Tìm hiểu quá trình hồi phục (Renewal Processes) và ứng dụng

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚNQUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNGĐề tài: Tìm hiểu quá trình hồi phục (Renewal Processes) và ứng dụngMục lụcMở đầu1Phần 12Quá trình hồi phục (Renewal Processes)21. Định nghĩa22. Tính chất của Quá trình hồi phục22.1. Strong Law of Large Number (SLLN Luật số lớn)22.2. Elementary renewal theorem (Định lí cơ bản)33. Quá trình hồi phục có phải quá trình đếm không?3Phần 24Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal Reward Processes)41. Định nghĩa42. Tính chất của Quá trình hồi phục có hoàn lại42.1. Strong Law of Large Number (SLLN Luật số lớn)42.2. Elementary theorem (Định lí cơ bản)4Phần 35Ứng dụng và minh họa với Matlab51. Minh họa Quá trình hồi phục bằng Matlab52. Minh họa Quá trình hồi phục có hoàn lại bằng Matlab7Phụ lục9Tài liệu tham khảo10

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Viện Công nghệ thông tin Truyền thông BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Đề tài: Tìm hiểu trình hồi phục (Renewal Processes) ứng dụng Mục lục Mở đầu Trong thực tế nhiều kiện xảy cách ngẫu nhiên chúng mô hình hóa lí thuyết xác suất, thống kê trình ngẫu nhiên Một vấn đề thường gặp việc đếm kiện ngẫu nhiên xảy mô hình ngẫu nhiên Để giải việc này, mô hình trình đếm (counting processes) đưa ví dụ điển hình trình Poisson (Poisson processes) Học phần Xác suất - Thống kê đề cập tới phân phối Poisson ứng dụng Trên quan điểm trình ngẫu nhiên, trình Poisson trình đếm dùng để xác định số lượng kiện ngẫu nhiên xảy thời điểm chúng xuất khoảng thời gian cho trước Nhiều mô hình ngẫu nhiên thực tế mô tả trình Poisson phân rã hạt nhân (phóng xạ), loại hàng đợi tổng đài điện thoại, web server … Tuy nhiên tất kiện ngẫu nhiên thực tế tuân theo phân phối Poisson Vì vậy, mặt lí thuyết ta tổng quát hóa trình Poisson trình ngẫu nhiên khác có phân phối kiện G tổng quát Quá trình đề cập đến gọi trình hồi phục (renewal processes) Phần Quá trình hồi phục (Renewal Processes) Định nghĩa Với chuỗi biến ngẫu nhiên có hàm phân phối , nhận giá trị có kì vọng - Đặt - gọi điểm hồi phục (renewal points) - Đoạn [ ] gọi khoảng hồi phục (renewal, renewal cycle) - gọi thời gian trễ Khi biến ngẫu nhiên định nghĩa bởi: (Là giá trị lớn cho ) số lượng khoảng hồi phục xảy thời điểm t Vì gọi trình hồi phục Tính chất Quá trình hồi phục 2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) Gọi thời gian sống trung bình (expected lifetime) Ta có: Với số lượng khoảng hồi phục (sự kiện) xảy thời điểm , công thức số lượng kiện xảy đơn vị thời gian thời gian dài (long run, ) Chứng minh Dễ dàng thấy điểm hồi phục cuối trước điểm hồi phục sau : Ta có: - (luật số lớn với i.i.d.) - (tương tự Tức cận cận tiến đến , từ ta có điều phải chứng minh 2.2 Elementary renewal theorem (Định lí bản) Định nghĩa hàm hồi phục: ] Ta có: Chứng minh định lí dựa vào Đẳng thức Wald thời gian dừng (stopping time) chuỗi i.i.d Ta không đề cập đến chứng minh báo cáo Quá trình hồi phục có phải trình đếm không? Quá trình hồi phục trình đếm có đầy đủ tính chất trình đếm: N(t) biểu thị số khoảng hồi phục thời điểm t - =0 - nhận giá trị số tự nhiên - < với s < t - = – , , số khoảng hồi phục từ thời điểm s đến thời điểm t Phần Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal Reward Processes) Định nghĩa Ta có trình hồi phục với điểm hồi phục Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d có trung bình , ta định nghĩa trình hồi phục có hoàn lại sau: Quá trình mức chi phí đạt thời điểm xét Tính chất Quá trình hồi phục có hoàn lại 2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) Vẫn với thời gian sống trung bình , ta có: Tính chất lượng chi phí hoàn lại trung bình thời gian dài (long run) 2.2 Elementary theorem (Định lí bản) Với , ta có: Phần Ứng dụng minh họa với Matlab • Quá trình hồi phục dùng để biểu diễn miền thời gian sử dụng máy móc • Tuy nhiên thực tế kinh doanh, việc thay máy móc hay công cụ tiêu tốn chi phí định, đồng thời kiện xảy lúc nào, trước sau máy bị hỏng (cũng ngẫu nhiên) • Chi phí thay đổi (hồi phục) kiện âm (mất đi) dương (nhận thêm) • Vì vậy, trình hồi phục tổng quát hóa thêm bước cách đưa vào khái niệm chi phí hồi phục kiện (hoàn lại – reward) ta gọi renewal reward process Phần mềm Matlab có hàm hỗ trợ sau: Y = random(name,A,B,C,[m,n, ]) – tạo số random với phân phối “name” tham số A, B, C ma trận cỡ mxnx… B = cumsum(A) – tính tổng dọc theo mảng A stairs(X,Y) – vẽ đồ thị dạng bậc thang với đầu vào ma trận X,Y Minh họa Quá trình hồi phục Matlab Mã Matlab num = 1; % số lượng trình hồi phục cần minh họa maxtime = 10; % thời điểm tối đa minh họa % khởi tạo ma trận toàn để tính toán vẽ đồ thị dễ rntimes = zeros(1, num); % tạo điểm hồi phục ghi vào cột ma trận % hàm random cho số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình % hàm random thay hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác i = 1; while (min(rntimes(i, :))maxtime); rntimes(ex_i) = maxtime; % khởi tạo bước nhảy trình hồi phục đưa vào cột ma trận rncount = [zeros(1, num); ones(size(rntimes, 1)-1, num)]; % đặt lại giá trị đếm điểm vượt rncount(ex_i) = 0; % cộng lại giá trị đếm vẽ đồ thị rncount = cumsum(rncount); stairs(rntimes, rncount); Kết Một ví dụ thực tế trình hồi phục việc sử dụng loại máy sản xuất có thời gian sử dụng (thời gian sống) biến ngẫu nhiên có phân phối đó, máy thay máy cũ bị hỏng Ta dễ dàng thấy thời gian sử dụng máy thể chuỗi biến thời điểm phải thay máy Vì trình hồi phục để đếm số lượng máy phải sử dụng thời điểm t số vấn đề khác mà người quản lí quan tâm Minh họa Quá trình hồi phục có hoàn lại Matlab Mã Matlab num = 1; % số lượng trình hồi phục cần minh họa maxtime = 10; % thời điểm tối đa minh họa % khởi tạo ma trận toàn để tính toán vẽ đồ thị dễ rntimes = zeros(1, num); % tạo điểm hồi phục ghi vào cột ma trận % hàm random cho số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình % hàm random thay hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác i = 1; while (min(rntimes(i, :))maxtime); rntimes(ex_i) = maxtime; % khởi tạo bước nhảy trình đưa vào cột ma trận rncount = [zeros(1, num); rand(size(rntimes, 1)-1, num)]; % đặt lại giá trị đếm điểm vượt rncount(ex_i) = 0; % cộng lại giá trị đếm vẽ đồ thị rncount = cumsum(rncount); stairs(rntimes, rncount); Kết Không sử dụng để mô tả việc sử dụng thay máy móc, trình hồi phục có hoàn lại mô tả trình sản xuất sản phẩm, thời gian cần thiết sản phẩm ngẫu nhiên Nếu sản phẩm đạt chuẩn trả cho nhà sản xuất khoản thưởng (dương) hỏng nhà sản xuất phí để tiêu hủy (âm) Quá trình hồi phục có hoàn lại trường hợp mức lợi nhuận mà nhà sản xuất đạt sau thời gian cho trước 10 Phụ lục Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed) Là chuỗi số ngẫu nhiên chuỗi biến ngẫu nhiên có chung hàm phân phối độc lập Luật số lớn (Strong Law of Large Numbers) Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d thì: w p = với xác suất Chỉ thực phép thử nhiều lần trung bình cộng giá trị đo tiến đến gần với trung bình kiện ngẫu nhiên 11 Tài liệu tham khảo Poisson process Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process Renewal Theory Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Renewal_theory Law of large numbers Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers Renewal Limit Theorems [Online] http://www.math.uah.edu/stat/renewal/LimitTheorems.html Renewal Reward Processes [Online] http://www.math.uah.edu/stat/renewal/Reward.html 12 ... ta tổng quát hóa trình Poisson trình ngẫu nhiên khác có phân phối kiện G tổng quát Quá trình đề cập đến gọi trình hồi phục (renewal processes) Phần Quá trình hồi phục (Renewal Processes) Định... Phần Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal Reward Processes) Định nghĩa Ta có trình hồi phục với điểm hồi phục Với chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d có trung bình , ta định nghĩa trình hồi phục. .. hàm hồi phục: ] Ta có: Chứng minh định lí dựa vào Đẳng thức Wald thời gian dừng (stopping time) chuỗi i.i.d Ta không đề cập đến chứng minh báo cáo Quá trình hồi phục có phải trình đếm không? Quá