SKKN Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "XÂY DỰNG CHÙM BÀI TẬP TỪ MỘT SỐ ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ " Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi học môn Toán, mỗi học sinh đều gặp phải những khó khăn riêng của mình. Điều này rất dễ hiểu, vì khi học Toán đa số học sinh chỉ muốn dừng lại ở chỗ “Tìm ra được lời giải và có đáp số đúng”. Nếu vậy, cho dù học sinh có giải được hàng trăm bài toán thì kiến thức thu được chẳng là bao so với việc giải ít bài tập hơn nhưng luôn suy nghĩ để tìm cách giải khác, luôn luôn tìm cách khai thác bài toán để đưa ra bài toán tương tự, đặc biệt hóa bài toán, Sự đam mê và luôn tìm cách khai thác bài toán, đó chính là con đường tốt nhất để đi lên trong học Toán. Điều này cũng đã được Albert Einstein khẳng định “Học kiến thức phải giỏi suy nghĩ, suy nghĩ, lại suy nghĩ. Chính nhờ cách ấy tôi đã trở thành nhà khoa học”. Quý thầy cô giáo đồng nghiệp kính mến! Các em học sinh lớp 8, lớp 9 thân mến ! Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin như hiện nay đã đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo phải đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và Nhà nước ta đã đề ra theo Nghị quyết số 40/2000/QH của Quốc hội về việc đổi mới giáo dục phổ thông. Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Nhưng để nâng cao chất lượng học tập của học sinh thì cần rèn luyện kĩ năng tư duy, kích thích sự phát triển tư duy sáng tạo. Đó là một yêu cầu không thể thiếu trong việc dạy học nói chung, cũng như dạy học môn toán nói riêng. Vấn đề này lại càng được đặc biệt chú ý đối với đối tượng học sinh khá, giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong những năm gần đây, bản thân được nhà trường phân công giảng dạy môn Toán 8, Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác dữ kiện bài toán một cách phiến diện chưa triệt để, thiếu tính sáng tạo, còn phụ thuộc vào sách giáo khoa; sự hướng dẫn của một số giáo viên còn rập khuôn, máy móc; trong quá trình dạy toán giáo viên thường hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán mà không hướng dẫn các em khai thác bài toán. Vì vậy, khi gặp các bài toán cùng dạng nhưng thay đổi cách hỏi,…các em thường lúng túng và không biết cách giải. Làm thế nào để xoá được cách nhìn xơ cứng của học sinh trước một bài toán? Đó là vấn đề luôn luôn đặt ra trong suy nghĩ của tôi. Thực hiện được điều đó là việc làm hết sức khó khăn, không phải chỉ trong ngày một, ngày hai mà đòi hỏi người thầy phải có kiến thức vững vàng, có khả năng thâu tóm vấn đề tốt, phải luôn chịu khó tích luỹ kiến thức, có lòng đam mê khoa học và truyền được lòng đam mê đó tới học sinh. Giúp học sinh phát hiện được cái mới từ những cái đã biết là đã tạo cho các em sự nhạy bén trong tư duy, kích thích học sinh tìm tòi, linh hoạt, sáng tạo, từ đó tạo được hứng thú trong học toán. Tuy nhiên, hiện nay có rất ít tài liệu, sách báo viết về đề tài này nên học sinh ít có tài liệu để nghiên cứu, tham khảo. Xuất phát từ những vấn đề trên nên tôi đã đầu tư nghiên cứu “Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở”. 2. PHẠM VI ÁP DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm này đã được áp dụng ở các lớp 8A, 9A (năm học 2012-2013); các lớp 8A, 8B, 8C, 9A (năm học 2013-2014) của trường THCS thị trấn Ba Tơ; áp dụng trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và đang được các bạn đồng môn áp dụng thử nghiệm tại trường THCS Ba Vì và trường THCS Ba Động (năm học 2013- 2014). Phần II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của người thầy dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này. Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo. Không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải mà hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng chừng như đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài toán này đối với bài toán khác, của đẳng thức này đến đẳng thức khác,… là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường trung học cơ sở tôi nhận thấy các bài tập về đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng; ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo; phát hiện ra điều mới ấy sẽ mang lại cho người học những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc hơn. Tuy nhiên, thông qua việc giao lưu trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp giảng dạy cùng môn trên địa bàn huyện Ba Tơ, cũng như thông qua việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, bản thân tôi nhận thấy hầu hết các giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán chỉ tập trung giảng dạy theo từng chuyên đề riêng lẻ. Điều này cũng rất đáng quý. Nhưng có quá nhiều chuyên đề cần phải giảng dạy cho học sinh mà thời gian dạy bồi dưỡng thì quá ít dẫn đến dạy nhồi nhét kiến thức, tạo áp lực học tập cho học sinh mà hiệu quả không cao. Chính vì thế qua các lần thi học sinh giỏi cấp huyện đạt kết đạt được là rất thấp. 2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: 2.1. Thuận lợi: Được sự quan tâm của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Ba Tơ, của ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn, của bạn đồng nghiệp. Đặc biệt với sự nỗ lực của các em học sinh đã giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. Cụ thể: - Về phía học sinh (đặc biệt là học sinh khá giỏi) đã tích cực thực hiện theo các yêu cầu của giáo viên. - Về phía bạn bè đồng nghiệp đã góp ý bổ sung và áp dụng thử nghiệm sáng kiến này tại trường THCS Ba Vì và trường THCS Ba Động. - Về phía tổ chuyên môn trong nhà trường đã góp ý bổ sung giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm. - Về phía nhà trường đã phân công cho tôi giảng dạy môn toán 8, toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 8, toán 9, bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay nên tôi đã nghiên cứu và áp dụng thử nghiệm (năm học 2012 – 2013) từ đó mới thấy được kết quả khả quan của sáng kiến. - Về phía phòng Giáo dục và Đào tạo đã phân công cho tôi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán, giải toán trên máy tính cầm tay. Do đó tôi càng có điều kiện nghiên cứu thêm và áp dụng sáng kiến này. 2.2. Khó khăn: * Về phía Học sinh: Mặc dù học sinh đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán. Tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, chưa đồng đều, các em người dân tộc thiểu số còn học kém nhiều. Cụ thể: - Chất lượng đầu vào của học sinh chưa cao. Chẳng hạn một số em đã được lên lớp 8, lớp 9 nhưng một số kiến thức cơ bản ở các lớp dưới chưa nắm chắc. Do đó, trong quá trình học tập môn toán, học sinh thường mắc phải những sai lầm rất cơ bản trong phép biến đổi toán học đơn giản; khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản. Có quá nhiều lổ hổng kiến thức vì vậy học sinh dễ chán nản và không ham thích học Toán. Đây là hệ quả tất yếu của quá trình cho học sinh lên lớp, học sinh xếp loại môn học từ trung bình trở lên theo chỉ tiêu đề ra ở đầu năm học. - Đa phần học sinh chưa xác định đúng được động cơ và mục đích học tập, không thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên trong học tập. - Chưa có sự quan tâm đúng đắn từ phía phụ huynh. Nhiều phụ huynh hầu như khoán trắng việc học của con em mình cho nhà trường, chưa có biện pháp đề nghị nhà trường giúp đỡ con em mình học tốt hơn. * Về phía Giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã chú trọng đổi mới phương pháp dạy học nhưng chưa đi vào thực chất và chưa có chiều sâu, chưa triệt để; chỉ mới dừng lại ở việc cải tiến phương pháp dạy học truyền thống bằng cách sử dụng các câu hỏi tái hiện, các câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát. Trong quá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức nhưng chưa chú trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ những bài tập đơn giản mà các em đã biết. Do đó, khi giảng dạy (đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi) giáo viên thường hay yêu cầu học sinh nhớ quá nhiều các dạng bài tập nhiều khi không cần thiết nên tạo áp lực quá lớn cho học sinh. 3. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, các tiết dạy tự chọn cũng như trong các tiết luyện tập tại lớp bản thân tôi luôn luôn coi trọng việc khai thác bài toán để từ đó tìm thêm cách giải khác, xây dựng bài tập tương tự, bài toán tổng quát, bài toán mới, từ những bài toán đơn giản mà học sinh có thể dễ dàng giải được. Chẳng hạn: 3.1. Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 ( ) ( ) 2   + + − = + + + + − − − = + + − + − + −   a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a * Lời giải: Cách 1: Biến đổi vế phải thành vế trái ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 Ta có: ( ) 2 ( )   + + − + − + −   = + + + + − − − a b c a b b c c a a b c a b c ab bc ca Bài toán A: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 ( ) ( ) 2   + + − = + + + + − − − = + + − + − + −   a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a Vậy ( ) 3 3 3 2 2 2 3 ( ) + + − = + + + + − − − a b c abc a b c a b c ab bc ca ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2   = + + − + − + −   a b c a b b c c a Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải Ta có: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) ⇒ a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) Nên a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b) 3 - 3ab(a + b) + c 3 – 3abc = (a + b) 3 + c 3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b) 3 + c 3 – 3ab(a + b + c) = ( a + b + c) 3 - 3(a + b).c.(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b + c) 2 - 3(a + b).c – 3ab] = (a + b + c).(a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2   = + + − + − + −   a b c a b b c c a Vậy ( ) 3 3 3 2 2 2 3 ( ) + + − = + + + + − − − a b c abc a b c a b c ab bc ca ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2   = + + − + − + −   a b c a b b c c a Từ bài toán trên ta có thể xây dựng được vô số bài toán, chẳng hạn: 3.1.1. Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết: Bài toán A 1 : Phân tích đa thức: 3 3 3 3+ + −a b c abc thành nhân tử Trích đề vào 10 chuyên Toán, THPT Lê Hồng Phong- TP.Hồ Chí Minh, 1988 Hướng dẫn: Xem cách 2 của bài toán A Nhận xét 1: Từ bài toán A. Do đa thức đã cho có bậc lẻ đối với tất cả các biến nên dấu của a cũng là dấu của a 3 , dấu của b cũng là dấu của b 3 , dấu của c cũng là dấu của c 3 . Do đó ta có thể đề xuất bài toán sau: Bài toán A 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) 3 ) 3 ) 3− + + − − − − − − +a a b c abc b a b c abc c a b c abc Lời giải: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 ) 3 ( ) 3 ( ) = – + − + + = + − + − − − + + + + a a b c abc a b c a b c a b c a b c ab ac bc 3 3 3 3 3 3 ) 3 ( ) ( ) 3 ( )( )− − − = + − + − − − −b a b c abc a b c a b c ( ) ( ) 2 2 2 + = − − + + + −a b c a b c ab ac bc ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 ) 3 ( 3 ) – − − − + = − + + − = − + + + + − − c a b c abc a b c abc a b c a b c ab ac bc Từ bài toán A và bài toán A 2 .a) ta có thể xây dựng tiếp một số bài toán sau: Bài toán A 3 : Chứng minh rằng 3 3 3 3− + +a b c abc chia hết cho a – b + c Lời giải: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 – + ( ) − + + = − + + + + − + a b c abc a b c a b c ab ac bc a b cM Bài toán A 4 : Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số nguyên khác 0 thì các phân số 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a + b c 3abc a + b c 3abc A và B a b c a b c ab bc ca + − + − = = + + + + − − − là các số nguyên Lời giải: ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca a + b c 3abc A = =a b c ab bc ca a b c a b c + + + + − − − + − = + + − − − + + + + ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca a + b c 3abc B a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + − − − + − = = = + + + + − − − + + − − − Vậy A và B là các số nguyên. Bài toán A 5 : 3 3 3 2 2 2 a + b c 3abc Cho B a b c ab bc ca + − = + + − − − . Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số nguyên liên tiếp thì B là một số nguyên chia hết cho 3. Lời giải: ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca a + b c 3abc B a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + − − − + − = = = + + + + − − − + + − − − (1) Mà a, b , c là ba số nguyên liên tiếp nên a b c 3+ + M (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Bài toán A 6 : Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn abc 9M . Chứng minh rằng 3 3 3 3+ + −a b c abc chia hết cho 9 Lời giải: Ta có abc 9 a b c 9⇒ + +M M (1) Lại có ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 – + + − = + + + + − − a b c abc a b c a b c ab ac bc (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh. Bài toán A 7 : a) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn a b c k + + M . Chứng minh rằng 3 3 3 3+ + −a b c abc chia hết cho k b) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 a b c ab bc ca k+ + − − − M . Chứng minh rằng 3 3 3 3+ + −a b c abc chia hết cho k Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A 6 Bài toán A 8 : Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn abc 11M . Chứng minh rằng 3 3 3 3− + +a b c abc chia hết cho 11 Lời giải: Vì số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11 nên từ abc 11 a b c 11⇒ − +M M (1) Lại có ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 – +− + + = − + + + +a b c abc a b c a b c ab ac bc (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh. Bài toán A 9 : Cho a,b,c N* ∈ và ƯCLN(abc, a + b + c) = 1. Chứng minh rằng nếu 3 3 3 (a b c kabc) (a b c)+ + + + +M thì (k 3) (a b c)+ + +M Lời giải: Vì 3 3 3 3 3 3 (a b c kabc) (a b c) (a b c 3abc kabc 3abc) (a b c)+ + + + + ⇒ + + − + + + +M M 2 2 2 (a b c)(a b c ab bc ca) abc(k 3) (a b c)⇒ + + + + − − − + + + +M abc(k 3) (a b c) (1)⇒ + + +M Lại có ƯCLN(abc, a + b + c) = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra (k 3) (a b c)+ + +M Nhận xét 2: Nếu viết ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3+ + − = − + − + −a b c abc a abc b abc c abc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = − + − + −       = − + − + −  ÷  ÷  ÷             = − + − + −  ÷  ÷  ÷       a a bc b b ac c c ab bc ac ab a a b b c c a b c bc ac ab a b c a b c ta có thể đề xuất một số bài toán sau: Bài toán A 10 : Cho 2 2 2 ; ; = − = − = −x a bc y b ac z c ab . Chứng minh rằng: a) (ax by cz) (a b c) b) (ax by cz) (x y z)+ + + + + + + +M M Lời giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 ax by cz a a bc b b ac c c ab a b c 3abc + + = − + − + − = + + − ( ) 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca (a b c)= + + + + − − − + +M (đpcm) b) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y z a bc b ac c ab a b c ab bc ca + + = − + − + − = + + − − − (1) Theo câu a, ta lại có ( ) 2 2 2 ax by cz (a b c) a b c ab bc ca + + = + + + + − − − (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm Bài toán A 11 : Cho ; ; = − = − = − bc ac ab x a y b z c a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 (a x b y c z) (ax by cz)+ + + +M Lời giải: a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 bc ac ab a x b y c z a a b b c c a b c       + + = − + − + −  ÷  ÷  ÷       3 3 3 a b c 3abc = + + − ( ) 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca = + + + + − − − (3) Lại có 2 2 2 bc ac ab ax by cz a a b b c c a b c ab bc ca a b c       + + = − + − + − = + + − − −  ÷  ÷  ÷       (4) Từ (3) và (4) suy ra đpcm Bài toán A 12 : Cho 2 2 2 1 ; 1 ; 1= − = − = − bc ac ab x y z a b c . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 (a x b y c z) (a x b y c z) + + + + M Lời giải: Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 bc ac ab a x b y c z a 1 b 1 c 1 a b c 3abc a b c       + + = − + − + − = + + −  ÷  ÷  ÷       ( ) 2 2 2 (a b c) a b c ab bc ca= + + + + − − − (5) Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ac ab a x b y c z a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca a b c       + + = − + − + − = + + − − −  ÷  ÷  ÷       (6) Từ (5) và (6) suy ra đpcm Nhận xét 3: Nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa thức 3 3 3 3+ + −a b c abc thì ta sẽ được vô số các bài toán tương tự bài toán A. Bài toán A 13 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3 3 3 ( 1) (2 3) ( 4) 3( 1)(2 3)( 4)+ + + + − − + + −x x x x x x b) 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( )+ + + + + − + + +x y y z z x x y y z z x c) 3 3 3 ( 2 ) ( ) ( ) 3( 2 )( )( )+ − − + + + + − +x y y z z x x y y z z x Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ để đưa bài toán về bài toán A 3.1.2. Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức: Bài toán A 14 : Chứng minh rằng, nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0 Lời giải: Ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 0a b c abc a b c abc+ + = ⇔ + + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 0 2   ⇔ + + − + − + − =   a b c a b b c c a ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 + + =  ⇔  − + − + − =   a b c a b b c c a 0+ + =  ⇔  = =  a b c a b c Bài toán A 15 : Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1 Hướng dẫn: Xem các cách giải ở bài toán B trang 21 Bài toán A 16 : Rút gọn các biểu thức sau: a) A = ( ) ( ) ( )                 − + − + − b) B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                              + + − + + − + + − + − + − Lời giải: [...]... (2; 2; 4) 3.2 Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức: a3 + b3 + c3 = 3abc với điều kiện a + b + c = 0 * Chú ý: Bài Bài toán B: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a + b + c = 3abc toán này là Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8 -Tập một hệ quả 1 3 3 3 của bài toán A, tuy nhiên tầm ứng dụng của nó cũng không kém gì so với bài toán A Bài toán này có rất nhiều cách giải, sau đây tôi chỉ nêu một số cách giải:...   1 c = z  ta có ngay bài toán D1 hệ quả của bài toán D Bài toán D1: Với xyz ≠ 0 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + 2+ 2 = + + ⇔x=y=z 2 x y z xy y z zx Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ như nhận xét, khi đó bài toán trở thành a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ⇔ a = b = c ⇔ 1 1 1 = = ⇔x=y=z x y z 3.4.1 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức: Bài toán D2: Chứng minh rằng (... dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức: Bài toán B4: Cho a+b+c = 0 và a, b, c khác 0 Tính giá trị của biểu thức a 3 + b3 + c3 B= abc Lời giải: Từ giả thiết a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b3 + c 3 = 3abc B= a 3 + b3 + c3 3abc = =3 abc abc Bài toán B5: Cho x+y+z = 0 và x, y, z khác 0 Tính giá trị của biểu thức Lời giải: Từ giả thiết x+y+z = 0 ⇒ x3 +y3 +z3 = 3 xyz (bài toán. .. 0 ) , ( 0;1;0 ) , ( 0; 0;1) Nhận xét 7: Từ cách giải bài toán 31, ta có thể đề xuất ba bài toán sau (từ bài A 32 đến bài A34) Bài toán A32: Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1  2 2 2 x + y + z = 1  x 3 + y 3 + z3 = 1  Tính giá trị biểu thức P = x 2012 + y 2013 + z 2014 Hướng dẫn: Sử dụng kết quả bài toán A31, từ đó tính được giá trị biểu thức P Bài toán A33: Giải hệ phương trình x + y +... tương tự bài toán C5 3.4 Xây dựng chùm bài tập từ bài toán: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ⇔ a = b = c Bài toán D: Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ⇔ a = b = c Hướng giải: a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0 ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0 ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) = 0 ⇔ a = b = c 2 2 2 Chắc chắc rằng sau khi giải xong bài toán này, ta luôn nghỉ đến bài toán tổng quát: Bài toán. .. dụng hằng đẳng thức: ⇒ ( a + b + c) 3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c )(c + a) 03 − a3 − b3 − c3 = 3(−c)(− a)(−b) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Sau đây là những ứng dụng của bài toán trên: 3.2.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết: Bài toán B1: Cho ba số nguyên a, b, c và a + b + c = 0 a Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3 b Biết trong ba số a, b,... + y + z − x)( y + z − x + z + x − y )( z + x − y + x + y − z ) = 3.2 y.2 z.2 x = 24 xyz b) Vì trong ba số x, y, z tồn tại ít nhất một số chẵn nên xyz M ⇒ 24xyz M 2 48 Vậy, trong ba số x, y, z tồn tại ít nhất một số chẵn xyz thì A M 48 3.3.2 Xây dựng chùm bài tập trong giải phương trình: Nhận xét 3: Từ đẳng thức ( a + b + c ) nếu có ( a + b + c ) 3 − a 3 − b3 − c3 = 0 3 − a 3 − b3 − c3 = 3 ( a + b )... b, c là ba số nguyên liên tiếp nên không mất tính tổng quát của bài toán, ta giả sử a > b > c ⇒ a = c + 2 và b = c + 1 Khi đó biểu thức A trở thành: A= 1 1 2 2 2 c + 2 − c − 1) + ( c + 1 − c ) + ( c − c − 2 )  = 6 = 3 (  2 2 Vây giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c 3.1.3 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh bất đẳng thức: Nhận xét 5: 3 3 3 2 2 2 Từ bài toán A: M= a... b)(b + c)(c + a ) 3.3.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán tính giá trị của biểu thức; phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết: Nhận ( a + b + c) xét 3 1: Nếu cho − a3 − b3 − c3 = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ⇔ 03 − a 3 − b3 − c3 = 3(− c) ( − a ) ( − b ) ⇔ a3 + b3 + c3 = 3abc  a + b = −c  a + b + c = 0 ⇒ b + c = −a c + a = −b  , ta có: Cho ta bài toán C1: Bài toán C1: Cho a + b +... b +c ≥ 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c, từ đó, ta có thể xây dựng một số bài tập sau: Bài toán A23: Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 Lời giải: Xét hiệu x3 +y3 +z3 -3xyz = ≤ 3xyz khi và chỉ khi x+y+z < 0 1 (x+y+z)[(x-y)2 2 +(x-z)2 +(y-z)2] Ta có (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 ≥ 0 với mọi x, y, z ⇔ 1 (x+y+z)[(x-y)2 2 +(x-z)2 +(y-z)2] ≤ 0 (vì x+y+z < 0) Vậy x3 +y3 +z3 ≤ 3xyz Bài toán A24: Cho các số dương x, y, . NGHIỆM ĐỀ TÀI: "XÂY DỰNG CHÙM BÀI TẬP TỪ MỘT SỐ ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ " Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi học môn Toán, mỗi học sinh đều gặp. nên học sinh ít có tài liệu để nghiên cứu, tham khảo. Xuất phát từ những vấn đề trên nên tôi đã đầu tư nghiên cứu Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung. giải khác, xây dựng bài tập tương tự, bài toán tổng quát, bài toán mới, từ những bài toán đơn giản mà học sinh có thể dễ dàng giải được. Chẳng hạn: 3.1. Xây dựng chùm bài tập từ đẳng thức: (