Về điểm bất động của ánh xạ có tính lipschitz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ THƠM VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CÓ TÍNH LIPSCHITZ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Phép chiếu metric 1.2 Điểm bất động ánh xạ co 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.4 Điểm bất động ánh xạ giả co, giả co mạnh 19 Các phương pháp lặp tìm điểm bất động 2.1 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động 2.2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 2.3 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co 23 23 24 30 Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 3.1.1 Phát biểu toán 3.1.2 Sự tồn nghiệm 3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân 34 34 34 35 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Một hướng nghiên cứu quan trọng giải tích lý thuyết điểm bất động Các định lý điểm bất động liên quan đến điều kiện tồn điểm x∗ C cho T x∗ = x∗ với T : C → C Điểm x∗ gọi điểm bất động ánh xạ T Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ 20, phải kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) định lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác nhau, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tập hợp lại tên chung: Lý thuyết điểm bất động Trong lý thuyết này, định lý tồn tại, người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, xấp xỉ điểm bất động ứng dụng chúng Mục đích luận văn nhằm trình bày định lý tồn điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz, xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co không gian metric, không gian Hilbert áp dụng định lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Dưới hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài "Về điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz" Luận văn chia làm ba chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz • Chương 2: Các phương pháp lặp tìm điểm bất động • Chương 3: Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Trong chương 1, trình bày số kiến thức không gian metric, không gian Hilbert, phép chiếu metric Các định nghĩa ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh Các định lý tồn điểm bất MỞ ĐẦU động ánh xạ co mà trọng tâm định lý ánh xạ co Banach, định lý tồn điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh không gian metric không gian Hilbert Trong chương 2, trình bày khái niệm dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp Halpern Các phương pháp lặp phương pháp lặp Mann - Halpern, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động ánh xạ giả co không gian Hilbert Trong chương 3, trình bày toán bất đẳng thức biến phân, định lý Brouwer tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Áp dụng định lý ánh xạ co Banach để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Qua luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu ( Viện Toán học Việt Nam), người Thầy truyền cho có niềm say mê nghiên cứu toán học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học khóa 2013 -2015 mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè lớp cao học khóa 2013 -2015, lãnh đạo đồng nghiệp trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định động viên, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Thơm Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz Trong chương này, trước hết giới thiệu không gian metric, không gian Hilbert, phép chiếu metric, nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho việc trình bày điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co giả co mạnh Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [7] [8] 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Không gian metric Định nghĩa 1.1 Một hàm d có giá trị thực xác định với cặp phần tử x, y tập hợp X , gọi metric X thỏa mãn điều kiện sau ( x, y, z thuộc X ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y ; d(x, y) = d(y, x); d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ( bất đẳng thức tam giác) Một tập X với metric xác định gọi không gian metric d(x, y) gọi khoảng cách x y Các phần tử không gian metric (X, d) gọi điểm Định nghĩa 1.2 Giả sử x1 , x2 , , xn , dãy điểm không gian metric (X, d) Dãy {xn } gọi hội tụ đến điểm x thuộc X nếu: lim d(xn , x) = n→∞ Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz Ta kí hiệu lim xn = x n→∞ Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric (X, d) (Y, ρ) Một ánh xạ T từ X vào Y gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ kéo theo ρ(T x, T x0 ) < ε Ánh xạ T gọi liên tục liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.4 Ta nói dãy {xn } dãy Cauchy hay dãy không gian metric X với ε > 0, tồn nε cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ nε Nếu dãy Cauchy X hội tụ X gọi không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.5 Dãy hình cầu {Bn } với bán kính tương ứng {rn } gọi thắt dần {Bn+1 } ⊆ {Bn }, với n ≥ limn→∞ r(n) = Nguyên lý Cantor Trong không gian metric đầy đủ dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T : (X, d) → (Y, ρ) không gian metric thỏa mãn: ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z) với số cố định M x, z thuộc X gọi ánh xạ Lipschitz Số nhỏ số M gọi số Lipschitz ánh xạ T kí hiệu L(T ) 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.7 Cho H không gian tuyến tính R Một tích vô hướng H ánh xạ, kí hiệu , : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau: x, x > 0, ∀x = 0, x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, α ∈ R; x + y, x = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H Không gian tuyến tính H với tích vô hướng , gọi không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.8 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz 1.1.3 Phép chiếu metric Định nghĩa 1.9 Cho C khác rỗng y vectơ không thuộc C , đặt dC (y) = inf ||x − y||; x∈C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = ||π − y|| ta nói π hình chiếu y C Ta ký hiệu hình chiếu y C PC (y) Thông thường ký hiệu π = PC (y) đơn giản P (y) không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C Chú ý rằng, y ∈ C dC (y) = Nếu C = ∅ dC (y) hữu hạn ≤ dC (y) ≤ ||y − x|| với x thuộc C Định nghĩa 1.10 Cho C tập con, khác rỗng không gian Hilbert H , ánh xạ P : H → C Với x ∈ H , tồn phần tử P x ∈ C cho ||x − P x|| = d(x, C); Ánh xạ P gọi phép chiếu metric C Định nghĩa 1.11 Một tập C ⊆ H gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C; Một nón gọi nón lồi nón tập lồi Định nghĩa 1.12 Cho x ∈ C , nón pháp tuyến C x, kí hiệu NC (x), xác định công thức NC (x) := {ω ∈ H/ ω, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} Mệnh đề 1.1 (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H PC phép chiếu metric từ H lên C Khi điều kiện sau thỏa mãn PC (x) = PC (PC (x)), với ∀x ∈ H ; PC ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa x − y, PC (x) − PC (y) ≤ ||PC (x) − PC (y)||2 , ∀x, y ∈ H; PC ánh xạ không giãn, nghĩa ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ H; Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz PC ánh xạ đơn điệu, nghĩa PC (x) − PC (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H Mệnh đề 1.2 (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1).Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng Khi với y ∈ H , hình chiếu PC (y) y C tồn 1.2 Điểm bất động ánh xạ co Định nghĩa 1.13 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) gọi ánh xạ co tồn số k ∈ [0, 1) cho ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y); với x, y thuộc X , (k hệ số co) Định lý điểm bất động sử dụng rộng rãi định lý ánh xạ co Banach (1922) Định lý tồn điểm bất động ánh xạ Định lý ánh xạ co Banach (xem [2], Chương 1) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ co với số Lipschitz k ∈ (0, 1) Khi đó, tồn x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, với x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ n → ∞ Chứng minh Lấy x0 điểm tùy ý X đặt xn+1 = T xn với n ∈ N Ta có d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 ); d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ k d(x0 , x1 ) Bằng quy nạp ta d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ k n d(x0 , x1 ) Lấy m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) ≤ (k n + k n+1 + + k m−1 )d(x0 , x1 ) ≤ k n (1 + k + + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) km = d (x0 , x1 ) 1−k Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz Do {xn } dãy Cauchy không gian metric đầy đủ xn → x∗ ∈ X Với n ta có ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , T x∗) ≤ d(x∗ , xn ) + kd(xn−1 , x∗ ) Cho n → ∞ tính liên tục T ta d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức T x∗ = x∗ Giả sử có y ∗ ∈ X mà T y ∗ = y ∗ ta có d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ) Vì ≤ k < nên d(x∗ , y ∗ ) = x∗ = y ∗ Vậy điểm bất động Định lý 1.1 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.3) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} x0 ∈ X r > Giả sử T : B(x0 , r) → X ánh xạ co (nghĩa là, d(T (x), T (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ B(x0 , r), với ≤ L < ) d(T (x0 ), x0 ) < (1 − L)r Khi T có điểm bất động B(x0 , r) Chứng minh Giả sử tồn r0 thỏa mãn ≤ r0 < r, d(T (x0 ), x0 ) < (1 − L)r0 Ta T : B(x0 , r0 ) → B(x0 , r0 ) Để hiều điều này, ta ý x ∈ B(x0 , r0 ) d(T (x), x0 ) ≤ d(T (x), T (x0 )) + d(T (x0 ), x0 ) ≤ Ld(x, x0 ) + (1 − L)r0 ≤ r0 Áp dụng định lý ánh xạ co Banach ta suy T có điểm bất động B(x0 , r0 ) ⊂ B(x0 , r) Khi T có điểm bất động B(x0 , r) Nhiều tác giả tổng quát hóa định lý ánh xạ co Banach phát biểu với nội dung Định lý 1.2 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.5) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ (không thiết liên tục) Với ε > 0, Chương Kiến thức chuẩn bị điểm bất động ánh xạ có tính Lipschitz tồn δ(ε) > cho d(x, T (x)) < δ(ε), T (B(x, ε)) ⊆ B(x, ε), B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}; Nếu với u ∈ X , ta có lim T n (u) , T n+1 (u) = n→∞ dãy {T n (u)} hội tụ tới điểm bất động T Chứng minh Với u ∈ X , ta lấy un = T n (u) Ta chứng minh {un } dãy Cauchy Với ε > cho trước, chọn δ(ε) > Ta chọn N đủ lớn cho d(un , un+1 ) < δ(ε), ∀n ≥ N Từ d(uN , T (uN )) < δ(ε) T (B(uN , ε)) ⊆ B(uN , ε) Vì T (uN ) = uN +1 ∈ B(uN , ε), T k (uN ) = uN +k ∈ B(uN , ε), ∀k ∈ {0, 1, 2, }; Do d(uk , ul ) ≤ d(uk , uN ) + d(uN , ul ) < 2ε, ∀k, l ≥ N Do un dãy Cauchy Hơn nữa, tồn y ∈ X cho lim un = y n→∞ Ta chứng minh tiếp y điểm bất động T.Giả sử ngược lại, d(y, T (y)) = γ > Chọn cố định un ∈ B(y, γ/3) cho d(un , un+1 ) < δ(γ/3) Từ điều kiện định lý ta có T (B(un , γ/3) ⊆ B(un , γ/3) Do T (y) ∈ B(un , γ/3) Điều mâu thuẫn d(T (y), un ) ≥ d(T (y), y) − d(un , y) > γ − γ/3 = 2γ/3 Vì d(y, T (y)) = Định lý 1.3 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.6).Cho (X, d) không gian metric đầy đủ d(T (x), T (y)) ≤ φ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X φ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm đơn điệu, không giảm, lim φn (t) = 0, ∀t > n→∞ cố định Khi T có điểm bất động lim T n (x) = x∗ , ∀x ∈ X n→∞ x∗ ∈ X cho Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Từ định nghĩa Wn Bổ đề 2.2, suy xn = PWn (x0 ) Vì xn+1 ∈ Hn ∩ Wn , nên ||xn+1 − x0 || ≥ ||xn − x0 ||, n ≥ Vì vậy, dãy {||xn − x0 ||} dãy không giảm bị chặn Do tồn giới hạn hữu hạn lim ||xn − x0 || = c Mặt khác, từ xn+1 ∈ Wn , ta có n→∞ xn − x0 , xn+1 − xn ≥ suy ||xn − xn+1 ||2 = ||xn − x0 − (xn+1 − x0 )||2 = ||xn − x0 ||2 − xn − x0 , xn+1 − x0 + ||xn+1 − x0 ||2 ≤ ||xn+1 − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 , ∀n ≥ Vì (2.7) suy từ bất đẳng thức lim ||xn − x0 || = c n→∞ Vì αn → dãy {xn }, {PC T PC (xn )} bị chặn Từ (2.4) suy lim ||zn − PC (xn )|| = lim (1 − αn )||PC (xn ) − PC T PC (xn )|| = n→∞ n→∞ (2.8) Mặt khác, xn+1 ∈ Hn , nên ||yn − xn+1 ||2 ≤ ||xn − xn+1 ||2 + βn (||x0 || + xn − x0 , xn+1 ) Vì vậy, từ (2.7), tính bị chặn dãy {xn }, β → bất đẳng thức trên, ta suy lim ||yn − xn+1 || = (2.9) n→∞ Kết hợp với (2.7) suy lim ||yn − xn || = n→∞ Chú ý PC T zn = yn βn (xn − PC T zn ) + βn (xn − x0 ) nên ||xn − PC T zn || ≤ ||xn − yn || + βn ||xn − PC T zn || + βn ||xn − x0 || Từ (2.6) bất đẳng thức cuối ta suy ||xn − PC T zn || ≤ (||xn − yn || + βn ||u + − x0 ||) − βn 27 (2.10) Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Vì βn → 0, (βn ≤ − β), với β ∈ (0, 1), (2.10) bất đẳng thức ta nhận lim ||xn − PC T zn || = n→∞ (2.11) Hơn nữa, ta có PC T zn = PC TC T zn ||zn − PC T zn || ≤ ||zn − PC (xn )|| + ||PC (xn ) − PC PC (T zn )|| ≤ ||zn − PC (xn )|| + ||xn − PC T zn || Từ (2.8), (2.11), bất đẳng thức cuối suy lim ||zn − PC T zn || = n→∞ (2.12) Do {xn } bị chặn, tồn dãy xnj ⊂ {xn } hội tụ yếu tới phần tử p ∈ H j → ∞ Từ (2.10) (2.11) ta có znj hội tụ yếu tới p Vì {zn } ⊂ C , ta p ∈ C theo Bổ đề 2.3 công thức (2.12), p ∈ F ix(PC T ) = F ix(T ) Bây giờ, từ (2.6) tính nửa liên tục yếu chuẩn ta suy ||x0 − u0 || ≤ ||x0 − p|| ≤ lim inf ||x0 − xnj || j→∞ ≤ lim sup ||x0 − xnj || ≤ ||x0 − u0 || j→∞ Vì ta lim ||z0 − xnj || = ||x0 − u0 || = ||x0 − p|| j→∞ Từ suy xnj → p = u0 theo Bổ đề 2.4 Sử dụng tính phép chiếu u0 = PF ix(T ) (x0 ), ta có xn → u0 Từ (2.10) (2.12) ta có yn → u0 zn → u0 Định lý chứng minh Hệ 2.1 (xem [4],Hệ (2.6)) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ không giãn cho F ix(T ) = ∅ Giả sử {βn } dãy số [0, 1] thỏa mãn βn → Khi đó, dãy {xn } , {yn } định nghĩa  x0 ∈ H     yn = βn x0 + (1 − βn )PC T PC (xn ); Hn = z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 || + xn − z, z ) ;   W = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0} ;   x n =P n+1 Hn ∩Wn (x0 ) , n ≥ hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF ix(T ) (x0 ) n → ∞ Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1 với αn = 1, ta thu điều cần chứng minh 28 Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Hệ 2.2 (xem [4],Hệ (2.7)) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ không giãn cho F ix(T ) = ∅ Giả sử {αn } dãy số [0, 1] thỏa mãn αn → Khi đó, dãy {xn } , {yn } định nghĩa  x0 ∈ H    yn = PC T (αn PC (xn ) + (1 − αn )PC T PC (xn )); Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||} ;    Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≤ 0} ; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ) , n ≥ hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF ix(T ) (x0 ) n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.1, đặt βn = ta thu điều cần chứng minh Định lý 2.2 (xem [5], Định lý (2.2) ) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ không giãn cho F ix(T ) = ∅ Giả sử {xn } dãy số khoảng (a, 1) với a ∈ (0, 1] Khi đó, dãy {xn } , {yn } định nghĩa (2.5) hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF ix(T ) (x0 ) n → ∞ Chứng minh Đầu tiên ta ý ||yn − z|| ≤ ||xn − z|| tương đương với yn − xn , xn − z ≤ −1 ||yn − xn ||2 Vì vậy, Hn nửa không gian Tiếp theo ta F ix(T ) ⊂ H0 , với ∀n ≥ Rõ ràng F ix(T ) = F ix(T PC ) := {p ∈ H : T P (CP ) = p} với ánh xạ T : C → C Vì vậy, ta có với p ∈ F ix(T ): ||yn − p|| = ||(1 − µn )xn + µn T PC − p|| = ||(1 − µn )(xn − p) + µn (T PC xn − T PC p)|| ≤ (1 − µn )||xn − p|| + µn ||xn − p|| = ||xn − p|| Do đó, p ∈ Hn , ∀n ≥ Hơn nữa, F ix(T ) tập con, lồi, đóng, khác rỗng H , theo Bổ đề 2.2, tồn phần tử uo ∈ F ix(T ) cho u0 = PF ix(T ) (x0 ) Từ xn+1 = PHn+1 (x0 ), ta ||xn+1 − x0 || ≤ ||u0 − xo ||, ∀n ≥ (2.13) 29 Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Bây ta lim ||xn+m − xn || = n→∞ (2.14) Với số nguyên cố định m > Thật vậy, từ định nghĩa Hn+1 , ta suy Hn+1 ⊂ Hn , ta có ||xn − x0 || ≤ ||xn+1 − x0 ||, ∀n ≥ Vì vậy, tồn lim ||xn − x0 || = c Tiếp theo, theo Bổ đề (2.1), xn+m ∈ Hn n→∞ xn = PHn (x0 ), ta có xn − x0 , xn+m − xn ≥ Vậy ||xn+m − xn ||2 = ||xn+m − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 − xn − x0 , xn+m − xn ≤ ||xn+m − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 Từ lim ||xn − x0 || = c, ta có (2.14) Vì {xn } dãy Cauchy Ta n→∞ giả sử xn → p ∈ H Mặt khác, từ (2.14) bất đẳng thức sau ||yn − xn || µn ≤ (||yn − xn+m || + ||xn+m − xn ||) α ≤ ||xn+m − xn || α ||xn − T PC xn || = ta lim ||xn − T PC xn || = n→∞ Vì vậy, p = T PC p Điều có nghĩa p ∈ F ix(T ) Bây từ (2.13) Bổ đề 2.2, suy p = u0 Sự hội tụ mạnh dãy {un } tới u0 lim ||yn − xn || = lim µn ||xn − T PC xn || = n→∞ n→∞ xn → u0 2.3 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co Trong phần này, xin trình bày phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động ánh xạ giả co không gian Hilbert Mệnh đề 2.1 (xem [7], Chương 6, Mệnh đề 6.6.3) Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Hilbert H ánh xạ giả co T : C → C Khi ||(1 − α)(x − y) + α(T x − T y)||2 ≤ ||x − y||2 + α2 ||x − y − (T x − T y)|| 30 Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động ∀x, y ∈ C α ∈ [0, 1] Chứng minh Lấy x, y ∈ C Ta có ||(1 − λ)x + λy||2 = (1 − λ)||x||2 + λ||y||2 − λ(1 − λ)||x − y||2 với λ ∈ [0, 1] Chúng ta có ||(1 − α)(x − y) + α(T x − T y)||2 = (1 − α)||x − y||2 + α||T x − T y||2 − α(1 − α)||x − y − (T x − T y)||2 ≤ (1 − α)||x − y||2 + α(||x − y||2 + ||x − y − (T x − T y)||2 ) −α(1 − α)||x − y − (T x − T y)||2 ≤ ||x − y|| + α2 ||x − y − (T x − T y)||2 Mệnh đề 2.2 (xem [7], Chương 6, Mệnh đề 6.6.4) Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Hilbert H ánh xạ giả co T : C → C Với ≤ α ≤ β ≤ 1, xác định ánh xạ Tα,β : C → C Tα,β x = (1 − α)x + αT [(1 − β)x + βT x], x ∈ C Khi ||Tα,β x − Tα,β y|| ≤ ||x − y||2 − αβ(1 − 2β)||x − y − (T x − T y)||2 − α(β − α)||x − y − (T ux − T uy )||2 + αβ||T x − T y − (T ux − T uy )||2 với ∀x, y ∈ C , ux = (1 − β)x + βT x uy = (1 − β)y + βT y Chứng minh Lấy x, y ∈ C Theo Mệnh đề 2.1, ta có ||ux − uy ||2 = ||(1 − β)(x − y) + β(T x − T y)||2 ≤ ||x − y||2 + β ||x − y − (T x − T y)||2 ||ux − T ux ||2 = ||(1 − β)(x − T ux ) + β(T x − T ux )||2 = (1 − β)||x − T ux ||2 + β||T x − T ux ||2 − β(1 − β)||x − T x||2 Do T ánh xạ giả co nên ||T ux − T uy ||2 ≤ ||ux − uy ||2 + ||ux − uy − (T ux − T uy )||2 ≤ ||ux − uy ||2 + ||(1 − β)(x − y) + (T x − T y) − (T ux − T uy )||2 ≤ ||x − y||2 + β ||x − y − (T x − T y)||2 + (1 − β)||x − y − (T ux − T uy )||2 + β||T x − T y − (T ux − T uy )||2 − β(1 − β)||x − y − (T ux − T uy )||2 31 Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Vì ||Tα,β x − Tα,β y||2 = ||(1 − α)(x − y) + α(T ux − T uy )||2 = (1 − α)||x − y||2 + α||T ux − T uy )||2 − α(1 − α)||x − y − (T ux − T uy )||2 ≤ (1 − α)||x − y||2 + α||x − y||2 − αβ(1 − 2β)||x − y − (T x − T y)||2 + α(1 − β)||x − y − (T ux − T uy )||2 + αβ||T x − T y − (T ux − T uy )||2 − α(1 − α)||x − y − (T ux − T uy )||2 ≤ ||x − y||2 − αβ(1 − 2β)||x − y − (T x − T y)||2 − α(β − α)||x − y − (T ux − T uy )||2 + αβ||T x − T y − (T ux − T uy )||2 Định lý 2.3 (xem [7], Chương 6, Định lý 6.6.5) Cho C tập lồi, compact, khác rỗng không gian Hilbert H T : C → C ánh xạ giả co Lipschitz với F ix(T ) = ∅ Cho {xn } dãy lặp Ishikawa xác định (2.2) Khi {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động T Chứng minh Lấy p ∈ F ix(T ) Đặt Tn xn := Tαn ,βn xn = (1−α)xn +αT [(1−β)xn + βT xn ] Khi xn+1 = Tn xn , n ∈ N Từ Mệnh đề 2.2, ta có ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − αn βn (1 − 2βn )||xn − T xn ||2 − αn (βn − αn )||xn − T yn ||2 + αn βn ||T xn − T yn ||2 Do αn ≤ βn , suy ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − αn βn (1 − 2βn )||xn − T xn ||2 + αn βn ||T xn − T yn ||2 (2.15) Giả sử T ánh xạ L -Lipschitz Khi ||T xn − T yn || ≤ L||xn − yn || ≤ Lβn ||xn − T xn || Do từ (2.15) ta có ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − αn βn (1 − 2βn − L2 βn2 )||xn − T xn ||2 Do lim βn = 0, tồn n0 ∈ N cho 2βn + L2 βn2 ≤ , ∀n ≥ n0 n→∞ Vì ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − αn βn ||xn − T xn ||2 , ∀n ≥ n0 32 (2.16) Chương Các phương pháp lặp tìm điểm bất động Suy n αi βi ||xi − T xi ||2 ≤ ||xn0 − p||2 − ||xn+1 − p||2 i=n0 Do C bị chặn, {||xn+1 − p||} bị chặn Do chuỗi bên trái dãy bị chặn Từ điều kiện (2.16), suy lim inf||xn − T xn || = n→∞ Điều ngược lại tính compact C tồn dãy lim xnj = v, v ∈ F ix(T ) xnj cho n→∞ Do v ∈ F ix(T ), từ (2.16) suy ||xn+1 − v|| ≤ ||xn − v||, ∀n ≥ n0 Với ∀ε > 0, tồn Ni,0 cho ||xNi,0 − v|| ≤ ε, ∀Ni,0 ≥ no Do đó, từ (2.17), có ||xn − v|| ≤ ε, ∀n ≥ Ni,0 33 (2.17) Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân đời vào năm 1960 Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức, giải bất đẳng thức biến phân Bài toán thu hút nhiều sư quan tâm nhà toán học Trong chương trình bày toán bất đẳng thức biến phân nguyên lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Các kết trình bày chương lấy từ tài liệu [3],[6] 3.1 3.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Phát biểu toán Định nghĩa 3.1 Cho tập C không gian Hilbert H ánh xạ F :C→H Bài toán bất đẳng thức biến phân kí hiệu V IP (C; F ), toán tìm x∗ cho x∗ ∈ C, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (3.1) Tập hợp điểm x∗ thỏa mãn (3.1) gọi tập nghiệm V IP (C, F ) kí hiệu SOL − V IP (C; F ) Khi xét toán (3.1), Auslender đưa hàm chắn (gap) cách với x ∈ C , đặt g1 (x) = max { F (x∗ ), x − y /y ∈ C} Ta dễ dàng nhận thấy g1 (x) ≥ 0, ∀x ∈ C Do đó, toán (3.1) viết dạng toán tối ưu {g1 (x) /x ∈ C} 34 Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Tuy nhiên, khó khăn toán trường hợp tổng quát hàm g1 không khả vi toán xác định hàm chắn nghiệm Fukushima giải khó khăn cách đưa hàm chắn có dạng g2 (x) = max −1 y − x, G(y − x) − F (x), y − x /y ∈ C (3.2) đó, G ma trận đối xứng, xác định dương Cũng hàm chắn g1 , ta có g2 (x) ≥ với x ∈ C toán (3.1) đưa dạng toán tối ưu {g2 (x) /x ∈ C} 3.1.2 Sự tồn nghiệm Dựa vào định lý điểm bất động Brouwer, ta chứng minh tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.1) Trước hết xin trình bày bổ đề sau Bổ đề 3.1 (xem [3], Bổ đề 2.1) Cho C tập lồi đóng không gian Hilbert H Khi với x ∈ H , có y ∈ C , cho: ||x − y|| = ||x − η|| η∈C Điểm y thỏa mãn đẳng thức gọi hình chiếu x lên C ta viết y = PC x Chú ý PC x = x, ∀x ∈ C Định lý 3.1 (xem [3], Định lý 3.1) Cho C khác rỗng, C ⊂ H tập compact lồi, tồn ánh xạ F : C → C liên tục, toán bất đẳng thức biến phân (3.1) có nghiệm, tức tồn x∗ ∈ C thỏa mãn F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Chứng minh Xây dựng ánh xạ φ cách với x ∈ C đặt φ(x) := PC (x − F (x)) Ta có φ : C → C Do F liên tục C phép chiếu PC liên tục nên φ liên tục Vậy theo định lý điểm bất động Brouwer tồn x∗ = φ(x∗ ) Theo định nghĩa φ, x∗ = φ(x∗ ) = PC (x∗ − F (x∗ )) 35 Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Theo tính chất hình chiếu, ta có F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Vậy toán bất đẳng thức biến phân (3.1) có nghiệm Chú ý toán (3.1) luôn có nghiệm C không bị chặn, ví dụ C = R, toán F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ C nghiệm F (x) = ex Định lý sau điều kiện cần đủ để tồn nghiệm Cho tập lồi C = ∅, đặt CR = C ∩ R , R hình cầu đóng bán kính R tâm O ∈ Rn Khi CR tập compact yếu Vậy theo định lý ta có xR ∈ CR : F (xR ), y − xR ≥ 0; ∀y ∈ CR (3.3) Định lý 3.2 (xem [3], Định lý 4.2) Cho C ∈ H tập lồi, đóng ánh xạ F : C → H liên tục C Điều kiện cần đủ để toán bất đẳng thức biên phân (3.1) có nghiệm tồn số R > cho có nghiệm xR ∈ CR toán (3.3) thỏa mãn ||xR || < R (3.4) Chứng minh Rõ ràng tồn nghiệm x toán (3.1) x nghiệm toán (3.4), miễn ||x|| < R Vì x ∈ CR ⊂ C Giả sử xR ∈ CR thỏa mãn ||xR || < R, xR nghiệm toán (3.1) Thật vậy, ||xR || < R, cho y ∈ C , ω = xR + ε(y − xR ) ∈ CR với ε ≥ đủ nhỏ Vì xR ∈ CR ⊂ C : ≤ F (xR ), ω − xR = ε F (xR ), y − xR , ∀y ∈ C Điều có nghĩa xR nghiệm toán (3.1) Từ định lý ta rút điều kiện đủ để tồn nghiệm Ta cần đến khái niệm tính chất tự sau 36 Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Hệ 3.1 (xem [3], Hệ 4.3) Nếu F : C → H thỏa mãn F (x) − F (x0 ), x − x0 →∞ ||x − x0 || x ∈ C, ||x|| → +∞, với x0 thuộc C , tồn nghiệm toán (3.4) Chứng minh Chọn H > |f (x0 )| R > |x0 | cho: F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ H|x − x0 |, |x| ≥ R, x ∈ C F (x), x − x0 ≥ H|x − x0 | + F (x0 ), x − x0 ≥ H|x − xo | − |F (x0 ), x − x0 | ≥ (H − |F (x0 )|)(|x| − |x0 |) > 0, |x| = R Bây giờ, ta cho xR ∈ CR nghiệm toán (3.4) F (xR ), xR − x0 ≥ − F (xR ), x0 − xR ≤ Vì vậy, dựa vào (3.5), ta có |x| = R Nói cách khác,|x| < R Thông thường, nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Tuy có điều kiện đảm bảo cho Giả sử x, x ∈ C hai nghiệm khác toán (3.1) x ∈ C : F (x), y − x ≥ 0; ∀y ∈ C, x ∈ C : F (x ), y − x ≥ 0; ∀y ∈ C, Từ ta thấy, F (x) − F (x ), x − x > miễn x, x ∈ C, x = x Điều kiện kéo theo tính nghiệm điều kiện gọi điều kiện đơn điệu chặt 3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân Để đơn giản, ta coi G = αI , α > I ma trận đồng Bổ đề 3.2 (xem [6], Bổ đề 3.1) Giả sử h(x) nghiệm toán tối ưu lồi (3.2) Khi ||h(x) − h(x )||2 ≤ ||x − x − 37 (F (x) − F (x ))||2 α Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Chứng minh Do G xác định dương, toán (3.2) lồi mạnh Vì h(x) xác định nghiệm toán sau: y − x, G(y − x) + F (x), y − x + δC (y)/y ∈ H y ∈ C, hàm thị C y ∈ C Chú ý vi phân hàm thị C nón pháp tuyến C , có δC (y) = +∞ ∈ G(h(x) − x) + F (x) + NC (h(x)) Điều suy tồn z ∈ NC (h(x)) cho G(h(x) − x) + F (x) + z = NC (h(x)) kí hiệu nón pháp tuyến C h(x) Từ G = αI , ta có h(x) = x − 1 F (x) − z α α h(x ) = x − 1 F (x ) − z α α Tương tự ta có Từ suy ||h(x) − h(x )||2 = h(x) − h(x ), h(x) − h(x ) 1 = x − x − (F (x) − F (x )) − (z − z ), h(x) − h(x ) α α Từ tính vi phân hàm lồi đơn điệu, ta có z − z , h(x) − h(x ) ≥ 0, ∀z ∈ NC (h(x)) Suy (F (x)) − F (x ), h(x) − h(x ) α ≤ ||x − x − (F (x)) − F (x )||||h(x) − h(x )|| α ||h(x) − h(x )||2 ≤ x − x − Do ||h(x) − h(x )|| ≤ ||x − x − (F (x)) − F (x )|| α Định lý sau khẳng định tính chất co ánh xạ nghiệm h trường hợp F ánh xạ đơn điệu mạnh C 38 Chương Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân Định lý 3.3 (xem [6], Định lý 3.1) Giả sử F (x) lồi, đóng, khác rỗng với x ∈ C , F ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > Lipschitz với số L > C Khi đó, với α > δ := 1− L2 , ánh xạ h co C với hệ số 2β 2β L2 + α α Tức là, ta có ||h(x) − h(x )|| ≤ δ||x − x ||, ∀x, x ∈ C Chứng minh Giả sử F (x) ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > Lipschitz với số L > C , ta có (F (x) − F (x ))||2 α x − x , F (x) − F (x ) + ||F (x) − F (x )||2 = ||x − x ||2 − α α ||x − x − Theo Bổ đề 3.1, ta có ||h(x) − h(x )||2 ≤ ||x − x ||2 − x − x , F (x) − F (x ) + ||F (x) − F (x )||2 α α Vì F ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > Lipschitz với số L > K , ta có x − x , F (x) − F (x ) ≥ β||x − x ||2 ||F (x) − F (x )||2 ≤ L2 ||x − x ||2 Do ||h(x) − h(x )||2 ≤ ||x − x ||2 − = (1 − L2 2β ||x − x ||2 + ||x − x ||2 α α 2β L2 + )||x − x ||2 α α hay ||h(x) − h(x )|| ≤ 2β L2 1− + ||x − x || α α L2 2β L2 δ := − + ∈ (0, 1) 2β α α Do h co C với hệ số δ Rõ ràng, α > 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau - Các kết liên quan đến ánh xạ co, từ nguyên lý ánh xạ co Banach không gian metric đầy đủ đến mở rộng nguyên lý ánh xạ co định lý Meir - Keeler Các định lý điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, ánh xạ giả co mạnh không gian Hilbert - Giới thiệu dãy lặp dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp Halpern Các phương pháp lặp phương pháp lặp Mann - Halpern, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động ánh xạ giả co không gian Hilbert - Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, định lý Brouwer tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, (2015), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội Tiếng Anh [3] D.Kinderlehrer and G,Stampacchia, (1980), An Introduction to Variational Inequality and Their Application, Academic Press [4] Ng.Buong, Ng.D.Lang, (2011),"Hybrid Mann- Halper iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Joural Applied Mathermatic and Computation, 218, 2459-2466 [5] Ng.Buong, Ng.D.Lang, (2011), "Shrinking hybrid descent-like methods for nonexpansive mappings and semigroups", Nonl Funct Anal Appl, 16, 331-339 [6] P N Anh, L D Muu, N V Hien and Strodiot J J, (2009), " On the Contraction and Nonexpansiveness Properties of the Marginal Mappings in Generalized Variational Inequalities Involving Co-coercive Operators", Generalized Convexity Generalized Monotinicity and Applications, Springer, 90-110 [7] Ravi P Agarwal, Donal O’ Regan, D.R.Sahu, (2000), Fixed Point Theory for Lipschitz-type Mappings with Applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [8] Ravi P Agarwal, Maria Meehan, Donal O’Regan, (2004), Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press 41 [...]... ánh xạ co yếu nên x∗ là điểm bất động duy nhất 1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.15 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (z, ρ) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có ρ(T x, T y) ≤ d(x, y) Nhận xét 1.2 Như vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất Ánh xạ không giãn không nhất thiết phải có điểm bất. .. |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R, và là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực 12 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Nhận xét 1.1 Như vậy, ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục Có nhiều tác giả đã chứng minh được rằng định lý ánh xạ co vẫn còn đúng nếu ta thay hằng số k < 1 bằng một hàm số... điểm bất động Ví dụ 1.3 Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong C0 (không gian của các dãy hội tụ đến 0 với chuẩn sup ) Với mỗi x = (x1 , x2 , ) ∈ B ta đặt T x = (1, x1 , x2 , ) Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B Tuy nhiên T không có điểm bất động Thật vậy, nếu có x∗ = T x∗ thì ta có (x∗1 , x∗2 , x∗3 , ) = (1, x∗1 , x∗2 , ) 14 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz. .. phương pháp lặp tìm điểm bất động Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp lặp như phương pháp lặp Mann-Halpern, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động của ánh xạ giả co trong không gian Hilbert Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ trong tài liệu [4],[5] và [7] 2.1 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động Định nghĩa... Vì thế Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C2 Do đó, T là ánh ||y||, Γ(x, y) có giá trị nhỏ nhất khi xạ giả co, liên tục Lipschitz, nhưng T không là ánh xạ không giãn Ví dụ 1.5 Cho T : D(T ) = [0, 1] → H xác định bởi  3 2 2 T x = 1 − x 3  , x ∈ [0, 1] Vì T là đơn điệu giảm, T là giả co 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Ta có 3 3 3 1 1 15 |T ( 3 ) − T ( 3 )| = |( ) 2... Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0 Mỗi ánh xạ không giãn T : Br → H có ít nhất một trong hai tính chất sau đây 1 T có điểm bất động trong Br 2 Tồn tại x ∈ δ(Br ) và λ ∈ C sao cho x = λT (x) Chứng minh Xác định ánh xạ r : H → Br bởi: r (x) = x, x r , ||x|| ||x|| ≤ r ||x|| > r Theo Bổ đề 1.1 thì ánh xạ r : H → Br là ánh xạ không giãn Do đó r◦T : Br → Br cũng là ánh xạ không giãn Theo Định lý 1.6, tồn tại... là Lipschitz trên C Ta đi chỉ ra T là ánh xạ giả co Với ∀x, y ∈ C , đặt Γ(x, y) := ||x − y||2 − T x − T y, x − y Vì vậy để chỉ ra T là ánh xạ giả co, ta cần chứng minh Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1 Nếu x, y ∈ C1 : Hiển nhiên Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C 20 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Trường hợp 2 Nếu x ∈ C1 và y ∈ C2 : Ta có. .. 0 Khi đó ta có ε = d(x, y) < ε + δ Từ đó suy ra d(T x, T y) < ε = d(x, y) Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) < d(x, y) thường được gọi là "co yếu" Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất Định lý 1.4 (Meir - Keeler, 1969) (xem [2], Chương 1) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)-co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhất... (x) Tức là T có một điểm bất động, nghĩa là (1) thỏa mãn T (x) r = λT (x) với λ =