Hàm đơn điệu và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRƯƠNG THỊ HÀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Giáo viên hướng dẫn ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI, 2012 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chun ngành: Giải tích LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình giúp đỡ, bảo suốt thời gian tập dượt nghiên cứu khoa học hồn thiện khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy tổ Giải tích, thầy giáo, giáo khoa Tốn, thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội hết lòng dạy dỗ tơi suốt thời gian qua Cuối cùng, xin cảm ơn giúp đỡ, quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt q trình hồn thiện khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên Trương Thị Hà Trương Thị Hà K34A-Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, sức lực thân tơi nghiên cứu hồn thành sở kiến thức học tài liệu tham khảo Khóa luận khơng trùng với kết người khác có trước Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên Trương Thị Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG .4 Chương Hàm đơn điệu 1.1 Các khái niệm hàm số biến số 1.1.1 Các khái niệm hàm số 1.1.2 Giới hạn hàm số liên tục hàm số biến số 1.2 Khái niệm hàm đơn điệu 1.3 Một số định lý hàm đơn điệu Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 14 2.1 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải toán dãy số 14 2.1.1 Phương pháp 14 2.1.2 Ví dụ minh họa 14 2.1.3 Bài tập vận dụng 23 2.2 Ứng dụng hàm số đơn điệu để giải phương trình 24 2.2.1 Phương pháp 24 2.2.2 Ví dụ minh họa 25 2.2.3 Bài tập vận dụng 28 2.3 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình 29 2.3.1 Phương pháp 29 2.3.2 Ví dụ minh họa 29 2.3.3 Bài tập vận dụng 34 2.4 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải bất phương trình .34 2.4.1 Phương pháp 34 2.4.2 Ví dụ minh họa 35 2.4.3 Bài tập vận dụng 40 2.5 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình 41 2.5.1 Phương pháp 41 2.5.2 Ví dụ minh họa 41 2.5.3 Bài tập vận dụng 43 2.6 Ứng dụng hàm đơn điệu để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 43 2.6.1 Phương pháp 43 2.6.2 Ví dụ minh họa 44 2.6.3 Bài tập vận dụng 48 2.7 Ứng dụng hàm đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức thức .49 2.7.1 Phương pháp 49 2.7.2 Ví dụ minh họa 49 2.7.3 Bài tập vận dụng 52 2.8 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm 52 2.8.1 Phương pháp 52 2.8.2 Ví dụ minh họa 53 2.8.3 Bài tập vận dụng 57 Chương Sáng tạo toán 58 3.1 Phương pháp sáng tạo toán dãy 58 3.2 Phương pháp sáng tạo tốn phương trình, hệ phương trình59 3.3 Phương pháp sáng tạo toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO .63 MỞ ĐẦU Hàm đơn điệu lớp hàm bản, quan trọng lý thuyết hàm số có ứng dụng mạnh toán sơ cấp tốn học đại ngày Nhờ có tính chất đơn điệu hàm số mà giải nhiều vấn đề toán học Trong toán sơ cấp, toán liên quan đến hàm đơn điệu xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi tốn phổ thơng, kỳ thi Olympic học sinh, Olympic sinh viên, kỳ thi đại học, cao đẳng… Đó dạng tốn dãy số, phương trình, hệ phương trình, tốn bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) phương trình hàm… Hiện nay, có số sách chun đề viết phương pháp giải toán sử dụng tính đơn điệu hàm số cho dạng tốn cụ thể (xem [1,3,5,9,12]) có số sinh viên nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan tới hàm đơn điệu (xem [10]) Các tài liệu nghiên cứu vận dụng hàm đơn điệu vào giải số dạng tốn tốn học phổ thơng chưa đưa phương pháp sáng tạo toán dựa lớp hàm đơn điệu Với mục đích tìm hiểu sâu ứng dụng hàm đơn điệu toán học nghiên cứu phương pháp sáng tạo toán dựa lớp hàm đơn điệu Cũng để tích lũy vốn kinh nghiệm cho thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho em học sinh phổ thơng, bạn sinh viên có nhìn tổng quan sâu sắc hàm đơn điệu ứng dụng hàm đơn điệu Trương Thị Hà K34A-Tốn Vì lý với góp ý động viên tận tình giúp đỡ thầy cô, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với đam mê thân mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Hàm đơn điệu ứng dụng" Dựa kết có hạn chế nội dung đề tài khóa luận trước đó, với tài liệu tham khảo có liên quan tới hàm đơn điệu Trong khóa luận này, tơi nghiên cứu ứng dụng hàm đơn điệu giải tốn phổ thơng, ứng dụng việc giải toán dãy số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương trình hàm, đồng thời đề phương pháp sáng tạo toán cho tốn Khóa luận tơi gồm phần: Phần Mở đầu Phần Nội dung gồm: Chương Hàm đơn điệu Chương này, trình bày khái niệm hàm số, khái niệm hàm số đơn điệu tính chất hàm đơn điệu Chương Ứng dụng hàm đơn điệu Chương này, nghiên cứu ứng dụng hàm đơn điệu để giải dạng tốn dãy số, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương trình hàm Chương Sáng tạo tốn Trong chương này, tơi đưa phương pháp sáng tạo số toán dựa vào phương pháp giải toán nêu chương Phần Kết luận Mặc dù khóa luận hồn thành với đam mê cố gắng thân, song thời gian có hạn vấn đề thân tơi, nên q trình viết q trình in ấn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong thầy, giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Chương Hàm đơn điệu 1.1 Các khái niệm hàm số biến số 1.1.1 Các khái niệm hàm số Cho tập hợp khác rỗng D □ , hàm số f xác định D quy tắc cho tương ứng với số x D f x ; số f với số, kí hiệu x gọi giá trị hàm số Kí hiệu, y f x   x f f x x Tập xác định (miền xác định) hàm số y f x  tập hợp tất số thực x cho giá trị biểu thức f (x) xác định Cho hàm số y f x  xác định tập hợp D Khi mặt phẳng R2 , tập hợp G gồm điểm có tọa độ   x, f (x)  gọi đồ thị hàm số f 1.1.2 Giới hạn hàm số liên tục hàm số biến số  Khái niệm lân cận với x D     y 0 Giả sử x y 0 suy f x  f  x y  y  Vậy f hàm tăng thực f x y 0 Vì f cộng tính nên x y f  y  f f y  Do f cộng tính đơn điệu □ nên f  xkx,x □ f 1 1 suy f x x,x □ □ (2.50) ta có x  cần tìm Mà  Bây ta lấy x  , áp dụng f x f f x x x2  Kết hợp với điều kiện f tăng thực toàn □ , suy Thử lại,  f x x,x □ f x x,x □ vào (2.46), ta thấy thỏa mãn Vậy, hàm số f x x ,x □ Bài toán 2.31 (xem 11 ) Hãy tìm tất hàm tăng thực f :□  □ thỏa mãn f xf y y f x, y □  2x  , (2.51) Lời giải Giả sử f hàm số phải tìm, với f x 0,x □ thay   vào (2.51) thấy thỏa mãn Với f x  0 tồn x0 cho f 2x0 0 Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, giả sử tồn y1, y2 cho f y1  f y2 , ta có f x0 f y1  f  x0 f y2  y1 f  2x y2 f  2x y1 y2 Vì vậy, f đơn ánh Thay thực nên x y vào (2.51) ta có f f f   Vì f hàm tăng 1 1  f 1 2 suy f   f 10  Thay x 1 vào (2.51) ta có f f y  yf   ,y □ f f f y  f y f 2  Suy f y f 2 f y Nghĩa       f x f  2 f  2x  ,x □ Ta chứng minh f x 2x , với x □   Giả sử có x mà (2.52) f x 2x , f tăng thực sự, nên từ (2.52) ta có f f x   f  2x 2xf f   2x    f  2x  xf   Suy f x f x f  2 (mâu thuẫn với điều giả sử) Ngược lại, có x mà 2x f x 2x , f tăng thực sự, nên từ (2.51) ta có f f f  2x 2xf f xf  2 x      f  2x  Suy f (mâu thuẫn) Vì vậy, f x 2x , x □ Thử x  lại, ta thấy 2x f x 2x , x □ thỏa mãn Vậy, hàm f tăng thực cần tìm f x2x , x □ 2.8.3 Bài tập vận dụng Bài tập 2.24 (xem 11 ) Tìm tất hàm f: □ □ thỏa mãn f x f z  f y   f  t   f xy zt f xt zy   (Olympic toán quốc tế-2002) Bài tập 2.25 (xem 11 ) hàm tăng Tìm tất thực mãn f f f xy  1, x y f: □  □ thỏa x, y □  Bài toán 2.26 (xem 11 ) Tìm tất hàm f x  f y  y f  x  5 , f: □ □ thỏa mãn x, y □ Chương Sáng tạo toán Dựa vào phương pháp nêu chương 2, thực giải ngược bước nêu phương pháp giải Từ đó, tơi tìm phương pháp sáng tạo số toán 3.1 Phương pháp sáng tạo toán dãy Đầu tiên, ta xét hàm số y f x xác định, liên tục tập D   □ Khảo sát biến thiên hàm a,b D y f x  , từ tìm đoạn cho hàm y f  đồng biến (hoặc nghịch biến) x f  a,b a,b  Khi đó, áp dụng tốn 2.1 chương 2, ta có dãy số xn  cho công thức truy hồi  x1  a, b    xn1  f xn  ,n 1, 2,3, đơn điệu bị chặn (hoặc dãy dãy x2n1đơn điệu, bị chặn) x2n nên hội tụ Hơn nữa, giá trị giới hạn nghiệm phương trình x f x (hoặc x  f   f x  Ví dụ 3.1 Xét hàm số f x xác định liên tục □ , ta có đạo hàm x xe f x  x  3x e x triệt tiêu x 0 x 3 Bảng biến thiên f x 3  f   x f x   0      f   Từ bảng biến thiên trên, ta thấy hàm f đồng biến đoạn 3,0 f 3, 03,0  Vì vậy, ta có tốn "Cho dãy xn xác định cơng thức truy hồi  x1  3, 0  x x x e n ,n 1, 2,3,  n1 n Xét hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy xntrên." 3.2 Phương pháp sáng tạo tốn phương trình, hệ phương trình Đầu tiên, ta xét hai hàm số y f x  y g  x xác định, liên tục tập D □ Khảo sát biến thiên hàm y g x  , từ tìm đoạn a,b D cho hàm y f  đồng biến x (hoặc nghịch biến) hàm y g Khi đó, phương trình y f x   x nghịch biến (hoặc đồng biến) f x g x  , có nghiệm đoạn  a,b  Hơn nữa, phương trình f x f x0 g x g x0 , với x0 giá trị thuộc đoạn  a,b  , nhận x0 nghiệm Ví dụ 3.2 Xét hai hàm số f g x   x  xác định, liên log1 1 x  x xe tục miền 0,   Ta dễ thấy, hàm f đồng biến miền 0,  ví dụ 3.1) hàm g nghịch biến miền 0,  Ta lại có, f 1 e (theo (vì có số nhỏ 1) g 1log1 , vậy, ta có tốn "Giải phương trình 3 x x e log log 1 x 1e " Một tương tự, ta sáng tạo tốn hệ phương trình 3.3 Phương pháp sáng tạo tốn bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đầu tiên, ta xét hàm số y f x xác định, liên tục tập D □ Khảo sát biến thiên hàm a,b D y f x  , từ tìm đoạn cho hàm y f  đồng biến (hoặc nghich biến) Từ x ta có toán  "Chứng minh rằng, Trương Thị Hà K34A-Toán f x  f  a  (hoặc  60 f x  f  a  …)."   "Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) biểu thức f  x  a,b " đoạn Ví dụ 3.3 Xét hàm số f x x2 x 1 xác định, liên tục đồng   biến miền 2,   Vì vậy, ta có Đặt f xx2 x 1 7,x a b x   2,a,b □ b a Trương Thị Hà K34A-Toán 61  , ta có 2 a b  a b f       b a b  a   2 b a b    3    a a b a  b a b a b Vì vậy, ta có tốn "Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 4 3 a b a b ab  2 4a b 5 , với số thực dương a b " Ví dụ 3.4 Xét hàm số f t    xác định, liên tục nghịch biến ln t t e,  Với theo tính chất hàm nghịch biến ta có a b e f  a  ln a f  b  a b ln b  b ln a a ln b b ln a ln b b a a a b Vì vậy, ta có toán "Chứng minh rằng, b a  với số thực dương a b cho a b a e " b KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số kiến thức hàm đơn điệu ứng dụng tốn học Cụ thể, khóa luận đã: Đưa khái niệm hàm đơn điệu chứng minh định lý tính chất hàm đơn điệu Nghiên cứu vận dụng hàm đơn điệu vào giải tập dãy số, giải phương trình, hệ phương trình, tốn tìm GTLN, GTNN, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức ứng dụng vào giải phương trình hàm Đưa phương pháp sáng tạo số toán dựa vào tính đơn điệu hàm số phương pháp nêu chương Khóa luận đưa cách giải toán dãy số dựa vào hàm đơn điệu với hàm tương đương hàm giảm mà [9] nêu cách giải với hàm tương đương hàm tăng Đồng thời, khóa luận đưa phương pháp sáng tạo số toán dựa vào phương pháp giải toán nêu chương mà [10] chưa đề cập đến Do thời gian có hạn vấn đề thân tôi, nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong q thầy, bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thiện khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các Bài giảng luyện thi mơn tốn tập ba, Nxb Giáo dục [2] Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2009), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học-cao đẳng tồn quốc mơn tốn, Nxb Hà Nội [3] Trịnh Bằng Giang, Nguyễn Ngọc Anh (1995), 630 Bài tốn Đại sốGiải tích 11, Nxb Trẻ TP.HCM [4] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập I, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo (1997), Phân loại phương pháp giải tốn Giải tích 12 luyện thi vào trường đại học, Nxb Trẻ [6] W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK, Đoàn Chi (biên dịch) (2003), Bài tập Giải tích số thực Dãy số Chuỗi số, Nxb Đại học Sư phạm [7] Phan Huy Khải (1997), 10000 Bài toán sơ cấp phần dãy số, Nxb Giáo dục [8] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2005), Giáo trình giải tích tập 1, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [9] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Giới hạn dãy số hàm số, Nxb Giáo dục [10] Mai Thảo Nguyên (2004), Vận dụng tính đơn điệu hàm số vào giải tốn, Khóa luận tốt nghiệp Đại học [11] Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài toán hàm số qua kỳ thi Olimpic, Nxb Giáo dục [12] Võ Thanh Văn (chủ biên), TS Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang (2009), Chuyên đề ứng dụng Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit giải tốn THPT, Nxb Đại học Sư phạm Tài liệu mạng [13] http://tailieu.vn/xtôi-tai-lieu/sang-tao-bat-dang-thuc.1171066.html [14] http://tailieu.vn/xtôi-tai-lieu/co-so-ly-thuyet-va-mot-so-bai-toan-veday-so.171960.html [15] http://ttngoctrinh.wordpress.com/toan-2/daiso12/c1b1_hamsodondieu/ [16] http://thuviendientu.org/giao-duc-pho-thong/toan-thpt/ung-dung-daoham-trong-viec-giai-phuong-trinh.html [17] http://www.mathvn.com/2012/01/toan-bo-e-thi-ai-hoc-cao-ang-co-apcua.html ... gồm: Chương Hàm đơn điệu Chương này, trình bày khái niệm hàm số, khái niệm hàm số đơn điệu tính chất hàm đơn điệu Chương Ứng dụng hàm đơn điệu Chương này, nghiên cứu ứng dụng hàm đơn điệu để giải... hàm đơn điệu Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 14 2.1 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải toán dãy số 14 2.1.1 Phương pháp 14 2.1.2 Ví dụ minh họa 14 2.1.3 Bài tập vận dụng. .. xD xA xx xD □ Chương Ứng dụng hàm đơn điệu 2.1 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải toán dãy số 2.1.1 Phương pháp Nội dung phương pháp chủ yếu dựa vào khẳng định "Mọi dãy đơn điệu bị chặn dãy hội tụ"