Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về dao động mạng

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến khóa luận em hoàn thành Trong thời gian nghiên cứu em giúp đỡ tận tình giảng viên – TS Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp hướng dẫn em làm khóa luận thầy cô khoa Vật lí, đặc biệt tổ Vật lí lý thuyết trường Đại học sư phạm Hà Nội bạn sinh viên khoa Vật lí Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt cô giáo – TS Phạm Thị Minh Hạnh động viên, tạo điều kiện, xin cảm ơn tất bạn sinh viên giúp đỡ hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên thực Phan Thị Thương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với khóa luận khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên thực Phan Thị Thương MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….1 NỘI DUNG……………………………………………………………………3 Chương Cấu trúc tinh thể…………………………………… .3 1.1 Cấu thành vật rắn liên kết nguyên tử………………………3 1.2 Các mạng Bravais…………………………………………………… 1.3 Véctơ mạng đảo…………………………………………………… 10 1.4 Vùng Brillouin…………………………………………………… 12 1.5 Điều kiện tuần hoàn Born – Karman……………………………… 13 Chương Lý thuyết cổ điển dao động mạng…………………………… 15 2.1 Dao động mạng hệ chiều gồm loại nguyên tử……….15 2.2 Dao động mạng hệ chiều gồm hai loại nguyên tử……… 19 2.3 Dao động mạng hệ ba chiều phức tạp……………………… 23 2.4 Tọa độ chuẩn dao động mạng ba chiều……………………… 29 Chương Lý thuyết lượng tử dao động mạng… .33 3.1 Năng lượng hàm sóng dao động mạng – Phonon………… 33   m 3.2 Toán tử dịch chuyển nguyên tử u   …………………………… 39 i   3.3 Phương trình chuyển động toán tử as q, t    a q, t …………………………………………………………………… 42   s   3.4 Nhiệt động lực học thống kê tinh thể……………………………43 3.4.1 Năng lượng tự dao động mạng……………………… 43 3.4.2 Năng lượng nhiệt dung vật rắn………………………… 45 3.5 Mô hình Einstein mô hình Debye……………………………… 46 3.5.1 Mô hình Einstein…………………………………………… 46 3.5.2 Mô hình Debye…………………………………………………48 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong cách mạng khoa học công nghệ ngành vật lí học nói chung vật lí chất rắn nói riêng giữ vai trò quan trọng Việc nghiên cứu vật lí học nói chung vật lí chất rắn nói riêng thực hai phương diện thực nghiệm lý thuyết Lý thuyết tiên đoán tượng khoa học mà sở để giải thích kết thực nghiệm từ rút thông số cần thiết cho khoa học, kỹ thuật Chính việc nghiên cứu đào tạo lý thuyết môn vật lí chất rắn giữ vai trò quan trọng Trong lý thuyết cổ điển, nguyên tử tương tác với liên kết chuỗi nguyên tử tuyến tính Việc nghiên cứu tính chất tinh thể gặp phải khó khăn phải xác định chuyển động nhiều hạt Do cần phải xây dựng phương pháp gần để nghiên cứu dao động mạng tinh thể: Khi ta coi, trạng thái kích thích tinh thể khối khí lý tưởng gồm kích thích sơ cấp không tương tác với Mỗi dao động dao động tử điều hòa ta chuyển dao động tử điều hòa tinh thể thành hệ dao động tử điều hòa Coi lượng tử dao động mạng phonon có lượng  q Để thuận tiện cho việc lượng tử hóa dao động mạng - phonon ta dùng phương pháp chung học Haminton (dựa lý thuyết lượng tử) Do vậy, để giải toán dao động mạng tinh thể nhiệt dung vật rắn việc lượng tử hóa dao động mạng việc cần thiết có ý nghĩa Với lý nêu nên định chọn đề tài khóa luận là: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử dao động mạng” Mục đích nghiên cứu Qua nghiên cứu tìm hiểu đề tài: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử dao động mạng” để hiểu quy luật vận động nguyên tử, phân tử tinh thể vật rắn theo lý thuyết lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn - Dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cổ điển Xét toán dao động mạng tinh thể điển hình - Áp dụng lý thuyết lượng tử vào nghiên cứu dao động mạng tinh thể Đối tượng nghiên cứu - Mạng tinh thể vật rắn Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Thống kê, lập luận, diễn giải - Dùng phương pháp vật lý thống kê học lượng tử Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có chương: - Chương Cấu trúc tinh thể - Chương Lý thuyết cổ điển dao động mạng - Chương Lý thuyết lượng tử dao động mạng NỘI DUNG CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ 1.1 Cấu thành vật rắn liên kết nguyên tử Trạng thái rắn vật chất tồn xuất lực tương tác hạt cấu tạo nên vật rắn chúng lại gần khoảng cách đủ nhỏ vật rắn Muốn tạo thành cấu trúc ổn định vật rắn vật rắn phải tồn hai loại lực liên kết: Lực hút hạt để giữ cho chúng không rời xa lực đẩy chúng không tụ lại với Vì vậy, chất vật rắn có hai loại lực liên kết lực hút lực đẩy Sau ta tìm hiểu cụ thể dạng liên kết điển hình vật rắn: Lực Vanđơvanxơ loại liên kết thường gặp vật rắn, xuất hai nguyên tử hay phân tử a    p   V  b   RT V   đó, (1.1) a b xuất tính đến lực hút lực đẩy hay tương tác V2 phân tử khí thực hay gọi phần bổ chính, p áp xuất, V thể tích, a, b phần bổ chính, R số, T nhiệt độ tuyệt đối Lực xuất phân tử bão hòa O2 , H , N , CH nguyên tử khí trơ Ar, Ne Trong trường hợp tổng quát lực liên kết Vanđơvanxơ gồm ba loại tương tác chính: Tương tác tán xạ, tương tác định hướng tương tác cảm ứng Tương tác tán xạ loại lực liên kết xuất chuyển động điện tử nguyên tử lân cận Năng lượng tương tác tính theo công thức: U J  - 2 tx r (1.2) đó:  độ phân cực, r khoảng cách, J lượng kích thích Dưới tác dụng cường độ điện trường  làm xuất momen lưỡng cực: M    (1.3) Tương tác định hướng có lượng tương tác biểu diễn: Ở vùng nhiệt độ thấp: M2 U dh   2 r (1.4) Ở vùng nhiệt độ cao: U dh   M4 24  k T r 2 B (1.5) đó: M momen lưỡng cực,  số điện môi, k B số Boltzmann, k B = 1,38.10-23 J/K, T nhiệt độ tuyệt đối, r khoảng cách nguyên tử Tương tác cảm ứng có lượng tương tác biểu diễn sau: M U cu   8 02 r (1.6) Trong trường hợp tổng quát hai nguyên tử lại gần xuất ba loại lực liên kết Năng lượng tương tác biểu diễn sau: U  U tx  U dh  U cu Bằng thực nghiệm người ta chứng minh được: U cu  U tx ,U dh Liên kết ion loại liên kết xuất kim loại điển hình với nhóm Halogen Bản chất liên kết ion lực tương tác tĩnh điện ion trái dấu Năng lượng tương tác xác định: U B q2  r n 4 0r (1.7) đó: B, n số, q điện tích, r khoảng cách nguyên tử,  số điện môi Liên kết cộng hóa trị loại liên kết tạo thành cặp electron có spin đối song Đây loại liên kết mạnh liên kết nguyên tử trung hòa Ví dụ liên kết tinh thể kim cương, Si, Ge, GaAs, GaP, AlP, v.v… Liên kết cộng hóa trị có tính định hướng bão hòa Liên kết kim loại loại liên kết xuất kim loại, liên kết kim loại giống liên kết cộng hóa trị chỗ có điện tử hóa trị góp chung liên kết cộng hóa trị điện tử góp chung đóng góp từ nguyên tử lân cận gần cặp điện tử Còn liên kết kim loại tất nguyên tử tinh thể cho đóng góp vào điện tử góp chung Mặt khác, điện tử góp chung không định xứ nguyên tử mà dịch chuyển tự mạng tinh thể Liên kết Hidro xuất trường hợp nguyên tử Hidro liên kết với nguyên tử có tính âm điện mạnh Cl2 , P, O2 , N … Khi có điện tử điện tử liên kết mang điện tích âm Hidro một điện tử mạng điện tích dương Liên kết có chất lực hút tĩnh điện 1.2 Các mạng Bravais Để mô tả cấu trúc bên tinh thể người ta sử dụng khái niệm mạng không gian: Trong vật rắn nguyên tử, phân tử sếp cách đặn tuần hoàn không gian tạo thành mạng tinh thể Tinh thể lý tưởng phải thỏa mãn ba điều kiện sau đây: - Sự sếp nguyên tử, phân tử hoàn toàn tuần hoàn - Phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa nơi chứa nguyên tử phân bố - Phải có kích thước dài vô hạn Người ta xây dựng mạng tinh thể cách lặp lại không gian theo quy luật định đơn vị cấu trúc giống gọi ô sơ cấp Ở tinh thể đơn giản (Ag, Cu, Al,…) ô sơ cấp chứa nguyên tử Ở tinh thể phức tạp ô sơ cấp chứa nhiều nguyên tử, phân tử z a3 a2 aa y o x H2.1 Hình H2.1 diễn tả mạng tinh thể nhận cách tịnh tiến hạt dọc theo ba trục: Ox theo đoạn: a1 , 2a1 , 3a1 , Oy theo đoạn: a2 , 2a2 , 3a2 , Oz theo đoạn: a3 , 2a3 , 3a3 , Khi vị trí nút mạng xác định véctơ:     r  n1 a1  n2 a2  n3 a3 (2.1)    đó: ni (i=1, 2, 3) số nguyên, a1 , a2 , a3 véctơ tịnh tiến sở  Tập hợp điểm có bán kính véctơ r xác định theo công thức (2.1) với giá trị khác ni (i=1, 2, 3) lập thành mạng không 10      m hết ta biểu diễn toán tử V   qua as q as q Dịch i     i qm   m s có dạng V    A q e X q , t với:  i, s N i s, q    phonon Trước   m chuyển V   i       1  i X s q , t   xs q , t  xs  q , t   2 s q    iP q ,t   s    q x q , t    s s M 2s q    Ở ta sử dụng hệ thức s q                Ps q, t Ps q, t    M M                  iPs  q, t    q xs  q , t  M              s q , Ps  q, t  M xs  q, t s             Trong học lượng tử thay xs q, t xs q, t , xs q, t xs q, t ,                Ps q, t Ps q, t , Ps q, t Ps q, t Khi X s q, t thay             toán tử X s q, t , ý rằng:    i Ps q, t         s q xs q , t           M  i Ps q, t   s q xs q , t    2s q     as q, t   M      M    12  2s q     as q, t   M                 X s q, t     as q, t  as  q, t   M s q            44   (2.1)   2   m          V        Ais, q ei q m as q, t  as q, t     i  s , q  NM s q        (2.2) hay:   2       m  V        Ais, q ei qm as q, t  i  s , q  NM s q      (2.3)              Ais, q ei qm as q, t s , q  NM s q      Trong tổng cuối, thay số lấy tổng q − q với ý     * s q  s q Ais, q  Ais, q ta viết được:             2  m  V         i  s , q  NM s q      *  s  iqm A q e as q, t  Ais,  i ,    m Toán tử dịch chuyển nguyên tử u    i     (2.4)       q e iqm as q, t    M  m V   có dạng: mi  i       2   m  i q m       s   u     Ai , q e as q, t  as  q, t      i  s , q  Nmis q        (2.5) hay:   2      m       *     u        Ais, q ei q m as q, t  Ais, q e  i q m as q, t    i  s , q  Nmis q     45          3.3 Phương trình chuyển động toán tử as q, t as q, t      Theo học lượng tử đạo hàm theo thời gian toán tử F xác định theo phương trình:  F         i  F, H   F H  H F t     Đối với toán tử hủy phonon as q, t , ta có:   i    as q , t  a t  s       q, t  H  H a  q , t  s  '  '    ' 1 H   s' q as' q , t as' q , t   2  s ,q       Sử dụng hệ thức giao hoán:         ' ' a s q , t a s ' q , t  a s ' q , t as q , t            a  q, t  a  q , t   a  q , t  a  q , t       s   s'   s' '  ' s ss '    ' qq Ta tìm được: i   d as q , t       s  q  a  q, t     i    q as q , t dt s hay:   d as q, t dt s    (3.1) Lấy liên hiệp Hecmit hai vế (3.1).ta có:  d a q, t   s    i dt s 46    q as q , t    (3.2) Các phương trình (3.1) (3.2) gọi phương trình chuyển động     toán tử as q, t as q, t Từ (3.1) (3.2) dễ thấy rằng:          i s  q t a s q , t  as q e       a  q, t   a  q  e   s   s (3.3)  i s q t  3.4 Nhiệt động lực học thống kê tinh thể 3.4.1 Năng lượng tự dao động mạng Ta tính lượng tự dao động mạng gần điều hòa Năng lượng dao động mạng gần điều hòa có dạng: Nn0 Nn0  n    En1n2 nk n3 Nn  k k 1 k k 1 1   nk   2  (4.1)  Ở ta kí hiệu tập hợp số s, q chữ k Tổng trạng thái dao động mạng bằng:    Zd    n1 0 n2    e   n1 k BT n1    En1n2 nk n3 Nn k BT e n3 Nn0   e   n2 k BT n2    e   nk kBT nk     e  n3 Nn k BT n3 Nn0 0 Nn0   Zk k 1 đó:  Zk   e   nk k BT nk 0   e  k  1  nk   kBT  2 nk 0  e k k BT  e  k nk k BT nk 0 tổng trạng thái dao động điều hòa k  Ta tính Z k Đặt d  e k kBT tính tổng cấp số nhân 47 (4.2) d nk  d 1 nk 1  d nk  nk 0 Khi nk   d nk  Khi đó:  e  k nk k BT   nk  1 e  k k BT Vậy tổng trạng thái dao động tử điều hòa k bằng:  e Zk  k k BT  1 e (4.3) k k BT Gọi Fk   k BT ln Z k lượng tự dao động điều hòa với tần số k , ta có:   k   k  Fk   k BT ln 1  e kBT    (4.4) Năng lượng trung bình dao động tử điều hòa lượng tử bằng: 1 F     n  k  nk    Fk  T k  k   k 2 T  k T k k e (4.5) 1 B Từ (4.5) ta suy ra: nk  e k kBT (4.6) 1 Số nk số phonon trung bình có lượng k nhiệt độ T Năng lượng tự dao động mạng gần điều hòa bằng: Nn0 Fd   k BT ln Z d  k BT  ln Z k  k 1 Nn0 F k k 1  Nn0  k   k  Fd   k BT  ln 1  e kBT  k 1 k 1   Nn0 48 (4.7) hay Fd   s ,q   s q   s  q       k BT  ln 1  e kBT  s ,q   (4.8)  ( s  1, 2, 3n0 ; q có N giá trị) Biết Fd ta tính đại lượng nhiệt động khác đặc trưng cho dao động mạng 3.4.2 Năng lượng nhiệt dung vật rắn Chúng ta tính lượng trung bình dao động mạng tinh thể từ tính lượng nhiệt dung vật rắn Năng lượng trung bình dao động mạng tinh thể bằng: Nn0 k Nn0 k Ed     k k 1 k 1 k T e B 1 (4.9) hay: Ed   s ,q  s q     s q    s ,q e Khi T  Ed  E0     s q s ,q   (4.10)   s q k BT 1 Đại lượng E0 gọi lượng dao động không lượng dao động trạng thái Năng lượng vặt rắn E  0  Ed Nhiệt dung đẳng tích vật rắn xác định công thức:  s  q     s q  e k BT  dE    CV      k B   k BT   s  q    dT V s ,q     k BT e  1      49 (4.11) Ở vùng nhiệt độ cao cho   s q    gần ta có: k BT  s q  e k BT 1   s q  k BT E  0  E0  Nn0 k BT (4.12) Cv  Nn0 k B (4.13) Biểu thức (4.12) (4.13) lượng nhiệt dung vật rắn nhiệt độ cao 3.5 Mô hình Einstein mô hình Debye Khi tính đại lượng nhiệt động lượng tự do, nhiệt dung vật rắn, lượng v.v…, cần thiết phải biết quy luật tán sắc, nghĩa biết biết   phụ thuộc tần số s q vào q Giải toán tìm phụ thuộc   s q   vào q trường hợp tổng quát phức tạp Trong nhiều trường hợp ta sử dụng mô hình gần Có hai mô hình sử dụng nhiều mô hình Einstein mô hình Debye 3.5.1 Mô hình Einstein Lý thuyết nhiệt dung vật rắn dựa sở học lượng tử cho phép giải thích nhiệt dung vật rắn nhiệt độ thấp lý thuyết Einstein Einstein giả thiết, coi vật rắn tập hợp 3Nn0 dao động tử điều hòa với tần số gọi tần số Einstein  E Năng lượng dao động nhiệt theo mô hình Einstein bằng: E Ed  E0  3Nn0 e 50  E kBT 1 (5.1) Năng lượng vật rắn gần lượng dao động nhiệt Ed tương tác nguyên tử trạng thái cân 0 E E  Ed  0  U  Nn0 e E k BT (5.2) 1 U  E0  0 Nhiệt dung đẳng tích vật rắn theo mô hình Einstein bằng:  E k BT   E  e  dE  CV      Nn0 k B   dT V   k BT   kBTE  e  1     Khi (5.3) E  , nghĩa nhiệt độ cao ta có: k BT E  U  Nn0 k BT (5.4) CV  Nno k B (5.5) Kết phù hợp với định luật thực nghiệm Đuylông – Pơtit E E E Khi  , nghĩa nhiệt độ thấp ta có e kBT   e kBT đó: k BT   E   kBTE CV  Nn0 k B   e  k BT  (5.6) Như T  T giảm theo định luật hàm mũ Trong thực tế với nhiều vật rắn T  gần nhiệt dung giảm tỉ lệ với bậc ba nhiệt độ Kết chứng tỏ mô hình Einstein nhiệt dung vật rắn không tốt nhiệt độ thấp Và hạn chế xuất phát từ giả thiết cho dao động thực với tần số Thành công Einstein giải thích vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung giảm Khi T  nhiệt dung giảm Lý thuyết Einstein mô tả 51 tốt phonon nhánh quang học nhánh quang học tần số phụ thuộc  chủ yếu vào véctơ sóng q 3.5.2 Mô hình Debye Theo Debye ta xét phonon âm học quy luật tán sắc (sự phụ  thuộc  vào q ) chúng có dạng:  s (q)  vs ( ,  )q (5.7)   ,  góc xác định phương q Theo Debye giả thiết: Vật rắn môi trường liên tục, truyền  dao động vật rắn truyền sóng âm Vì giá trị q thay đổi   cách liên tục nên ta thay tổng theo q thành tích phân theo q  Gọi dz số giá trị q nằm yếu tố thể tích dVq  dqx dq y dqz Ta tính dz Với giả thiết coi vật rắn môi trường liên tục Ta đưa vào thành phần dịch chuyển (độ dời) U j có dạng: U j  Aj e  Aj e  i qr t    i q x x  q y y  qz z t  (5.8) ; ( j  1, 2, 3) Sau ta áp dụng điều kiện biên: U j ( x, y, z , t )  U j ( x  Lx , y, z, t )  U j ( x, y  Ly , z, t )  U j ( x, y, z  Lz , t ) iq L  eiqx Lx  e y y  eiqz Lz  2  qx  n1 Lx  qy  2 n2 Ly 52  qz  2 n3 Lz (5.9)  Như ba số n1 , n2 , n3 cho giá trị véctơ q Khi   Lx , Ly , Lz đủ lớn ta coi q biến đổi cách liên tục Như giá trị q nằm yếu tố thể tích không gian dVq là: Lx Ly Lz dz  dn1dn2 dn3  Vậy V  2   2  dqx dq y dqz  V  2  dqx dq y dq z (5.10)   số giá trị q đơn vị thể tích không gian q Tính dz hệ tọa độ cầu: dz   V  2  V q sin  dqd d  2  q dqd    d V  2  v3 (5.11) d d   sin  d d , d  gọi thể tích góc khối Và q   v  Giá trị dz giá trị cho ngành âm, dz số giá trị q    nằm khoảng q  q  d q cho ngành âm  Như số giá trị q cho ba nhánh âm theo phương là: dz  V  2    d   v 4   1   d  v2 v3  V   d 2 v  v3 4  1     4  v13 v23 v33 d  ,  vận tốc trung bình âm   53 (5.12) hay dz  Z ( ) d  Z ( )  dz V2 gọi mật độ trạng thái  d 2 v3 theo  Người ta chứng minh được: Đối với môi trường đẳng hướng tồn sóng âm dọc ( vd ) hai sóng âm ngang ( ) thỏa mãn phương trình:  3 3 v vd (5.13) Số trạng thái dao động có tần số  nằm khoảng từ tới giá trị giới hạn wD phải số bậc tự tinh thể 3Nn0 Khi ta có: D  dz   V Z ( ) d  2 v D   d 3Nn 0 (5.14)  3V D Nn  3Nno  D  6 2v o 2 v V Trong gần Debye tính được: Z D ( )  Nn0 D Z D ( )  với     D với    D Đồ thị biểu diễn phụ thuộc Z D   vào  hình H5.1 H5.1 54 Trong nguyên lý Debye chuyển tổng sang tích phân sau: D    Z  s ,q D ( )d (5.15) Năng lượng vật rắn bao gồm lượng dao động âm lượng tương tác nguyên tử trạng thái cân 0 bằng: D E  U0   E  U0  Đặt: x   e  kBT Nno D3 Z D   d 1 D 3  e  kBT d (5.16) 1    ; xD  D  , k BT k BT T (5.17) Thay (5.17) vào (5.16) ta được: Nno  T  E  U0  D3    xD  x3 dx ex  (5.18) Nhiệt dung đẳng tích vật rắn là:  dE  CV     dT V (5.19) Thay (5.18) vào (5.19) ta được:  dE  T  CV     Nn0 k B    dT V   xD  x 4e x  e x  1 dx Ở vùng nhiệt độ thấp T bé xD   :  x3 4 dx  0 e x  15 Năng lượng nhiệt dung vật rắn T thấp bằng: 55 (5.20) E 3 Nn0 k BT 5  U0 (5.21) (5.22) Như nhiệt độ thấp CV tỉ lệ với T , phù hợp với thực nghiệm Ở vùng nhiệt độ cao x   e x   x  CV  3Nn0 k BT , kết phù hợp với thực nghiệm Như mô hình Debye vùng nhiệt độ cao vùng nhiệt độ thấp phù hợp với kết thực nghiệm Tuy nhiên lý thuyết hoàn hảo vật rắn phải kết hợp mô hình Einstein Debye mô hình Debye xét với phonon âm học 56 KẾT LUẬN Sau trình nghiên cứu, tìm tòi hoàn thành khóa luận làm công việc sau: - Trình bày sơ lược, tổng quan cấu trúc tinh thể tinh thể vật rắn, dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cổ điển, từ sâu tìm hiểu toán dao động mạng điển hình - Trình bày cách xây dựng lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể áp dụng lý thuyết lượng tử vào nghiên cứu dao động mạng tinh thể Cụ thể xác định công thức tính nhiệt dung tinh thể vật rắn phù hợp với kết thực nghiệm, làm hoàn thiện kết nghiên cứu dựa lý thuyết cổ điển nhà khoa học xây dựng trước Qua nghiên cứu tìm hiểu đề tài: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử dao động mạng” giúp hiểu sâu để hiểu quy luật vận động nguyên tử, phân tử tinh thể vật rắn theo lý thuyết lượng tử Tuy nhiên thời gian có hạn nên luận văn trình bày số tính chất, cách xây dựng toán tử quy luật vận động mạng tinh thể theo lý thuyết lượng tử, nhiều vấn đề khác chưa đề cập đến Mặt khác kinh nghiệm nghiên cứu ít, điều kiện làm việc hạn chế nên chắn khóa luận nhiều thiếu sót Mong thầy cô giáo bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Bá Ân, Nguyễn Văn Hiệu, Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [2] Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm, 2005 [3] Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [4] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học giáo dục, 1992 [5] GS.TS Nguyễn Hữu Mình, PGS.TS Nguyễn Thị Thanh Hương, Lí thuyết lượng tử chất rắn, NXB Đại học sư phạm, 2008 [6] Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết, NXB Giáo dục, 1986 [7] Phạm Qúy Tư, Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, 1986 [8] Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục, 1984 [9] Vũ Thanh Khiết, Vật lí thống kê, NXB Giáo dục, 1987 [10] http://www.360.thuvienvatly.com [11] http://www.vatlyvietnam.org [12] http://www.vi.wikipedia.org Tiếng Anh: [13] M.S.Svirskii,Elektdronaia Teoriia Vetchestva, M.Prosvetchenie, 1980 [14] C.Kittel, Introduction solid state physics.4th – Edition, Bản dịch tiếng Nga, Vvedeniev fiziki tverdogo tela.M.Navaka, 1978 [15] Warsawa, L.Sosnowski Wstep fizykiciata statego, 1977 [16] Blokhintsev Kvantovaia mekhanika M 1978 [17] Borovik, Romanov, Lektsii po pheramagne – tizmu, 1966 58 [...]... đổi, do đó '  q và q về mặt vật lí là tương đương nhau, được xác định sai khác nhau bởi  véctơ mạng đảo G 2.4 Tọa độ chuẩn trong dao động mạng ba chiều Định nghĩa: Là tọa độ mà trong đó ta sẽ biểu diễn năng lượng của dao động E  T   như dao động điều hòa của 3N 0 s dao động điều hòa độc lập Việc làm như vậy rất thuận lợi cho việc nghiên cứu lý thuyết lượng tử của dao động mạng Từ (3.6) ta có:... trưng dao động của nhánh âm học và nhánh quang học khi q=0, thay vào U n ( A), U n ( B ) ta được: U n ( A) A1  U n ( B) A2 U ( A)  Với nhánh âm học:  n   1 các nguyên tử dao động cùng pha U n ( B)  âm U ( A)  mA Với nhánh quang học:  n các nguyên tử dao động   mB U n ( B)  qu ngược pha Như vậy, trong dao động âm học các nguyên tử trong một ô cơ sở dao động cùng pha và trong các dao động. .. đại lượng được xét trong không gian mạng đảo Trong trường hợp đang xét mạng thuận có chu kỳ là a thì mạng đảo có chu kỳ là 2  Mạng đảo của mạng một chiều cũng là mạng một chiều    Khoảng giá trị    q   trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin a  a thứ nhất 2.2 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử Bài toán: Khảo sát mạng một chiều mà mỗi ô cơ sở chứa hai loại nguyên tử khác... nguyên tử    Trong mạng một chiều    k   , vì vậy các giá trị của m nằm a  a trong khoảng:  N N m 2 2 Vậy sẽ có N giá trị của m ứng với N giá trị của k 18 CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ DAO ĐỘNG MẠNG 2.1 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyên tử Bài toán: Xét tinh thể được cấu tạo từ các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng, khoảng cách giữa các nguyên tử. .. là lực do nguyên tử thứ (n-1) tác dụng lên nguyên tử thứ n và  (U n  U n 1 ) là lực do nguyên tử thứ (n+1) tác dụng lên nguyên tử thứ n Phương trình dao động của nguyên tử thứ n bây giờ có dạng đơn giản hơn: 21 mU n   (2U n  U n1  U n1 ) (1.10) Nghiệm của phương trình dao động được tìm dưới dạng: U n  Aei ( qna t ) (1.11) trong đó, A là biên độ dao động,  là tần số dao động, q  2 ... quang học các nguyên tử trong ô cơ sở dao động ngược pha 2.3 Dao động mạng trong hệ ba chiều phức tạp Xét tinh thể được cấu tạo từ N 0 ô cơ sở và giả sử mỗi ô cơ sở có s nguyên tử Như vậy, số nguyên tử toàn phần trong tinh thể là N  N 0 s Kí hiệu: Khối lượng nguyên tử “  ” là m N Khối lượng trung bình ứng với một nguyên tử trong tinh thể là m   1 N Vị trí của nguyên tử  ở ô cơ sở thứ m được... cuối dãy, xét với tinh thể có N nguyên tử (5.1) U n  U n N U n là độ dời hay độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân bằng Do các nguyên tử dao động tạo nên các sóng Hàm sóng là nghiệm của phương trình dao động có dạng: U n  A.ei ( kna t ) với A là biên độ dao động,  là tần số góc dao động, k   độ lớn của véctơ sóng k và  là độ dài bước sóng Thay (5.2) vào (5.1) ta được: A.ei ( kna... cuối của dãy nguyên tử Tuy nhiên nếu tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ và có thể bỏ qua ta coi tính chất của tinh thể khi ấy gần giống như tinh thể vô hạn Để đảm bảo điều kiện tuần hoàn của tinh thể người ta đưa vào điều kiện tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử ở đầu dãy giống với dao động của nguyên tử ở cuối dãy, xét với tinh thể có N nguyên tử (5.1) U n  U n... với i=1, 2, 3, …s   xi (q, t ) liên hệ với Qk (q, t ) bởi hệ thức liên hệ: 3s    Qk q, t   Qki q xi q, t   i 1    Khi nghiên cứu lý thuyết về dao động mạng, để thuận lợi ta sử dụng tọa độ chuẩn thực và số tọa độ lập bằng số bậc tự do của hệ dao động, tức là   3N 0 s Khi đó ta gọi X i q và X i  q là những tọa độ thực độc lập với nhau    Ta đặt: 35  1       1   xi q... giữa các nguyên tử là a, khối lượng nguyên tử là m Vị trí của nguyên tử thứ n được xác định bằng tọa độ: (1.1) X n  X 0n  U n trong đó: X 0n là tọa độ của nguyên tử ở vị trí cân bằng, U n là độ dời hay độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân bằng và U n  a Khi đó, ta có thế năng tương tác của N nguyên tử trên một đường thẳng sẽ là hàm của tọa độ của N nguyên tử, tức là:   ( X 01 U1 ... nghiên cứu Qua nghiên cứu tìm hiểu đề tài: Tìm hiểu lý thuyết lượng tử dao động mạng để hiểu quy luật vận động nguyên tử, phân tử tinh thể vật rắn theo lý thuyết lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu -... toán dao động mạng tinh thể nhiệt dung vật rắn việc lượng tử hóa dao động mạng việc cần thiết có ý nghĩa Với lý nêu nên định chọn đề tài khóa luận là: Tìm hiểu lý thuyết lượng tử dao động mạng ... hệ dao động tử điều hòa Coi lượng tử dao động mạng phonon có lượng  q Để thuận tiện cho việc lượng tử hóa dao động mạng - phonon ta dùng phương pháp chung học Haminton (dựa lý thuyết lượng tử)