 2.1.1 Phương pháp   Nội dung chính của phương pháp này là  chủ  yếu dựa vào khẳng định  "Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ". Cụ thể, cho dãy