Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng và mômen spin

1 A mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nh chúng ta đã biết Vật lý hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của môn Vật lý trong đó đi sâu vào nghiên cứu các tính chất, các quy luật tơng tác của hạt cơ bản và các phản hạt của chúng. Đồng thời nghiên cứu các quá trình biến đổi giữa các hạt cơ bản cũng nh mối liên hệ của chúng với các trờng lực xung quanh. Khi đi sâu vào thế giới các hạt cơ bản tức là ta đã nói đến thế giới các hạt vi mô. Vì vậy lý thuyết cổ điển sẽ bị thay đổi bằng lý thuyết lợng tử lý thuyết trờng lợng tử và đợc dùng nh một công cụ khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản. Nghiên cứu hạt cơ bản tức là một cách gián tiếp ta đã nghiên cứu vũ trụ, vì các hạt cơ bản này cấu thành toàn bộ vật chất, trái đất cũng nh tất cả các sự vật, các thiên hà và các lớp bụi giữa các vì sao, chúng đều đợc tạo thành từ các hạt cơ bản. ớc muốn của con ngời là luôn muốn làm chủ đợc thiên nhiên, vũ trụ. Vì vậy việc nghiên cứu hạt cơ bản là một vấn đề luôn luôn đặt ra không chỉ cho các nhà vật lý mà cho tất cả những ai yêu thích môn hạt cơ bản. Có thể nói vật lý hạt cơ bản chính là vật lý năng lợng cao, nó cho phép ta đi sâu và thế giới bên trong hạt nhân. Theo giả thiết của Borh về lợng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lợng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck . Trong phần nội dung của luận văn này ta sẽ thấy rằng giả thiết của Bohr chính là hệ quả của các tiên đề của CHLT. Để thấy rõ điều đó ta hãy nghiên cứu lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng. Trong đó để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ. Nhng cách trình bày trên hình vẽ chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lợng. Vậy để hiểu một cách chính xác mômen xung lợng thì ta sẽ đi 2 xét một hệ gồm 2 hạt, bỏ qua tơng tác giữa 2 hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng L của hệ bằng tổng các mômen xung lợng của hai hạt. Để đi đến đợc điều đó thì ta dùng quy tắc cộng mômen xung lợng, cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung. Mặt khác khi chứng minh định luật bảo toàn mômen xung lợng quỹ đạo chúng ta mới chỉ xét trờng hợp đơn giản nhất khi hàm sóng chỉ có một thành phần. Bây giờ ta khảo sát trờng hợp tổng quát khi hàm sóng có nhiều thành phần mà trong các phép quay không gian, mỗi thành phần chuyển thành một tổ hợp tuyến tính của chính nó và các thành phần khác. Cũng chính vì các lí do ở trên đã giúp tôi đọc, tìm hiểu và nghiên cứu đề tài này: cộng mômen. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Thông qua quy tắc hay định lí cộng mômen cho một hệ gồm 2 hạt không tơng tác ta có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc tự do khác nhau hoặc hệ nhiều hạt. - Nâng cao tầm hiểu biết về vật lý học của thế giới vi mô. Mặt khác có thể làm tài liện tham khảo cho các bạn đọc. 3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu về mômen xung lợng, mômen spin, cộng mômen xung lợng và cộng mômen spin của các hạt. - Dùng cho hệ các hạt vi mô không tơng tác với nhau. 4. Phơng pháp nghiên cứu Dùng phơng pháp toán cho vật lý: Toán tử, giải phơng trình hàm riêng, trị riêng, các phơng trình đặc biệt cho vật lý. 3 B - Nội dung Chơng 1: Cộng mômen xung lợng 1.1. Mômen xung lợng 1.1.1. Toán tử mômen xung lợng Trong cơ học lợng tử, cũng tơng tự nh trong CHCĐ, mômen xung lợng L đợc định nghĩa nh sau: L r P = (1) Đó là một toán tử vectơ có 3 thành phần: y z z L yP zP L zP xP L xP yP = = = x z y x y x (2) Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ mômen xung lợng lên các trục x, y và z. Nếu chọn: x x = ; y y = ; z z = ; P x = x - i ; P y = y - i ; P z = z - i Thì các toán tử hình chiếu của mômen xung lợng trong toạ độ Đề Các có biểu thức nh sau: ) ) ) L z z y L x x z L y y x = = = x y z i (y i (z i (x (3) Ngời ta còn định nghĩa toán tử bình phơng mômen xung lợng: L L L L = + + 2 2 2 2 x y z (4) Sau đây ta nêu lên một vài hệ thức giao hoán quan trọng giữa các toán tử mômen xung lợng: [ ] L L L = x y z , i ; [ ] x L L L = y z , i ; [ ] L L L = z x y , i (5) 4 0 L L L L L L = = = 2 2 2 x y z [ , ] [ , ] [ , ] (6) Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đợc một cách chính xác đồng thời hình chiếu của mômen xung lợng lên hai trong ba trục toạ độ vuông góc. Nếu đã đo đợc chính xác L z chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo đợc chính xác L x hoặc L y . Có thể đo đợc chính xác đồng thời bình phơng của mômen xung lợng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì. Đôi khi để cho thuận tiện, ngời ta đa vào các toán tử sau đây: L L iL + = + x y ; L L L = x y i (7) Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán: z z L L L L L L L L L + + + = = = z [ , ] 2 [ , ] - [ , ] (8) Và L L L L L + = + + 2 2 z z (9) Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lợng trong toạ độ cầu (dùng các công thức chuyển đạo hàm) thì ta có: . L L L = + = = x y z i sin cotg cos i cos cotg .sin i (10) còn đối với 2 L thì: 2 2 2 2 2 1 1 . sin . . sin sin L = + (11a) Hay, nếu chú ý đến công thức: 5 sin sin = + 2 2 2 1 1 . . , sin thì ta có thể viết: L = 2 . , (11b) 1.1.2. Trị riêng của mômen xung lợng Ta hãy xét bài toán trị riêng của toán tử z L . Để thuận tiện ta dùng toạ độ cầu. Phơng trình trị riêng có dạng: u i L u = z . (12) trong đó u là hàm riêng ứng với trị riêng L z . Giải phơng trình này ta tìm đợc biểu thức của hàm riêng u . Phần phụ thuộc toạ độ của u có dạng : i L e z . . Vậy u bằng một hằng số đối với nhân với hàm số mũ nói trên, hằng số này nói chung có thể phụ thuộc vào các toạ độ khác ( r và ) : z L u r c r e = i . . ( , , ) ( , ). (13) Chú ý rằng khi thay đổi 2 thì ta lại trở về điểm cũ. Muốn cho u là một hàm đơn giá (theo vị trí trong không gian) thì khi thay đổi 2 hàm u vẫn giữ nguyên giá trị ( 2 ) ( ) u u + = . Từ đó suy ra rằng: z . .2 1 i L e = hay 2 2 L m = z . trong đó m là một số nguyên (dơng hoặc âm) L m = z (14) với: m = 0; 1 ; 2 6 Trị riêng L z bằng một số nguyên lần Thay giá trị của L z vào biểu thức (13) của hàm riêng ta có: im u r c r e =( , , ) ( , ) (15) đó là hàm riêng ứng với trị riêng m . Bây giờ ta chuyển sang tìm trị riêng của bình phơng mômen xung lợng 2 L , xuất phát từ những hệ thức giao hoán (8). Từ hai hệ thức sau của (8) ta có thể biến đổi và viết gộp lại: L L L L L = z z (16) Ta lại biết theo (6) rằng 2 L và L z giao hoán, hai toán tử này có chung những hàm riêng. Do đó hàm riêng ( , , ) m u r của L z đã viết ở trên (theo phơng trình (15)) cũng là hàm riêng của toán tử 2 L . Cho các toán tử ở hai vế của phơng trình (16) tác dụng lên m u ta có: L L u L L u L u m m m = + z z Chú ý rằng z z m m m L u L u m u = = Ta có: ( ) z 1 m m L L u m L u = Từ đó ta có thể kết luận rằng: m L u là hàm riêng của toán tử L z ứng với trị riêng m 1. Viết lại cho rõ ta có: 1 m m L u constu + + = 1 m m L u constu = Nhớ lại rằng m là trị riêng của toán tử z L , đó là một đại lợng vật lý không thể bằng vô cực. Vậy ta có thể thừa nhận rằng m giới nội. Gọi l là giá trị lớn nhất của m , ta sẽ có: 1 0 l l L u constu + + = = vì nếu 1 0 l u + thì l không phải giá trị lớn nhất của m . 7 Bây giờ cho toán tử 2 L tác dụng lên l u , theo (9) ta có: 2 2 l - + l l z l L u L L u L u L u = + + 2 2 l l l u l u = + 2 l l(l +1) u = Vậy trị riêng của toán tử 2 L là: 2 2 L l(l +1) = (17) l có những giá trị nguyên, kể cả giá trị bằng không. ứ ng với một giá trị đã cho của l thì m có thể có nhiều giá trị. Nh trên đã nói l là giá trị lớn nhất của m . Mặt khác hai hớng giữa trục z là tơng đơng về mặt vật lý, nên ứng với mỗi giá trị của m lại có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy m có thể có các giá trị nguyên từ l + đến - l . m = l; l-1; l-2;; -l (18) tất cả là (2l+1) giá trị. 1.1.3. Hàm riêng của toán tử mômen xung lợng Các toán tử mômen xung lợng 2 L và z L chỉ chứa các toạ độ , và đạo hàm theo các tọa độ này. Vì vậy ta chỉ xác định đợc phần phụ thuộc và trong hàm riêng (chung) của hai toán tử ấy, các hàm riêng ấy có chứa một hằng số nhân phụ thuộc vào r . Gọi lm u (r, , ) là hàm riêng (chung) của 2 L và z L ứng với các trị riêng lần lợt là 2 l(l + 1) và m . Phần phụ thuộc các toạ độ và gọi là hàm cầu và kí hiệu là: m l Y ( , ) vậy m lm l u (r, , )= c(r).Y (, ) Khi viết phơng trình trị riêng của toán tử 2 L và z L ta có thể không để ý tới hằng số nhân ( ) c r : 2 m 2 m l l ( , ) = l(l + 1) (, ) L Y Y (19) 8 m m z l l ( , )= m (, ) L Y Y (20) Giải phơng trình (20) giống nh (12) ta có: ( ) m m im l l (, ) = Y K e (21) thay vào (19) ta có: m 2 m m l l l 2 1 d dK m sin - - .K + l(l +1)K = 0 sin d d sin (22) Ta đổi biến số, đặt x cos = và chú ý rằng: ( ) ( ) . d cos d d d sin d d cos d dx = = Phơng trình (22) có dạng: ( ) 2 2 2 1 ( 1) 0 1 m m l l d dK m x l l K dx dx x + = Hay: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 . ( 1) 0 1 m m m l l l d K dK m x x l l K dx dx x + + = Ta thấy rằng đây chính là phơng trình Lơgiăngđrơ liên kết. Nghiệm m l K chính là đa thức liên kết Lơgiăngđrơ trong đó biến số là cos . ( ) ( ) m m l l K x P cos = cuối cùng: ( , ) . (cos ). m m im l l Y const P e = (23) Hằng số đợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá. Sau đây ta tính vài giá trị của hàm cầu m l Y . Muốn thế trớc hết cần tính đa thức liên kết Lơgiăngđrơ theo công thức: 2 2 ( ) ( ) (1 ) . m m m l l m d P x P x x dx = ta đợc: 0 ( ) ( ) 1 P x P x = = 0 1 1 ( ) ( ) P x P x x = = 9 2 2 2 1 1 ( ) 1 . ( ) 1 d P x x P x x dx = = 0 2 2 2 1 ( ) ( ) (3 1) 2 P x P x x = = 2 2 2 2 2 3 1 ( ) 1 . 3 1 2 d x P x x x x dx = = 2 2 1 2 2 2 2 3 1 ( ) 1 . 3 1 2 d x P x x x dx = = Thay vào (23) và thừa nhận các hằng số chuẩn hoá mà ngời ta đã tính đợc, ta có: 0 0 1 4 Y = ; 0 1 3 4 Y cos = 1 1 3 8 i Y sin e = ; ( ) 0 2 5 3 1 16 2 Y cos = ( ) 1 2 15 8 i Y cos sin e = ; 2 2 2 2 15 8 i Y sin e = 1.1.4. Mẫu vectơ và phép cộng mômen xung lợng Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ. Vectơ mômen xung lợng L có độ dài là: ( 1). L l l = + Hình chiếu của vectơ này lên trục z có độ lớn đại số là: z L m = trong đó m có nhiều giá trị từ l đến l + (tất cả 2 1 l + giá trị). Nh vậy véctơ L không thể hớng tuỳ ý trong không gian, nó chỉ có thể 10 hớng nh thế nào để hình chiếu có giá trị nh trên. Hình vẽ 1: Vẽ sơ đồ vectơ L gọi là mẫu vectơ của mômen xung lợng ứng với trờng hợp l =2 2(2 1) 6 2 , ,0, ,2 z L L = + = = Trên mặt phẳng của hình vẽ vectơ mômen xung lợng L chỉ có thể có 5 cách định hớng khác nhau (ở nửa bên phải trục z). Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có thể của L trong không gian. Cách trình bày trên đây chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lợng. Bây giờ ta xét một hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là 1 L và 2 L . Nếu bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng L của hệ bằng tổng của các mômen 1 L và 2 L . Nếu biết các lợng tử số 1 l , 1 m và 2 l , 2 m xác định các mômen xung lợng 1 L và 2 L thì ta có thể suy ra đợc các số lợng tử l và m xác định mômen xung lợng L . Cách suy ra l và m gọi là phép cộng mômen xung lợng trong cơ học lợng tử. Ngời ta có thể chứng minh đợc một cách chặt chẽ phép cộng mômen xung lợng, sau đây ta dùng một phơng pháp đơn giản để hiểu phép cộng mômen xung lợng. Trớc hết ta có: 1 2 z z z L L L = + tức là 1 2 1 2 m m m m m m = + = + (24) Ta lại biết rằng giá trị cực đại của 1 m là 1 l , của 2 m là 2 l , vậy giá trị cực đại của m , tức cũng là giá trị của l là: 1 2 l l l = + [...]... đóng vai trò của J ( 2) và: J =L+S là toán tử mômen xung lợng toàn phần của hạt có Spin Trong trờng hợp hạt có Spin 1/2 và ở trong trạng thái có mômen xung lợng quỹ đạo l 0 thì mômen xung lợng toàn phần j của hạt có thể nhận một trong hai giá trị là 1 1 l + hoặc l Nếu có sự kiên kết giữa Spin và mômen xung lợng 2 2 quỹ đạo, gọi là liên kết Spin - quỹ đạo, thì mômen xung lợng toàn phần j... Bohr về lợng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lợng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck Trong chơng này chúng ta sẽ thấy rằng giả thiết của Bohr chính là hệ quả của các tiên đề của cơ học lợng tử đã trình bày ở chơng truớc Để thấy rõ điều này chúng ta hãy nghiên cứu lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng 1.2.1 Lợng tử hoá mômen. .. có Spin s là hàm sóng 2s + 1 thành phần 1.2.2 Mômen xung lợng quỹ đạo v các h m cầu Bây giờ hãy xét trờng hợp đặc biệt là trờng hợp toán tử mômen xung lợng quỹ đạo L Trong chơng trớc ta đã biết rằng các thành phần của toán tử L là những toán tử vi phân chứa các toạ độ x, y, z và các đạo hàm riêng , , x y z Do đó có thể tìm đợc các trị riêng và biểu thức cho các hàm riêng của toán tử L3 và ... còn mômen xung lợng quỹ đạo l có thể không bảo toàn Khi đó phải lấy j làm một số lợng tử của trạng thái của hạt vi mô, chứ không ding l làm số lợng tử của hạt Nếu hệ vật lý gồm nhiều hạt vi mô cùng chuyển động trong một trờng xuyên tâm thì mômen xung lợng toàn phần J của cả hệ sẽ đợc hợp thành tuỳ theo các dạng tơng tác Ký hiệu các toán tử Spin của các hạt là S1 , S2 và 32 các toán tử mômen xung. .. = 2 0 1 1 sz ( ) = ( ) 2 1.2.4 Cộng mômen xung lợng a Quy tắc cộng mômen xung lợng Xét một hệ hai hạt và gọi các toán tử mômen xung lợng của chúng là J (1) và J (2) Giả sử giữa 2 hạt không có tơng tác: khi đó, hạt thứ i(i = 1,2 ) có thể đợc diễn tả bằng ( 2 j + 1) hàm sóng (j i ) à i i với các giá trị xác định của các bình phơng mômen xung lợng và hình chiếu của nó trên trục oz 2 ) ) J... trờng hợp ngời ta lại quan tâm đến mômen xung lợng toàn phần của hệ Toán tử mômen xung lợng toàn phần J và hình chiếu của nó J z trên trục oz là: J = J (1) + J ( 2) (75) J z = J z (1) + J z( 2) (76) Vì rằng các toán tử mômen xung lợng của hai hạt giao hoán với nhau: J i (1) + J k( 2) = 0 với i,k = x, y,z (77) cho nên các thành phần của các toán tử mômen xung lợng toàn phần cũng có các hệ... Ta thờng gọi j là mômen xung lợng toàn phần của hạt (khi nói nh vậy ta ngầm hiểu rằng ta đã lấy làm đơn vị mômen xung lợng) Toán tử hình chiếu J 3 của mômen xung lợng trên trục oz có tất cả (2 j +1) trị riêng: j , ( j + 1) ,, ( j 1) , j Tập hợp 2 j + 1 hàm sóng ứng với 2 j + 1 trị riêng khác nhau nói trên của toán tử J 3 và với cùng một trị riêng: j ( j + 1) 2 của toán tử J 2 đợc gọi là... tác Spin - quỹ đạo của mỗi hạt là mạnh so với tơng tác giữa các hạt khác nhau thì mômen xung lợng quỹ đạo I i và Spin Si của hạt thứ i đợc cộng lại với nhau thành mômen xung lợng toàn phần: J i = I i + Si rồi sau đó rồi sau đó cộng tất cả các mômen J i lại với nhau thành mômen xung lợng toàn phần của cả hệ J = J1 + J 2 + Ngợc lại, nếu tơng tác giữa các hạt khác nhau là mạnh so với tơng tác Spin. .. có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trờng hợp hai vectơ L1 và L2 cùng hớng Trờng hợp hai vectơ ấy cùng phơng ngợc chiều thì: l = l1 l2 Còn có những trờng hợp khác thì l có giá trị nguyên ở khoảng giữa hai giá trị trên Nói tóm lại với l1 và l2 đã cho thì l có giá trị sau đây: l = l1 + l2 , l1 + l2 1, , l1 l2 (25) Tất cả có 2l2 + 1 giá trị (nếu l2 < l1 ) 1.2 Lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng... các biểu diễn tối giản của nhóm quay và thiết lập quy tắc lợng tử hoá mômen xung lợng Từ các hệ thức giao hoán giữa các vi tử Li vừa viết ở trên suy ra rằng toán tử: 11 L2 = L12 + L2 2 + L32 giao hoán với tất cả các vi tử Li : L2 , Li = 0 ta đặt: i = 1,2,3 (26) L( + ) = L1 + iL2 ; L( ) = L1 iL2 (27) và hãy ding L( + ) , L( ) thay cho L1 và L2 Lu ý rằng L1 , L2 có thể biểu . liện tham khảo cho các bạn đọc. 3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu về mômen xung lợng, mômen spin, cộng mômen xung lợng và cộng mômen spin của các hạt. - Dùng cho hệ các hạt vi mô. đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng L của hệ bằng tổng các mômen xung lợng của hai hạt. Để đi đến đợc điều đó thì ta dùng quy tắc cộng mômen xung lợng, cộng mômen spin nói riêng và cộng. lực xung quanh. Khi đi sâu vào thế giới các hạt cơ bản tức là ta đã nói đến thế giới các hạt vi mô. Vì vậy lý thuyết cổ điển sẽ bị thay đổi bằng lý thuyết lợng tử lý thuyết trờng lợng tử và