tìm hiểu về chuyển động brown (bước ngẫu nhiên, quá trình wiener)

Đề tài 6: tìm hiểu chuyển động Brown (bước ngẫu nhiên, trình Wiener) thử nghiệm dùng phần mềm Matlab Click icon to add picture Nhóm sinh viên: Nguyễn Việt Anh – 20121230 Vũ Quang Đại – 20121475 Nguyễn Thế Hà – 20121622 Nguyễn Anh Quân – 20122276 Nguyễn Mạnh Tuấn – 20122695 Đào Đức Tùng – 20122731 PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC I Định nghĩa tính chất chuyển động Brown – Vũ Quang Đại II Quá trình Wiener – Nguyễn Việt Anh III Bước nhảy ngẫu nhiên – Nguyễn Thế Hà IV Ứng dụng chuyển động Brown thực tiễn – Đào Đức Tùng V Minh họa MATLAB – Nguyễn Anh Quân, Nguyễn Mạnh Tuấn Phần I: Định nghĩa tính chất chuyển động Brown Vũ Quang Đại I Định nghĩa Định nghĩa 1: Một trình ngẫu nhiên giá trị thực điều sau xảy ra: gọi ( tuyến tính) Chuyển động Brown với bắt đầu • B(0) = x • Quá trình có tính tăng cường độc lập Ví dụ với số gia biến ngẫu nhiên độc lập • Với t > h > 0, số gia B(t+h) – B(t) phân phối chuẩn với kì vọng phương sai h • Gần chẵn hàm số Chúng ta nói liên tục chuyển động Brown chuẩn x = I Định nghĩa Định nghĩa 2: • Chuyển động Brown chuẩn không gian d chiều B(t): tập hợp d chuyển động Brown độc lập với i = 1, , d, chuyển động Brown chiều độc lập • Chuyển động Brown thường dùng tham chiếu trình Wiener II Tính chất Tính bất biến chuyển động Brown Bổ đề: ( Mở rộng quy mô bất biến ) Giả sử { B ( t ) : t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn giả sử a > Vậy xác đinh chuyển động Brown tiêu chuẩn Định lý: ( Sự đảo ngược thời gian ) } chuyển động Brown tiêu chuẩn Vậy trình Giả sử { B ( t ) : t ≥ là0một chuyển động Brown tiêu chuẩn đinh nghĩa bởi: II Tính chất Tính liên tục chuyển động Brown Đinh lý Tồn số C > mà với h đủ nhỏ h > Định lý Với số c < , chắn, với tồn với II Tính chất Tính không khả vi chuyển động Brown Mệnh đề 1: Với X1,X2,… chuỗi biến ngẫu nhiên không gian xác suất xem xét tập A trình tự mà Sự kiện gọi đổi cho tất phép hoán vị hữu hạn σ: N → N Ở phép hoán vị hữu hạn có nghĩa σ song ánh với cho tất n đủ lớn Phần ii Quá trình wiener _Nguyễn Việt Anh _ - Quá trình ngẫu nhiên liên tục đặt tên theo Norbert Wiener - Thường gọi chuyển động Brown tiêu chuẩn - Một trình Lévy (quá trình ngẫu nhiên liên tục bên phải, giới hạn bên trái với lượng gia độc lập không đổi ) - Đóng vai trò quan trọng toán học túy ứng dụng Norbert Wiener (26/11/1894) Tính chất   Vì   trình Wiener chuyển động Brownian nên có tính chất giống chuyển động Brownian có tính chất :   Hàm liên tục  tăng độc lập Với tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng phương sai t-h W(t) ~ 10 Bước nhảy ngẫu nhiên không gian chiều • Một ví dụ đơn giản bước nhảy ngẫu nhiên không gian chiều •• bước nhảy ngẫu nhiên trục số nguyên, bước di chuyển -1 với xác suất Để xác định bước nhảy này, lấy biến ngẫu nhiên độc lập Z1,Z2, , biến nhận giá trị -1 với xác suất 50% Lấy S0 = Tập hợp {Sn} gọi bước nhảy ngẫu nhiên tập số nguyên 15 • Tập hợp tạo khoảng cách bước Nếu bước có chiều dài kì vọng E(Sn) = Sử • dụng tính chất độc lập biến ngẫu nhiên Điều cho ta thấy ) 16 Bước nhảy ngẫu nhiên với trình Wiener Một trình Wiener giới hạn rộng bước nhảy ngẫu nhiên không gian chiều Điều có nghĩa bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với bước nhỏ, bạn nhận xấp xỉ với trình Wiener Để xác hơn, kích thước bước ε, cần bước nhảy có chiều dài xấp xỉ •chiều dài Wiener L Khi kích thước bước tiến tới (và số lượng bước tăng tương ứng), bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành trình Wiener điều kiện thích hợp 17 Bước nhảy ngẫu nhiên với trình Wiener • Sự hội tụ bước nhảy ngẫu nhiên trình Wiener kiểm • soát định lý giới hạn trung tâm Đối với hạt vị trí cố định biết t = 0, định lý nói với sau số lượng lớn bước độc lập bước nhảy ngẫu nhiên, vị trí bước nhảy phân phối theo phân phối chuẩn phương sai: t thời gian qua kể từ bắt đầu bước nhảy ngẫu nhiên, ε kích thước bước ngẫu nhiên, δt thời gian hai bước 18 Phần Iv ứng dụng Chuyển động Brown - Đào Đức Tùng - • Trong khoa học đời sống hàng ngày thường gặp tượng “biến cố ” ngẫu nhiên • Thị trường chứng khoán minh họa rõ cho tính không chắn, rủi ro, tính biến động lên xuống cách ngẫu nhiên • Các nhà kinh tế với nhà toán học cố gắng sử dụng công cụ toán học, đặc biệt công cụ lý thuyết xác suất để thống kê để mô hình hóa thị trường chứng khóan • Việc áp dụng mô hình giúp nhà đầu tư tối đa hóa hội đạt lợi nhuận tối thiểu hóa nguy rủi ro 19 Vào đầu kỷ XX, nhà toán học Pháp Louis Bachelier lần đề xuất rằng, thị trường tài tuân theo “chuyển động ngẫu nhiên” mô hình hóa phép tính xác suất thông thường Ở đây, phương pháp thống kê áp dụng với độ xác cao đem lại giải thích coi hoàn hảo Chính vậy, gặp phải hình đa chiều kiểu vận động thị trường chứng khóan nhà phân tích có xu hướng chuyển thành toán tương tự chuyển động Brown Hình Chỉ số UK FTA, 1962-1992 Vào năm 1900, Louis Bachelier giới thiệu mô hình giá cổ phiếu chuyển động Brown: St = S0 + µ.B-t Ở Bt chuyển động Brown chuẩn (là chuyển động Brown có kỳ vọng phương sai t), gọi trình Winner, St giá cổ phiếu thời điểm t Vì giá cổ phiếu chịu tác động ngẫu nhiên thị trường nên ta coi St trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục St = S(t,Ω), So giá cổ phiếu quan sát thời điểm t = (µ số) Hình Chuyển động Brown Mặt hạn chê mô hình cho phép giá trở nên âm Osborne (1959) làm mịn mô hình Bachelier cách đề nghị số mũ exp (B-t ) chuyển động Brown mô hình giá cổ phiếu Năm 1965, trình exp (B-t ) Samuelson trình bày cách có hệ thống để mô tả giá cổ phiếu Ở đây, logarit giá cổ phiếu làm mô trình Winner Mô hình gọi chuyển động Brown hình học Sau đó, mô hình tán mô hình Black-Scholes: với µ số Cho tới nay, mô hình tiếng phổ biến thể giới tài mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes Mô hình Black-Scholes cho phép xác định giá trị tương đối option (quyền chọn) Mô hình BlackScholes cho biết, làm để sản xuất quyền chọn đưa cổ phiếu gốc cung cấp chi phí ước tính để làm việc Kết luận • Những áp dụng lý thuyết ngẫu nhiên thực sâu rộng Trong lĩnh vực kinh tế, biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy đổi Đã có nhiều công trình nghiên cứu định giá quyền chọn, định giá quyền chọn lĩnh vực Việt Nam Nếu mà biết xác điều đến chẳng cần phải học hành hay nghiên cứu • Ở đảm bảo thắng lớn vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết chuyển động Brown, đơn giản đem lại cho cách tiếp cận để hiểu vận động thị trường cổ phiếu • Tuy nhiên, dù lý thuyết chuyển động Brown giúp có khả tốt việc phát triển chiến thuật đầu tư đánh giá rủi ro Phần V. Minh họa trên MATLAB - Nguyễn Anh Quân, Nguyễn Mạnh Tuấn - Sử dụng phiên bản: R2013a Tham khảo tại http://www.mathworks.com/ 1. Khởi tạo chuyển động Brown Cú pháp BM = bm(Mu, Sigma) BM = bm(Mu, Sigma, 'Name1', Value1, 'Name2', Value2, ) Với trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi Với Mu : đại lượng , Sigma đại lượng V Với chuyển động Brownian ta khởi tạo μ = VD: khởi tạo chuyển động Brown đơn biến: >> BM = bm(0, 0.5) 2. Chuyển động Brown 1 chiều Mô tả vị trí hạt chuyển động ngẫu nhiên không gian chiều: Code Matlab: N = 500; displacement = randn(1,N); plot(displacement); Xem đồ thị histogram: hist(displacement, 50); 3. Chuyển động Brown 2 chiều Code Matlab: N = 1000; particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N, 1) ); plot(particle.x, particle.y); TỔNG KẾT Nội dung I Định nghĩa tính chất chuyển động Brown II Quá trình Wiener III Bước nhảy ngẫu nhiên IV Ứng dụng chuyển động Brown V Minh họa MATLAB Tài liệu tham khảo  Brownian Motion - Draft version of May 25, 2008 - Peter M¨orters and Yuval Peres  Quá Trình Ngẫu Nhiên Ứng Dụng – PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan – Bộ môn: Truyền thông Mạng máy tính – Viện CNTT&TT – ĐHBKHN  Trần Hùng Thao (2003), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội  Dương Tôn Đàm (2006), Quá trình ngẫu nhiên, phần mở đầu, NXB ĐHQG TP.Hồ Chí Minh  Alan Bain (1998), StochaStic Calculus, the University Press, Cambridge  Masaaki Kijima(2003), Stochastic Processes with Appliactions to Finance, Chapman&Hall, Florida  Andreas E.Kyprianou (2006), Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer-Verlag, Germany  http://www.mathworks.com/ Cảm ơn cô giáo và các bạn đã chú ý lắng nghe! - Hết - [...]... Tham khảo tại http://www.mathworks.com/ 1. Khởi tạo chuyển động Brown Cú pháp BM = bm(Mu, Sigma) BM = bm(Mu, Sigma, 'Name1', Value1, 'Name2', Value2, ) Với là một quá trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi Với Mu : là đại lượng , Sigma là đại lượng V Với chuyển động Brownian ta khởi tạo μ = 0 VD: khởi tạo chuyển động Brown đơn biến: >> BM = bm(0, 0.5) 2. Chuyển động Brown 1 chiều Mô tả một vị trí của hạt chuyển động ngẫu nhiên trong không... khi gặp phải một quá hình đa chiều kiểu như sự vận động của một thị trường chứng khóan thì các nhà phân tích vẫn có xu hướng chuyển nó thành một bài toán tương tự như chuyển động Brown Hình 1 Chỉ số UK FTA, 1962-1992 Vào năm 1900, Louis Bachelier đã giới thiệu mô hình giá của các cổ phiếu như chuyển động Brown: St = S0 + µ.B-t Ở đây Bt là một chuyển động Brown chuẩn (là chuyển động Brown có kỳ vọng... nghiên cứu gì nữa • Ở đây không có gì đảm bảo là chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết về chuyển động Brown, bởi vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng ta một cách tiếp cận để hiểu về sự vận động của các thị trường cổ phiếu • Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh.. .Quá trình wiener một chiều  -  Hàm mật độ xác suất không điều kiện tại thời điểm t cố định:  -Kì vọng bằng 0  -Phương  -Hiệp sai bằng t phương sai (covariance): 11 Một số tính chất khác    Tính co dãn của chuyển động Brown Với c>0 ta có cũng là một quá trình Wiener  Tính chất phục hồi theo thời gian Quá trình có phân phối giống như  Tính chất đảo ngược theo thời gian Quá trình cũng là quá trình. .. hist(displacement, 50); 3. Chuyển động Brown 2 chiều Code Matlab: N = 1000; particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N, 1) ); plot(particle.x, particle.y); TỔNG KẾT Nội dung I Định nghĩa và tính chất của chuyển động Brown II Quá trình Wiener III Bước nhảy ngẫu nhiên IV Ứng dụng chuyển động Brown V Minh họa bằng MATLAB Tài liệu tham khảo  Brownian Motion - Draft... mô hình của Bachelier bằng cách đề nghị số mũ exp (B-t ) của chuyển động Brown như là mô hình giá của một cổ phiếu Năm 1965, cũng quá trình exp (B-t ) nhưng Samuelson đã trình bày một cách có hệ thống để mô tả giá của một cổ phiếu Ở đây, logarit các giá cổ phiếu được làm mô hình như một quá trình Winner Mô hình này được gọi là chuyển động Brown hình học Sau đó, mô hình này là nền tán của mô hình Black-Scholes:... bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành một quá trình Wiener trong một điều kiện thích hợp 17 Bước nhảy ngẫu nhiên với quá trình Wiener • Sự hội tụ của một bước nhảy ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener được kiểm • soát bởi các định lý giới hạn trung tâm Đối với một hạt ở một vị trí cố định đã biết tại t = 0, định lý nói với chúng ta rằng sau khi một số lượng lớn các bước độc lập trong bước nhảy ngẫu nhiên,. .. Bước nhảy ngẫu nhiên và chuyển động Brown - Nguyễn Thế Hà - Bước nhảy ngẫu nhiên là gì? • • • Bước nhảy ngẫu nhiên là một hình thức toán học của một đường bao gồm một chuỗi các bước ngẫu nhiên Ví dụ như đường được vẽ ra khi một phân tử di chuyển trong chất lỏng hoặc khí, giá cổ phiếu biến động và tình hình tài chính của một nhà đầu tư chứng khoán đều có thể được mô hình hóa như các bước nhảy ngẫu nhiên... bước nhảy ngẫu nhiên, ε là kích thước của một bước đi bộ ngẫu nhiên, và δt là thời gian giữa hai bước kế tiếp 18 Phần Iv ứng dụng của Chuyển động Brown - Đào Đức Tùng - • Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp các hiện tượng “biến cố ” ngẫu nhiên • Thị trường chứng khoán là một minh họa rất rõ cho tính không chắc chắn, sự rủi ro, tính biến động lên xuống một cách ngẫu nhiên... kì vọng E(Sn) = 0 Sử • dụng tính chất độc lập của các biến ngẫu nhiên Điều này cho ta thấy là ) 16 Bước nhảy ngẫu nhiên với quá trình Wiener Một quá trình Wiener là giới hạn rộng của bước nhảy ngẫu nhiên trong không gian 1 chiều Điều này có nghĩa rằng nếu bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với những bước rất nhỏ, bạn nhận được xấp xỉ với một quá trình Wiener Để được chính xác hơn, nếu kích thước bước là ... nói liên tục chuyển ộng Brown chuẩn x = I Định nghĩa Định nghĩa 2: • Chuyển ộng Brown chuẩn không gian d chiều B(t): tập hợp d chuyển ộng Brown độc lập với i = 1, , d, chuyển ộng Brown chiều... chất chuyển ộng Brown – Vũ Quang Đại II Quá trình Wiener – Nguyễn Việt Anh III Bước nhảy ngẫu nhiên – Nguyễn Thế Hà IV Ứng dụng chuyển ộng Brown thực tiễn – Đào Đức Tùng V Minh họa MATLAB – Nguyễn... độc lập • Chuyển ộng Brown thường dùng tham chiếu trình Wiener II Tính chất Tính bất biến chuyển ộng Brown Bổ đề: ( Mở rộng quy mô bất biến ) Giả sử { B ( t ) : t ≥ 0} chuyển ộng Brown tiêu