Hàm số boole và các dạng chuẩn của hàm số boole

Với ứng dụng quan trọng đó của đại số Boole, đã có rất nhiều sách viết về đại số Boole, nhưng chưa đưa ra được những kiến thức tổng quan nhất về đại số Boole.. Dưới góc độ là một sinh vi

LờI CảM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn khóa luận:

Th.S Nguyễn Ngọc Tuấn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các thầy, cô giáo bộ môn, tổ Vật lý Kỹ thuật, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý, Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như hoàn thành khóa luận

Cảm ơn gia đình và các bạn bè quan tâm, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót

Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Quý thầy cô và bạn

bè để nội dung của khóa luận này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thành

LêI CAM §OAN T«i xin cam ®oan, nh÷ng néi dung nghiªn cøu trong khãa luËn lµ cña riªng t«i vµ hoµn toµn trung thùc

Néi dung nghiªn cøu nµy ch­a tõng ®­îc c«ng bè trong bÊt kú khãa luËn nµo kh¸c

Hµ Néi, th¸ng 05 n¨m 2007 Sinh viªn

NguyÔn ThÞ Thu Thµnh

MụC Lục

trang Phần 1 Mở đầu 5

Phần2 Nội dung 7

Chương 1: Kiến thức chung về đại số Boole (đại số logic) 1.1 Khái niệm cơ bản 7

1.1.1 Định nghĩa về đại số Boole 7

1.1.2 Các phép toán logic cơ bản 8

1.1.3 Các hàm logic cơ bản 8

1.2 Các tính chất cơ bản và định lý 11

1.2.1 Các tính chất 11

1.2.2 Các phép toán 12

Kết luận chương 1 17

Chương 2 Hàm số Boole và các dạng chuẩn của hàm số boole 2.1 Hàm số Boole 18

2.1.1 Các hàm số Boole cơ bản 18

2.1.2 Các hàm số Boole của mạch tổ hợp 20

2.1.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic 30

2.2 Các dạng chuẩn của hàm số Boole 33

2.2.1 Dạng chuẩn tắc tuyển và chuẩn tắc tuyển đầy đủ 33

2.2.2 Dạng chuẩn tắc hội và chuẩn tắc hội đầy đủ 35

2.2.3 Mối quan hệ giữa chuẩn tắc tuyển đầy đủ và chuẩn tắc hội đầy đủ 37

2.3 Một số dạng chuẩn tắc dùng các phần tử cơ bản 38

2.3.1 Dạng chuẩn tắc NAND (CT-NAND) 38

2.3.2 Dạng chuẩn tắc NOR 41

2.3.3 Dạng chuẩn tắc không tương đương 43

Kết luận chương 2 49

Chương 3 Tối thiểu hoá hàm logic 3.1 Những vấn đề về tối thiểu hoá 50

3.2 Các phương pháp tối thiểu hoá 50

3.2.1 Tối thiểu hoá bằng phương pháp giải tích 50

3.2.2 Phương pháp bìa các nô < Karaugh> 52

Kết luận chương 3 56

Phần 3 - Kết luận chung 57

Tài liệu tham khảo 58

động, đo lường điện tử,

Một bộ môn phát triển từ cuối thế kỉ 19 mang tên chính người sáng lập

ra nó: Đại số Boole hay còn được gọi là đại số logic, thích hợp cho việc mô tả mạch số

Đại số Boole là công cụ toán học quan trọng để thiết kế và phân tích mạch số Các kỹ sư, các nhà chuyên môn trong lĩnh vực điện tử, tin học, thông tin điều khiển, đều dùng nó làm chìa khoá để đi sâu vào mọi lĩnh vực có liên quan đến kĩ thuật số

Với ứng dụng quan trọng đó của đại số Boole, đã có rất nhiều sách viết

về đại số Boole, nhưng chưa đưa ra được những kiến thức tổng quan nhất về

đại số Boole Dưới góc độ là một sinh viên chuyên ngành, sau khi được học và nghiên cứu về hàm số Boole và các dạng chuẩn của nó; tôi thấy cần phải đưa

ra một cách tổng quan và đơn giản về hàm số Boole Vì vậy, tôi xin mạnh dạn chọn đề tài “Hàm số Boole và các dạng chuẩn của hàm số Boole” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Người nghiên cứu quan tâm về hàm số Boole và các dạng chuẩn của

nó

- Giúp người đọc có những kiến thức cơ bản nhất của đại số Boole

3 Phạm vi nghiên cứu

Kiến thức trong các giáo trình kĩ thuật số lí thuyết và thực hành

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

- Hàm số Boole và các dạng chuẩn của nó

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp, khái quát hóa, phân tích, đánh giá,… các tài liệu

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hiểu rõ và đúng về hàm số Boole và các dạng chuẩn của nó để trình bày một cách ngắn gọn đơn giản

-Tổng hợp, tích hợp tương đối đầy đủ về vấn đề nghiên cứu, từ đó khái quát hóa rồi phân tích đánh giá thật đúng và chính xác vấn đề nghiên cứu

- Với lượng kiến thức tổng hợp được, đi đến phân tích, đánh giá vấn đề

- Đưa ra cách trình bày đơn giản hơn về các vấn đề cần nghiên cứu

7 Dự kiến cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm:

Phần mở đầu:

Phần nội dung:

- Chương 1: Kiến thức chung về đại số Boole

- Chương 2: Hàm số Boole và các dạng chuẩn của hàm số Boole

- Chương 3: Tối thiểu hóa các hàm logic

Kết luận chung

Tài liệu tham khảo

Phần 2 nội dung CHƯƠNG 1:

kiến thức chung về đại số Boole (đại số logic) 1.1 Khái niệm cơ bản

Đại số logic do George Boole - nhà toán học người Anh sáng tạo ra vào giữa thế kỉ thứ 19 So với đại số thường đại số logic đơn giản hơn rất nhiều

1.1.1 Định nghĩa về đại số Boole

Đại số logic là một tập hợp X của các đối tượng A, B, C,… trong đó xác

định hai phép toán: Cộng logic và nhân logic Để thuận tiện ta vẫn dùng các

ký hiệu cộng (+) và nhân (.) thông thường

1.1.1.1 Biến logic: Một tập hợp B chỉ chứa các giá trị 0 và 1, một biến x chỉ

nhận giá trị trong tập hợp B được gọi là biến logic

1.1.1.2 Hàm logic: Một hàm f bao gồm các biến logic và bản thân nó cũng

chỉ nhận các giá trị 0 và 1 được gọi là hàm logic: F = f(x1,x2,…)

Trong đại số logic (đại số Boole) biến số và hàm số đều chỉ nhận 2 giá trị, 0 và 1, là cơ sở trong quan hệ nhân quả của các sự kiện Mỗi biến số biểu thị một điều kiện để sự kiện có thể phát sinh chỉ có thể có hay không, hàm số biểu thị bản thân sự kiện đó có phát sinh hay không Số 0 và 1 biểu thị kí hiệu

Các phép toán logic cơ bản và hàm logic cơ bản

Các định

lý và tính chất của

đại số Boole

của 2 khả năng đối lập nhau, trong đại số Boole chúng không mang ý nghĩa số lượng

Đảo logic-phủ

định

X

* Hµm nh©n logic hay hµm AND

- Hµm logic cña cæng AND: F = X1.X2

Ký hiÖu

F

X1

X2B¶ng tr¹ng th¸i

* Hµm céng logic hay hµm (OR)

Hµm logic cña cæng HOÆC: F = X1 + X2

* Luật giao hoán * Luật kết hợp

Các định lý đặc thù chỉ có trong đại số logic

* Luật đồng nhất * Định lý Demorgan

Phép toán một ngôi “ - ”được tập X thể hiện đơn trị, trong đó có các

mối quan hệ sau:

x x n

, x x n x xVới phép toán “ - ” trình bày ở đây có nghĩa là phép phủ định

Với ba điều kiện như thế này cho phép mở rộng cấu trúc đại số đã mô tả dạng

(1) thành dạng: A:= ( ; , , ,X    n ,n )

 

1.2.2 Các phép toán cơ bản của đại số mạch

1.2.2.1 Xét quan hệ giữa các phép toán

* Quan hệ giữa các hằng số

Vì trong đại số logic chỉ có 2 hằng số 0 và 1 Các biến logic cũng chỉ lấy 1 trong 2 giá trị đó, và cũng chỉ có 3 phép toán logic cơ bản nhất  Ta có các quan hệ dưới đây:

Đối ngẫu

Quy tắc này có một ứng dụng rất lớn trong biến đổi công thức để tạo ra công thức mới từ một công thức đã biết, mở rộng phạm vi ứng dụng của công thức đã biết

Ví dụ: Ta có A BA B Dùng Z = A.C thay vào biến A

( ).A C B A C B (A C) B

      Hay A C B A B C 

* Quy tắc tìm đảo của một hàm số

F sẽ là hàm đảo của hàm F, sẽ có được từ F bằng cách đổi dấu “ ”

thành dấu “+” , “+” thành dấu “.” , “0” thành “1” ,”1” thành ”0” biến số thành đảo của biến số đó, đảo biến số thành nguyên biến số

Hàm đảo tương ứng

F= A B C D  0 F(A B ).(CD).1

Hàm đảo F= A B C  D E F A B C D E

* Quy tắc đối ngẫu

Hàm F và hàm F’ gọi là đối ngẫu, khi các dấu “+” và “ ” , các giá trị

“0” và “1” đổi chỗ cho nhau 1 cách tương ứng

tắc đối ngẫu, các đối ngẫu của đẳng thức đã chứng minh cũng phải bằng nhau Vậy nên một số công thức ta sẽ không đưa ra dạng đối ngẫu của chúng

18: A B A B A B A B

Chứng minh: A BA B (A B A B )(  )

(  A A A B ) (  B A B B )  0 A B A B .0A B A B

1.2.2.4 Những công thức với XOR (phép cộng với sự loại trừ)

Định nghĩa : Phép XOR: ABABA B Hàm logic XOR = 1 khi các biếnA, B lấy các giá trị khác nhau và XOR = 0 khi các biến A, B lấy các giá trị bằng nhau

Tên hàm XOR vì vậy mang ý nghĩa dị hoặc, hoặc tuyệt đối,

đảo của XOR là :

A.B=ABABA B A B A B

Hàm A.B=1 khi các biến A, B lấy các giá trị bằng nhau

A.B = 0 khi các biến A, B lấy các giá trị khác nhau A.B có tên là hàm tương đương

(1) Luật giao hoán A  B= B  A

(2) Luật kết hợp (A  B)  C=A  (B  C)

(3) Luật phân phối A.(B  C)=A.B  A.C

(4) Các phép toán của biến số và hằng số

kết luận chương 1

Khoa học- Công nghệ phát triển mạnh mẽ từng ngày, từng giờ… Đại số Boole lại là yếu tố không thể thiếu được giữa sự bùng nổ của công nghệ Điển hình như Công nghệ thông tin, Kỹ thuật mật mã, mã hóa các tín hiệu …mà

đơn giản hơn, dễ hiểu hơn đó là việc các thiết bị chỉ có thể hiểu được hai biến (0;1) Khi nghiên cứu về đại số Boole, ta đã thấy được sự biến đổi linh hoạt và

kỳ diệu của chúng Chính vì thế, trong chương 1 với nội dung đã trình bày nó mang ý nghĩa rõ ràng, là cơ sở để tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu chương 2

f0  0 hàm hằng 0 tức f0 luôn luôn bằng 0

f3  1 hàm hằng 1 tức f3 luôn luôn bằng 1

f1 = x1 hàm lặp lại giá trị của x1

f2 = x1 hàm đảo hoặc hàm phủ định của x1 (kí hiệu NOT)

n biến

Các hàm đối xứng nhau qua trục giữa f7, f8 là phủ định của nhau

+ f1= X1.X2 bằng 1 khi và chỉ khi X1=X2=1 Hàm được gọi là hàm “Và”

(AND) Mạch thực hiện hàm này có kí hiệu

A.B A

2.1.2.1 C¸c hµm sè Boole c¬ b¶n cã mét biÕn ®Çu vµo

Mét m¹ch tæ hîp cã c¸c biÕn ®Çu vµo xX  0,1 vµ c¸c biÕn ®Çu ra

k lµ con sè c¸c biÕn ®Çu vµo x

Mét biÕn ®Çu vµo x0 víi k=1 sÏ tån t¹i mét kh«ng gian nhÞ ph©n B1

2

2 cho mét biÕn x0

ë mçi ®Çu cuèi cña x0 trong h×nh 1 m« t¶ tr¹ng th¸i ®Çu vµo cña m¹ch tæ hîp

vµ râ rµng víi   : x0 0=0 vµ víi  :x1 0=1, sÏ  e 2k 21 tr¹ng th¸i 2

®Çu vµo víi chØ sè ch¹y  0,1

00,0

x cã thÓ t¹o ra ®­îc 2 tr¹ng th¸i ®Çu ra b»ng “0”

vµ “1”, nªn víi B12.B12 = B22 sÏ cã a=2e = 22 =4 tr¹ng th¸i ®Çu ra víi c¸c chØ sè ch¹y  0,1, 2,3 cho mét biÕn ®Çu vµo x0

K

00,0

1,0

x x

0

0

0 0

0y  y3 vµ 1y  y2

2.1.2.2 C¸c hµm sè Boole c¬ b¶n cã hai biÕn ®Çu vµo

Mét m¹ch tæ hîp cã c¸c biÕn ®Çu vµo xX  0,1 vµ c¸c biÕn ®Çu ra:

0

1

x x





H×nh 4: Kh«ng gian ®Çu vµo B22 víi hai biÕn x1 vµ x0Mçi mét ®iÓm cña 4 nót trong h×nh 4 m« t¶ 1 tr¹ng th¸i ®Çu vµo cña m¹ch tæ hîp vµ cã:

1,1 1,0 ,

3,1 3,0

00 01 1

10 11 3

X X X

X X X

mét ®iÓm ra y 0,1 , v× vËy víi B22 B22=B42 sÏ cho a= 2e= 24=16 hµm sè

®Çu ra øng víi 2 biÕn ®Çu vµo x1 vµ x0 víi chØ sè ch¹y  0,1, ,15

0 1

x x





0 1 2 3

f

y y y y y

11 10

00

01

0

0 1

2,0 2,1 2,15

00 13,0 3,1 3,15

KÝ hiÖu m¹ch míi

VD: y7 = y8; y5 = y10

2.1.2.3 Hàm số Boole có K >2 biến đầu vào

Các hàm Boole cơ bản được đề cập trong phần 2.1.2.2 hoàn toàn phù hợp đối với trường hợp có K > 2 biến đầu vào Trước hết, các không gian đầu vào của các mạch tổ hợp có 3 và 4 biến đầu vào được xác định: Đối với 3 biến

đầu vào x2, x1 và x0  1 không gian nhị phân 3 thứ nguyên 3

2

B với k = 3, số trạng thái đầu vào, đầu ra :

e =2k = 8 và a = 2e =256

0 0 0

1 0

0

0

0

0 0

0

1 1 1 1

1 1

1 1

7

X X X X

1 1,0 1,1 1,255

®Çu ra

15

0,0 0,1 0,655350

1 1,0 1,1 1,65535

Hình 8: Các trạng thái đầu vào và ra của 1 mạch tổ hợp với 4 biến

2.1.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

2.1.3.1 Khái niệm về Minterm

Một tích có mặt đầy đủ các biến ở dạng trực tiếp hoặc dạng gián tiếp gọi là một Minterm Ký hiệu: m

2.1.3.2 Khái niệm về Maxterm

Một tổng có mặt đầy đủ các biến ở dạng trực tiếp hay gián tiếp gọi là một Maxterm Ký hiệu: M

Các ký hiệu dùng cho các biến bảng trên là:

U (Uncomplemented): biến ở dnạg trực tiếp

Từ các bảng giá trị của hàm ta có ví dụ:

- Hàm F(A, B, C) = (A+B+C) (A+ B +C) (A+ B C ) ta có thể viết:

* Phương pháp thực hành để tìm các dạng biểu diễn (2) và (4)

+ Từ hàm logic đã viết dưới dạng tích các Maxterm hoặc tổng các Minterm, ta viết vào bên dưới mỗi biến một giá trị 0 hoặc 1 theo quy tắc sau:

- Đối với Maxtern thì biến ở dạng trực tiếp là 0 và biến ở dạng bù là 1

- Đối với Minterin thì biến ở dạng trực tiếp là 1 và biến ở dạng bù là 0 Chuyển số hệ hai ứng với mỗi số hạng thành dạng hệ mười và đưa vào trong ngoặc tròn theo dạng biểu diễn cần tìm:

2.1.3.3 Các tính chất của Maxterm và Minterm

(1) Hai Maxterm và Minterm của số hạng cùng tên là phủ định của nhau (2) Đối với một hàm logic bất kì k biến

+ Tổng logic của tất cả các Minterm bằng 1

+ Tích logic của tất cả các Maxterm bằng 0

(3) Đối với một hàm logic bất kì k biến

+ Tích hai Minterm khác nhau bất kì bằng 0

+ Tổng hai Maxterm khác nhau bất kì bằng 1

2.2 Các dạng chuẩn của hàm số Boole

2.2.1 Dạng chuẩn tắc tuyển (CTT), CTT đầy đủ (CTTĐ)

2.2.2.1 Dạng chuẩn tắc tuyển (CTT)

Khái niệm: Chuẩn tắc tuyển của các hạng thức, mà các hạng thức này cũng như các thành phần phụ của nó được liên kết hội với nhau Một hàm số mạch f(x) với 3 biến x2, x1, x0 có thể tồn tại ở dạng chuẩn tắc tuyển

f(x) = x x x x x x x

2 1 2 1 0  1 0 (1.1)

2.2.1.2 Dạng chuẩn tắc tuyển đầy đủ (CTTĐ)

Một hàm logic có thể viết dưới dạng tổng của các tích, mỗi tích có mặt

đầy đủ các biến dạng trực tiếp hoặc gián tiếp gọi là chuẩn tắc tuyển đầy đủ

Thành phần của một hàm dạng CTTĐ chỉ bao gồm các hạng thức tối

đủ

Chuẩn tắc

và

Chuẩn tắc không tương

đương

Chuẩn tắc hoặc

Mối quan hệ này được thể hiện ở dạng bảng chân lý sau:

 x2 x1 x0 Hạng thức tối thiểu m Các trạng thái ra

f(x)=f(0,0,0).m0 + f(0,0,1).m1 + …+ f(1,1,1).m7 (1.2)

Các giá trị hàm số y = f x  fx, 2 ,x, 1 ,x, 0 là các trạng thái đầu ra

của hàm số y=f(x) Chúng được liên kết hội với các hạng thức tối thiểu m và

với giá trị “1” hoặc giá trị “0” của chúng sẽ quyết định hạng thức tối thiểu m

nào sẽ là thành phần cũng như không phải là thành phần trong CTTĐ của hàm f(x)

1( ) 0, 2,3, 4,7

M hoặc là các tuyển cơ bản

2.2.2.2 Chuẩn tắc hội đầy đủ (CTHĐ)

Khái niệm: Một hàm logic có thể viết dưới dạng tích của các tổng, mỗi tổng có mặt đầy đủ các biến dạng trực tiếp hoặc gián tiếp gọi là chuẩn tắc hội

Nếu một hàm số được cho với k biến, thì mỗi một trong e = 2k trạng

thái đầu vào x sẽ xác định được trạng thái đầu ra y  f x( ) Nếu y= 0

thì hạng thức cực đại M là thành phần của CTHĐ, ngược lại thì không

2.2.3 Mối quan hệ giữ chuẩn tắc tuyển đầy đủ (CTTĐ) và chuẩn tắc hội

đầy đủ (CTHĐ)

Cho hàm số mạch f(x) có 3 biến: (k=3, e=2k=8), ở dạng CTTĐ

f(x) = m0 +m1 +m4 +m7 (3.1)

Ta mô tả bảng chân lý của hàm f(x) với các chỉ số chạy của các trạng

thái đầu vào x là 0   Bảng 9 chứa tất cả các hạng thức tối thiểu m e 1 

Hạng thức cực đại M và các trạng thái đầu ra y như là các giá trị “0” và

+ Mối quan hệ thứ nhất:

Dạng CTTĐ (CTHĐ) của hàm số f(x) đã cho như là một CTHĐ (CTTĐ) với k biến cho phép viết lại như là liên kết tuyển (hội) của tất cả các hạng thức

tối thiểu m (hạng thức cực đại M) với các chỉ số , mà các chỉ số này

không được chứa đựng trong CTHĐ (CTTĐ) đã cho (tập bù của các chỉ số )

ở đây 0   với e=2 e 1 k

2.3.1 Dạng chuẩn tắc NAND (CT - NAND)

Một hạng thức T là một CT - NAND, nếu T có dạng Tl-1 T0 ở đây T