Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

LốI CM N LuÔn oc hon thnh tai trũng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói su hưóng dan cúa T.S Hà Đnc Vưong Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói T.S Hà Đnc Vưong, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài tÔn tỡnh húng dan e tỏc giỏ hon thnh luÔn văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tỏc giỏ suot quỏ trỡnh hoc tÔp v hon thnh luÔn tot nghiắp Tỏc giỏ xin oc gni lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòi thân ln đ®ng viên, co vũ, tao moi ieu kiắn thuÔn loi cho tỏc giỏ quỏ trỡnh hoc tÔp v hon thnh luÔn H Nđi, thỏng năm 2013 Tác giá Ma Quoc Hương LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói su hưóng dan cúa T.S H nc Vong, luÔn Thac s chuyờn ngnh Tốn Giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón” tơi tu làm Các ket q tài li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc Trong q trình nghiên cnu thuc hiắn luÔn vn, tỏc giỏ ó ke thna nhủng thành tuu cúa nhà khoa hoc vói su trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2013 Tác giá Ma Quoc Hương Mnc lnc B kí Mhi¾u đau 1.1 Khơng gian metric 1.2 Không gian metric đay đú 1.3 Không gian Banach 1.4 Nguyên lý ánh xa co Banach 5 12 21 Điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón 25 2.1 Đ%nh nghĩa ví dn 25 2.2 Su h®i tn khơng gian metric nón 28 2.3 Điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón 35 Ket lu¾n 49 Tài li¾u tham kháo 50 Báng kí hi¾u N R C int(P ) TÔp so tu nhiờn TÔp so thuc TÔp so phnc TÔp rong Phan cỳa P ™p Q Quan h¾ thn tu theo nón P Ket thúc chnng minh Má đau Lí chon đe tài Lý thuyet điem bat đ®ng m®t nhđng lĩnh vuc Tốn hoc đưoc nhieu nhà Tốn hoc quan tâm nghiên cnu Ngưòi ta tìm thay su nng dnng đa dang cúa lý thuyet điem bat đ®ng cá tốn hoc lý thuyet tốn hoc nng dnng, vÔt lý, tin hoc v cỏc ngnh khoa hoc khác Su phát trien cúa lý thuyet điem bat đ®ng gan lien vói tên tuoi cúa nhà Tốn hoc lón Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Nhđng Đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng xuat hi¾n tn đau the ký XX phái nói đen ket kinh đien “Nguyên lý ánh xa co Banach” (1922): Moi ánh xa co không gian metric đay đú đeu có điem bat đ®ng nhat Sau rat nhieu nhà Tốn hoc mó r®ng ket q sang lóp khơng gian khác Năm 2007, nhà toán hoc Trung Quoc: Huang Long Guang Zhang Xian mó r®ng ket q sang lóp khơng gian metric nón đưoc đăng báo: “Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings” (xem [6]) Năm 2008 nhà toán hoc Venezuela: Josộ R Morales and Edixún Rojas ó giúi thiắu mđt ket q mói ve điem bat đ®ng cúa ánh xa T- Co khơng gian metric nón Đây m®t lĩnh vuc mói, thu hút su quan tâm cúa nhieu nhà tốn hoc the giói Do năm gan đeu có báo cơng bo ket q ve điem bat đ®ng lóp khơng gian [5], [9], [4] Vói mong muon tìm hieu sâu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón, oc su giỳp v húng dan tÔn tỡnh cỳa TS Hà Đnc Vưong, manh dan chon đe tài nghiên cnu: “Điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón” Mnc đích nghiên cNu Tong hop ket ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón Nhi¾m nghiên cNu H¾ thong ket ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cnu ve “Điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón” Phương pháp nghiên cNu • D%ch, oc nghiờn cnu ti liắu Tong hop, phõn tớch, vÔn dnng kien thnc cho mnc ớch nghiờn cnu DN kien đóng góp Đây tong quan ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co khơng gian metric nón Giúp ngưòi đoc hieu sâu ve khơng gian metric nón điem bat đ®ng cúa ánh xa co khụng gian metric nún LuÔn oc trình bày gom hai chương n®i dung m®t danh mnc tài li¾u tham kháo Chương trình bày khái ni¾m bán ve khơng gian metric, khơng gian metric đay đú, không gian Banach, Nguyên lý ánh xa co Banach Chương trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, khơng gian metric nón, su h®i tn khơng gian metric nón Phan cuoi ket q ve điem bat đ®ng cúa ánh xa co cho lóp không gian Chương Kien thNc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày m®t so khái ni¾m bán ve khơng gian metric, khơng gian metric đay đú, không gian Banach cuoi nguyên lý ánh xa co Banach 1.1 Không gian metric Đ%nh ngha 1.1.1 [1] Khụng gian metric l mđt tÔp hop X ƒ= ∅ vói m®t ánh xa d : X ì X R, thúa cỏc ieu kiắn sau: d(x, y) “ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; d(x, y) ™ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d goi metric X So d(x, y) goi khống cách giđa hai phan tn x y Các phan tn cúa X goi điem Khơng gian metric đưoc kí hi¾u (X, d) Vớ dn 1.1.1 Cho C[a,b] l tÔp hàm so thuc liên tnc đoan [a, b], ta Ôt d(x, y) = max| x(t) y(t) atb | vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] Khi (C[a,b], d) m®t khơng gian metric Chúng minh Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] nên x(t) − y(t) hàm liên tnc t [a, b], ton ∈ | − y(t) hay d(x, y) tai max∀ x(t) | xác a™t™b đ%nh C[a,b] Ta kiem tra đieu ki¾n ve metric Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ta có |x(t) − y(t)| “ 0, ∀t ∈ [a, b] Ta suy max| x(t)− y(t)| “ 0,∀ t [a, b] a™t™b ∈ d(x, y) “ 0, x, y C[a,b] VÔy Hien nhiờn d(x, y) = hay max x(t)y(t) = a™t™b | Ta có − | |x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b] VÔy x(t) = y(t), t [a, b], hay x = y Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b]: d(x, y) = max| x(t)− y(t) a™t™b | x(t) = max| y(t)− a™t™b | = d(y, x) VÔy d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ C[a,b] Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ∀z = z(t) ∈ C[a,b], ta có: d(x, y) = max| x(t)− y(t) a™t™b = max| x(t)|− z(t) + z(t)− y(t) a™t™b | ™ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) − y(t)| a™t™b = d(x, z) + d(z, y) atb VÔy d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z C[a,b] VÔy (C[a,b], d) m®t khơng gian metric Q Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ X , điem x0 ∈ X Dãy {xn} đưoc goi h®i tn đen điem x0 n → ∞ neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, vói ∀n “ n0 d(xn, x0) < ε Hay d(xn, x0) = lim n→∞ Ký hi¾u lim x = x hay x → x , n → ∞ n n 0 n→∞ Điem x0 đưoc goi giói han cúa dãy {xn} X Đ%nh nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ X đưoc goi dãy Cauchy, neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m “ n0 d(xn, xm) < ε y T S nx0 = T x∗ Mà lim T S nx0 = y0 = T z0 n→∞ Bói tính nhat cúa giói han ta suy T x∗ = T z0 Vì T song ỏnh ta cú x = z0 Hay dóy lÔp {Snx0} h®i tn đen điem bat đ®ng z0 X Đ%nh lý đưoc chnng minh Q Đ%nh lý 2.3.2 [7] Cho (X, d) m®t khơng gian metric nón đay đú, P ⊂ E nón chuan tac vói hang so chuan tac K S : X → X m®t ánh xa co S có điem bat đ®ng nhat X vói bat kỳ x0 thu®c X dãy {Snx0} h®i tn ve điem bat đ®ng Chúng minh Chon x0 X , x0 tựy ý Ôt x1 = Sx0, x2 = Sx1 = S2x0, , xn+1 = Sxn = Sn+1x0, , ta có d (xn+1, xn) = d (Sxn, Sxn−1) ™p kd (xn, xn−1) n k d , x0) ™p k d (xn−1 , n− ) x ™p ™p (x1 Vói n > m, ta có d (xn, xm) ™p d (xn, xn−1) + d (xn−1, xn−2) + + d (xm+1, x m) ™p k n−1 +k n−2 + + k m d (x1, x0) m ™p k d (x1, x0) 1−k Vì P nón chuan tac vói hang so chuan tac K ta có: km "d (xn, xm) " ™ K "d (x1, x0)" 1−k k ∈ [0, 1) K hang so chuan tac nên ta có lim n,m→∞ d (xn, xm) = Do {xn} dãy Cauchy Bói tính đay đú cúa X , ton tai x∗ ∈ X cho lim xn = x∗ n→∞ Tn d (Sx∗, x∗) ™p d (Sxn, Sx∗) + d (Sxn, x∗) ∗ ∗ ™p kd (xn, x ) + d (xn+1, x ) Vì P nón chuan tac vói hang so chuan tac K ta có: ∗ ∗ ∗ ∗ "d (Sx , x )" ™ K k "d (xn, x )" + "d (xn+1, x )" Vì d(xn, x∗) = 0, d(xn+1, x∗) = lim lim n→∞ ∗ ∗ n→∞ Do "d ∗ (Sx , x )" = Nờn Sx = x VÔy S cú iem bat đ®ng x Bây giò neu y∗ điem bat đ®ng cúa S , the d (x∗, y∗) = d (Sx∗, Sy∗ ) ™p kd (x∗, y∗) Vì P nón chuan tac vói hang so chuan tac K ta có: "d (x∗, y∗) " ™ kK"d (x, y) " VÔy "d(x, y)" = Suy x = y Vỡ vÔy x l iem bat đng nhat cỳa ỏnh xa S Dóy lÔp {Snx0} h®i tn ve x∗ chnng minh tương tu ket luÔn %nh lý 2.3.1 %nh lý oc chnng minh Q Đ%nh lý 2.3.3 [7] Cho (X, d) m®t khơng gian metric nón đay đú, P ⊂ E nón chuan tac vói hang so chuan tac K Ánh xa T : X → X song ánh, liên tnc h®i tn dãy Vói c ∈ E mà p c, x0 ∈ X, đ¾t B (T x0, c) = {y ∈ X : d (T x0, y) ™p c} Ánh xa S : X → X T -co, liên tnc vói moi x, y ∈ B (T x0 , c) d (T Sx0, T x0) ™p (1 − k) c Khi S có m®t điem bat đ®ng nhat B(T x0 , c) Chúng minh Ta chí can chnng minh B(T x0 , c) đay đú T Sx ∈ B(T x0, c) vói moi T x ∈ B (T x0 , c) Giá sn rang {yn} m®t dãy Cauchy X Bói tính đay đú cúa X , ton tai y ∈ X cho yn → y, n → ∞ Do ta có d (T x0, y) ™p d (yn, T x0) + d (yn, y) ™p c + d (yn, y) , tn yn → y, n → ∞, ta có d(yn, y) → cho nờn d(T x0 , y) p c, vÔy y ∈ B(T x0, c) Do B(T x0 , c) l ay ỳ MÔt khỏc T x B (T x0 , c) , ta có d (T x0, T Sx) ™p d (T Sx0, T x0) + d (T Sx0, T Sx) ™p (1 − k) c + kd (T x0 , T x) ™p (1 − k) c + kc = c Nghĩa T Sx ∈ B(T x0 , c) Q Đ%nh lý 2.3.4 [7] Cho (X, d) m®t khơng gian metric nón đay đú, P ⊂ E nón chuan tac vói hang so chuan tac K Ánh xa T : X → X song ánh, liên tnc h®i tn dãy Giá sú S : X → X m®t ánh xa cho S n vói n ∈ N ánh xa T -co liên tnc Khi S có m®t điem bat đ®ng nhat X Chúng minh Do T h®i tn dãy nên dãy {Snx0} dãy tùy ý X có dãy h®i tn Giá sn {Snk x0} ⊂ {Snx0} mà lim nk S x0 = z0 k→∞ T ánh xa liên tnc nên ta có lim nk T S x0 = T z0 k (2.8) MÔt khỏc %nh lý 2.3.1 ta chnng minh đưoc lim d (T S nx0, T S mx0) = 0, n,m→∞ lim T S nx0 = y0 n→∞ Do tính nhat cúa giói han ta có y0 = T z0 Vì S ánh xa liên tnc tính liên tnc cúa ánh xa T ta suy lim T S nk +1x = T Sz 0 k→∞ (2.9) Tn (2.8) (2.9) ta có T Sz0 = T z0 T song ánh nên ta suy Sz0 = z0, vÔy z0 l iem bat đng cỳa S Tn tính nhat cúa giói han ta có z0 nhat Do S có điem bat đ®ng nhat Đ%nh lý đưoc chnng minh Q Đ%nh nghĩa 2.3.2 [7] Cho (X, d) m®t khơng gian metric nón hai ánh xa T :X→X S:X→X Ánh xa S đưoc goi T -co neu vói moi x, y ∈ X cho T x ƒ= T y d (T Sx, T Sy)