Điểm bất động của ánh xạ đa trị co

ộ ụ t rờ ọ ễ ế ể t ộ ủ trị t sĩ t ọ ộ ụ t rờ ọ ễ ế ể t ộ ủ trị ì ọ số t sĩ t ọ ọ P ọ ộ ụ ụ ụ ụ ế tứ ủ ột t số số tự t sr ể t ộ ủ ý rộ ý ế ị ý t ộ rr ị ý ể t ộ rst ể t ộ ủ trị t ể t ộ ủ trị k ể t ộ ủ trị k t ết ệ t r ể C x0 ột t ủ ột tr C s T x0 = x X, T ột từ C ợ ọ ể t ộ ủ ột ỏ ợ t r rt tự ữ ề ệ ủ tì tồ t ữ ể t ộ ủ ỉ q ế q ệ ữ X C X T X T C, X, T ữ ề ệ ò q ế trú t tr ữ ị ý ể t ộ ổ tế t ệ từ tế ỷ tr ó ể ế ý ể t ộ rr ý ết q ể ợ rộ r ợ ứ ụ rộ r tr ề ĩ ự ợ t ợ t ý tết ể t ộ r ý tết ệ q t ế ị ý tồ t ể t ộ ủ t ò ứ ế trú ì ọ ủ t ể t ộ tì ể t ộ ứ ụ ủ ú ý tết ề t tổ ủ ề t ọ trớ rr r t rr ết q ể ủ ý tết ợ rộ t ề s s r ủ tí t t rộ ết q ó t ữ t ợ ữ ết q q trọ tr ó ó ết q ủ t Pú ề ể t ộ ủ trị t ụ í ủ trì ột số ết q ề ề ệ tồ t ể t ộ ủ ứ ột số tí t ề trú ủ t ể t ộ ủ ợ trì t ụ í tr rì ột số ệ ột số ết q ủ tí tí t r t ứ tết ột số tí t ệ ữ ệ í tự t í tệt ố ứ ột số tí t ề sr ết q ó q trự tế ế ề ợ ứ ột số í ủ r trì ị ý ề rộ ý tờ tr t ũ trì ột số tí t ề trú ủ t ể t ộ ủ t ộ ủ trị k r k trị ứ ệ ề ề ể t ết q ệ q ệ q ét ệ ề ệ q ệ q ệ q ệ q ết q ú t ề t ứ ợ t trự tế ủ P ọ ộ tỏ ò ết s s ế t ữ ú ỡ t tì tr q trì ọ t ũ tr tờ ứ t t t tr t s ọ ệt P ễ ữ ễ ì P P ễ ỳ P ó ó ề ý ế qý tr q trì t ọ t t ị ọ ọ ệt tì ú ỡ ộ t ố tr sốt tờ t ọ tỏ ế ì t q t ộ ú ỡ ù qý tr q trì ọ t ũ t t ế tứ r ệ tố ột số ết q ề tí t tí trì ứ ột số tí t q ế ệ í tự t í tệt ố sr ết q ụ ụ trự tế ứ ị ý ề ể t ộ ủ ể trì ề t từ ị ĩ t ủ ột t ợ ế ó trì ệ số ết q ề số ột số ủ tế tí ị ột ề ợ t ọ r ứ từ ữ tế ỉ ủ ột t r ú t tết (X, ) tế tí ị ị ĩ sử x, y X, t [x, y] t ợ {x + (1 )y, 1} sử SX ệ ề t S ợ ọ ế ọ x, y S t ó [x, y] S ủ ột ọ tù ý t ủ X ột t ứ iI Ai sử {Ai }iI x, y A, [0, 1] z = x + (1 )y A t t ó z Ai , i I ột zA tỳ ý ể ứ A t ủ X t A = t ú t ứ x, y Ai , i I ó ọ Ai ọ ề ứ tỏ A iI ột t s r ị ĩ t ứ ể X ế x A AX ợ í ệ xX A ủ tt convA tổ ợ ợ ọ ủ t ữ ủ ể x1 , x2 , , xn ó tể ể ể n x= i x i , i=1 tr ó i (i = 1, 2, , n) + + + n = ét convA t ỏ t ứ A convA t ợ tt tổ ợ ủ A ị ý rtr r tế tí ị ữ ề ỗ ể ủ t convA tổ ợ ủ q n+1 ể A ủ ứ ệ ề ủ ột t t tr tế tí ị ữ ề ột t t ứ M sử X t t tr ỗ k = 1, 2, tế tí ị ữ ề X {xk } convM ét t ó xk = 0,k a0,k + 1,k a1,k + + n,k an,k ai,k M, i,k (i = 0, 1, , n) n i,k = i=0 M ì [0, 1] i,kt ai,kt ài t t kt tồ t {i,kt ai,kt } M, ài (i = 1, 2, , n), s n ài = i=0 ó t ó xkt à0 a0 + à1 a1 + àn an convM convM t t ị ĩ AX ợ ọ t ế ọ x, y A t ó x + (1 )y A, R A ợ ọ A A tr ủ ột t ủ A A tr ú ý X ó A tr t ố z convA \ A t ủ A A ủ A rA í ệ ế ó ủ tt t ứ í ệ ột t ủ {x1 , x2 , , xk } ủ X k ó tồ t ột t Ak = ể ộ tế tí s z ri(convAk ) số số tự t sử (X, ) ị ĩ tế tí ị A ột t ủ X S t ị ủ X ó xy , diam(S) = sup rA (S) = inf sup x y t ứ ợ ọ í r trờ ợ ệt tệt ố í tự t í t ố rX (S), rconvS (S) ủ S xA yS x,yS ủ S t A t ứ ợ ọ í ỉ số ữ í í ợ ứ ó ợ ị Js (X) = sup { ợ ọ 2rconvS (S) , S X, < diam(S)} diam(S) số tự t J(X) = sup{ ủ X ệt 2rX (S) , S X, < diam(S)} diam(S) an + n1 , (xn+1 ) S(xn ) an = inf{(y) : y S(xn )} S(xn+1 ) S(xn ), n = 1, 2, 3, ó dn ứ r í tế tớ n tế tớ t t ị ĩ S(xn ) = {y S(xn1 ) : xn tỳ ý x, y tr S(xn ) ì d(x, y) xn x, xn (xn ) (x), d(xn , x) S(xn ) ủ t ợ t t ị ĩ ủ (xn ) (y) d(xn , y) an , (x) n1 an1 + t ó 2(xn ) [(x) + (y)] d(xn , x) + d(xn , y) (xn ) y y} xn t ó an , (y) an , a n an1 ó d(x, y) ọ 2(an + x, y S(xn ) ì X ) 2an = , n1 n1 dn n ủ t ý tr n=1 S(xn ) = {v} v ứ r v=w tì t ó từ ì v S(xn ), n = 1, 2, w q ệ v S(xn ), n = 1, 2, q ệ (X, ) tứ ế v w v ột tử ự tr tứ tự s r x2 w n=1 S(xn ) = {v} t ỉ r r w=v v tự r v S(x1 ) x1 x1 w v S(x2 ) x2 w tứ ố ù tứ s w S(x2 ) v v ế ì w w S(x1 ) ó từ tụ v v t ợ tết t ó ột tử ự ể t ộ ủ T (v) (T v) d(v, T v) ì ó t ị ĩ tứ tự tr v ự t ó v = Tv X t ó v Tv ị ý ợ ứ ú ý r ể t ộ ủ t ị ý rst ó tể t ột ứ ụ ủ ị ý rst t ét ột ứ ụ ủ ị ý rst ệ ứ tồ t ệ ủ trì ề ệ sử trì dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0 , ề ệ f y t ề ệ st t t |x x0 | sử l ụ ị ý (x0 , y0 ) rst ể M |y1 y2 | ứ ó tồ t ột ệ t ề ệ ó ứ ể |f (x, y1 ) f (x, y2 )| ú G ị tụ tr ột ề y = (x) r ú ó tr ủ trì ột (2.2) (2.3) ệ ủ trì (2.2) ù ề ệ (2.3) ể ễ tí x (x) = y0 + f (t, (t))dt x0 tí tụ ủ ó G G ứ ể f ú t ó |f (x, y)| (x0 , y0 ) ú t ọ ệ s ợ t (x, y) G , ế |x x0 | l, |y y0 | Kl K tr ột ề l>0 s ề M l < ý |xx0 | ệ l C s C |(x)y0 | Kl tr tụ ị tr d(1 , ) = max |1 (x)2 (x)| x ủ ì ó ó ủ ủ tụ tr [x0 l, x0 + l] ét = T T t ị tứ x (x) = y0 + f (t, (t))dt, x0 |x x0 | l T ó t t ị ý rst t sử tụ ú t ứ C , |x x0 | x |(x) y0 | = | T = C ột é ế ổ tr ì f (t, (t))dt| C t ó x Kdt x0 ó l Kd x0 t ì tộ C s r T C C T t ó x d(T , T (T )) = max |(y0 + x f (t, (t))dt) (y0 + x x0 x = max | x0 x = max | x0 x |f (t, (t)) f (t, T (t))|dt max x0 x M max |(t) T (t)|dt max x f (t, T (t))dt| x0 (f (t, (t)) f (t, T (t)))dt| x x x f (t, (t))dt x t x0 x max |(t) T (t)|dt = max M x t x0 = max M d max |(t) T (t)| x f (t, T (t))dt))| x0 t = M ld(, T ) r d(, T ) d(T , T (T )) Md Md Md d(, T ) d(T , T (T )) Md Md d(, T ) = t () = d(,T ) 1M d t ó () (T ) d(, T ) ữ tụ ị ý rst (2.4) d T ó trì tụ ó T = ó ệ , T t ứ trì ó ệ ị ý tr rộ rt tốt ủ ý ể t ộ ề ệ ủ ị ý tr ũ t ột ể rộ ý rộ r t ể t ộ ủ trị t ị ý s ợ t Pú ể ứ ị ý ệ sử ụ ột số ết q ủ tí t ợ trì tr ột ú t t ệ s ị ĩ T : X X từ tr X í ó ộ ột số tự ó ể t ế ủ T k rt k ố ị tộ ợ ọ ể t ế d(x , T x ) x [0, 1) r T : X X ế d(T x, T y) kd(x, y) + r, x, y X ợ ọ ú ý r ế ị ý ó r=0 M tì k T : M M r t ột ủ ị k k rt tr ột t nề X ó > 0, x M : x T x < Js (X)r + ế X ị t 2ề ột tì Js (X)r x M : x T x ứ t ì x0 M t = {x X : x x0 B r = r+ x0 T x0 1k tr M ó =M B M xM ì ọ T x x0 rỗ t T t ó T x T x0 k r} x x0 + T x0 x +r + (1 k) rr r, ĩ Tx M 2M T : M ét ị (x) T(x) = conv M (x) = {y M : (xi ) M M ọ ,M (x) x M (x) diamM t tụ tr X r ó s từ ị ĩ ệ ề xi x, T xi y} ó rỗ ì ì (x) M s ột ữ ề (x) M M k t r ó ũ ị t ị ĩ (x) conv M T x M t r t ứ ợ ữ ị s ý ủ t tồ t ( x T( x) = conv M x) ệ ề r ó ( y M x) (x) M >0 t ì x x < tồ t ột ể T x y < s Js (X)r ( Js (X)diamM x) x y ì ị ĩ ( diamM x) M x M s r x T x x x t n sử x y y T x < Js (X)r + + ị t ề ề Js (X)r x T x ế X + ó t ó ề ứ x = x ế x T x > Js (X)r ( x conv M x) T x S=M tồ t rconvS (S) M ( M x) tồ t ột t ữ ú t ó k x convS (x) M r M ( M y M x) M t ị ĩ diamS r s s r từ ị ĩ Js (X)r x y > M x M ú t t ợ x x + + x y x y = t = 12 Js (X)r x T x x conv M ệ ề s r x y < rconvS (S) ệ ọ Js (X)r + x y + + y T x t t ó ề ứ ị ý t ó ệ q s ột t ề trú ủ t ể Js (X)r t ộ ủ t ệ q T : M M M ột t ó X ột tế tí ủ ị t ột Js (X)r t ộ ủ ứ ể í ệ Js (X)r t ủ K T ó sử t x , y ó t ể Js (X)r} ị ý t K ể tộ rỗ K [0, 1] = x + (1 )y T [x + (1 )y ] = x + (1 )y T x (1 )T y = (x T x ) + (1 )(y T y ) ọ ể tộ ố K 2ề ó x T x = Js (X)r tỏ tr ột t rỗ z = x + (1 )y z T z nề X K = {x : x T x ộ t ứ t T k rt x +(1 ) y y T y ề tộ K ề ứ t ột ể rộ ý ể t ộ ó rộ trị ể t ộ ủ trị k r rộ trị t ợ ết q s ọ ị ý r trớ ết ú t ột số ệ tết ị ĩ ỗ ột trị xX x t ủ X Tx T X t ợ Y é t t ứ t ộ ủ trị từ t ợ ợ ọ x, y X Y ủ ợ ọ ể ột trị ọ từ t ợ ột t ể T X k P(X) T ế P(X) ế tồ t ột số x T x ọ k [0, 1) s t ó D(T x, T y) kd(x, y) k=1 ú ý tr ị ĩ tr ế tì T ợ ọ ị ý r T : X CB(X) ĩ T ột h (k, 1) d(x0 , x1 ) = tì tết r d(x1 , T x1 ) tồ t ì x T x1 d(x2 , T x2 ) x T x2 (X, d) k ột tr ủ ó tồ t x X x T x ó ể t ộ ứ ế s x0 X x0 = x T x0 ột tỳ ý rồ s r x0 x T x0 ể t ộ d(x0 , x1 ) > ì D(T x0 , T x1 ) s d(x1 , x2 ) D(T x1 , T x2 ) d(x2 , x3 ) kd(x0 , x1 ) < hd(x0 , x1 ) hd(x0 , x1 ) kd(x1 , x2 ) < h2 d(x0 , x1 ) s h2 d(x0 , x1 ) (xn ) ế tụ q trì tr t ợ ột xn+1 T xn , d(xn , xn+1 ) t hn d(x0 , x1 ), n = 0, 1, 2, r tồ t m>n t ó d(xn , xm ) d(xn , xn+1 ) + + d(xm1 , xm ) (hn + hn+1 + + hm1 )d(x0 , x1 ) hn (1 + h + + hmn1 + )d(x0 , x1 ) mn n1 h = h d(x0 , x1 ) 1h ề ứ tỏ x X (xn ) xn ỗ n t ó d(xn+1 , T x ) n X tí ủ ủ x T x t ợ D(T xn , T x ) d(x , T x ) = kd(xn , x ) T x ì t ợ ó t ó ị ý ợ ứ ị ý ủ r ú t ứ ột tí t ủ ể t ộ ủ trị k ét ể t ộ ủ ột trị s Tx = A ể ủ A A k T ó tể t t ó rỗ ị ủ xX ọ ó ề ể t ộ ủ T T k X T k=0 ọ ể t ộ ủ trị ó tể ét T ệ q ột trị tr tết (X, d) k A t tr ủ T : X CB(X) ó t ể t ộ ủ T ó rỗ ứ ọ {x X : x T x } B= x ủ T ó từ ị ý r t ó B= t ể t ộ t ứ xn xo ể ứ t T T B ó sử B {xn } ột t ì tr ó t ứ k ỗ n xo B t ó xn B ể t ộ ủ d(xn , T xo ) n kd(xn , xo ) t ợ d(xo , T xo ) s r D(T xn , T xo ) d(xo , T xo ) xo kd(xo , xo ) = 0, ột ể t ộ ủ T ó ệ q ợ ứ ứ ệ q ế t k=1 t s r ết s ề trú ủ t ể t ộ ủ trị ét ọ trị ế ó ể t ộ tì t ợ ể t ộ ủ ó ột t ợ ó ể t ộ ủ trị k rt ú t ứ ột rộ trị t trớ ết ú t ế ột ệ ủ tí trị ị ĩ trị k [0, 1) k rt r trị ế ọ x, y X D(T x, T y) r ị ĩ tr trị k r=0 T từ X CB(X) ợ ọ t ó kd(x, y) + r tì trị k r t ệ ề (X, d) tr C ột t ợ t tr X T : C B(C) ột k rt ó tồ t x C s 2k r 1k d(x , T x ) ứ ế h (k, 1) d(x0 , x1 ) = 0, s r ị ý sử x0 t ì tộ x0 = x1 d(x0 , x1 ) > 0, d(x1 , T x1 ) X s ó t ì x T x0 ó ĩ x0 t ó D(T x0 , T x1 ) < hd(x0 , x1 ) + r x T x1 s d(x1 , x2 ) hd(x0 , x1 ) + r ó d(x2 , T x2 ) D(T x1 , T x2 ) kd(x1 , x2 ) + r khd(x0 , x1 ) + (k + 1)r < h2 d(x0 , x1 ) + (k + 1)r r tồ t x T x2 s d(x2 , x3 ) ế tụ q trì tr t ọ ợ h2 d(x0 , x1 ) + (k + 1)r (xn ) X t xn+1 T xn , d(xn , xn+1 ) ể t kd(x0 , x1 ) + r r tồ t x1 T x0 hn d(x0 , x1 ) + (k n1 + ã ã ã + k + 1)r k n1 hn d(x0 , x1 ) + r 1k r hn d(x0 , x1 ) + 1k ì h (k, 1) lim hn d(x0 , x1 ) = r n > 0, n : n > n d(xn , xn+1 ) < ì C x C t tồ t ột (xnl ) r + 1k ủ (xn ) x nl ộ tụ ế ó nl : nl > nl d(xnl , x ) < 2(k + 1) ó d(xnl +1 , T x ) t D(T xnl , T x ) m = max{n , nl } ó ọ d(x , T x ) d(x , T x ) < kd(xnl , x ) + r < k nl > m 2(k + 1) + r t ó d(x , xnl ) + d(xnl , xnl +1 ) + d(xnl +1 , T x ) r < +[ + ] + [k + r] 2(k + 1) 1k 2(k + 1) 2k = r + , > 1k 2k 1k r + , > ú t ó d(x , T x ) 2k 1k r ệ ề k ợ ứ r ệ ề tr ế r=0 tì T : C B(C) t ó ệ q ệ q tr (X, d) tr X T : C B(C) ột k C ột t t ó tồ t x C s d(x , T x ) = r ệ ề tr ế r=0 rỗ ó ị tr ệ q tr (X, d) C T : C CB(C) trị t ó ệ q s tr C ột t t X T : C CB(C) ột k ó tồ t x C s x T x ứ d(x , T x ) = r = T x từ ệ ề tr s r t ợ ó s r r ệ ề tr ế t ét T tồ t x C x T x s trị tr C tì t ó ệ q s (X, d) tr C ệ q X T ột trị d(x , T x ) k rt k tì t ợ ết q s k tr C ó T ệ q d(x , T x ) = tứ sử ó y x = T x r =0 ộ t ó ể t ộ t T ề ứ tỏ ũ ể t ộ ủ s r d(x , y ) = ó ột t t tr t s r tồ t d(x , y ) = d(T x , T y ) k[...]... ủ CconvSk (Sk ) = {x convSk : sup Sk t ứ ớ t x y = rconvSk (Sk )} convSk t rỗ ớ t ì ể ố ị c CconvSk (Sk ) s r c xi max 1 i k rconvSk (Sk ) 1 Js (X)diamSk 2 1 Js (X)diamS 2 ế z=c t tì từ t s r ế ợ convSk \ ri(convSk ) k1=l k ế zz ế z / Sk tì t z Sk tì từ cz z convSk \ Sk zy ở z [c, z ] ó t từ q z Sk = {xi1 , , xik } Sk s r ờ tết q ó ó từ c 1 Js (X)diamS 2 rconvSk... ri(convS) z convSl ó t ớ Sl S ớ dimSl L l từ c q ế z t z Sl tì convS\ri(convS) z [c, z ] s r zz < cz rX (S) = rconvS (S), c=z t y Sl ớ z convSl \ Sl ó g(x) = x y rX (S), z y ồ t tr rconvS (S) = rX (S) z y > rX (S) L Sl L = ề s r ờ z L \ [c, z] ề t ớ ế Sl S c=z / ri(convS) ó dimSl ớ ySl dimSl l z=z S = Sl (1.9) s r z ri(convSl ) ớ ờ tết q từ zy min l z convS... q ợ ứ ừ ứ ệ q ế t k=1 t s r ết s ề trú ủ t ồ ể t ộ ủ trị ét ọ trị ế ó ể t ộ tì t ợ ồ ể t ộ ủ ó ột t ợ ó ể t ộ ủ trị k rt ờ ú t ứ ột ở rộ trị t trớ ết ú t ế ột ệ ủ tí trị ị ĩ trị k [0, 1) k rt r 0 trị ế ớ ọ x, y X D(T x, T y) r ị ĩ tr trị k r=0 T từ X CB(X) ợ ọ t ó kd(x, y) + r tì trị k r t ệ ề (X, d) tr C ột t ợ t tr X T : C B(C)... Js (X)diamS z y z convSk z=c z [c, z ] max{ c y , z y } y Sk S s s r 1 Js (X)diamS 2 ú t t ứ ệ ề sử min 1 i k X ị ồ t ề S = {x1 , , xk } X z convS \ S ó z xi < rconvS (S) 1 Js (X)diamS 2 z xi = rconvS (S) ứ 1 Js (X)diamS (i = 1, , k) 2 ờ t tứ rconvS (S) 1 2 Js (X)diamS ể ú ể ứ ệ ề ú t sẽ ứ r ế min 1 i k z xi rconvS (S) tì z xi = rconvS (S), (i = 1, ... T x ộ ờ t ứ t T k rt x +(1 ) ớ y y T y ề tộ K ề ứ t ồ ột ớ ể ở rộ ý ể t ộ ó ở rộ ớ trị ể t ộ ủ trị k r ở rộ trị t ợ ết q s ọ ị ý r trớ ết ú t ột số ệ tết ị ĩ ỗ ột trị xX x t ủ X Tx T X t ợ Y é t t ứ t ộ ủ trị từ t ợ ợ ọ x, y X Y ủ ợ ọ ể ột trị ớ ọ từ t ợ ớ ột t ể T X k P(X) ớ T ế P(X) ế tồ t ột số x T x ọ ồ k [0, 1) s t ó D(T x,... 1 1 rconvS (S) = diamS = 2 2 z xi < rconvS (S) min 1 i k ó s r z = 12 (x1 xk ) x1 xk ế 1 z = (x1 xk ) 2 z xi max 1 i k rconvS (S) ó ợ s từ ờ sử ị ú ớ {x1 , , xk } ớ dimS = l + 1 dimS l ú ớ t S = 2 ú t ỉ r ú í ệ CX (S) = {x X : sup x y = rX (S)} yS ó convS t t ó CX (S) t rX (S) = rconvS (S) sử rờ ợ c=z ợ ồ ú ột tử ứ tr CX (S) = {c} ó min x y yS sup x y = rconvS... yS inf xy sup xconv(S) yS = rconvS (S) xy ề ể ét ợ ứ ờ t ứ ợ r 2n n+1 J(l2n ) = Js (l2n ) = ớ n l2n ề 2n n+1 J(X) ớ X ss n 1 2 ề ờ ú t trì ệ ề ú ệ ứ ị ý ề ể t ộ ủ trị t ệ ề ề X S ột t ị ủ ị ữ z convS \ S ó tồ t s S 1 Js (X)diamS 2 zs ứ ừ z convS \ S Sk = {x1 , x2 , , xk } S s ồ k ú 2 ý ể ộ s r tồ tế t tí ột s t z ri(convSk ) ú t sẽ ứ q r min... (X)r x T x ế X + ó t ó ề ứ ớ x = x ế 1 x T x > Js (X)r 2 ( x conv M x) T x S=M ừ ớ tồ t rconvS (S) M ( M x) tồ t ột t ữ ú t ó k x convS (x) M r M ( M y M x) M t ị ĩ diamS r s s r từ ị ĩ 1 Js (X)r 2 x y > 0 M x M ú t t ợ x x 2 + + x y x y = t = 12 Js (X)r x T x x conv M ở ệ ề s r x y < rconvS (S) ờ ệ ọ 1 Js (X)r 2 + x y + 2 + y T x t t ó ề ứ ừ ị... , T x ) d(x , T x ) = 0 kd(xn , x ) T x ì t ợ ó t ó ị ý ợ ứ ừ ị ý ủ r ú t sẽ ứ ột tí t ủ ể t ộ ủ trị k ét ể t ộ ủ ột trị ớ s Tx = A ể ủ A A k T ó tể t t ó rỗ ị ủ xX ớ ọ ó ề ể t ộ ủ T T k X T ớ k=0 ọ ồ ể t ộ ủ trị ó tể ồ ét T ệ q ột trị tr ớ tết (X, d) k A t ồ tr ủ T : X CB(X) ó t ồ ể t ộ ủ T ó rỗ ứ ọ {x X : x T x } B= x... ó rconvS (S) diamS 2 ứ rớ ết ú t ứ ớ ọ x, y S 1 2 diamS rX (S) ú t ó xy xc y c , c X + r sup xy sup { x c x,yS + yc } x,yS xc sup yc + sup xS yS y c , c X = 2 sup yS ó sup xy = inf sup cX x,yS x,yS ứ t ó diamS õ r rX (S) xy inf 2 sup cX 2rX (S) ó y c = 2 inf sup cX yS yS 1 2 diamS y c rX (S) rconvS (S) ờ ú t ứ rconvS (S) diamS ì diamS = sup xy x,yS inf sup xS yS inf xy sup xconv(S) ... t ộ ủ trị ét ọ trị ế ó ể t ộ tì t ợ ể t ộ ủ ó ột t ợ ó ể t ộ ủ trị k rt ú t ứ ột rộ trị t trớ ết ú t ế ột ệ ủ tí trị ị ĩ trị k [0, 1) k rt r trị ế ọ... (X)diamS ú t ứ ét t ợ t t ố ủ CconvSk (Sk ) = {x convSk : sup Sk t ứ t x y = rconvSk (Sk )} convSk t rỗ t ì ể ố ị c CconvSk (Sk ) s r c xi max i k rconvSk (Sk ) Js (X)diamSk Js (X)diamS... dimSl L l từ c q ế z t z Sl tì convS i(convS) z [c, z ] s r zz < cz rX (S) = rconvS (S), c=z t y Sl z convSl Sl ó g(x) = x y rX (S), z y t tr rconvS (S) = rX (S) z y > rX (S)