SKKN Một số dạng toán trong hệ tọa độ Oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN hoctoancapba.com Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tâm Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011 – 2012  Hiện vật khác Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian Tên đề tài SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Hồng Tâm Ngày tháng năm sinh: 17/05/1985 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: B7/c, tổ 9, khu phố 4, phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai Điện thoại: 0613 834289 Fax: / 0985 072 513 E-mail: hongtam@nhc.edu.vn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2006 - Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy mơn tốn THPT Số năm có kinh nghiệm: 06 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: khơng có Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Mục tiêu dạy học mơn tốn nói chung, Hình học nói riêng, khơng địi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt tri thức mà phải giúp cho học sinh rèn luyện kỹ cần thiết phát triển tư - Theo phân phối chương trình mơn tốn THPT, lớp 12 có 1,5 tiết hình học tuần.Với thời lượng hạn chế vậy, giáo viên học sinh gặp nhiều khó khăn việc dạy học mơn Hình học, đặc biệt phần Phương pháp toạ độ không gian lớp 12 Do đó, việc hệ thống lý thuyết, phân dạng đưa phương pháp giải cho toán chương theo Chuẩn kiến thức kỹ thực cần thiết, giúp cho giáo viên học sinh có tài liệu phục vụ cho việc dạy học đạt kết cao Thiết nghĩ, tiết học, với tài liệu học tập này, giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ giải toán, kỹ suy luận cho học sinh, thơng qua giúp em khắc sâu kiến thức trọng tâm học, có hệ thống tập phù hợp với khả để luyện tập thường xuyên - Trong trình dạy học, tơi ln cố gắng tìm tịi ví dụ điển hình, tổng hợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tơi viết chun đề “Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian” II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Các kiến thức phương pháp tọa độ không gian tổng hợp từ hai sách giáo khoa sách tập Hình học 12 (Ban Ban khoa học tự nhiên) Bộ giáo dục ban hành - Các kỹ giải tốn Hình học tọa độ mức độ trung bình Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Giáo viên cần chuẩn bị tốt yêu cầu sau: - Nghiên cứu thật kỹ Chuẩn kiến thức kỹ để xác định kiến thức chuẩn cần phải dạy cho học sinh - Cần nghiên cứu thêm đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây, hình học tọa độ không gian chiếm 1/5 tổng số điểm (2 điểm) Câu hỏi đề thi cho theo chuẩn kiến thức (kiến thức bản) Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian - Nội dung chuyên đề đảm bảo kiến thức, kỹ trọng tâm chương Phương pháp tọa độ không gian, cụ thể gồm nội dung sau: 1) Hệ trục toạ độ khơng gian - Các phép tốn tọa độ vectơ toạ độ điểm: tổng, hiệu hai vectơ, tích số với vectơ, tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ - Khoảng cách hai điểm, độ dài đoạn thẳng - Góc hai vectơ 2) Phương trình mặt phẳng - Vectơ pháp tuyến mặt phẳng - Phương trình tổng quát mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Góc hai mặt phẳng 3) Phương trình đường thẳng - Vectơ phương đường thẳng - Phương trình tham số phương trình tắc (nếu có) đường thẳng - Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng - Góc hai đường thẳng 4) Phương trình mặt cầu - Phương trình mặt cầu - Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu - Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Decartes vng góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz) Hệ gồm ba trục x ' Ox, y 'Oy , z 'Oz vng góc với đơi O rr r với vectơ đơn vị trục i, j , k • O: gốc tọa độ • x ' Ox : trục hồnh • y ' Oy : trục tung • z ' Oz : trục cao Tọa độ vectơ không gian r r r r r 2.1 Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y j + z.k Với định nghĩa trên, ta có: r r i = ( 1;0;0 ) = (0;0;0) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0;0;1) 2.2 Các công thức tọa độ vectơ không gian r r Cho a = ( x1; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) số thực k r r a) a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) r b) ka = ( kx1; ky1; kz1 )  x = x2 r r  c) a = b ⇔  y1 = y2 z = z   x1 = tx2 r r r r r r  d) a phương b ( b ≠ ) ⇔ ∃t ∈ ¡ : a = tb ⇔ ∃t ∈ ¡ :  y1 = ty2  z = tz  ⇔ x1 y1 z1 = = (với điều kiện: x2 y2 z2 ≠ ) x2 y2 z2 e) Tích vơ hướng hai vectơ: rr r r rr Định nghĩa: a.b = a b cos a, b ( ) rr Biểu thức tọa độ: a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Hệ quả: Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian r a = x12 + y12 + z12 rr cos a, b = ( ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z ( rr r a, b ≠ ) r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = f) Tích có hướng hai vectơ rr Định nghĩa: Tích có hướng hai vectơ a, b vectơ có tọa độ xác định sau: rr r r x  a, b  = a ∧ b =     y2 x3 x3 ; y3 y3 x1 x1 ; y1 y1 x2  ÷ y2  Tính chất: rr r rr r  a, b  ⊥ a  a, b  ⊥ b     rr rr  a, b  = − b, a      rr rr rr  a, b  = a b sin a, b   rr r r r ⇔  a, b  = a b phương   ( ) rr r rrr ⇔  a, b  c = a, b, c đồng phẳng   Ứng dụng: r r uuu uuu  AB, AC   2 uuu uuu uuur r r VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' Thể tích khối hộp:   Diện tích tam giác: S∆ABC = Thể tích khối tứ diện: VABCD = uuu uuu uuu r r r  AB, AC  AD   Tọa độ điểm không gian uuuu r 3.1 Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 ) Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) 3.2 Các công thức tọa độ điểm không gian Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) uuu r AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2  x + xB y A + y B z A + z B  ; ; Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A ÷ 2   Tọa độ trọng tam G tam giác ABC:  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  G A ; ; ÷ 3   CÁC VÍ DỤ r r r r Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho vectơ a = ( −1;2; −5 ) , b = 2i − j r a) Tìm tọa độ b hoctoancapba.com r uu r r b) Tìm tọa độ u = 3a − 4b r r r r c) Tìm tọa độ v thỏa 3v − 2a = b Giải: r a) Từ định nghĩa tọa độ vectơ suy b = ( 2; −3;0 ) r b) Gọi u = ( x; y; z ) r r r u = a − 4b  x = 3.(−1) − 4.2 = −11  ⇔  y = 3.2 − 4.(−3) = 18  z = 3.(−5) − 4.0 = −15  r Vậy u = ( −11;18; −15 ) r r r r 2r 1r c) 3v − 2a = b ⇔ v = a + b 3 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian r  10  ⇒ v =  0; ; − ÷  3 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm S ( −2;1; −1) tam giác ABC với A ( 1;1;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 6;5;2 ) a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy cho A, B, E thẳng hàng c) Chứng minh SABC tứ diện d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S tứ diện SABC Giải: a) Gọi D ( d1; d ; d3 ) Vì điểm A, B, C không thẳng hàng nên điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành là: uuu uur r u CD = BA d1 − = − d1 =   ⇔ d − = − ⇔ d = d − = − d = −1   Vậy D ( 5;3; −1) c) E ∈ ( Oxy ) ⇒ E ( e1; e2 ;0 ) uuu r AB = ( 1;2;3) uuu r AE = ( e1 − 1; e2 − 1; −1) uuu uuu r r A, B, E thẳng ⇔ AE , AB phương ⇔ e1 − e2 − −1 = =  e1 =  ⇔ e =   2  Vậy E  ; ;0 ÷ 3  b) SABC tứ diện S, A, B, C không đồng phẳng uu r Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian SA = ( 3;0;2 ) uur SB = ( 4;2;5 ) uuu r SC = ( 8;4;3) uu uur r Ta có:  SA, SB  = ( −4; −7;6 )   uu uur uuu r r  SA, SB  SC = −32 − 28 + 18 = −42 ≠ ⇒  uu uur uuu r r ⇒ SA, SB, SC không đồng phẳng, suy điều phải chứng minh 3V S ABC c) Gọi h chiều cao tứ diện S.ABC kẻ từ đỉnh S Ta có: h = S ∆ABC VS ABC = uu uur uuu r r  SA, SB  SC =   S ∆ABC = uuu uuu r r  AB, AC  = 83   Suy h = 21 83 83 BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; −2;4 ) , B ( −3;2;0 ) , C ( 3; −1;0 ) uuu uur uuu uur uuu uuu r u r u r r a) Tìm tọa độ véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB r uuu r r uuu uuu r r b) Tìm tọa độ u = AB ; v = AB + AC ; điểm E thỏa uuu r uuu r uuu r uuu r EA = 2.EC − 3.BE + AB c) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác ABC d) Tính góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ trung điểm I AB Tính độ dài đường trung tuyến CI tam giác ABC f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông C Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;2;1) , B ( 5;3;4 ) , C ( 8; −3;2 ) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Tính diện tích tam giác ABC Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian c) Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d) Xác định toạ độ chân đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tính diện tích tam giác ABC độ dài đường cao hạ từ A tam giác ABC c) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD d) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD e) Xác định toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D thuộc trục Oy ba đỉnh A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) Biết tứ diện tích đơn vị thể tích Tìm toạ độ đỉnh D Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' với A ( 2;0;2 ) , B ( 4;2;4 ) , C ( 2; −2;2 ) , D ' ( 8;10; −10 ) Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r - Vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) giá r n vng góc với ( α ) rr r - Nếu hai vec tơ a, b khác , không phương có giá song song nằm mặt phẳng ( α ) ta chọn vectơ pháp tuyến mặt phẳng r rr ( α ) n =  a, b    Phương trình tổng quát mặt phẳng - Phương trình tổng qt mặt phẳng phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = , với A2 + B + C ≠ 10 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ khơng gian Bài 7:Tìm tập hợp điểm M không gian cách ba điểm A(1; 1; 1), B(– 1; 2; 0) C(2; –3; 2) Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) đường x = −3 + 2t  thẳng d: y = − t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt z = −1 + 4t  vng góc với đường thẳng d Dạng –Vị trí tương đối x = + t  x −3 y −1 x −1 = = Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = + 2t ∆1 : −7 z = − t  a) Chứng minh ∆1 ∆2 chéo b) Tính khoảng cách ∆1 ∆2 Giải ur a) Đường thẳng ∆1 qua điểm M ( 7;3;9 ) có VTCP u = ( 1;2; −1) ur u Đường thẳng ∆2 qua điểm M ( 3;1;1) có VTCP u = ( −7;2;3 ) ur ur u u ,u  = ( 8;4;16 )   uuuuuur M 1M = ( −4; −2; −8 ) ur ur uuuuuur u ⇒ u ,u  M 1M = −168  ur ur uuuuuur u  Suy vectơ u ,u ,M 1M không đồng phẳng Do đó, ∆1 ∆2 chéo r r uuuuuur a ,b  M 1M 168   = = 21 rr b) d ( ∆1 ,∆2 ) = 21 a ,b    BÀI TẬP Bài 1:Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: x = + t  x = + 2t '   d:  y = + t d′: y = −1 + 2t '   z = − t  z = − 2t ' 22 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian x = − t  x =1+ t'   d: y = + 2t d′:  y = 3- 2t'  z = 3t  z =1  d: x = − t  y = + t   z = − 2t d′:  x = − 3t '   y = + 3t '   z = − 6t ' Bài 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + = đường thẳng dm giao tuyến mặt phẳng (α), (β) với: (α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – = (β): mx + (2m+1)z + 4m + = Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 3:Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: x +1 y −1 z − x y −1 z + = = = d1: d2: = −2 1 a) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 4:Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: x = + t x = + 2t '   d1: y = − t d2: y = −3 − t ' z = − t z = − t '   a) Chứng minh d1 d2 song song với b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 5:Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình: x y −1 z + x + = y −1 = z − = d1: d2: = −2 1 c) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm giao điểm chúng d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 d2 Bài 6:Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = hai đường thẳng d1, d2: x = y − = z +1 x − = y = z−3 d1: d2: −1 1 a) Chứng minh d1 d2 chéo 23 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ khơng gian b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt d1 d2 Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:  x = −1  x −1 = y + = z d1: d2: y = −1 + t 1  z = t Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với d1 cắt d2 Dạng 3: Khoảng cách góc Bài tốn 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương a qua điểm A Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta sử dụng hai cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ∆ d( M ; ∆ ) = MH Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng uuuu r r  A M ,a    d ( M ;∆ ) = r a Bài toán 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Phương pháp: Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) Ta có: d ( ∆;( P )) = d ( M ;( P )) Trong M điểm đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆) Bài tốn 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 r ∆1 qua M1 có vectơ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 ) r ∆2 qua M2 có vectơ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 ) 24 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ khơng gian Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 song song ∆2 - Lấy điểm A tuỳ ý ∆2 - Ta có: d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( A; ( α ) ) Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo r r r uuuuuu a , b  M 1M   d ( ∆1 ; ∆2 ) = r r a , b    BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; −1;1) đến đường thẳng ∆: x − y z −1 = =  x = −1 + t  b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ :  y = − 2t z = 2t  Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −3; −2;6 ) ,B ( −2;4;4 ) Hãy tính độ dài đường cao OH tam giác OAB Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x = −1 + 3t  d :  y = + 2t z =  a) Chứng minh d ,d chéo b) Tính khoảng cách hai đường thẳng d ,d 25 x +1 y −1 z + = = −3 −2 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d : x − y −7 z + = = −3 −2 a) Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) b) Tính khoảng cách d ( P ) Bài 5: Chứng minh hai đường thẳng sau chéo tính khoảng cách chúng x − y +1 z − x y−2 z ∆1 : ∆2 : = = = = −6 −2 x = + 2t x = − 5t '   Bài 6: Tìm góc tạo cặp đường thẳng ∆1 :  y = 3t ∆ :  y = + t ' z = −2 + t z =   x + y −1 z − = = Bài 7: Tìm góc tạo đường thẳng ∆ : mặt phẳng −2 ( α ) : x + y – z + = Bài : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x −3 y +2 z +1 = = mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = 2 a) Tìm giao điểm M d (P) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa mặt phẳng (P) cho ∆ d: vng góc với d khoảng cách từ M đến ∆ 42 Dạng 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 có vectơ phương ur ur u u = ( a1 ;b1 ;c ) u = ( a2 ;b2 ;c ) Để viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2, ta sử dụng cách sau: Cách 1: - Chuyển phương trình ∆1 ∆2 dạng tham số 26 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian  x = x + a1t x = x + a2t   ∆1 :  y = y + b1t ∆2 :  y = y + b2t z = z + c t z = z + c t 1 2   - Trên ∆1 lấy điểm M ( x1 + a1t1 ; y1 + b1t1 ; z1 + c1t1 ) - Trên ∆2 lấy điểm N ( x2 + a2t2 ; y2 + b2t2 ; z2 + c2t2 ) - MN đường vuông góc chung ∆1 ∆2 thoả mãn uuuu u r r  MN u1 =  MN ⊥ ∆1  ⇔  uuuu ur r u   MN ⊥ ∆  MN u2 =  Giải hệ phương trình ta tìm t1 ,t2 , từ tìm toạ độ M N - Viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2 qua M N Cách 2: - Đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2 có vectơ phương r u ur r u u1 ,u2  u=  - Chọn điểm A thuộc ∆1 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ ∆1 r ru r u,u1  ) ( ( α ) qua A có vectơ pháp tuyến n =   - Xác định toạ độ điểm M giao điểm ( α ) ∆2 - Viết phương trình đường vng góc chung ∆ ∆1 ∆2 qua M nhận r u ur r u u = u1 ,u2  làm vectơ phương   Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo  x = 1+ t x −1 y z d : = = , d :  y = + t Viết phương trình đường vng góc chung −1   z = + 2t  chúng Giải Gọi MN là đường vuông góc chung của d1 và d với M ∈ d1; N ∈ d Khi đó: M = (1 − s; s;4s), Q = (1 + t;2 + t;1 + 2t ) uuuur ⇒ MN = (t + s;2 + t − s;1 + 2t − 4s) uuuu uu r r   PQ.u =  PQ ⊥ d t = − 11 6 + 8t − 18s =    1 ⇔ ⇔ r r Vì  nên  uuuu uuu 4 + 6t − 8s =  PQ.u2 =  PQ ⊥ d2 s =     11 27 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian 10  Qua P(11 ; 11 ; 11)  Đường thẳng PQ :  uuuu r u r VTCP : u = 11 PQ = (−1;3;1)   Vậy phương trình đường vuông góc chung của d1 và d là 10   x = 11 − t    y = + 3t 11    z = 11 + t  BÀI TẬP Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2: x y − z +1 x − = y = z−3 = = d1: d2: 1 −1 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:  x = −1  x −1 y + z = = d2: y = −1 + t d1: 1  z = t a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: x =  x = −7 + 4t '   d1: y = −t d2:  y = + t '  z = + t z = t '  a) Chứng minh d1 d2 chéo đồng thời vng góc với b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng Bài tốn 1: Hình chiếu điểm mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng ( α ) , ta làm sau: - Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với ( α ) - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng ∆ ( α ) ta tìm toạ độ điểm H 28 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ khơng gian Bài tốn 2: Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( α ) , ta làm sau: - Tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng ( α ) - M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( α ) H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Bài tốn 3: Hình chiếu điểm đường thẳng Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng ∆ , ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với ∆ - Ta có H = ∆ ∩ ( α ) Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng ∆ ( α ) ta tìm toạ độ điểm H Bài toan 4: Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ , ta làm sau: - Tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng ∆ - M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ H trung điểm MM’, từ tìm toạ độ M’ Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (P): x + y + z − = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P) c) Tính khoảng cách từ M đến (P) Giải a) Gọi ∆ đường thẳng qua M vng góc với (P) x = + t  ∆:  y = + t z = + t  ⇒ H(–1; 2; 0) b) M′ đối xứng với M qua (P) ⇒H trung điểm MM′ uuuuu r uuuu r ⇔ MM ′ = 2MH ⇔M′(–3;0;–2) A x + By + Cz + D =2 c) d(M, (P)) = + B +C A BÀI TẬP Bài 1: Trong khơng gian Oxyz,có mặt phẳng ( α ) : x + y + 2z − = a)Tìm toạ độ hình chiếu điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng ( α ) 29 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ khơng gian b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( α ) x + y −1 z −6 = = Tìm −3 1 toạ độ hình chiếu vng góc điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng ∆ Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường thẳng ∆ : Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng x −1 y −2 z d: = = Gọi K điểm đối xứng điểm I(2;-1;3) qua đường −1 thẳng d Xác định toạ độ điểm K Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng x − y +1 z −1 ( α ) : x + y + z − = đường thẳng d : = = 3 a)Tìm giao điểm A d ( α ) b)Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d lên ( α ) Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + = 0, ( β): x +y + z + = mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – = Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng ∆' mặt phẳng (P) x = + t  Bài 6: Trong không gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) đường thẳng ∆ :  y = + t z = + 2t  Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Phương trình mặt cầu: a) Phương trình tổng quát mặt cầu có dạng: ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , a ,b ,c ,d thoả điều kiện a + b + c − d > Khi đó, mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ;b ;c ) có bán kính R = a + b + c − d b) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ;b ;c ) bán kính R có phương trình tắc: ( S ) : ( x − a) + ( y −b) + ( z −c) = R 2 2 Vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S): 30 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian  d ( I ; (α ) ) > R ⇔ (α ) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  d ( I ; (α ) ) = R ⇔ (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; (α ) ) < R ⇔ (α ) cắt mặt cầu (S) tạo giao tuyến đường trịn (C) có tâm I’ hình chiếu vng góc I lên ( α ) bán kính r = R − d (với d = d ( I ;( α ) ) ) Vị trí tương đối đường thẳng ∆ mặt cầu (S):  d ( I ; ∆ ) > R ⇔ ∆ mặt cầu (S) khơng có điểm chung  d ( I ; ∆ ) = R ⇔ ∆ tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; ∆ ) < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B thoả AB = R − d (với d = d ( I ; ∆ ) ) Ví dụ 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình: x + y + z + 4x − y + 6z + = Giải 2 x + y + z + 4x − y + 6z + = ⇔ (x + 2)2 + ( y − 1)2 + (z + 3)2 = 32 Vậy mặt cầu cho có tâm I (-2; 1; -3) bán kính R = Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu qua điểm A (5; –2; 1) có tâm C (3; –3; 1) Giải Bán kính R = CA = Phương trình mặt cầu cần tìm: (x − 3)2 + ( y + 3)2 + (z − 1)2 = Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 3)2 + ( y + 2)2 + (z − 1)2 = 100 mặt phẳng (P): 2x − y − z + = a) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) b) Hãy xác định toạ độ tâm bán kính (C) Hướng dẫn: a) d(I, (P)) = < R b) Gọi J tâm đường trịn (C) Ta có: J hình chiếu I (P) ⇒ J(–1; 2; 3) Bán kính đường trịn (C) r = R − d = BÀI TẬP Bài : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 3) = b) x + y + z − x + y − z − = 31 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian c) x + y + z + 3x − y + z − = d) x + y + z − 3x + y + z − = Bài 2: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S ) trường hợp sau: a) Mặt cầu ( S ) có tâm I(3;-3;1) qua B(5;-2;1) b) Mặt cầu ( S ) có có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1) c) Mặt cầu ( S ) có tâm I(3;-2;1) tiếp xúc với mp ( α ) : 4x – 3y – = d) Mặt cầu ( S ) qua điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4) e) Mặt cầu ( S ) qua điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) , D(-2 ;3 ;1) Bài : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) : x + y + z − x − y + z + = M(4 ;3 ;0) Bài : Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) x + y + z − x + y − z + = biết tiếp diện song song với mặt phẳng ( α ) : x - 2y + z +3=0 Bài : Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau đây: a) ( α ) : x + 2y - 2z + = (S) : x + y + z − x + y − z + = b) ( α ) : 2x + 2y + z – = (S) : x + y + z − 12 x + y − z − 24 = Bài : Xét vị trí tương đối mp( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau : 69 2 =0 a) ( α ) : 3x + 4y – =0 (S) : x + y + z − x + y − z + b) ( α ) : x – y + 2z + = (S) : x + y + z − 3z − = Bài 7: Trong không gian Oxyz cho I(2;3; -2) đường thẳng x + 15 y + 13 z − = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho 2 d cắt (S) hai điểm A, B thoả AB = 10 d: 32 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian 33 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Trước áp dụng đề tài vào giảng dạy lớp 12 phân công giảng dạy, nhận thấy học sinh thường lung túng việc tìm cách giải cho tập chương - Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy lớp 12 năm học vừa qua, đa số học sinh nắm vững trọng tâm kiến thức, phương pháp giải dạng tập chương vận dụng kiến thức, phương pháp để giải số vấn đề nâng cao chương trình - Trên 80% số học sinh lớp phân công giảng dạy năm học làm câu Hình học toạ độ đề thi học kỳ II vừa qua đề thi tốt nghiệp năm trước III ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Qua q trình nghiên cứu đề tài này, tơi thấy việc phân loại tập chương Phương pháp toạ độ không gian giúp cho học sinh có nhìn bao qt nội dung chương Từ đó, bước đầu hình thành cho học sinh phương pháp giải tốn hình học khơng gian toạ độ đề thi Do đó, tơi thấy giới thiệu chuyên đề cho đối tượng học sinh lớp 12 q trình ơn tập tốt nghiệp, cao đẳng, đại học IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập Hình học 12 Cơ nâng cao NXB Giáo dục Giải toán phương pháp toạ độ không gian – Tác giả: Trần Đức Huyên – NXB Giáo dục năm 2011 NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên ghi rõ họ tên) Nguyễn Hồng Tâm 34 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nguyễn Hữu Độc lập - Tự - Hạnh phúc Cảnh Biên Hoà, ngày 22 tháng 05 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 – 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Họ tên tác giả: Nguyễn Hồng Tâm Chức vụ: Giáo viên THPT Đơnvị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: Tốn  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính - Có giải pháp hồn tồn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Hồn tồn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng 35 Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) 36 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) ... đối đường thẳng mặt cầu Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Decartes vng góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz) Hệ gồm ba trục x '' Ox,... tốn THPT Số năm có kinh nghiệm: 06 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: khơng có Một số dạng tập chương Phương pháp toạ độ không gian MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG... ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình :  A 1x + B y + C 1z + D = ( ) ( A1 : B1 :C ≠ A : B :C )  A x + B y + C z + D = - Mỗi nghiệm hệ (1) tọa độ điểm nằm ∆ 17 Một số dạng tập chương