Báo cáo tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên và giới hạn

Mục lục I Hội tụ ngẫu nhiên định lý giới hạn Định nghĩa: 1.1 Hội tụ nơi (e) 1.2 Luật số lớn (Bernoulli) Các định lý giới hạn trung tâm .7 2.1 Định lý Berry-Esseén: 10 2.2 Kết định lý giới hạn trung tâm 11 II Quá trình ngẫu nhiên – Ứng dụng 12 Định nghĩa .12 1.1 Bình đẳng: 12 1.2 Thống kê trình Stochasic 13 1.3 Tƣơng quan tự động: 14 1.4 Trƣờng hợp không đồng 15 1.5 Thuộc tính chung 17 1.6 Tƣơng quan hiệp phƣơng sai 17 1.7 Tiếng ồn trắng .19 1.8 Số gia độc lập không tƣơng quan .19 1.9 Quá trình điểm trình đổi 20 1.10 Quá trình bất động: 20 Các hệ với đầu vào ngẫu nhiên .21 2.1 Hệ không nhớ 22 2.2 Hệ LTI (Linear Time – Invariant) .22 2.2.1 Hệ tuyến tính 22 2.2.2 Hệ bất biến theo thời gian .22 Phổ lƣợng .23 3.1 Định nghĩa 23 3.2 Hệ thống tuyến tính 28 3.3 Quá trình phức tạp 32 3.4 Tích hợp quang phổ 33 3.5 Véc tơ quang phổ .34 3.6 TÍNH CHẤT CỦA CÁC MỐI TƢƠNG QUAN .35 3.6.1 Điều kiện đủ 35 3.6.2 Hệ .36 3.6.3 Tƣơng quan chéo 37 Quá trình kĩ thuật số 38 4.1 Định nghĩa 38 4.2 Phƣơng pháp lấy mẫu .42 III Ứng dụng Matlab 43 I Hội tụ ngẫu nhiên định lý giới hạn Định nghĩa: Một chuỗi ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên rời rạc chuỗi biến ngẫu nhiênx1,…,xn,… Giá trị cụ thể, xn( ) chuỗi số không hội tụ Điều cho thấy khái niệm hội tụ chuỗi ngẫu nhiên đưa nhiều cách khác 1.1 Hội tụ nơi (e) Như nhớ lại, dãy số xn tiến đến giới hạn x cho >0, tìm số n0 thỏa mãn: |xn-x|< với n>n0 (8-99) Chúng ta nói chuỗi xn ngẫu nhiên hội tụ khắp nơi chuỗi số xn( ) hội tụ cho Giới hạn số phụ thuộc nói chung vào Nói cách khác, giới hạn chuỗi ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên x: xn x n  Hội tụ gần nhƣ tất nơi (a.e) Nếu tập hợp kết lim xn( ) = x( ) n (8-100) mà tồn xác suất 1, nói chuỗi hội tụ nơi ( với xác suất 1) Điều viết dạng P{xn x}=1 n (8-101) Ở phía trên, {xn x} bao gồm tất kết xn( ) Hội tụ trọng MS Chuỗi xn có xu hướng đến biến ngẫu nhiên x ý nghĩa MS E{|xn x|2} n (8-102) Cái gọi giới hạn trung bình thường viết dạng l.i.m xn=x n  Tính hội tụ xác suất (p): Xác suất P{|x-xn|> } kiện {|x-xn|> } chuỗi số tùy thuộc vào Nếu chuỗi có xu hướng dần đến 0: P{|x-xn|> } n (8-103) Cho >0 nói chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên x xác suất Cái gọi hội tụ ngẫu nhiên  Hội tụ phân phối (d): Chúng ta kí hiệu Fn(x) F(x) phân phối biến ngẫu nhiên xn x Nếu Fn(x) F(x) n (8-104) Với điểm x liên tục F(x) nói chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên x phân phối Chúng ta lưu ý trường hợp chuỗi xn( ) ko cần phải hội tụ  Tiêu chuẩn Cauchy: Như ghi nhận, xác định chuỗi xn hội tụ thỏa mãn (8-99) Định nghĩa liên quan đến việc giới hạn x xn Định lý sau đây, gọi tiêu chuẩn CauChy, thiết lập điều kiện cho hội tụ xn để tránh việc sử dụng x: Nếu |xn+m-xn| n (8-105) Với m>0, chuỗi hội tụ Định lý dùng cho chuỗi ngẫu nhiên Trong trường hợp giới hạn phải giải thích phù hợp Ví dụ nếu: E{|xn+m-xn|2} n Với m>0 chuỗi xn hội tụ ngẫu nhiên MS  So sánh phƣơng thức hội tụ Trong hình 8-3 cho thấy mối quan hệ phương thức hội tụ khác Mỗi điểm trọng hình chữ nhật đại diện cho chuỗi ngẫu nhiên Chữ đường cong cho thấy tất chuỗi bên đường cong hội tụ chế độ quy định Khu vực gạch chéo bao gồm tất chuỗi không hội tụ.Chữ d đường cong bên cho thấy chuỗi hội tụ tất hội tụ phân phối Nếu chuỗi hội tụ MS hội tụ xác suất 1.2 Luật số lớn (Bernoulli) Trong 3-3 cho thấy xác suất kiện A thử nghiệm cho p số lần thành công A n lần thử nghiệm k P{| -p|< } n (8-106) Chúng ta thiết lập lại kết giới hạn chuỗi biến ngẫu nhiên.Với mục đích giới thiệu biến ngẫu nhiên xi = { Chúng ta thấy mẫu có nghĩa ̅̅̅ Của biến ngẫu nhiên có xu hướng dần đến xác suất p n Chứng minh Như biết E{xi} = E{̅̅̅} = p Hơn nữa, pq = p(1-p) 1/4 Do (xem 5-57) P{|̅̅̅ |< } 1- → Bởi ̅̅̅ = k/n A xảy k lần  Luật mạnh số lớn (Borel) Nó ̅̅̅ có xu hướng đến p không xác suất mà xác suất Kết này, Borel, gọi luật mạnh số lớn Sẽ không chứng minh  Định lý Markoff Chúng ta có chuỗi xi biến ngẫu nhiên thành lập mẫu ̅̅̅ Rõ ràng, ̅ biến ngẫu nhiên có giá trị ̅ phụ thuộc vào kết thử nghiệm Chúng ta trì, biến ngẫu nhiên xi có nghĩa ̅ ̅ có xu hướng đến giới hạn phương sai ̅ có xu hướng dần đến n : E{ ̅ } = ̅ → { ̅ ̅ }→ ̅ (8-107) Thì biến ngẫu nhiên ̅ có xu hướng dần đến E{ ̅ }→ MS (8-108) Chứng minh: chứng minh dựa bất đẳng thức đơn giản | ̅ | | ̅ ̅ | | ̅ Giá trị kì vọng hai bên ta được: E{ ̅ } { ̅ ̅ } ̅ Và (8-108) từ (8-107)  Hệ (điều kiện Tchebycheff) Nếu biến ngẫu nhiên xi ko tương quan → (8-109) Thì ∑ { } ̅ → Trong MS | Ví dụ 8-14.Chúng muốn xác định phân phối F(x) biến ngẫu nhiên x quy định thử nghiệm Cho mục đích lặp lại thí nghiệm n lần tạo thành biến ngẫu nhiên xi (8-12) yi(x) = { x số cố định E{yi(x)} = P{yi =1} = P(xi x) = F(x) Các định lý giới hạn trung tâm Với n biến ngẫu nhiên độc lập xi, có tổng x = x1 + + xn Đây biến ngẫu nhiên phương sai Các định lý giới hạn trung tâm (CLC) theo số điều kiện chung, phân phối F(x) x cách tiếp cận phân phối bình thường với giá trị trung bình phương sai: F(x) (8-110) Khi n tăng Hơn biến ngẫu nhiên xi liên tục, mật độ f(x) x tiếp cận mật độ bình thường (Hình 8-5a) f(x) (8-111) √ Định lí quan trọng nêu giới hạn: z=(x- )/ Fz(z)→ G(z) fz(z)→ √ Nói chung cho trường hợp liên tục Ví dụ 8-17 Nếu biến ngẫu nhiên xi độc lập phân phối giống với mật độ fi(x) hình 8-8a f(x) bao gồm parabol (xem ví dụ 8-12) N(0,1/4) ước lượng chuẩn Kể từ f(x) m4=13/80 (see Prob.8-4), kết (8-117) √ ( Trong hình 8-8b, sửa lỗi ̅ tiên ̅ ) ước lượng chuẩn sửa lỗi lệnh đầu Chứng minh định lý giới hạn trung tâm: Chúng ta giải thích cho xấp xỉ (8-111) sử dụng hàm đặc trưng Chúng ta giả định đơn giản ni=0 Biểu thị , tương ứng, hàm đặc tính biến ngẫu nhiên xi x=x1+…+x2, kết luận độc lập xi Gần nguồn gốc, hàm xấp xỉ parabol: | | (8-118) Nếu biến ngẫu nhiên xi liên tục, (xem 5-61 Prob 5-25) | | | | (8-119) Phương trình (8-119) cho thấy với nhỏ n lớn, hàm | | ( Hình 8-9a) Điều cho hàm mũ (8-123) Từ có không đáng kể (8-120) Thỏa mãn với (8-111) Tính xác định lý nói biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Có xu hướng dần đến N(0,1) n → ; (8-121) √ Một chứng minh chung định lý đưa Sau tóm tắt chứng minh theo giả định biến ngẫu nhiên xi đọc lập phân phối giống Trong trường hợp √ Do đó, ( √ ) ta có Mở rộng hàm Do ( √ ) ( )→ (8-122) √ n kết (8-121) Sau tập hợp đầy đủ điều kiện: → (a) (8-123) (b) Tồn số >2 K hữu hạn liên tục mà ∫ với I (8-124) Những điều kiện chung Tuy nhiên chúng bao gồm loạt ứng dụng Ví dụ, (8-123) thỏa mãn tồn số >0 thỏa mãn với i Điều kiện (8-124) thỏa mãn tất mật độ f(x) bên khoảng hữu hạn (-c,c) lớn  Mạng tinh thể: Các lí áp dụng với biến ngẫu nhiên rời rạc Tuy nhiên trường hợp hàm thời kì (hình 89b) kết chúng có giá trị đáng kể vùng nhỏ gần điểm Sử dụng xấp xỉ (8-112) vùng này, có ∑ (8-125) Như nhìn thấy từ (11A-1), nghịch đảo kết (8-112) 2.1 Định lý Berry-Esseén: định lý nói { } với i (8-126) Trong c số liên tục, phân phối ̅ tổng chuẩn hóa ̅ Là gần phân phối chuẩn G(x) theo nghĩa sau |̅ | (8-127) Định lý giới hạn trung tâm hệ (8-127) (8-127) dẫn đến kết luận ̅ (8-128) 10 Chứng minh Chúng tạo thành hệ thống dải thông lý tưởng với hàm hệ thống { Và áp dụng tới đầu vào Từ (10-139) kéo theo Quang phổ lượng kết đầu { Do { } ∫ ∫ (10-152) Vì vậy, Diện tích thời gian dương Điều nơi Chúng ta sử dụng (10-152) để diễn tả quang phổ lượng trình công suất trung bình trình thu cách lọc Thiết lập kết luận đủ nhỏ, { } (10-153) Điều cho thấy phần nội hóa lượng trung bình số trục tần 3.4 Tích hợp quang phổ Trong toán học, tính chất quang phổ tiến trình thể điều kiện quang phổ tích hợp định nghĩa tách rời : ∫ (10-154) Từ tính dương , kéo theo hàm không giảm Tích hợp công thức đảo (10-121) phận, thể tự tương quan tích Riemann-Stieltjes: ∫ (10-155) 33 Cách tiếp cận tránh việc sử dụng hàm đặc biệt quang phổ đại diện chứa xung Nếu chứa phần không liên tục , nhảy gián đoạn Tích phổ hiệp phương sai theo tích phổ hiệp phương sai Từ (10-125) kéo 3.5 Véc tơ quang phổ Véc tơ trình WSS thành phẩn WSS Trong trường hợp này, ma trận tự tương quan phụ thuộc vào Từ điều kéo theo [see(10-116)] ∫ (10-156) ∫ Phổ lượng véc tơ trình WSS ma trận vuông , yếu tố biến đổi Fourier phần tử ma trận tự tương quan Định nghĩa tương tự, ma trận , kết luận từ (10-156) ̅ Tại ̅ ̅ (10-157) ma trận với phần tử biến đổi Fourier phần tử ma trận đáp ứng xung Do ̅ ̅ (10-158) Đây phần mở rộng (10-136) với hệ thống đa thiết bị đầu cuối Ví dụ 10-29 Các dẫn suất hai trình WSS coi kết hai đầu vào phân biệt với hàm hệ thống Căn vào (10-119), kết luận quang phổ lượng chéo Do { } (10-159) 34 3.6 TÍNH CHẤT CỦA CÁC MỐI TƢƠNG QUAN Nếu hàm tự tương quan trình WSS [see(10-151)] biến đổi Fourier dương Hơn nữa, hàm với biến đổi Fourier dương, tìm thấy trình (10-126) với tự tương quan Như vậy, điều kiện cần đủ cho hàm để tự tương quan biến đổi Fourier dương Các điều kiện để hàm tự tương quan thể trực tiếp phần tử Chúng ta thể (10-84) tự tương quan trình p.d., ∑ (10-160) với , , , Nó hiển thị mà ngược lại Nếu hàm p.d., biến đổi Fourier dương Như vậy, hàm có biến đổi Fourier dương p.d 3.6.1 Điều kiện đủ Để xác định xem liệu có p.d, phải thể thỏa mãn (10-160) biến đổi tích cực Nói chung nhiệm vụ đơn giản Sau điều kiện đủ đơn giản Tiêu chuẩn Polya Nó hàm p.d có mặt lõm xuống với có xu hướng giới hạn hữu hạn | | Hãy xem xét, ví dụ, hàm Nếu , với ; Vì p.d thỏa mãn tiêu chí Polya Lưu ý, nhiên, p.d cho không đáp ứng tiêu chí Điều kiện cần thiết Tự tương quan gốc, [xem(10-121)] | | trình ∫ lớn (10-161) Chúng ta thấy Định lý Nếu không tuần hoàn, đạt tối đa gốc , với tuần hoàn với thời gian (10-162) Chứng minh, từ bất đẳng thức { } { } (10-163) 35 : Kéo theo { } { } { } Do (10-164) , bên phải 0; bên trái cho Nếu Hệ từ (10-162) 3.6.2 Hệ Nếu số không tương xứng, có nghĩa tỉ lệ chúng không hợp lý, số Chứng minh Từ định lý kéo theo Điều Tiếp tục, tuần hoàn với thời gian số liên tục gốc, liên tục cho Chứng minh Từ liên tục kéo theo Do vế trái (10-164) có xu hướng cho Ví dụ 10-30 Sử dụng định lý, thấy Parabol bị cắt ngắn | | { | | tự tương quan Nếu tự tương quan số tiến trình | | | | { Là tự tương quan với [xem(10-144)] hàm Điều MS liên tục tuần hoàn Chúng ta nói tiến trình { } 36 liên tục với MS liên tục (10-165) ; } Từ { MS liên tục, liên tục tự tương quan Chúng ta nói tiến trình { , kết luận Như trình WSS MS liên tục với MS tuần hoàn với thời gian } (10-166) Từ vế trái , kết luận ; Do [xem(10-162)] tuần hoàn Điều dẫn đến kết luận tiến trình WSS MS tuần hoàn tự tương quan tuần hoàn 3.6.3 Tƣơng quan chéo Sử dụng (10-163), cho thấy tương quan chéo trình WSS đáp ứng bất đẳng thức hai tiến (10-167) Chứng minh Từ (10-163) kéo theo { } )| } {| {| ( | } (10-167) kết Hệ Đối với a,b |∫ | ∫ Chứng minh Giả sử ∫ (10-168) yếu tố đầu vào cho lọc lý tưởng { Biểu thị tương ứng với kết đầu ra, kết luận ∫ ∫ ∫ Và (10-168) theo sau 37 Quá trình kĩ thuật số 4.1 Định nghĩa Kỹ thuật số (hoặc thời gian rời rạc ) trình chuỗi xn RVs Để tránh số lặp, sử dụng ký hiệu x[n] mà dấu ngoặc cho biết n số nguyên hầu hết kết liên quan đến trình tương tự (hoặc thời gian liên tục ) dễ dàng mở rộng cho quy trình kỹ thuật số phác thảo khái niệm Sự tự tương quan phương sai x[n] cho bởi: R[n1,n2]= E{x[n1]x*[n2]} C[n1,n2]= R[n1,n2] –ƞ[n1] ƞ*[n2] (10-169) Tương ứng với ƞ[n] = E{x[n]} trung bình x[n] Một trình x[n] SSS tính chất thống kê bất biến đến thay đổi gốc Nó WSS ƞ[n]= ƞ = số R[n+m,n] = E{x[n+m]x*[n]} = R[m] (10-170) Một trình x[n] nhiễu trắng hoàn toàn RVs x[ni] độc lập Nó nhiễu trắng RVs x[ni] tương quan với Sự tương quan trình nhiễu trắng với trung bình không cho R[n1,n2] = q[n1]δ[n1- n2] với δ[n] { (10-171) Và q[n] = E{ [n]} Nếu x[n] không thay đổi, R[m] = q δ[m] Như nhiễu trắng WSS thứ tự i,i.d RVs với biến q Đáp ứng delta h[n] hệ thống tuyến tính đáp ứng chuỗi delta δ[n].Chức hệ thống biến z ánh xạ h[n]: H(z) =∑ (10-172) Nếu x[n] đầu vào đến hệ số, kết đầu phép nhân chập số x[n] với h[n]: y[n] =∑ = x[n]*h[n] (10-173) Từ theo ƞy[n] = ƞx[n]*h[n] Ngoài Rxy[n1,n2]= ∑ [n1,n2-k]h*[k] (10-174) Ryy[n1,n2]=∑ [n1-r,n2]h[r] (10-175) 38 Nếu x[n] nhiễu trắng với cường độ trung bình q[n] (10-171), [nhìn (10-90)], E{ } = q[n] * |h[n]|2 (10-176) Nếu x[n] WSS , y[n] WSS với ƞy= ƞx=H(1) Ngoài Rxy[m]=Rxx[m]*h*[-m] Ryy=Rxy[m]*h[m] Ryy[m]=Rxx[m]* =∑ (10-177) Như (10-133) (10-135) Lũy thừa mật độ hàm phổ: Cho WSS trình x[n], tạo biến z biến đổi S(z) tự tương quan R[m]: S(z)= ∑ (10-178) Lũy thừa mật độ hàm phổ x[n] hàm: S(w) =S( ) =∑ (10-179) Do S( ) DFT R[m] Hàm S( hệ số Fourier R[m] Do R[m] = ∫ dw Nó thỏa mãn, đó, để định rõ S( ) tuần hoàn với chu kì loạt (10-180) ) cho |w| < (xem hình 10-15) Nếu x[n] trình thực,khi R[-m] = R[m] (10-179) S( ) =R[0] +2 ∑ (10-181) Biểu diễn Lũy thừa mật độ hàm phổ trình thực hàm hàm 39 Ví dụ 10-31 Nếu R[m] = S(z)= ∑ | | , +∑ = + = Do S( )= Ví dụ 10-32 tiến hành trường hợp tương tự, thấy trình x[n] = ∑ WSS hệ số ci không tương quan với giá trị trung bình không Trong trường hợp R[m]=∑ Với = E{ } , | |< =2 + | (10-182) |< Từ (10-177) theo định lí phép nhân chập, kéo theo y[n] đầu hệ tuyến tính với đầu vào x[n], : Sxy( ) =Sxx( )H*( ) Syy( ) = Sxy( )H( Syy( ) = Sxx( ) |H( Nếu h[n] số thực, H*( ) (10-183) )2 | ) = H( Syy(z) = Sxx(z)H(z)H(1/z) ) Trong trường hợp (10-184) 40 Ví dụ 10-33 Sự khác biệt y[n] = x[n] – x[n - 1] trình x[n] xét đầu hệ tuyến tính với đầu vào x[n] hàm H(z) = – z-1 Áp dụng (10-184), thu Syy(z) = Sxx(z)(1 - z-1) (1 - z) = Sxx(z)(2 - z - z-1) Ryy[m] = -Rxx[m+1] + 2Rxx[m] - Rxx[m - 1] Nếu x[n] nhiễu trắng với Sxx(z) = q, Syy( ) = q(2- - ) = 2q(1 - ) Ví dụ 10-34 Phương trình đệ qui : y[n] –ay[n - 1] = x[n] rõ hệ tuyến tính với đầu vào x[n] hàm H(z) = 1/(1-az-1) Nếu Sxx(z) = q theo ví dụ (10-31) Syy(z) = | | Ryy[m] = Từ (10-183) theo ta có : E{|y[n]|2} = Ryy[0] = ( ∫ )| ( )|2 d (10-185) Việc sử dụng tính đồng này, biểu diễn lũy thừa mật độ hàm phổ trình x[n] thực phức hàm xác thực: Sxx( ) 0(10-186) Chứng minh : Chúng ta tạo lọc dải thông lí tưởng với tần số trung tâm w0 dải rộng cho phép (10-185) Để nhỏ : E{|y[n]|2} = ∫ ( ) ( ) Và theo kết (10-186) E{y2[n]} w0 tùy ý 41 4.2 Phƣơng pháp lấy mẫu Trong nhiều ứng dụng , việc xử lí kĩ thuật số xem xét thu việc lấy mẫu trình tương tự khác Chúng liên kết tới mối tương quan tương ứng hàm phổ Cho trình tương tự x(t), chúng trở thành xử lí số : x[n]= x(xT) với T số đưa vào Từ ta có : [n] = 0(nT) R[n1,n2] = Ra(n1T,n2T) (10-187) với 0(t) giá trị trung bình Ra(t1,t2) tự tương quan x(t) Nếu x(t) trình không thay đổi, x[n] không thay đổi với giá trị trung bình = tự tương quan: R[m] = Ra(mT) Từ theo lũy thừa hàm mật độ phổ x[n] (Hình 10-15) S( )=∑ = ∑ (10-188) Với Sa(w) lũy thừa hàm mật độ phổ x(t).Ở kết tổng công thức Poisson ( xem hình 11A-1) Ví dụ 10-35 Giả sử x(t) trình WSS bao gồm hàm mũ (10-130) : x(t) = ∑ với Sa(w) = ∑ = E{ } Chúng ta xác định lũy thừa hàm mật độ phổ S( trình x[n]= x(nT) Từ (10-188) theo ta có : S( )=∑ ∑ Trong khoảng (- ), bao gồm M tuyến: )=∑ | S( Với tính i = |< , | |< i + 42 ) III Ứng dụng Matlab Tìm nếu: Giải toán: Sử dụng công thức ∫ ∫ (10-122) Thử nghiệm sử dụng Matlab để giải toán - Sử dụng hàm Filon tính gần tích phân: function int = filon(f, a, b, t, m, key) % ham filon tinh gan dung tich phan % dung m diem theo quy tac Filon (m le) if (any(size(a) ~= [1 1])) error ('Thong so a phai la so.') ; end if (any(size(b) ~= [1 1])) error (Thong so b nhap vao phai la so.') ; end if (any(size(t) ~= [1 1])) error ('Thong so t phai la so.') ; end if (any(size(m) ~= [1 1])) 43 error ('Thong so m phai la so.') ; end if (any([(fix(m) ~= m) (rem(m, 2) == 0)])) error ('Thong so m phai la so le.') ; end if (m < 3) error ('Thong so m phai lon hon 3.') ; end if (all([(key ~= 1) (key ~= 2)])) error ('Thong so key phai la hoac 2.') ; end n=m-1; h = (b - a)/n; th = t*h ; thh = th*th ; if (abs(th) >= 0.1) s = sin(th) ; c = cos(th) ; alfa = (1.0 + s*(c - 2.0*s/th)/th)/th ; beta = 2.0*(1.0 + c*c - 2.0*s*c/th)/thh ; gamma = 4.0*(s/th - c)/thh ; else alfa = th*thh*(2.0/45.0 + thh*(-2.0/315.0 + 2.0*thh/4725.0)) ; 44 beta = 2.0/3.0 + thh*(2.0/15.0 + thh*(4.0/105.0 + 2.0*thh/567.0)) ; gamma = 4.0/3.0 + thh*(-2.0/15.0 + thh*(1.0/210.0 - thh/11340.0)) ; end args = [a b]; fbounds = feval(f, args) ; s1 = sin(a*t) ; s2 = sin(b*t) ; c1 = cos(a*t) ; c2 = cos(b*t) ; if (key == 1) sum = s2*fbounds(2) - s1*fbounds(1) ; sum0 = 0.5*(c1*fbounds(1) + c2*fbounds(2)) ; if (n > 2) args = (a + (2:2:n-2)*h)' ; sum0 = sum0 + cos(t*args)'*feval(f, args) ; end args = (a + (1:2:n-1)*h)' ; sum1 = cos(t*args)'*feval(f, args) ; else sum = c1*fbounds(1) - c2*fbounds(2) ; %sum = -(c1*fbounds(1) - c2*fbounds(2)) ; sum0 = 0.5*(s1*fbounds(1) + s2*fbounds(2)) ; %if (n == 2) 45 if (n > 2) args = (a + (2:2:n-2)*h)' ; sum0 = sum0 + sin(t*args)'*feval(f, args) ; end args = (a + (1:2:n-1)*h)' ; sum1 = sin(t*args)'*feval(f, args) ; end int = h*(alfa*sum + beta*sum0 + gamma*sum1) ; - Khi tính tích phân ta dùng chương trình: clear all clc a = 0; b = 2π; key = 1; t = 3; m = 51; f = inline('(1./(1.+x.^4)).*cos(x)'); J = filon(f, a, b, t, key); clear all clc a = 0; b = 2π; key = 1; t = 3; m = 51; f = inline('(1./((4.+x.^2).^2)).*cos(x)'); J = filon(f, a, b, t, key); 46 47 ... 43 I Hội tụ ngẫu nhiên định lý giới hạn Định nghĩa: Một chuỗi ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên rời rạc chuỗi biến ngẫu nhiênx1,…,xn,… Giá trị cụ thể, xn( ) chuỗi số không hội tụ Điều cho thấy... chuỗi xn ngẫu nhiên hội tụ khắp nơi chuỗi số xn( ) hội tụ cho Giới hạn số phụ thuộc nói chung vào Nói cách khác, giới hạn chuỗi ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên x: xn x n  Hội tụ gần nhƣ tất nơi... niệm hội tụ chuỗi ngẫu nhiên đưa nhiều cách khác 1.1 Hội tụ nơi (e) Như nhớ lại, dãy số xn tiến đến giới hạn x cho >0, tìm số n0 thỏa mãn: |xn-x|< với n>n0 (8-99) Chúng ta nói chuỗi xn ngẫu nhiên