Một số khía cạnh trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Hương Giang MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Hương Giang MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2016 Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Lời cảm ơn Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 kiến thức chuẩn bị Toán tử tuyến tính liên tục Toán tử tuyến tính tự liên hợp, chuẩn tắc Không gian biến ngẫu nhiên Ánh xạ đa trị Một số kết điểm bất động phương tất định Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Các khái niệm ví dụ 2.2 Tiêu chuẩn bị chặn hầu chắn 2.3 Mở rộng định lý giải tích ngẫu nhiên tuyến tính 2.4 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính hàm Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.1 Các khái niệm ví dụ 3.2 Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến chuẩn tắc 3.3 Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến tự liên hợp i trình toán tử cho toán tử tính suy tính suy rộng rộng 10 10 12 14 14 16 19 19 25 32 37 48 48 52 58 MỤC LỤC 3.4 Quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.4.1 Các khái niệm quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 3.4.2 Quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn, đóng tự liên hợp Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 4.1 Các khái niệm toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 4.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên 4.2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị 4.2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị 4.3 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 4.3.1 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 4.3.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.1 Các khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.2 Điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.3 Điểm trùng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.4 Ứng dụng vào toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 5.4.1 Ứng dụng định lý điểm trùng 5.4.2 Ứng dụng định lý điểm bất động 64 65 66 69 69 71 71 79 82 82 85 90 90 93 112 122 122 127 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất 6.1 Không gian unitary xác suất không gian Hibert xác suất 6.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 6.3 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 131 131 139 146 Kết luận 151 Tài liệu tham khảo 152 Chỉ dẫn 156 ii Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị LX (Ω) Không gian tất lớp tương đương LX (Ω) LX p (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] L2 [a, b] Không gian hàm bình phương khả tích [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → B(X) σ−đại số Borel X 2X Họ tập khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng, khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng, khác rỗng bị chặn X A⊗B σ−đại số tích σ−đại số A B d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập đóng A B Gr(F ) Đồ thị ánh xạ F h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y iii Mở đầu Lý thuyết toán tử tất định lý thuyết lớn, lâu đài đồ sộ toán học nói chung giải tích nói riêng, có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết lẫn ứng dụng Tuy nhiên môi trường ta sống tất định mà môi trường ngẫu nhiên, phần tử môi trường bị can thiệp, tác động yếu tố ngẫu nhiên Vì vậy, nhu cầu tất yếu đặt cần có mô hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đắn, sinh động Giải tích ngẫu nhiên đời từ nhu cầu Một hướng nghiên cứu quan trọng giải tích ngẫu nhiên lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Khái niệm toán tử ngẫu nhiên đề cập nghiên cứu cách có hệ thống Skorokhod năm 1984 [24] Toán tử ngẫu nhiên coi khái niệm mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm toán tử tất định Tuy nhiên lý thuyết toán tử tất định phát triển đầy đủ tròn trĩnh lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn bắt đầu, nhiều toán bỏ ngỏ cần giải Trong luận văn trình bày số vấn đề toán tử ngẫu nhiên nhiều tác giả nghiên cứu thời gian gần Luận văn gồm chương Chương nhắc lại số khái niệm kết quan trọng toán tử tất định, không gian biến ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm kết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương trình bày khái niệm toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Hai kết quan trọng chương định lý biểu diễn phổ cho toán tử ngẫu nhiên suy rộng chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng tự liên hợp Chương giới thiệu số kết gần quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Chương liên quan đến toán tử ngẫu nhiên phi tuyến, phương trình toán tử ngẫu nhiên định lý tồn nghiệm phương trình toán tử ngẫu nhiên, toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Mở đầu Chương trình bày định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, sở để xét đến toán điểm bất động, điểm trùng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Chương giới thiệu số khái niệm kết nghiên cứu gần toán tử ngẫu nhiên trìu tượng không gian Hibert xác suất Các định nghĩa, định lý, bổ đề, mệnh đề, công thức đánh số thứ tự tăng dần có kèm theo số cho chương, mục LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành quan tâm, động viên hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thịnh Thầy người Thầy dạy, hướng dẫn học viên công việc sống suốt nhiều năm qua Nhân dịp này, muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới Thầy Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, người Thầy có ảnh hưởng lớn nhân cách, truyền cho lửa học tập nghiên cứu, quan tâm hướng dẫn định hướng cho đường nghiên cứu khoa học Cuối xin cảm ơn Thầy, Cô Bộ môn Xác suất Thống kê Thầy, Cô Khoa Toán - Cơ - Tin học giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập làm việc Khoa Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng năm 2016 Học viên Trần Thị Hương Giang Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm kết toán tử tất định đơn trị đa trị Một số kết tập ngẫu nhiên trình bày để sử dụng cho chương sau 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục Giả sử H1 H2 hai không gian vectơ trường K Một toán tử tuyến tính T từ H1 vào H2 ánh xạ tuyến tính từ D(T ) ⊂ H1 vào H2 D(T ) gọi miền xác định T ảnh R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} gọi miền giá trị T Vì chương xét toán tử tuyến tính nên để đơn giản, ta gọi toán tử thay cho toán tử tuyến tính Nếu H1 = H2 = H T gọi toán tử H.Toán tử từ H vào K gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho H1 H2 hai không gian định chuẩn Toán tử T từ H1 vào H2 gọi liên tục x ∈ D(T ) với dãy (xn ) ∈ D(T ) thỏa mãn limn xn = x ta có limn T xn = T x Toán tử T gọi liên tục liên tục với x ∈ D(T ) Toán tử T gọi bị chặn tồn C ≥ cho ||T x|| ≤ C||x|| với x ∈ D(T ) 10 Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lý 1.1.2 Cho T toán tử từ H1 vào H2 Khi khẳng định sau tương đương: T liên tục; T liên tục 0; T bị chặn Ta nhắc lại số định lý quan trọng, đóng vai trò trung tâm giải tích hàm toán tử liên tục Các kết mở rộng cho định lý trình bày chương sau Định lý 1.1.3 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho H không gian Hibert Với a cố định thuộc H, hệ thức T (x) = a, x (1.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục T (x) không gian H, với ||T || = ||a|| (1.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục T H biểu diễn dạng (1.1), a ∈ H thỏa mãn (1.2) Định lý 1.1.4 (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử X không gian Banach, Y không gian định chuẩn (Aα,α∈Λ ) họ toán tử thuộc L(X, Y ), tức với α ∈ Λ, ||Aα x|| ≤ Kα ||x|| Nếu với x ∈ X, ta có sup||Aα x|| < ∞ α∈Λ sup||Aα || = sup sup||Aα x|| < ∞ α∈Λ α∈Λ x∈B 11 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất N ⊥ ta định nghĩa mối quan hệ u Dễ thấy sau: với u, v ∈ N ⊥ v Zv ⊂ Zu h.c.c 1Zuc u = 1Zuc v phản xạ, phản đối xứng bắc cầu , (N ⊥ , ) tập hợp có thứ tự phận Bước Nếu u v với >0 P (||u − v|| > ) ≤ P (Zu ) − P (Zv ) (6.5) Thật vậy, đặt A = Zv , B = Zu Khi A ⊂ B h.c.c 1B c u = 1B c v Do 1B c ||u − v|| = 0, 1A∩B ||u − v|| ≤ 1A ||u|| + 1B ||v|| = Từ suy ||u − v|| = 1B c ||u − v|| + 1A∩B ||u − v|| + 1B\A ||u − v|| = 1B\A ||u − v|| Do đó, P (||u − v|| > ) ≤ P (B\A) = P (B) − P (A) = P (Zu ) − P (Zv ) Bước Tồn phần tử lớn v0 N ⊥ , nghĩa u ∈ N ⊥ , v0 u u = v0 Thật vậy, theo bổ đề Zorn, ta cần chứng minh với tập thứ tự toàn phần (N ⊥ , ) có cận Giả sử M tập thứ tự toàn phần (N ⊥ , ) Đặt a = inf {P (Zu ), u ∈ M} Khi tồn dãy un ∈ M cho un un+1 lim n→∞ P (Zun ) = a un Do theo (6.5), P (||um − un || > Đặt An = Zun Nếu n > m um ) ≤ P (Am ) − P (An ), suy (un ) dãy Cauchy H Do N ⊥ đóng nên tồn u0 ∈ N ⊥ cho lim m cho u0 um u0 n→∞ un = u0 Đặt A0 = Zu0 Nếu tồn un ∀n ≥ m Với n ≥ m, theo (6.5) ta có P (||u0 − un || > ) ≤ P (A0 ) − P (An ) ≤ 0, nghĩa P (||u0 − un || > ) = với > 0, suy ||u0 − un || = ⇒ u0 = un với n ≥ m Do un u0 Bây ta chứng minh u u0 ∀u ∈ M, nghĩa u0 cận M Thật vậy, cho trước u ∈ M Nếu un u ∀n P (||u − un || > ) ≤ P (An ) − P (Zu ) Suy lim sup P (||u − un || > ) ≤ a − P (Zu ) ≤ 0, 143 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất ⇒ lim cho u n→∞ P (||u un − un || > ) = 0, u = u0 Ngược lại, tồn un u0 Bước Với u ∈ N ⊥ ta có Zv0 ⊂ Zu h.c.c (6.6) Thật vậy, lấy u ∈ N ⊥ Đặt ω = 1Zvc0 v0 + 1Zv0 \Zu u Ta có ||ω|| = 1Zvc0 ||v0 || + 1Zv0 \Zu ||u|| ⇒ Zω = Zu ∩ Zv0 ⊂ Zv0 h.c.c Mặt khác, 1Zvc0 v = 1Zvc0 ω Từ suy v0 ω Do v0 phần tử cực đại nên v0 = ω, kéo theo Zv0 = Zω h.c.c Do Zω = Zu ∩ Zv0 ⊂ Zu h.c.c ta thu khẳng định (6.6) Bước Trước tiên ta chứng minh với u ∈ N ⊥ Zu = ZΓu h.c.c (6.7) Thật vậy, đặt A = ZΓu , B = Zu , ta có 1A ||Γu|| = ⇒ 1A Γu = Γ(1A u) = Do 1A u ∈ N ⊥ ⇒ 1A u = ⇒ 1A ||u|| = 0, A ⊂ B h.c.c Tương tự, 1B ||u|| = ⇒ 1B u = ⇒ Γ(1B u) = ⇒ 1B Γu = ⇒ 1B |Γu| = 0, B ⊂ A h.c.c Từ suy A = B h.c.c Tiếp theo, ta đặt ξ(ω) =    Γu(ω) Γv0 (ω) = 0,  0 Γv0 (ω) = Γv0 (ω) (6.8) Theo (6.6) (6.7) ta có ZΓv0 = Zv0 ⊂ Zu = ZΓu h.c.c Từ (6.8) ta có Γu = ξΓv0 = Γ(ξv0 ) Do u, ξv0 ∈ N ⊥ nên suy u = ξv0 Bổ đề 6.2.7 chứng minh 144 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất Trở lại chứng minh định lý 6.3, ta đặt A = {ω : ||v0 ||(ω) = 0} = Zvc0 Định nghĩa λ ∈ L0 (Ω) λ(ω) =    Γv0 (ω) ||v0 ||2 (ω)  0 ||v0 ||(ω) = (6.9) ||v0 ||(ω) = Ta có λ||v0 ||2 = 1A Γv0 Đặt ω0 = λv0 ∈ N ⊥ Ta chứng minh với u ∈ H, Γu = u, ω0 (6.10) Thật vậy, lấy u ∈ H, theo định lý 6.1.11 ta có u = u1 + u2 , u1 ∈ N , u2 ∈ N ⊥ Khi Γu = Γu2 , u, ω0 = u2 , ω0 (6.11) Theo bổ đề 6.2.7, tồn ξ ∈ L0 (Ω) cho u2 = ξv0 Do u2 , ω0 = ξ v0 , ω0 nên ||v0 ||2 u2 , ω0 = ξ v0 , ||v0 ||2 ω0 = ξ v0 , ||v0 ||2 λv0 = ξλ||v0 ||2 v0 , v0 = ξ1A Γv0 v0 , v0 = 1A Γ(ξv0 )||v0 ||2 = 1A Γu2 ||v0 ||2 Mặt khác ta có Zv0 ⊂ Zu h.c.c , |Γu| ≤ k||u||, | u, ω0 | ≤ ||u|| ||ω0 || Từ từ 6.11 suy tồn tập D với P (D) = cho với ω ∈ D ω ∈ Zv0 ⇒ ω ∈ Zu , 1A (ω)Γu2 (ω)||v0 ||2 (ω) = ||v0 ||2 (ω) u2 , ω0 (ω), |Γu(ω)| ≤ k(ω)||u||(ω), | u, ω0 (ω)| ≤ ||u||(ω)||ω0 ||(ω), 145 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất Γu(ω) = Γu2 (ω), u, ω0 (ω) = u2 , ω0 (ω) Từ suy • Nếu ω ∈ Zvc0 ∩ D ||v0 ||2 (ω) = 0, Γu2 (ω) = u2 , ω0 (ω) ⇒ Γu(ω) = u, ω0 (ω) • Nếu ω ∈ Zv0 ∩D ω ∈ Zu , ||u||(ω) = ⇒ Γu(ω) = u, ω0 (ω) = Từ Γu(ω) = u, ω0 (ω) ∀ω ∈ D, khẳng định (6.10) chứng minh 6.3 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng Phần giới thiệu số khái niệm kết liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng liên hợp, tự liên hợp, đối xứng chuẩn tắc Định nghĩa 6.3.1 Cho không gian Hibert xác suất H; Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng với miền xác định D(Φ) trù mật H Gọi V tập tất phần tử v ∈ H cho tồn g ∈ H để Φu, v = u, g với u ∈ D(Φ) Do D(Φ) trù mật nên g xác định Đặt g = Φ∗ v, ta thu ánh xạ Φ∗ : V → H miền xác định V Φ∗ ký hiệu D(Φ∗ ) Dễ thấy D(Φ∗ ) không gian tuyến tính xác suất Φ∗ toán tử ngẫu nhiên trìu tượng Φ∗ gọi liên hợp Φ 146 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất Định nghĩa 6.3.2 Liên hợp Φ∗ : D(Φ∗ ) → H xác định Φu, v = u, Φ∗ v với u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗ ) Nhận xét 6.3.3 Miền xác định Φ∗ không thiết trù mật H Định lý mở rộng phần (4), định lý 3.1.3 cho không gian Hibert xác suất Định lý 6.3.4 Nếu Φ : H → H toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng bị chặn D(Φ∗ ) = H Φ∗ : H → H toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng bị chặn Chứng minh Cố định v ∈ H Ta chứng minh tồn g ∈ H cho với u ∈ H, ta có Φu, v = u, g Thật vậy, định nghĩa ánh xạ Γ : H → L0 (Ω) Γu = Φu, v Khi Γ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng bị chặn Thật vậy, Φ bị chặn nên tồn biến ngẫu nhiên không âm k cho ||Φu|| ≤ k||u|| Do |Γu| = | Φu, v | ≤ ||Φu|| ||v|| ≤ k||v|| ||u|| ∀u ∈ H Theo định lý 6.2.6, tồn g ∈ H cho Γu = u, g , nghĩa Φu, v = u, g ∀u ∈ H Do D(Φ∗ ) = H Φ∗ v = g Hơn ta có | u, g | = | Φu, v | ≤ k||v|| ||u|| ∀u, v ∈ H Với u = g ta thu ||g||2 ≤ k||v|| ||g|| suy ||g|| ≤ k||v|| ||Φ∗ v|| ≤ k||v||, nghĩa Φ∗ : H → H bị chặn 147 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất Định nghĩa 6.3.5 Cho Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng với miền xác định D trù mật H (1) Φ gọi đối xứng Φu, v = u, Φv ∀u, v ∈ D(Φ) (2) Φ gọi tự liên hợp Φ = Φ∗ (3) Φ gọi chuẩn tắc D(Φ) = H, Φ bị chặn ΦΦ∗ = Φ∗ Φ Nhận xét 6.3.6 Nếu Φ đối xứng Φu, u = u, Φu = Φu, u , Φu, u biến ngẫu nhiên giá trị thực Định nghĩa 6.3.7 Cho Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng (1) Φ gọi bị chặn tồn biến ngẫu thực m cho với u ∈ D(Φ), Φu, u ≥ m||u||2 (2) Φ gọi bị chặn tồn biến ngẫu nhiên thực M cho với u ∈ D(Φ), Φu, u ≤ M ||u||2 (3) Φ gọi bị chặn phía Φ bị chặn Φ bị chặn Định lý 6.3.8 Cho Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên trìu tượng đối xứng, bị chặn phía Khi tồn toán tử ngẫu nhiên trìu tượng tự liên hợp Φ mở rộng Φ Chứng minh Ta thấy Φ bị chặn −Φ bị chặn Do đó, ta giả sử Φ bị chặn Không giảm tổng quát, ta giả sử m = Thật vậy, đặt Ψ = Φ − aI, với a = m − 1, Ψ toán tử ngẫu nhiên đối xứng thỏa mãn D(Φ) = D(Ψ), D(Φ∗ ) = D(Ψ∗ ) Ψu, u = Φu, u − a u, v ≥ m||u||2 − m||u||2 + ||u||2 = ||u||2 Ký hiệu M = D(Φ) Ta định nghĩa tích ngẫu nhiên u, v u, v M M = Φu, v Theo giả thiết ta có ||u|| ≤ ||u||M Làm đủ M metric (6.1) cảm sinh chuẩn ngẫu nhiên ||u||M , ta thu không gian 148 Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất Hibert xác suất M Do ||u||M ≥ ||u||, dãy Cauchy (un ) M hội tụ H nên ta coi M tập H chứa dãy hội tụ H Đặt N = D(Φ∗ ) ∩ M Do Φ đối xứng nên M ⊂ D(Φ∗ ), M ⊂ N ⊂ D(Φ∗ ) Gọi Φ : N → H hạn chế Φ∗ xuống N Ta chứng minh Φ tự liên hợp Thật vậy, • Φ đối xứng: Lấy u, v ∈ N Do N ⊂ M nên tồn dãy (un ), (vn ) M cho lim n→∞ un = u, lim n→∞ lim lim Φun , vm = lim lim un , vm m→∞ n→∞ m→∞ n→∞ M = v M Ta có = lim u, vm m→∞ M = u, v Tương tự, ta thu lim lim Φun , vm = u, v n→∞ m→∞ M Do lim lim Φun , vm = lim lim Φun , vm m→∞ n→∞ n→∞ m→∞ Mặt khác, lim un = u, lim = v H, n→∞ n→∞ nên ta có lim lim Φun , vm = lim lim un , Φvm = lim u, Φvm m→∞ n→∞ m→∞ n→∞ m→∞ = lim Φ∗ u, vm = Φ, v m→∞ Tương tự, lim lim Φun , vm = lim un , Φ∗ v = lim u, Φ∗ v = u, Φv n→∞ m→∞ n→∞ n→∞ Do Φu, v = u, Φv , tức Φ đối xứng 149 M Chương Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng không gian Hibert xác suất • Miền giá trị R(Φ) Φ toàn H: Lấy v ∈ H Ta định nghĩa Γ : M → L0 (Ω) Γu = u, v Ta có |Γu| ≤ ||v|| ||u|| ≤ ||v|| ||u||M với u ∈ M Theo định lý 6.3, tồn v ∗ ∈ M cho Γu = u, v ∗ M ∀u ∈ M Do đó, với u ∈ M, Φu, v ∗ = u, v ∗ M = u, v Do v ∗ ∈ M ∩ D(Φ∗ ) = N v = Φ∗ v ∗ = Φv ∗ • Φ đơn ánh: Thật vậy, giả sử Φu = θ Do R(Φ) = H nên tồn v ∈ D(Φ) cho u = Φv Do u, v = u, Φv = Φu, v = 0, suy u = θ • Φ tự liên hợp: Do Φ đơn ánh R(Φ) = H nên tồn Ψ = Φ−1 : H → H Do Φ đối xứng nên Ψ đối xứng Do D(Φ) = H nên Ψ = Ψ∗ Lập luận tương tự kết toán tử tuyến tính tất định, ta thu Ψ∗ = (Φ∗ )−1 Suy (Φ)−1 = (Φ∗ )−1 , Φ = Φ∗ 150 Kết luận Như vậy, luận văn trình bày số kết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính; toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng; toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng; toán tử ngẫu nhiên phi tuyến toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Mặc dù cố gắng lực nhiều hạn chế nên nhiều vấn đề mở khác lý thuyết toán tử ngẫu nhiên chưa đề cập nghiên cứu luận văn Vì vậy, em kính mong nhận đánh giá, nhận xét Thầy để có hội nâng cao hiểu biết Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn giúp đỡ GS TSKH Đặng Hùng Thắng, TS Nguyễn Thịnh Thầy, Cô Bộ môn Xác suất-Thống kê cung cấp nhiều tài liệu bổ ích để em hoàn thành luận văn 151 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2015), Xác suất không gian metric, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001) Các mô hình xác suất ứng dụng phần II: Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mô hình xác suất ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Trần Mạnh Cường (2003), Một số vấn đề lý thuyết toán tử ngẫu nhiên, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Trần Mạnh Cường (2011), Thác triển toán tử ngẫu nhiên không gian Banach khả ly, Luận văn tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề phương trình ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Phạm Thế Anh (2015), Điểm bất động điểm trùng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội 152 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Trần Xuân Quý (2015), Về độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên trìu tượng tuyến tính, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [11] Anh T N (2010) Random fixed points of probabilistic contractions and application to random equations, Vietnam J Math 38, 227-235 [12] Anh T N (2011) Random equations and applications to general random fixed point theorems, New Zealand J Math 41, 17-24 [13] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D Thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [14] Bharucha Reid A T (1976) Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull Amer Math Soc 82, 641-657 [15] Thang D H (1987), Random operator in Banach space, Probab Math Statist 8, 155-157 [16] Thang D H , Thinh N (2004) Random bounded operators and their extention, Kyushu J Math 58, 257-276 [17] Thang D H , Thinh N (2013) Generalized random linear operators on a Hilbert space, Stochas Int J Prob Stochas Process 85, 1040-1059 [18] Thang D H , Anh P T (2013) Random fixed points of completely random operators, Random Oper Stochas Equ 21, 1-20 [19] Thang D H , Anh T N (2010) On random equations and application to random fixed point theorems, Random Oper Stochas Equ 18, 199212 [20] Thang D H , Anh T N (2010) Some results on random equations, Vietnam J Math 38(1), 35-44 [21] Thang D H , Anh P T (2013) Some results on random coincidence points of completely random operators, Acta Mathematica Vietnamica 39, 162-184 [22] Thang D H , Thinh N , Quy T X (2015), Abtracts random linear operators on probabilistic Unitary spaces, J Korean Math Soc [23] Thang D H , Thinh N ,Sample paths of generalized random linear mappings, submitted 154 TÀI LIỆU THAM KHẢO [24] Skorokhod A V (1984), Random linear operators, Reidel publishing company, Dordrecht 155 Chỉ dẫn Phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu Độ đo phổ ngẫu nhiên, 53 nhiên, 122 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn đơn trị, 82 trị, 71 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa đa trị, 85 trị, 79 Điểm bất động ngẫu nhiên toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, Quỹ đạo toán tử ngẫu nhiên đa 94 trị, 70 Điểm trùng Quỹ đạo mẫu ánh xạ ngẫu nhiên toán tử hoàn toàn ngẫu tuyến tính suy rộng, 65 nhiên, 112 Thác triển toán tử ngẫu nhiên Điều kiện (A), 99 tuyến tính, 37 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, 91 Hàm so sánh, 108 (f, q)-co theo xác suất, 103 Không gian Hibert xác suất, 135 (f, q)-Lipschitz theo xác suất, 103 Không gian tuyến tính xác suất, 131 f (ω, t)-co yếu, 94 Không gian unitary xác suất, 133 f (t)-co yếu theo xác suất, 94 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến k(ω)-co, 93 k(ω)-co theo xác suất, 93 tính trìu tượng, 146 k(ω)-Lipschitz, 92 Nghiệm phương trình toán tử k(ω)-Lipschitz theo xác suất, 93 hoàn toàn ngẫu nhiên, 122 không giãn, 93 Nghiệm ngẫu nhiên phương trình không giãn theo xác suất, 93 toán tử ngẫu nhiên đa trị, 79 liên tục, 91 Nghiệm ngẫu nhiên toán tử ngẫu liên tục theo xác suất, 91 nhiên đơn trị, 72 Toán tử ngẫu nhiên đa trị, 69 Nghiệm tất định phương trình đo được, 70 toán tử ngẫu nhiên đa trị, 79 liên tục, 70 Nghiệm tất định toán tử ngẫu Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, 20 nhiên đơn trị, 72 bị chặn, 20 156 CHỈ DẪN bị chặn ngẫu nhiên, 20 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng, 48 đối xứng, 67 đóng, 49 bị chặn, 49 chuẩn tắc, 53 phép chiếu, 67 tự liên hợp, 58 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng, 140 đối xứng, 148 đóng, 141 bị chặn, 141 bị chặn dưới, 148 bị chặn phía, 148 bị chặn trên, 148 chuẩn tắc, 148 liên tục, 141 tự liên hợp, 148 157 ... 1984 [24] Toán tử ngẫu nhiên coi khái niệm mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm toán tử tất định Tuy nhiên lý thuyết toán tử tất định phát triển đầy đủ tròn trĩnh lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai... quan đến toán tử ngẫu nhiên phi tuyến, phương trình toán tử ngẫu nhiên định lý tồn nghiệm phương trình toán tử ngẫu nhiên, toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Mở đầu Chương trình bày định lý thác... triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, sở để xét đến toán điểm bất động, điểm trùng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Chương giới thiệu số