Một số dạng bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu và áp dụng trong lượng giác

Một số dạng bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu và áp dụng trong lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 2 1 Hàm đơn điệu theo bậc và các tính chất 4 1.1 Hàm đơn điệu bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm đơn điệu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Hàm đơn điệu bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm đơn điệu liên tiếp 25 2.1 Hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Một số lớp hàm đơn điệu tuần hồn và đơn điệu tuyệt đối . 31 3 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu theo bậc trong lượng giác 35 3.1 Một số dạng bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi hàm cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Nhận dạng một số dạng tam giác đặc biệt . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trong chương trình tốn học bậc trung học phổ thơng học sinh được học khái niệm hàm số và quan tâm đến các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn điệu, tính đồng biến nghịch biến, tính liên tục và gián đoạn, tính lồi, lõm, tính tuần hồn, tính chẵn, lẻ,. . . Đối với lớp hàm nói trên người ta tìm cách xây dựng các bất đẳng thức tương ứng và được gọi là các bất đẳng thức hàm. Ví dụ như bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức hàm của lớp hàm lồi và hàm lõm. Đây là các bài tốn hay và thường rất khó, mang tính khái qt cao, bao hàm nhiều mảng kiến thức sâu và rộng về tốn sơ cấp và cao cấp. Phần lớn học sinh bậc phổ thơng chỉ mới làm quen với các định nghĩa, các tính chất đơn giản của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, bất phương trình và tính lồi lõm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mà chưa được nghiên cứu sâu về các bất đẳng thức có liên quan đến các vấn đề trên. Có thể nói, nghiên cứu về hàm đơn điệu là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học. Các vấn đề liên quan đến hàm đơn điệu khơng ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết của được ứng dụng trong việc giải các bài tốn lượng giác. Trong luận văn này, tác giả được thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ khảo sát một số dạng bất đẳng thức hàm cho các lớn hàm đồng biện, hà nghịch biến, hàm lồi, hàm lõm và mở rộng cho các lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1 -2, hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2 - 3 và các hàm đơn điệu bậc cao, khảo sát ứng dụng của hàm đơn điệu trong giải các bài tốn lượng giác. Nội dung của luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Chương này trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết về hàm đơn điệu theo bậc làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Hàm đơn điệu bậc nhất là các hàm đơn điệu thường, hàm đơn điệu 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ bậc hai chính là hàm lồi hay hàm lõm. Hàm đơn điệu bậc n là hàm số có đạo hàm cấp n là hàm đơn điệu. Tìm hiểu các khái niệm định nghĩa, các tính chất đặc trưng cơ bản và các định lí quan trọng thường dùng liên quan đến các hàm này. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt như tính liên tục, tính khả vi. Chương 2: Trong chương này, ta quan tâm đếp lớp con của lớp hàm đơn điệu đó là lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1-2 và lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2-3. Ta sẽ tìm hiểu tổng qt định nghĩa, tính chất và các định lý liên quan. Phần cuối chương trình bày về một số lớp hàm đơn điệu tuần hồn và đơn điệu tuyệt đối. Chương 3: Nội dung trong chương ba, ta xét một số bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi các hàm sin và cos mà dấu đẳng thức khơng xảy ra trong tập các tam giác thường. Cuối cùng là một số ứng dụng của hàm đơn điệu trong lượng giác để nhận dạng một số dạng tam giác đặt biệt. Thái Ngun, ngày 10 tháng 5 năm 2013 Người thực hiện Nguyễn Thị Thu Hà 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Hàm đơn điệu theo bậc và các tính chất Trong chương này, chúng tơi trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết về hàm đơn điệu theo bậc làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Hàm đơn điệu bậc nhất là các hàm đơn điệu, hàm đơn điệu bậc hai chính là hàm lồi hay hàm lõm. Hàm đơn điệu bậc n là hàm có đạo hàm cấp n là hàm đơn điệu. Ta sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa, tính chất đặc trưng cơ bản và các định lí quan trọng thường dùng liên quan đến các hàm này. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt như tính liên tục, tính khả vi. 1.1 Hàm đơn điệu bậc nhất Trong luận văn này, ta sử dụng kí hiệu I(a, b) ⊂ R nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp (a, b), [a, b), (a, b] hoặc [a, b] với a < b. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập I(a, b) ⊂ R. Định nghĩa 1.1 ([4],[5]). Với mọi x 1 , x 2 ∈ I(a, b), x 1 < x 2 , ta đều có f(x 1 ) ≤ f(x 2 ), thì ta nói rằng f(x) là một hàm đơn điệu tăng trên I(a, b). Định nghĩa 1.2 ([4],[5]). Với mọi cặp x 1 , x 2 ∈ I(a, b), ta đều có f(x 1 ) < f(x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 , thì ta nói rằng f(x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b). 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.3 ([4],[5]). Với mọi cặp x 1 , x 2 ∈ I(a, b), x 1 < x 2 , ta đều có f(x 1 ) ≥ f (x 2 ), thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a, b). Định nghĩa 1.4 ([4],[6]). Với mọi cặp x 1 , x 2 ∈ I(a, b), ta đều có f(x 1 ) > f(x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 , thì ta nói rằng f(x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b). Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồng biến trên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhận biết khi nào thì một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm đơn điệu trên khoảng đó. Định lý 1.1 ([4],[5]). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b). (i) Nếu f  (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó. (ii) Nếu f  (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Chứng minh. Theo định lí Lagrange thì f(x 2 ) − f(x 1 ) = f  (c)(x 2 − x 1 ). Nếu f  (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) suy ra f  (c) > 0. Do (x 2 − x 1 ) > 0 suy ra f(x 2 ) > f(x 1 ), nên f (x) đồng biến trên I(a, b). Chứng minh tương tự, nếu f  (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên I(a, b). Các định lí sau đây cho ta một số đặc trưng đơn giản khác của hàm đơn điệu. Một vài đặc trưng quan trọng khác của lớp hàm vừa có tính chất lồi hoặc có tính lõm sẽ được đề cập đến ở chương sau. Định lý 1.2 ([4],[5]). Hàm f(x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a , . . . , a n và x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k ) ≤  n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . (1.1) 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh. Khi f(x) đơn điệu tăng trên R thì hiển nhiên ta có f(x j ) ≤ f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, . . . , n. Suy ra a j f(x j ) ≤ a j f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, . . . , n. (1.2) Lấy tổng theo j (j = 1, 2, . . . , n), từ (1.2), ta thu được (1.1). Ngược lại, với n = 2, từ (1.1), ta có f(x) + f(h) ≤ (1 + )f(x + h), ∀, h > 0. (1.3) Khi  → 0, ta thu được f(x + h) ≥ f (x), hay f(x) là một hàm đồng biến. Định lý 1.3 ([4],[5]). Để bất đẳng thức n  k=1 f(x k ) ≤ f  n  k=1 x k  , (1.4) được thỏa mãn với bộ số dương x 1 , x 2 , . . . , x n , điều kiện đủ là hàm g(x) := f(x) x đơn điệu tăng trên R + . Chứng minh. Nhận xét rằng, ta có hàm số f(x) = xg(x) và (1.4) sẽ có dạng (1.1) với a j = x j (j = 1, 2, . . . , n) : n  k=1 x k g(x k ) ≤  n  k=1 x k  g  n  k=1 x k  (1.5) Bất đẳng thức này ln đúng vì x j > 0, j = 1, 2, . . . , n và g(x) là một hàm đơn điệu tăng trên R + . Hệ quả 1.1. Giả sử g(x) = f(x) x là hàm đơn điệu tăng trong [0, +∞]. Khi đó với mọi dãy số dương và giảm x 1 > x 2 , > . . . > x n , ta đều có f(x 1 − x n ) ≥ n−1  k=1 f(x k − x k+1 ). 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh. Ta có x 1 −x 2 > 0, x 2 −x 3 > 0, . . . , x n−1 −x n > 0. Theo Định lí 1.3, ta có f(x 1 − x 2 ) + f(x 2 − x 3 ) + ··· + f(x n−1 − x n ) ≤ f(x 1 − x 2 + x 2 − x 3 + ··· + x n−1 − x n ), ⇒ f(x 1 − x 2 ) + f(x 2 − x 3 ) + ··· + f(x n−1 − x n ) ≤ f(x 1 − x n ). Nhận xét rằng, (1.5) khơng là điều kiện cần để g(x) là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g(x) có tính chất 0 < g(x) ∈ C(R + ), ∀x ∈ R + và max g(x) ≤ 2 min g(x), ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1.5) được thỏa mãn. Chẳng hạn, ta thấy số g(x) = 3 + sin x, x ∈ R + , thỏa mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1.5). Tuy nhiên, hàm g(x) khơng là hàm đơn điệu tăng trên R + . Định lý 1.4 ([4],[6]). Hàm f(x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , . . . , a n và x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k ) ≥  n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . Định lý 1.5 ([4],[5]). Để bất đẳng thức n  k=1 f(x k ) ≥ f  n  k=1 x k  , được thỏa mãn với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , . . . , x n , điều kiện đủ là hàm g(x) := f(x) x đơn điệu giảm trên R + . Nhận xét rằng, trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính f(x) = ax đóng vai trò đặc biết quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết và tính đồng biến (khi a > 0) và nghịch biến (khi a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước. Định lí sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.6 ([4],[5]). Giả thiết rằng, với mọi cặp bố số dương a 1 , a 2 , . . . , a n ; x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k ) ≥ f  n  k=1 a k x k  (1.6) thì f(x) = ax, trong đó a là hằng số. Chứng minh. Lấy n = 2 và chọn x 1 = x, x 2 = y; a 1 = y 2x , a 2 = 1 2 , từ (1.6), ta thu được f(x) x ≤ f(y) y , ∀x, y ∈ R + . Suy ra g(x) := f(x) x là một hàm hằng trên R + . Tiếp theo, ta nêu một số tính chất của hàm đơn điệu để ước lượng một số tổng và tích phân. Định lý 1.7 ([4],[6]). Giả thiết rằng f(x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞) và {a k } là một dãy tăng trong (0, +∞). Khi đó, ta ln có n  k=1 (a k − a k−1 )f(a k ) ≤ a n  a 0 f(x)dx ≤ n  k=1 (a k − a k−1 )f(a k−1 ). (1.7) Khi f(x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự. Chứng minh. Thật vây, theo giả thiết f (x) là một hàm đơn điệu giảm nên ta ln có (a k − a k−1 )f(a k ) ≤ a k  a k−1 f(x)dx ≤ (a k − a k−1 )f(a k−1 ). Lấy tổng theo k, ta thu được (1.7), chính là điều phải chứng minh. Định lý 1.8 (Maclaurin, Cauchy, [4],[5]). Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞). Khi đó, ta ln có n  k=1 f(k) ≤ n  0 f(x)dx ≤ n−1  k=0 f(k). (1.8) 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi f(x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự. Chứng minh. Thật vây, theo giả thiết f (x) là một hàm đơn điệu giảm nên ta ln có f(k + 1) ≤ k+1  k f(x)dx ≤ f(k), k = 0, 1, . . . Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh. Định lý 1.9 ([4],[6]). Giả thiết rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0, +∞) và f(0) = 0. Gọi g(x) là hàm ngược của f(x). Khi đó, ta ln có ab ≤ a  0 f(x)dx + b  0 g(x)dx, ∀a, b ≥ 0. Chứng minh. Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diện tích tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g(x) với diện tích hình chữ nhật tạo bởi x = 0, x = a; y = 0, y = b. Hệ quả 1.2. Giả thiết rằng f(x) là một hàm đồng biến trên (0, +∞) và f(0) = 0. Gọi g(x) là hàm ngược của f(x). Khi đó, ta ln có ab ≤ af(a) + bg(b), ∀a, b ≥ 0. Định lý 1.10 ([4],[6]). Cho hàm số y = f(x) liên tục, khơng âm và đơn điệu tăng trên [α, β) với 0 ≤ α < β. Khi đó ∀a ∈ [α, β); ∀b ∈ [f(α), f(β)) ta có a  α f(x)dx + b  f(α) f −1 (x)dx ≥ ab − αf(α). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b. Chứng minh. Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = α, x = a, y = 0, y = f (x) thì S 1 = a  α f(x)dx. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... khơng xảy ra trong tập các tam giác thường Cuối cùng là nhận dạng một số dạng tam giác đặt biệt 3.1 Một số dạng bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác Trong mục này, đầu tiên ta xét một số bất đẳng thức cơ bản dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi hàm cos mà dấu đẳng thức khơng thể xảy xa trong tập các tam giác thường Sau đó áp dụng phương pháp đó để chứng minh các bất đẳng thức dạng tương... đến lớp hàm đơn điệu liên tiếp Trong chương hai, ta quan tâm đếp lớp con của lớp hàm đơn điệu đó là lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1-2 và lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2-3 Ta sẽ tìm hiểu tổng qt định nghĩa, tính chất và các định lý liên quan Phần cuối chương xét một số lớp hàm đơn điệu tuần hồn và hàm đơn điệu tuyệt đối 2.1 Hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1-2 Trong mục này, ta đặc biệt quan tâm đến dạng bất. .. = 0 2.3 Một số lớp hàm đơn điệu tuần hồn và đơn điệu tuyệt đối Song song với lớp hàm đơn điệu thơng thường, nhiều lớp hàm đơn điệu khác cũng được nhiều người nghiên cứu các đặc trưng của chúng như đơn điệu đầy đủ 1 , đơn điệu có tính tuần hồn 2 , đơn điệu tuyệt đối, Định nghĩa 2.5 ([4],[6]) Hàm số f (x) được gọi là hàm đơn điệu có tính tuần hồn trong khoảng (a, b) khi và chỉ khi các đạo hàm của chúng... tiếp từ bất đẳng thức Chebychev đối với tích phân xác định sau đây 1 1 g(t)tk eλtx dt 0 1 g(t)t2+k eλtx dt ≥ 0 1 g(t)tk+1 eλtx dt 0 0 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu g(t)tk+1 eλtx dt http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu theo bậc trong lượng giác Trong chương này, ta xét một số bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi các hàm sin và cos mà dấu đẳng thức khơng... cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên (a, b) là f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) (ii) Điều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lõm trên (a, b) là f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) Tuy nhiên, trong ứng dụng, ta nhận thấy, có thể coi hàm lồi (lõm) như là lớp hàm đơng biến (nghịch biến) bậc hai, vì ứng với nó, đạo hàm bậc nhất (trong lớp hàm lồi khả vi) là một hàm đơn điệu tăng (giảm) Định nghĩa 1.6 Hàm f (x) có đạo hàm cấp hai và. .. , n 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 Hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2-3 Tiếp theo, trong mục này, ta xét lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2-3 và một số tính chất cơ bản của chúng Đó là lớp hàm đồng thời có đạo hàm bậc hai và bậc ba khơng đổi dấu trên I(a, b) Định nghĩa 2.3 ([5]) Nếu hàm đồng thời có đạo hàm bậc hai và bậc ba dương trong khoảng đang xét thì ta nói hàm số đó đồng... hồn π trong khoảng 0, 2 Ví dụ 2.2 Hàm số f (x) = cos x là hàm số đơn điệu có tính tuần hồn π trong khoảng ,π 2 Ví dụ 2.3 Cho hàm số g(x) liên tục và dương trên đoạn [0, +∞) thì hàm số 1 g(t)e−λtx dt, f (x) = λ>0 0 là hàm số đơn điệu có tính tuần hồn trong khoảng (0, +∞) Bài tốn 2.1 Cho hàm số g(x) liên tục và dương tren đoạn [0, 1] và hàm số 1 g(t)e−tx dt f (x) = 0 Chứng minh rằng f (k) x+y 2 ≥ 2k... xét, khi hàm f (x) lồi trên I(a, b) thì đạo hàm bậc nhất của nó là một hàm đơn điệu tăng Do vậy, ta có thể phát biểu tính chất biểu diễn hàm lồi như sau Định lý 1.18 ([4],[6]) Hàm số f (x) lồi trên I(a, b) khi và chỉ khi tồn tại hàm g(x) đơn điệu tăng trong I(a, b) và số c ∈ (a, b), sao cho x f (x) = f (c) + g(t)dt c 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Bất đẳng thức liên... các hệ số đều dương là hàm đơn điệu tăng tuyệt đối trong khoảng (0, +∞) Thật vậy, dãy các đa thức P (k) (x) có các hệ số đều khơng âm nên P (k) (x) ≥ 0, ∀x > 0, k = 0, 1, Ví dụ 2.5 Hàm số f (x) = ex là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, +∞) Ví dụ 2.6 Với mọi hàm số g(x) liên tục và dương trên [0, 1], hàm số 1 g(t)etx dt f (x) = 0 đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, 1) Ví dụ 2.7 Hàm số x−1... là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng (1, +∞) f (x) = Nhận xét 2.2 Nếu hàm số f (x) là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (a, b) thì hàm số g(x) := −f (x) sẽ là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng đó và ngược lại Vì vậy, khơng mất tính tổng qt, ta chỉ trình bày các bài tốn liên quan đến hàm đơn điệu tăng và đồng biến tuyệt đối trong khoảng đã cho Bài tốn 2.2 Chứng minh rằng với mọi hàm số . một số dạng bất đẳng thức hàm cho các lớn hàm đồng biện, hà nghịch biến, hàm lồi, hàm lõm và mở rộng cho các lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1 -2, hàm đơn điệu liên tiếp bậc 2 - 3 và các hàm đơn. - - - - Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn. dựng các bất đẳng thức tương ứng và được gọi là các bất đẳng thức hàm. Ví dụ như bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức hàm của lớp hàm lồi và hàm lõm. Đây là các bài tốn hay và thường rất khó,