Tìm hiểu quá trình hồi phục (Renewal Processes) và ứng dụng

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG ĐỀ TÀI: Tìm hiểu trình hồi phục (Renewal Processes) ứng dụng Nhóm sinh viên thực hiện: Hoàng Anh Đức Nguyễn Tố Tuân Đặng Văn Hùng Phan Minh Tân Bùi Trung Dũng Kiều Minh Đức 20093795 20106109 20106095 20104834 20111264 20070843 Giáo viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Thị Hoàng Lan Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Mục lục Mục lục 1 Quá trình hồi phục (Renewal processes) 1.1 Mở đầu 1.2 Định nghĩa 1.3 Tính chất trình hồi phục 1.3.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) 1.3.2 Elementary renewal theorem (Định lí bản) Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal reward processes) Mở đầu 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất trình hồi phục có hoàn lại 2.2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) 2.2.2 Elementary theorem (Định lí bản) Minh họa với Matlab 3.1 Minh họa trình hồi phục Mã Matlab Kết 3.2 Minh họa trình hồi phục có hoàn lại Mã Matlab Kết Bài tập ví dụ 4.1 Bài tập 4.1.1 Đề 4.1.2 Bài giải 4.2 Bài tập 10 4.2.1 Đề 10 4.2.2 Bài giải 10 Phụ lục 12 Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed) 12 Luật số lớn (Strong Law of Large Numbers) 12 Tài liệu tham khảo 13 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Quá trình hồi phục (Renewal processes) 1.1 Mở đầu Trong thực tế nhiều kiện xảy cách ngẫu nhiên chúng mô hình hóa lí thuyết xác suất, thống kê trình ngẫu nhiên Một vấn đề thường gặp việc đếm kiện ngẫu nhiên xảy mô hình ngẫu nhiên Để giải việc này, mô hình trình đếm (counting processes) đưa ví dụ điển hình trình Poisson (Poisson processes) Học phần Xác suất - Thống kê đề cập tới phân phối Poisson ứng dụng Trên quan điểm trình ngẫu nhiên, trình Poisson trình đếm dùng để xác định số lượng kiện ngẫu nhiên xảy thời điểm chúng xuất khoảng thời gian cho trước Nhiều mô hình ngẫu nhiên thực tế mô tả trình Poisson phân rã hạt nhân (phóng xạ), loại hàng đợi tổng đài điện thoại, web server … Tuy nhiên tất kiện ngẫu nhiên thực tế tuân theo phân phối Poisson Vì vậy, mặt lí thuyết ta tổng quát hóa trình Poisson trình ngẫu nhiên khác có phân phối kiện G tổng quát Quá trình đề cập đến gọi trình hồi phục (renewal processes) 1.2 Định nghĩa chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d.1 có hàm phân phối Với trị có kì vọng  Đặt  Các  Đoạn [  [ ] , nhận giá : [ ] gọi điểm hồi phục (renewal points) ] gọi khoảng hồi phục (renewal, renewal cycle) gọi thời gian trễ Khi biến ngẫu nhiên (Là giá trị lớn định nghĩa bởi: cho ) số lượng khoảng hồi phục xảy thời điểm t Vì gọi trình hồi phục Xem phụ lục Một ví dụ thực tế trình hồi phục việc sử dụng loại máy sản xuất có thời gian sử dụng (thời gian sống) biến ngẫu nhiên có phân phối đó, máy thay máy cũ bị hỏng Ta dễ dàng thấy thời gian sử dụng máy thể chuỗi biến trình bày Vì thời điểm phải thay máy là trình hồi phục để đếm số lượng máy phải sử dụng thời điểm t số vấn đề khác mà người quản lí quan tâm 1.3 Tính chất trình hồi phục 1.3.1 Gọi Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) [ ] ] thời gian sống trung bình (expected lifetime) ta có: Với số lượng khoảng hồi phục (sự kiện) xảy thời điểm , công thức số lượng kiện xảy đơn vị thời gian thời gian dài (long run, Chứng minh Dễ dàng thấy điểm hồi phục cuối trước With probability 1: với xác suất ) điểm hồi phục sau : Ta có:  (luật số lớn với i.i.d.3) [ ]  ( Tức cận cận )( (tương tự ) ) tiến đến , từ ta có điều phải chứng minh 1.3.2 Elementary renewal theorem (Định lí bản) Định nghĩa hàm hồi phục: [ ] Ta có: [ ] Chứng minh định lí dựa vào Đẳng thức Wald thời gian dừng (stopping time) chuỗi i.i.d Ta không đề cập đến chứng minh báo cáo Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal reward processes) Mở đầu  Quá trình hồi phục dùng để biểu diễn miền thời gian sử dụng máy móc, loại máy sử dụng có thời hạn sử dụng (thời gian sống) ngẫu nhiên máy thay hỏng  Trên thực tế, máy thay lúc tốn chi phí định  Một cách tổng quát trường hợp khác, chi phí thay đổi (hồi phục) kiện âm (mất đi) dương (nhận thêm) Trong phần ta đề cập tới việc sử dụng trình hồi phục để mô hình hóa việc sử dụng thay máy móc Tuy nhiên thực tế kinh doanh, việc thay máy móc hay công cụ tiêu tốn chi phí định, đồng thời kiện xảy lúc nào, trước sau máy bị hỏng (cũng ngẫu nhiên) Tổng quát hơn, chi phí thay đổi (hồi phục) kiện âm (mất đi) mà dương (nhận thêm vào) Xem phụ lục Vì vậy, trình hồi phục tổng quát hóa thêm bước cách đưa vào khái niệm chi phí hồi phục kiện (hoàn lại – reward) ta gọi renewal reward process 2.1 Định nghĩa Ta có trình hồi phục với điểm hồi phục Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d có trung bình [ ] , ta định nghĩa trình hồi phục có hoàn lại sau: Quá trình mức chi phí đạt thời điểm xét Không sử dụng để mô tả việc sử dụng thay máy móc, trình hồi phục có hoàn lại mô tả trình sản xuất sản phẩm, thời gian cần thiết sản phẩm ngẫu nhiên Nếu sản phẩm đạt chuẩn trả cho nhà sản xuất khoản thưởng ( để tiêu hủy ( dương) hỏng nhà sản xuất phí âm) Quá trình hồi phục có hoàn lại trường hợp mức lợi nhuận mà nhà sản xuất đạt sau thời gian cho trước 2.2 Tính chất trình hồi phục có hoàn lại 2.2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) Vẫn với thời gian sống trung bình [ ], ta có: Tính chất lượng chi phí hoàn lại trung bình thời gian dài (long run) 2.2.2 Với Elementary theorem (Định lí bản) [ ], ta có: Minh họa với Matlab Qua việc nghiên cứu trình hồi phục trình hồi phục có hoàn lại, ta thấy dạng đồ thị hình bậc thang với bước có độ dài ngẫu nhiên Vì để minh họa, ta cần phải thực bước sau i Sinh chuỗi số ngẫu nhiên có chung hàm phân phối ii Sử dụng chuỗi sinh để tính lại độ dài bậc thang theo định nghĩa trình hồi phục iii Sử dụng công cụ vẽ đồ thị dạng bậc thang phần mềm minh họa Để thực bước này, phần mềm Matlab có hàm hỗ trợ sau: Y = random(name,A,B,C,[m,n, ]) – tạo số random với phân phối “name” tham số A, B, C ma trận cỡ mxnx… B = cumsum(A) – tính tổng dọc theo mảng A stairs(X,Y) – vẽ đồ thị dạng bậc thang với đầu vào ma trận X,Y 3.1 Minh họa trình hồi phục Mã Matlab num = 1; % số lượng trình hồi phục cần minh họa maxtime = 10; % thời điểm tối đa minh họa % khởi tạo ma trận toàn để tính toán vẽ đồ thị dễ rntimes = zeros(1, num); % tạo điểm hồi phục ghi vào cột ma trận % hàm random cho số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình % hàm random thay hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác i = 1; while (min(rntimes(i, :))maxtime); rntimes(ex_i) = maxtime; % khởi tạo bước nhảy trình hồi phục đưa vào cột ma trận rncount = [zeros(1, num); ones(size(rntimes, 1)-1, num)]; % đặt lại giá trị đếm điểm vượt rncount(ex_i) = 0; % cộng lại giá trị đếm vẽ đồ thị rncount = cumsum(rncount); stairs(rntimes, rncount); Kết 3.2 Minh họa trình hồi phục có hoàn lại Mã Matlab num = 1; % số lượng trình hồi phục cần minh họa maxtime = 10; % thời điểm tối đa minh họa % khởi tạo ma trận toàn để tính toán vẽ đồ thị dễ rntimes = zeros(1, num); % tạo điểm hồi phục ghi vào cột ma trận % hàm random cho số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình % hàm random thay hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác i = 1; while (min(rntimes(i, :))maxtime); rntimes(ex_i) = maxtime; % khởi tạo bước nhảy trình đưa vào cột ma trận rncount = [zeros(1, num); rand(size(rntimes, 1)-1, num)]; % đặt lại giá trị đếm điểm vượt rncount(ex_i) = 0; % cộng lại giá trị đếm vẽ đồ thị rncount = cumsum(rncount); stairs(rntimes, rncount); Kết Bài tập ví dụ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 4.1 Bài tập 4.1.1 Đề bài: Cho biến ngẫu nhiên X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời với tham số: = 3; = 4; = 1; = 2; = Tìm luật phân phối f(y|x) f(x|y) 4.1.2 Giải: + X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời nên có hàm mật độ đồng thời: 1 − − ( , )= exp − + 2(1 − ) 1− ( − −2 )( − + Tính hàm mật độ biên: Đặt = ( )= exp => − −( − ) + 2(1 − ) ( = ) ( ) ) = ( − ) = √2 ( )= , ta có: ) Áp dụng tích phân: ∫ − 1− ( Suy ra: exp − √2 − 2 + Từ có hàm mật độ biên: ( )= ( , ) = ( )= ( , ) = √2 √2 exp − ( − ) exp − ( − ) + Từ ta có hàm mật độ có điều kiện: ( , ) ( | )= = exp − ( ) 1− √2 ( , ) ( | )= = exp − ( ) 1− √2 Suy ( | ) ~ ( Và ( | ) ~ ( Thay số ta được: + + ( − ( − ); ); (1 − (1 − (1 − ) (1 − ) ℎ ~ ( ; ) ℎ ~ ( ; ) − − ( − ) − − ( − ) )) )) ( | ) ~ ( + 1; 3) ( | ) ~ ( + 2; ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 4.2 Bài tập 4.2.1 Đề bài: biến x y không tương quan  x   y   Biểu diễn z  x  jy thì: f z  z   f  x, y    z   x2  y2  exp exp      2 2  2   z  z  2     z     exp   2u   v    exp    z2       Khi   u  jv Đây dạng vô hướng công thức (8-62) 4.2.2 Bài làm: +Do x y biến ngẫu nhiên không tương quan nên với z  x  jy phương sai z là:  z2   x2   y2  2 2 Ngoài z  x  y ⇔ z  x  y (1) (2) +Hàm đặc trưng biến z là:  z2 fz  z   exp     z   z2   (3) Thay (1) (2) vào (3), ta được:  z2   x2  y2  fz  z   exp     exp      z  2  z2  2    +Mặt khác: Gọi véc-tơ ngẫu nhiên X   x, y  Ta có hàm mật độ X là:  x2  y  f  X   f  x, y   exp    2  2  +Như vậy: f z  z   f  x, y  10 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping +Ta có:   u  jv ⇒   u  v ⇔   u  v (4) +Ta có hàm: 2   z     exp   z2   (5)   Thay (1) (4) vào (5) ta được:    z     exp     u  v         z     exp    2u   v     11 Phụ lục Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed) Là chuỗi số ngẫu nhiên chuỗi biến ngẫu nhiên có chung hàm phân phối độc lập Luật số lớn (Strong Law of Large Numbers) Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d thì: ∑ [ ] w p.1 = với xác suất Chỉ thực phép thử nhiều lần trung bình cộng giá trị đo tiến đến gần với trung bình kiện ngẫu nhiên 12 Tài liệu tham khảo Geiger, Jochen 2007 Applied Stochastic Processes 2007 Jun, C H 2002 Chapter Renewal Theory 2002 Kaj, Ingemar and Gaigalas, Raimundas Renewal processes Department of Mathematics [Online] Uppsala University http://www2.math.uu.se/research/telecom/software/strenewal.html Kapodistria, Stella and Resing, Jacques 2012 Renewal theory and its application TU/e [Online] 2012 Papoulis, Athanasios 1991 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes s.l : McGraw-Hill, Inc., 1991 0-07-048477-5 Wikipedia Law of large numbers Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers — Poisson process Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process — Renewal Theory Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Renewal_theory 13 [...]... 4.2 Bài tập 2 4.2.1 Đề bài: 2 biến x và y không tương quan và  x   y   Biểu diễn nếu z  x  jy thì: f z  z   f  x, y    z   x2  y2  1 exp exp   2    2 2 2 2  2   z  z  1 2  1   1  z     exp   2u 2   2 v 2    exp    z2    2   4  Khi   u  jv Đây là dạng vô hướng của công thức (8-62) 4.2.2 Bài làm: +Do x và y là 2 biến ngẫu nhiên không tương... 2  1  z     exp   z2   (5)  4  Thay (1) và (4) vào (5) ta được:  1   z     exp    2  u 2  v 2    2   1    z     exp    2u 2   2 v 2    2  11 Phụ lục Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed) Là một chuỗi các số ngẫu nhiên hoặc một chuỗi các biến ngẫu nhiên có chung hàm phân phối và độc lập đối với nhau Luật số lớn (Strong Law of Large... x  jy thì phương sai của z là:  z2   x2   y2  2 2 2 Ngoài ra z  x 2  y 2 ⇔ z  x 2  y 2 (1) (2) +Hàm đặc trưng của biến z là:  z2 fz  z   exp   2   z   z2   1 (3) Thay (1) và (2) vào (3), ta được:  z2   x2  y2  1 fz  z   exp   2   exp    2   z  2 2  z2  2    1 +Mặt khác: Gọi véc-tơ ngẫu nhiên X   x, y  Ta có hàm mật độ của X là:  x2  y 2  f ... Poisson Vì vậy, mặt lí thuyết ta tổng quát hóa trình Poisson trình ngẫu nhiên khác có phân phối kiện G tổng quát Quá trình đề cập đến gọi trình hồi phục (renewal processes) 1.2 Định nghĩa chuỗi biến... nhiên) Tổng quát hơn, chi phí thay đổi (hồi phục) kiện âm (mất đi) mà dương (nhận thêm vào) Xem phụ lục Vì vậy, trình hồi phục tổng quát hóa thêm bước cách đưa vào khái niệm chi phí hồi phục kiện... Ta có trình hồi phục với điểm hồi phục Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d có trung bình [ ] , ta định nghĩa trình hồi phục có hoàn lại sau: Quá trình mức chi phí đạt thời điểm xét Không sử dụng