Điểm bất động của ánh xạ k lipschitz đều

Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng Giải tích hàm phi tuyến Nhiều toán quan trọng toán học nói riêng khoa học kĩ thuật nói chung dẫn đến việc nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ Chính mà Lý thuyết điểm bất động nhiều nhà toán học giới quan tâm Lý thuyết điểm bất động phát triển theo hai hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ dạng co không gian mêtric Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ compact không gian tôpô Vào đầu năm 60 kỉ XX, hướng xem hướng trung gian hai hướng xuất Lý thuyết điểm bất động Đó việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Tiếp tục nghiên cứu xu hướng này, vài thập kỉ gần người ta ý nhiều đến ánh xạ Lipschitz Có thể kể đến ba kết mang tính chất mở đường, kết Goebel-Kirk (1973), Lifschitz (1975) Casini-Maluta (1985) Mục đích khóa luận hệ thống lại số kết báo điều kiện để đảm bảo tồn điểm bất động ánh xạ k  Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      1  Khóa luận tốt nghiệp Lipschitz T : M  M , M tập hợp không gian Banach X Đó điều kiện không gian X , tập hợp M hệ số lipschitz k Nội dung khóa luận chia làm chương: Chương 1: Nhắc lại số kiến thức làm công cụ nghiên cứu chương sau như: khái niệm không gian lồi , ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz Chương 2: Giới thiệu mở rộng kết Goebel-Kirk Lipschitz Phần đầu chương hai Định lý tồn điểm bất động nửa nhóm ánh xạ k  Lipschitz ánh xạ k  Lipschitz không gian Banach X với điều kiện đăc trưng lồi X   x   k    X  ,   X  xác định modul lồi X Tiếp theo định lý Lifschitz (1975) kết mở rộng định lý nửa nhóm Đỗ Hồng Tân (2000) Chương 3: Giới thiệu Định lý Casini-Maluta tồn điểm bất động ánh xạ k  Lipschitz không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc Khóa luận hoàn thành khoa Toán hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc giúp đỡ bảo tận tình thầy trình em làm khóa luận Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      2  Khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa toán, ban chủ nhiệm khoa Toán thầy cô giáo quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường ĐHSP Hà Nội Xuân Hòa, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Dung Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      3  Khóa luận tốt nghiệp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU Trong giáo trình Giải tích hàm, ta biết : không gian Hilbert trường hợp riêng không gian Banach với hai tính chất quan trọng : - Mọi không gian Hilbert phản xạ - Mọi tập hợp lồi, đóng không gian Hilbert chứa điểm gần điểm cho trước không gian Trong số không gian Banach, có lớp đặc biệt chứa lớp không gian Hilbert mà giữ hai tính chất trên, không gian Banach lồi Clarkson đề xuất năm 1936 Đến năm 1965, hai nhà toán học Browder Gohde độc lập chứng minh định lý quan trọng tồn điểm bất động cho ánh xạ không giãn lớp không gian Đó lí dung mục để giới thiệu khái niệm không gian lồi cần sử dụng chương sau Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach  X ,  gọi lồi   0,      cho: x, y  X , x  1, y  1, x  y   ta có: x y      Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      (1) 4  Khóa luận tốt nghiệp Nói cách khác, với hai điểm khác x, y thuộc hình cầu đơn vị, điểm x y phải có khoảng cách dương đến biên hình cầu đó, mà khoảng cách phụ thuộc vào khoảng cách x y , không phụ thuộc vào vị trí chúng (tính đều) Tính lồi thường kí hiệu UC (uniformly convex) Chú ý Điều kiện 1 thay bởi: x  d, y  d, x  y    x y  d 1       với d  tùy ý Ví dụ 1.1.1 - Không gian  với chuẩn x  x12  x22 không gian lồi - Không gian  với chuẩn: x  x1  x2 x   max  x1 , x2  không gian lồi (ở x   x1 , x2    ) - Tổng quát hơn, l p Lp  a, b  với  p   lồi đều, với p  p   không lồi - Dễ kiểm tra không gian C  a, b  không lồi Để tiện trình bày, ta kiểm tra không gian C  0,1 Thật vậy, ta xét hai hàm sau  0,1 : Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      5  Khóa luận tốt nghiệp x  t   1, t   0,1 ,   1 t  0,   1,   2 y t    2t  2, t   ,1     x, y  C  0,1 Rõ ràng x  1, y  1, x  y  có x y  Suy với   0, không tồn      cho với x, y  C  0,1 mà x y      x  1, y  1, x  y   Do C  0,1 không lồi Ví dụ 1.1.2 Mọi không gian Hilbert lồi Thật vậy, giả sử x  1, y  1, x  y   , từ đẳng thức hình bình hành ta suy ra: 2 2 x  y  x  y  x  y  2 22   2 x  y 1 4  2 2 x y  1   1    4  Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán          6  Khóa luận tốt nghiệp Vì vậy, với   0, ta đặt        2 hiển nhiên      x y      Do đó, không gian Hilbert lồi 1.2 ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cho ánh xạ co Nguyên lý không áp dụng cho lớp ánh xạ rộng ta thấy Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian mêtric, ánh xạ T : X  X gọi không giãn (nonexpansive) : d Tx , Ty   d  x, y  , x, y  X Định nghĩa 2.1.2 Tập D  X gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn từ D vào D có điểm bất động D Chú ý: - Một không gian Banach không thiết có tính chất điểm bất động đôi với ánh xạ không giãn (Phản ví dụ: X  , Tx  x  ánh xạ không giãn tính chất điểm bất động ) - Một tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian Banach không thiết có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Thật vậy, xét c0 không gian dãy hội tụ với chuẩn x  sup xn n Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      7  Khóa luận tốt nghiệp Đặt D   x  c0 : x  1 hình cầu đơn vị đóng c0 Ta xét ánh xạ T : D  D sau: Với x   x1, x2 , , xn ,   D, ta đặt: Tx  1, x1 , x2 , , xn ,  Hiển nhiên Tx  D Hơn T ánh xạ không giãn vì: Tx  Ty  sup xn  yn  x  y n Giả sử tồn điểm bất động x* D , tức Tx*  x* Thế thì:  x , x , , x ,   1, x , x , , x ,  * * * n * * * n Từ suy x1*  1, x2*  x1*  1, , tức ta có xn*  , n   Hiển nhiên x*  c0 Vậy T điểm bất động c0 Vấn đề đặt là: Cần điều kiện không gian Banach X để tập hợp lồi, đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn? Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi Brouwer Gohde độc lập đưa năm 1965 Định lý 1.2.1 (Brouwer-Gohde) Cho X không gian Banach lồi đều, M tập hợp lồi, đóng, bị chặn X T : M  M ánh xạ không giãn Khi tập hợp điểm bất động T , ký hiệu Fix T  , không rỗng, lồi đóng Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      8  Khóa luận tốt nghiệp 1.3 ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X không gian Banach, T : X  X ánh xạ T gọi ánh xạ Lipschitz tồn số k  cho: d Tx, Ty   kd  x, y  , x, y  X Ví dụ sau chứng tỏ Định lý Browder – Gohde không cho ánh xạ Lipschitz với k  Giả sử B hình cầu đơn vị đóng l ,    0,1 Với x   x1 , x2 ,   l , ta đặt:   Tx   1  x  , x1 , x2 , Thế T  B   B Thật vậy, với x   ta có: Tx   1  x   x  1  x   x (do    0,1)   x  x   x 1  x   (do x  1) Suy T  B   B Bây ta chứng minh T ánh xạ Lipschitz với hệ số   Thật vậy: Tx  Ty    x  y  2  x y 2 x y  x y     1 x  y     1 x  y 2 2  Tx  Ty     1 x  y Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      9  Khóa luận tốt nghiệp Vậy T ánh xạ Lipschitz với hệ số   Cuối ta chứng minh T điểm bất động B Giả sử ngược lại: Tồn x*   x1* , x2* , x3*   B cho x*  Tx* , ta có:  x , x ,    1  *  *  x* , x1* , x2* ,   Suy xi*    x* , i  1,2, Vì vậy: Nếu x*   xi*  0, i  1,2,  x*  ; Nếu x*   xi*  const  0, i  1,2,  x*  l Cả hai trường hợp gặp mâu thuẫn Do T điểm bất động B Từ ví dụ ta rút kết luận sau : Dù l không gian Hilbert tức có nhiều tính chất tốt, hệ số Lipschitz   (với   tùy ý) hình cầu đơn vị đóng tính chất điểm bất động ánh xạ loại Mặt khác T : K  K (với K tập hợp không gian Banach X ) ánh xạ không giãn ta có: T n x  T n y  T n1 x  T n1 y   x  y , n  * Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      10  Khóa luận tốt nghiệp z *  T n z *  z *  zm  zm  T n zm  T n zm  T n z *  1  k  z *  zm  zm  T n zm  cn  z *  limsup z *  T n z *  Suy ra: n  Do z * điểm bất động T Chứng minh hoàn thành 2.3 MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ LIPSCHITZ RA NỬA NHÓM Định nghĩa 2.3.1 Đặc trưng Lipschitz không gian mêtric  M , d  xác định sau:   M   sup   :   cho : x, y  M , r  0, d  x, y   r  z  M cho : B  x,  r   B  y, r   B  z , r  Trong B  , r  kí hiệu hình cầu đóng tâm z, bán kính r sHằng số Lipschitz   X  không gian Banach  X ,  xác định bởi:   X   inf   C  : C   tập lồi, đóng , bị chặn X  Định lý 2.3.1 (Lipschitz [9]} Cho M không gian mê tric đầy đủ bị chặn, T ánh xạ k  Lipschitz M Khi T có điểm bất động k    M  Định lý 2.3.2 (D.H.Tân) Cho M không gian metric đầy đủ,   Ts : s  S  nửa nhóm khả nghịch trái ánh xạ ks  Lipschitz M với Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      34  Khóa luận tốt nghiệp limsup k s  k    M  Giả sử tồn x0  M , s0  S cho: s0  x0  bị s chặn Khi tồn z  M cho: Tz  z với T   Chứng minh Lấy k '   k ,   M   Theo giả thiết: limsup k s  k    M  nên tồn s1  S cho: s ki  k '    M  , i  s1 Chọn s2  s1 , s2  s0 đặt: r  y   inf    : x  M , i  s cho i  x   B  y,   Thế ta có r  y  hữu hạn theo giả thiết tồn x0  M , s0  S cho s0  x0  bị chặn Do đó: s2  x0   s0  x0   B  y, R   B  y, R  d  y, y0   Suy ra: r  y   R  d  y, y0   , y  M Ta tấy r  y   thì:   0, x  M , i  s2 : d  y, Tx    , T  i Do đó, với T  i ta có: d Ty, y   d Ty, T x   d T x, y   ki d  y, Tx   d T x, y     ki  1 Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      35  Khóa luận tốt nghiệp Suy Ty  y, T  i Lấy    k ,   M   Chọn   cho với u , v  M r  thỏa mãn d  u, v   r tồn w  M cho: B  u , r   B  v,  r   B  w, r  (1)    Chọn   cho    ,   Khi lấy y1 tùy ý lập dãy k'    yn  quy nạp: Giả sử có r  yn   Vì   nên  r  yn   r  yn  , x  M , p  s2 ta có:  p  x   B  y n ,  r  yn   Vậy: với x  M , p  s2 , Ts   p cho: d Ts x, yn    r  yn  Đặc biệt, với x  yn ta có: d Ts yn , yn    r  yn  (2) Với   xác định thì:  r  yn   r  yn  nên tồn x0  M , t  s2 cho: d Txo , yn    r  yn    r  yn  , T  t (3) Đặt Tu  Ts Tt Do  khả nghịch trái nên tồn Tv  t  u Vì ~ u sinh Tu , v sinh Tv nên v  t  u Do T  v , T   ~ ~ cho: T  Tu T  Ts Tt T Vậy với T  v ta có: Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      36  Khóa luận tốt nghiệp ~    ~  d Txo , Ts yn   d  Ts Tt T x0 , Ts yn   k ' d  Tt T x0 , yn       k ' r  yn    r  yn  (4) (vì Ts   p  s2  s  s2  s1 nên s  s1  k s  k ' ) Vì v  t nên từ (3) (4) ta có : v  x0   B  yn , r  yn    B Ts yn ,  r  yn   , T  v Kết hợp (1) (2) ta nhận yn1  M cho: Tx0  B  yn1 ,  r  yn   , T  v (5) Mặt khác: v  t  v  t  s2  r  yn1    r  yn  (6) Từ (3) (5) ta có: d  yn , yn1     1  r  yn      1  n r  y1  (7) Kết hợp (6) (7) ta suy  yn  dãy Cauchy lim r  yn   n  Đặt z  lim yn Khi với   , ta chọn n0 cho: n    d yn0 , z   r  yn    Thế tồn x  M , s  S cho:    d Tx, yn0  , T  s Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      37  Khóa luận tốt nghiệp Từ suy ra: d Tx, z    , T  s , Do r  z    , tức r  z   Vậy Tz  z , T  s Lấy T j   đặt Th  T j Ts lấy Tl  h  s Khi đó: với ~ T  l , tồn T   cho: ~ ~ T  Th T  T j Ts T ~ ~ Lấy T  l  s , ta có T  T j Ts T T Ts T thuộc s nên: ~   d T j z , z   d  T j z , T j Ts T z   d Tz , z    ~    kd  z , Ts T z   d Tz , z     Vậy T j z  z Vì T j  nên định lý chứng minh Nhận xét:  Nếu S  N (tập hợp số tự nhiên) định lý trùng với định lý Lipschitz  Định lý thay M tập lồi, đóng, bị chặn không gian Banach X   M  thay   M  Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      38  Khóa luận tốt nghiệp Chương : ĐIỀU KIỆN CASINI-MALUTA Trong phần này, giới thiệu cách vận dụng cấu trúc chuẩn tắc vào Lý thuyết Điểm bất động xuất phát từ kết biết Goebel Kirk Vấn đề phải không gian Banach X , tính phản xạ cấu trúc chuẩn tắc đủ đảm bảo cho với k  thích hợp, tập hợp không rỗng, lồi, đóng bị chặn X có tính chất điểm bất động ánh xạ k  Lipschitz Trong [7] tác giả chứng minh đặc trưng lồi X   X   ánh xạ k  Lipschitz có điểm bất động k    X  ,   X  xác định modul lồi X Một kết khác Lipschitz [9] chứng minh không gian metric Đối với không gian Banach: điều kiện   X   tương đương với điều kiện   X   chứng minh [6], định lý Lipschitz cho ta cận k tốt   X  , đặc biệt không gian Hilbert Một kết tương tự Casini Maluta chứng minh năm 1985 [5] Định lý phát biểu rằng: không gian có cấu trúc chuẩn tắc đều, ánh xạ k  Lipschitz đềutrong    tập hợp lồi, đóng bị chặn có điểm bất động k   N  X   ,   ~ ~ N  X  số cấu trúc chuẩn tắc định nghĩa Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      39  Khóa luận tốt nghiệp Một số kí hiệu Cho X lầ không gian thực hay phức vô hạn chiều với tập A X ta sử dụng kí hiệu sau: A bao đóng, coA bao lồi tập hợp A , co  A  bao lồi đóng tập A d  A  đường kính tập hợp A x  X r  A, x   sup  x  y : y  A bán kính Chebyshev A x Với B  X r  A, B   inf sup x  y bán kính Chebyshev xB yA A B Rõ ràng là: r  A, B   inf r  A, x  xB   A, B    x  B : r  A, x   r  A, B  gọi tâm Chebyshev A B Giả sử  xn   X dãy bị chặn, x  X Khi khái niệm: đường kính, bán kính tâm tiệm cận A dãy  xn  định nghĩa tương ứng sau: d a  xn    limsup  xn  xm : n, m  k , k k      xn  , x   limsup xn  x ,  xn  ,A   inf  xn  , x  : x  A , a  xn  ,A   x  A :  xn  , x    xn  ,A  , Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      40  Khóa luận tốt nghiệp l pn không gian n chiều với chuẩn p Định nghĩa 4.1.1 Không gian Banach X gọi có cấu trúc chuẩn tắc (normal structure) tập hợp H lồi, bị chặn với d  H   chứa điểm z  H cho: sup z  x  d  H  xH Đặc biệt, điều xảy tồn c  để cho: sup z  x  c.d  H  xH Định nghĩa 4.1.2 Giả sử X không gian Banach Đặt: ~ N  X   sup r  C , coC  : d  C   1, C  X  , r  C , coC  bán kính Chebyshev C bao lồi C ~ Khi N  X  đươc gọi số cấu trúc chuẩn tắc (the constant of uniformity of normal structure) ~ Lưu ý ta tính N  X  theo cách sau:  r  C , coC   : d  C   0, C  X  N  X   sup   d  C   ~ ~ Nếu N  X   X gọi không gian với cấu trúc chuẩn tắc (spaces with uniformly normal structure) Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      41  Khóa luận tốt nghiệp Hiển nhiên không gian có cấu trúc chuẩn tắc có cấu trúc chuẩn tắc người ta chứng minh không gian với cấu trúc chuẩn tắc phản xạ Bổ đề 4.1.1 Cho X không gian Banach Nếu dãy  xn   X bị chawnj hàm  xn  ,. nửa liên tục yếu Bổ đề 4.1.2 Cho X không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc Khi đó, với dãy  xn  bị chặn X , tồn z  co  xn  thỏa mãn: ~  i   xn  , z   N  X  da  xn  ;  ii  y  X ta có: x  y   xn  , y  Định lý 4.1.1 (Casini-Maluta) [5] Giả sử X không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc Khi ánh xạ k  Lipschitz từ tập hợp lồi, đóng, bị chặn K  X vào    có điểm bất động k   N  X     ~ Chứng minh Giả sử K tập hợp lồi, đóng, bị chặn, không rỗng X    T : K  K ánh xạ k  Lipschitz với k   N  X   Khi đó, với   ~ x  K , dãy T n x bị chặn K Theo bổ đề 4.1.2, tồn z  z  x  Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      42  Khóa luận tốt nghiệp thỏa mãn tính chất  i   ii  , đồng thời K ánh xạ k  Lipschitz nên ta có:     T n x , z  N  X  d a T n x  N  X  lim sup T n x  T m x ~ ~ k  m n k ~  k N  X  limsup T mn x  x i  m  n  Đặt r  x   limsup T i x  x Ta có: i   T x , z  k N  X  r  x  n ~ Với N  , lấy T N z đóng vai trò y  ii  bổ đề 4.1.2., ta nhận được:   z  T N z  T n x , T N z  limsup T n x  T N z n    limsup T n N x  z  k T n x , z j  n  N   ~  k N  X  r  x  Từ suy ra: ~ r  z   limsup T n  z  k N  X  r  x  n ~ 2 Đặt   k N  X  Vì k   N  X   nên   , đó:   ~ r  z    r  x Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      43  Khóa luận tốt nghiệp Ta xây dựng dãy  xn  K sau: Lấy tùy ý x1  K (điều K   ) đặt: xn1  z  xn  Thế ta có: xn1  xn  xn1  T k xn  T k xn  xn  xn1  T k xn  r  xn   limsup xn1  T k xn  r  xn  k    ~    T k xn  , xn1  r  xn   1  k N  X   r  xn    ~ ~       1  k N  X   r  xn1     n1 1  k N  X   r  x1      Do đó, với p  1,2, xn p  xn  xn p  xn p 1   xn1  xn ~ ~       n p 2 1  k N  X   r  x1     n1 1  k N  X   r  x1      ~     n1. p 1     1 1  k N  X   r  x1    ~  n1    k N  X   r  x1   1   Chứng tỏ  xn  dãy Cauchy (do   ) Vì K tập hợp đóng nên tồn lim xn  y  K Khi ta có: n  y  Ty  y  xn  xn  Txn  Txn  Ty  y  xn  r  xn   k xn  y Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      44  Khóa luận tốt nghiệp Cho n   biểu thức cuối bất đẳng thức tiến đến Do y  Ty  hay Ty  y Vậy T có điểm bất động K Định lý chứng minh Nhận xét ~ Trong [4] chứng minh N  x     X 1 Do   x   suy X có cấu trúc chuẩn tắc ~ Tuy nhiên , có hệ thức liên quan N  x   X    ~ N  x     X 1 Hệ thức thô để có câu trả lời chung cho câu hỏi:   Phải điều kiện k   N  X     ~  yếu so với điều kiện đưa [7] Ở trả lời khẳng định cho câu hỏi cách tính toán trực tiếp không gian mà ta biết giá trị ~ N  X  Đặc biệt không gian Hilbert, cận Lifschitz tôt   so với  N  X     ~  242 5 (đã tính   không 2 gian Hilbert, cận Lifschitz   ) Cận k nhận gần cho không gian Lp Lim cách sử dụng kĩ thuật đặc biệt L p Nghịch đảo biên có khả giá trị N  L p  chưa khẳng định ~ Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      45  Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận giới thiệu hướng quan trọng Giải tích hàm phi tuyến Đó lý thuyết điểm bất động ánh xạ k  Lipschitz Các kết luận văn dựa cấu trúc hình học đặc trưng không gian Banach liên quan đến điểm bất động Vì chương Khóa luận giới thiệu số kiến thức bổ trợ cho chương sau Chương điều kiện Goebel-Kirk-Thele điều kiện Lifschitz Kết chương Định lý điểm bất động không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc Mặc dù có nhiều cố gắng, xong khả kiến thức hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      46  Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Đỗ Hồng Tân., Nguyễn Thị Thanh Hà Các định lý điểm bất động Nhà xuất Đại học sư phạm, 2008  2 Đỗ Đăng Lưu., Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 3 Hoàng Tụy, Giải tích đại, Nhà xuất Giáo dục, 1979  4 Bynum W L Normal structure coefficients for Banach space, Pacific J Math 86 (1980),427-436  5 Casini.E., Maluta.E Fixed points of uniformly lipschitzian mappings in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analysis 9(1985),103-108  6 Downing.D.J, Turett.B Some properties of the characteristic of converxity relating to fixed point theory, Pacific J Math 104(1983), 343350 7 Gobel.K., Kirk.W.A A fixed point theorem for transformations whose iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math 47(1973), 135-140  8 Gobel.K., Kirk.W.A., Thele.R L Uniformly Lipschitzian families of trasformations in Banach spaces, Canad J Math 26(1974), 1245-1256 9 Lifschitz E.A Fixed point theorems for operators in strongly convex spaces,Voronez Gos Univ Trudy Math Fak 16(1975), 23-28.(Tiếng Nga) Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      47  Khóa luận tốt nghiệp 10 Do Hong Tan, Ha Duc Vuong On eventually and asymptotically Lipschitzian mappings, Vietnam J Math Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán      48  [...]... đóng, bị chặn trong X , T : K  K là ánh xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể không có tính chất điểm bất động như ví dụ đã chỉ ra Vấn đề đặt ra là : Đối với ánh xạ Lipschitz đều với k  1 và đủ gần 1 thì các tập lồi đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động hay không ? Nguyễn Thị Kim Dung – k3 5C Toán      11  Khóa luận tốt nghiệp Cho đến... một điểm Năm 1974 Kirk đưa ra khái niệm ánh xạ kiểu không giãn (mở rộng của ánh xạ không giãn tiệm cận) và chứng minh một định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này ở đây chúng tôi đưa ra một khái niệm và k t quả tổng quát hơn, mà khi k  1 chúng ta lại trở về khái niệm và k t quả trên đây Kirk Nguyễn Thị Kim Dung – k3 5C Toán      28  Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 2.2.2 Giả sử C là một tập hợp trong không...Khóa luận tốt nghiệp Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện: T n x  T n y  k x  y , x, y  K , n  * , với k  1 Trường hợp đặc biệt, với n  1 ta có: Tx  Ty  k x  y , x, y  X , tức là T là ánh xạ Lipschitz với k  1 Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ T : K  K được gọi là ánh xạ Lipschitz đều (chính xác hơn ánh xạ k  Lipschitz đều) nếu tồn tại số k  0 sao cho :... GOEBEL – KIRK – THELE VÀ MỞ RỘNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ 2.1 ĐỊNH LÝ GOEBEL – KIRK – THELE Định lý 2.1.1 (Goebe, Kirk) Cho C là một tập hợp lồi đóng, bị chặn trong không gian Banach X với  0  x   1 Khi đó mọi ánh xạ k  Lipschitz đều từ C vào C đều có điểm bất động nếu k   0 với  0 là nghiệm của phương trình:   1   1   X     1     Định nghĩa 2.1.1 Cho A là một nửa nhóm, X là một không... Banach X T : C  C được gọi là ánh xạ kiểu k  Lipschitz đều nếu với mỗi x  C dãy cn  x  với:     cn  x   max sup T n  x   T n  y   k x  y ,0   yC  dần tới 0 khi n   Rõ ràng là mỗi ánh xạ k  Lipschitz đều được đưa ra bởi Goebel và Kirk là ánh xạ kiểu k  Lipschitz đều Định lý 2.2.1 (Tân - vượng [10]) Giả sử C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X với  o... sử T : C  C là ánh xạ liên tục kiểu k  Lipschitz đều với k   o , trong đó  o là nghiệm của phương trình:   1   1   X     1     Khi đó ánh xạ T có điểm bất động Chứng minh Theo các k t quả của Downing và Turett trong [6]:  o  X   1 k o theo   1 , và ta có thể giả sử rằng k  1 Lấy bất k xo  C và k hiệu xn  T n xo , n  1,2, vì  o  X   1 , X là phản xạ nên C là compact... Nguyễn Thị Kim Dung – k3 5C Toán      27  Khóa luận tốt nghiệp Điều này cùng với i) chứng tỏ sự tồn tại điểm bất động chung của ideal  nêu trong Định lý, và nếu tất cả các ánh xạ của  là liên tục thì  có điểm bất động chung trong K 2.2 ÁNH XẠ KIỂU LIPSCHITZ ĐỀU Định nghĩa 2.2.1 Giả sử  xn  là một dãy bị chặn trong môt không gian Banach X , C là một tập hợp lồi đóng trong X Với mỗi x  X , ta k hiệu:... n x  T n y  k x  y , x, y  K , n  * Như vậy, nếu T không giãn thì với k  1 và với mọi n  * ta luôn có : T n x  T n y  x  y  k x  y , x, y  X , n  * Do đó lớp các ánh xạ k  Lipschitz đều với k  1 là lớp trung gian giữa lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz Ta biết rằng nếu không gian Banach X có một số tính chất tốt nào đó (chẳng hạn lồi đều) và K là tập hợp lồi,... là nửa nhóm khả nghịch trái của các ánh xạ ks  Lipschitz trong M với Nguyễn Thị Kim Dung – k3 5C Toán      34  Khóa luận tốt nghiệp limsup k s  k    M  Giả sử tồn tại x0  M , s0  S sao cho: s0  x0  bị s chặn Khi đó tồn tại z  M sao cho: Tz  z với mọi T   Chứng minh Lấy bất k k '   k ,   M   Theo giả thiết: limsup k s  k    M  nên tồn tại s1  S sao cho: s ki  k '    M... , r  k hiệu hình cầu đóng tâm z, bán k nh r sHằng số Lipschitz  0  X  của không gian Banach  X ,  xác định bởi:  0  X   inf   C  : C   là một tập lồi, đóng , bị chặn trong X  Định lý 2.3.1 (Lipschitz [9]} Cho M là một không gian mê tric đầy đủ và bị chặn, T là ánh xạ k  Lipschitz đều trong M Khi đó T có điểm bất động nếu k    M  Định lý 2.3.2 (D.H.Tân) Cho M là một không ... chất điểm bất động ánh xạ không giãn từ D vào D có điểm bất động D Chú ý: - Một không gian Banach không thiết có tính chất điểm bất động đôi với ánh xạ không giãn (Phản ví dụ: X  , Tx  x  ánh. .. lồi, đóng, bị chặn X , T : K  K ánh xạ không giãn T có điểm bất động K Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K tính chất điểm bất động ví dụ Vấn đề đặt : Đối với ánh xạ Lipschitz với k  đủ gần tập... gian lồi , ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz Chương 2: Giới thiệu mở rộng kết Goebel-Kirk Lipschitz Phần đầu chương hai Định lý tồn điểm bất động nửa nhóm ánh xạ k  Lipschitz ánh xạ k  Lipschitz