Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên và giới hạn

Đề 3: Lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên giới hạn Phạm Văn Kiên - 20091523 Phùng Thái Thắng - 20093623 Nguyễn Trí Quân - 20092135 Nội dung - Phân công công việc Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên giới hạn Phạm Văn Kiên Áp dụng lý thuyết Quá trình ngẫu nhiên áp dụng Phùng Thái Thắng Nguyễn Trí Quân Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Định nghĩa: Nếu tập hợp kết lim xn() = x() n mà tồn xác suất 1, chuỗi hội tụ nơi ( với xác suất 1) P{xnx}=1 n • Tính hội tụ xác suất P{|x-xn|>}0 n Cho >0 chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên x xác suất Cái gọi hội tụ ngẫu nhiên Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Tiêu chuẩn Cauchy: Nếu |xn+m-xn|0 n Với m>0, chuỗi hội tụ • Định lý Markoff có chuỗi xi biến ngẫu nhiên thành lập mẫu biến ngẫu nhiên có giá trị phụ thuộc vào kết thử nghiệm E{} = Thì biến ngẫu nhiên có xu hướng dần đến E{} Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Hệ (điều kiện Tchebycheff) Nếu biến ngẫu nhiên xi ko tương quan Thì Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Các định lý giới hạn trung tâm (CLC) theo số điều kiện chung, phân phối F(x) x cách tiếp cận phân phối bình thường với giá trị trung bình phương sai: F(x) n tăng Hơn biến ngẫu nhiên xi liên tục, mật độ f(x) x tiếp cận mật độ bình thường f(x) Định lí quan trọng nêu giới hạn: z=(x-)/ Fz(z)G(z) fz(z) Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Kết định lý giới hạn trung tâm Với n biến ngẫu nhiên đọc lập xi: y = x1x2…xn xi>0 Định lý Với n lớn, mật độ y khoảng: Trong Quá trình ngẫu nhiên - ứng dụng 2.1 Các khái niệm •• Hai trình x(t) y(t) bình đẳng IFT E{ Bình đẳng ý nghĩa MS: biểu thị tập tập Mà x(t,)=y(t,) tập hợp kết cho x(t,)=y(t,) với t.(10-1) sau x(t,)-y(t,)=0 với xác suất Do P()=1.Tuy nhiên,nó không theo P()=1.Trong thực tế,bởi giao tất phận t phạm vi toàn trục.Thậm chí Các khái niệm • Quá trình Stochasic x(t) RV với phân phối • F(x,t)=P{x(t) Chức F(x,t) gọi phân bố lệnh trình x(t).Dẫn xuất x: F(x,t)= Phân phối bậc hai tiến trình x(t) việc phân chia F( RVs x( x( Mật độ tương đương Trung bình (t) x(t) giá trị RV (t)=E{x(t)}= f(= Các khái niệm •• Tư tương quan Hàm tự tương quan R() x(t) giá trị x(t) R( Giá trị R() đường chéolà mật độ trung bình x(t) E{ Sử dụng lần tuyến tính giá trị kỳ vọng E{ 2.2 Hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên • Cho trình ngẫu nhiên x(t), định số nguyên tắc cho mẫu x(t, ζi) hàm y(t, ζi) Chúng ta tạo trình: Y(t) = T[x(t)] • Quá trình y(t) hình thành coi đầu hệ thống với đầu vào trình x(t), Thông qua toán tử T thể mối quan hệ đầu đầu vào hệ Chúng ta xem xét trường hợp đặc biệt sau: Hệ không nhớ •• Hệ gọi không nhớ đầu cho bởi: y(t) = g[x(t)] • Tại thời điểm t = t1 đầu y(t1) phụ thuộc vào x(t1) Từ ta có hàm mật độ bậc fy(y;t) thể thong qua fx(x;t) sau: • Hàm mật độ bậc 2: Hệ bất biến theo thời gian a Định nghĩa: Hệ gọi bất biến theo thời gian đặc trung cho x(t+c) y(t+c) Chúng ta giả •định tất hệ tuyến tính xem bất biến theo thời gian Như ta biết đầu hệ tuyến tính phép chập: Khi b Định lý bản: cho tất hệ tuyến tính E{L[x(t)]} = L[E{x(t)}] Nói cách khác, thái trị trung bình ηy(t) đầu đáp úng giá trị trung bình ηx(t) đầu vào: ηy(t) = L[ηx(t)] Nếu ta viết tách rời giới hạn tổng ta công thức: Hệ tuyến tính •• Ký hiệu y(t) = L[x(t)] (10-76) với y(t) đầu hệ tuyến tính với đầu vào x(t) Nghĩa là: (Với a1, a2, x1(t), x2(t) • Hệ hệ tuyến tính quen thuộc với biến a1 a2 ngẫu nhiên ta giả định hệ xác định hoạt động biến t 2.3 Phổ lượng •• Phổ lượng (hoặc mật độ quang phổ) trình WSS , thực hay phức, biến đổi Fourier tương quan : Từ kéo theo hàm thực Từ công thức biến đổi ngược Fourier, kéo theo Phổ lượng •• Nếu trình thực, thực đều; thực Trong trường hợp này, Phổ lượng chéo hai trình biến đổi Fourier tương quan chéo chúng : Nói chung hàm phức tạp hai trình thực Trong tất trường hợp Phổ lượng •• Hệ thống tuyến tính Thể tự tương quan phổ lượng phản ứng hệ thống tuyến tính điều kiện tự tương quan phổ lượng đầu vào Định lý Phổ lượng •• Quá trình phức tạp gọi gọi tín hiệu phân tích liên kết, đáp ứng hệ thống với đầu vào Do Định lý WIENER-KHINCHIN Điều cho thấy vùng phổ lượng trình tích cực Với Phổ lượng •• Tích hợp quang phổ Trong toán học, tính chất quang phổ tiến trình thể điều kiện quang phổ tích hợp định nghĩa tách rời : Véc tơ trình WSS thành phẩn WSS Trong trường hợp này, ma trận tự tương quan phụ thuộc vào Phổ lượng véc tơ trình WSS ma trận vuông , yếu tố biến đổi Fourier phần tử ma trận tự tương quan Phổ lượng •• Các điều kiện để hàm tự tương quan thể trực tiếp phần tử Chúng ta thể (10-84) tự tương quan trình p.d., với , , , Nó hiển thị mà ngược lại Nếu hàm p.d., biến đổi Fourier dương Như vậy, hàm có biến đổi Fourier dương p.d • Điều kiện đủ Tiêu chuẩn Polya Nó hàm p.d có mặt lõm xuống với có xu hướng giới hạn hữu hạn Định lý Nếu , tuần hoàn với thời gian : với Phổ lượng •• Hệ Nếu số không tương xứng, có nghĩa tỉ lệ chúng không hợp lý, số • Tương quan chéo Sự tương quan chéo hai tiến trình WSS 2.4 Quá trình kĩ thuật số •• Định nghĩa Sự tự tương quan phương sai x[n] cho bởi: R[n-1,n2]= E{x[n1]x*[n2]} C[n1,n2]= R[n-1,n2] –ƞ[n1] ƞ*[n2] Tương ứng với ƞ[n] = E{x[n]} trung bình x[n] Một trình x[n] SSS tính chất thống kê bất biến đến thay đổi gốc Nó WSS ƞ[n]= ƞ = số R[n+m,n] = E{x[n+m]x*[n]} = R[m] • Một trình x[n] nhiễu trắng hoàn toàn RVs x[ni] độc lập Nó nhiễu trắng RVs x[ni] tương quan với Sự tương quan trình nhiễu trắng với trung bình không cho R[n-1,n2] = q[n1]δ[n1- n2] với δ[n] Quá trình kĩ thuật số •• Lũy thừa mật độ hàm phổ: Cho WSS trình x[n], biến z biến đổi S(z) tự tương quan R[m]: S(z)= Lũy thừa mật độ hàm phổ x[n] hàm: S(w) =S() = S() DFT R[m] Hàm S() tuần hoàn với chu kì loạt hệ số Fourier R[m] R[m] = dw Nó thỏa mãn, đó, để định rõ S() cho |w| < Nếu x[n] trình thực,khi R[-m] = R[m] S() =R[0] +2 Quá trình kĩ thuật số • Phương pháp lấy mẫu • Cho trình tương tự x(t), chúng trở thành xử lí số : x[n]= x(xT) với T số đưa vào [n] = 0(nT) R[n1,n2] = Ra(n-1T,n2T) với 0(t) giá trị trung bình Ra(t1,t2) tự tương quan x(t) Nếu x(t) trình không thayđổi, x[n] không thay đổi với giá trị trung bình = tự tương quan: R[m] = Ra(mT) Lũy thừa hàm mật độ phổ x[n] S() = = Với Sa(w) lũy thừa hàm mật độ phổ x(t).Ở kết tổng công thức Poisson Ứng dụng matlab •• Bài toán Tìm nếu: [...]... nếu nó có mặt lõm xuống với và nó có xu hướng giới hạn hữu hạn như Định lý Nếu đối với , thì tuần hoàn với thời gian : với mọi Phổ năng lượng •• Hệ quả Nếu và những con số và là không tương xứng, có nghĩa là tỉ lệ của chúng là không hợp lý, thì là hằng số • Tương quan chéo Sự tương quan chéo của hai tiến trình WSS và 2.4 Quá trình kĩ thuật số •• Định nghĩa Sự tự tương quan và phương sai của x[n] được... ngẫu nhiên x(t) được gọi là quá trình ổn định theo nghĩa rộng (viết tắt là WSS) nếu trung bình cố định E{x(t)}=n (10-41) Và tương quan tự động chỉ phụ thuộc vào E{x(t+ (10-42) Bởi vì là khoảng cách từ t đến t+,chức năng R() có thể được viết dưới dạng R( Chú ý rằng E{ Do đó trung bình của quá trình bất động là độc lập của t và nó bằng R(0) 2.2 Hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên • Cho một quá trình ngẫu nhiên. .. rời (t) từđến E{x(t)}= Và R( Các khái niệm •• Thuộc tính chung Các tính chất thống kê của quá trình ngẫu nhiên thực sự x(t) được quyết định hoàn toàn trong phân phối thứ n-trật tự của nó F(10-20) Thống kê tổng hợp của hai quá trình thực sự x(t) và y(t) được quyết định dưới sự phân bố của RVs Quá trình phức tạp z(t)=x(t)+jy(t) được thể hiện trong thống kê của quá trình thực x(t )và y(t) Một quá trình... một phép chập: Khi b Định lý cơ bản: cho tất cả hệ tuyến tính E{L[x(t)]} = L[E{x(t)}] Nói cách khác, thái trị trung bình ηy(t) của đầu ra bằng đáp úng của giá trị trung bình ηx(t) của đầu vào: ηy(t) = L[ηx(t)] Nếu ta viết tách rời như một giới hạn của một tổng ta được công thức: Hệ tuyến tính •• Ký hiệu y(t) = L[x(t)] (10-76) với y(t) là đầu ra của một hệ tuyến tính với đầu vào là x(t) Nghĩa là: (Với... cũng là thực và đều Trong trường hợp này, Phổ năng lượng chéo của hai quá trình và là biến đổi Fourier của tương quan chéo của chúng : Nói chung thì hàm là phức tạp ngay cả khi cả hai quá trình và là thực Trong tất cả các trường hợp Phổ năng lượng •• Hệ thống tuyến tính Thể hiện sự tự tương quan và phổ năng lượng của phản ứng của một hệ thống tuyến tính trong điều kiện của tự tương quan và phổ năng... trình ngẫu nhiên x(t) được goi là quá trình ổn định theo nghĩa hẹp(viết tắt là SSS) nếu tài sản thống kê của nó là bất biến đối với một sự thay đổi về nguồn gốc  mật độ thứ n của một quá trình SSS phải là f( =f(  mật độ đầu tiên của x(t) độc lập của t F(x;t)=f(x)  Tương tự f( độc lập cho mọi c f() (10-40) Do đó,mật độ liên hợp của RVs x(t+) và x(t) độc lập của t và f) Các khái niệm •• Một quá trình ngẫu. .. các biến a1 a2 ngẫu nhiên bởi như ta đã giả định rằng hệ là xác định và nó chỉ hoạt động trên biến t 2.3 Phổ năng lượng •• Phổ năng lượng (hoặc mật độ quang phổ) của một quá trình WSS , thực hay phức, là biến đổi Fourier của sự tương quan của nó : Từ nó kéo theo là một hàm thực của Từ công thức biến đổi ngược Fourier, nó kéo theo Phổ năng lượng •• Nếu là một quá trình thực, thì là thực và đều; vì vậy... trình y(t) được hình thành có thể coi là đầu ra của hệ thống với đầu vào là quá trình x(t), Thông qua toán tử T thể hiện mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ Chúng ta xem xét 2 trường hợp đặc biệt sau: Hệ không nhớ •• Hệ được gọi là không nhớ nếu đầu ra được cho bởi: y(t) = g[x(t)] • Tại thời điểm t = t1 thì đầu ra y(t1) chỉ phụ thuộc vào x(t1) Từ đó ta có hàm mật độ bậc nhất fy(y;t) có thể được thể... quan và phổ năng lượng của phản ứng của một hệ thống tuyến tính trong điều kiện của tự tương quan và phổ năng lượng của đầu vào Định lý Phổ năng lượng •• Quá trình phức tạp được gọi là được gọi là các tín hiệu phân tích liên kết, là đáp ứng của hệ thống với đầu vào Do đó Định lý WIENER-KHINCHIN Điều này cho thấy rằng vùng phổ năng lượng của bất cứ quá trình nào là tích cực Với mọi Phổ năng lượng ••... của quá trình ngẫu nhiên Các khái niệm • Tương quan và hiệp phương sai • Tự tương quan của 1 tiến trình x(t) phức tạp,theo định nghĩa giá trị trung bình của x(t)x*(.Chức năng này sẽ biểu thị bằng R( hoặc hoặc Do đó =E{x(t)x*( Trong đó các điều khoản liên hợp có liên quan đến biến thứ hai ở Từ đó R( =E{x()x*( Hiệp phương sai tự động C( của một quá trình x(t) là hiệp phương sai của RVs x( và x( C( = R( ... công việc Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên giới hạn Phạm Văn Kiên Áp dụng lý thuyết Quá trình ngẫu nhiên áp dụng Phùng Thái Thắng Nguyễn Trí Quân Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Định... biến ngẫu nhiên có xu hướng dần đến E{} Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Hệ (điều kiện Tchebycheff) Nếu biến ngẫu nhiên xi ko tương quan Thì Hội tụ ngẫu nhiên định lí giới hạn •• Các định lý. .. chuỗi hội tụ nơi ( với xác suất 1) P{xnx}=1 n • Tính hội tụ xác suất P{|x-xn|>}0 n Cho >0 chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên x xác suất Cái gọi hội tụ ngẫu nhiên Hội tụ ngẫu nhiên