d I ;( ∆ > ⇔ ∆) R và mặt cầu (S) không có điểm chung. d I ;( ∆ = ⇔ ∆) R tiếp xúc mặt cầu (S).
d I ;( ∆ < ⇔ ∆) R cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thoả AB=2 R2−d2 . (với d d I ;= ( ∆) )
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:
x2 +y 2 +z2 +4x −2y +6z + =5 0
Giải
x2 +y 2 +z2 +4x −2y +6z + =5 0
x y z
⇔( +2)2 +( −1)2 + +( 3)2 =32
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I (-2; 1; -3) và bán kính R = 3
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A (5; –2; 1) và có tâm C (3; –3; 1). Giải
Bán kính R = CA = 5
Phương trình mặt cầu cần tìm: (x −3) (2+ y +3) (2+ −z 1)2 =5
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x −3) (2+ y +2) ( 1) 1002+ −z 2 =
và mặt phẳng (P): 2x −2y z− + =9 0.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). b) Hãy xác định toạ độ tâm và bán kính của (C).
Hướng dẫn:
a) d(I, (P)) = 6 < R
b) Gọi J là tâm của đường tròn (C)
Ta có: J là hình chiếu của I trên (P) ⇒ J(–1; 2; 3) . Bán kính của đường tròn (C) là r = R2 −d2 = 8.
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a) (x−2)2+ + + −(y 1)2 (z 3)2 =9 b) x2+ + − +y2 z2 2x 6y− − =4z 1 0
c) x2 + y2+ +z2 3x−4y+6z− =2 0 d) 7x2 +7y2 +7z2 −3x+2y+5z− =1 0
Bài 2: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( )S trong mỗi trường
hợp sau:
a) Mặt cầu ( )S có tâm I(3;-3;1) và đi qua B(5;-2;1)
b) Mặt cầu ( )S có có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1)
c) Mặt cầu ( )S có tâm I(3;-2;1) và tiếp xúc với mp (α ) : 4x – 3y – 8 = 0.
d) Mặt cầu ( )S qua 4 điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4)
e) Mặt cầu ( )S qua 4 điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2),
C(1 ;-1 ;2) , D(-2 ;3 ;1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 3 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
(S) : x2 + y2 + −z2 6x−2y+4z+ =5 0 tại M(4 ;3 ;0).
Bài 4 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S)
2 2 2 2 4 6 1 0
x + y + −z x+ y− z+ = biết tiếp diện đó song song với mặt phẳng (α ) : x - 2y + z +3=0.
Bài 5 : Tìm tâm và bán kính của các đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng ( )α
và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây:
a) ( )α : x + 2y - 2z + 1 = 0 và (S) : x2 + y2+ −z2 6x+2y−2z+ =1 0 b) ( )α : 2x + 2y + z – 5 = 0 và (S) : x2 + y2 + −z2 12x+4y−6z−24 0=
Bài 6 : Xét vị trí tương đối của mp(α ) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (α ) : 3x + 4y – 1 =0 và (S) : 2 2 2 69
4 2 6 0
5
x + y + −z x+ y− z+ =
b) (α ) : x – y + 2z + 4 = 0 và (S) : x2 +y2 + −z2 3z− =5 0.
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho I(2;3; -2) và đường thẳng
: 15 13 1
2 1 2
x y z
d + = + = − . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho d cắt (S) tại hai điểm A, B thoả AB = 10.
HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Trước khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy các lớp 12 được phân công giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường lung túng trong việc tìm ra cách giải cho các bài tập trong chương.
- Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy các lớp 12 trong năm học vừa qua, đa số học sinh đều nắm vững được trọng tâm kiến thức, phương pháp giải của các dạng bài tập cơ bản của chương và vận dụng được các kiến thức, phương pháp này để giải quyết một số vấn đề nâng cao trong chương trình.
- Trên 80% số học sinh trong các lớp được phân công giảng dạy trong năm học này làm đúng câu Hình học toạ độ trong đề thi học kỳ II vừa qua và các đề thi tốt nghiệp của các năm trước đó.