Định nghĩa 2.3.1.
Tập hợp D X được gọi là có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ D vào D đều có điểm bất động trong D.
Chú ý: Một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach không nhất
thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn.
Thật vậy, xét X C0 không giãn các dãy hội tụ về 0 với chuẩn
sup n .
n
x x Đặt D x X : x 1 . Ta xác định ánh xạ T D: D như sau: Với x D, x x x1, ... ,2 đặt Tx 1, ,x x1 2,... .
Giả sử tồn tại điểm bất động x0 D Tx: 0 x0, ở đó x0 x x10, 20,... . Từ Tx0 x0 kéo theo xi0 1, i 1 (trái với x0 C0).
Vậy T không có điểm bất động trong .D
Câu hỏi đặt ra là: Cần đặt điều kiện gì trong không gian Banach X để mọi tập lồi, đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn ? Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên được Browder và Gohde độc lập đưa ra năm 1965.
Định lí 2.3.1.(Định lí Browder - Gohde)
Cho X là không gian Banach lồi đều, M là tập con lồi, đóng, bị chặn trong X và T M: M là ánh xạ không giãn. Khi đó tập các điểm bất động của T, ký hiệu Fix T( ) lồi, đóng và khác rỗng.
Ví dụ sau đây chứng tỏ định lí Browder-Gohde không còn đúng cho ánh xạ Lipschitz với k 1.
Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong l2, (0,1) với x x x1, 2,... l2
Ta đặt Tx 1 x , ,x x1 2,... . Khi đó x B:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
Tx x x x x x x
kéo theo T B( ) B hay T B: B.
Bây giờ ta sẽ chứng minh T là ánh xạ Lipschitz. Thật vậy, xét: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) . Tx Ty x y x y x y x y x y Tx Ty x y
Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B. Thật vậy, giả sử trái lại, tồn tại x x x1, 2,... B sao cho Tx x. Khi đó ta có:
1, 2,...,... 1 , ,1 2,... ,
nếu x 1 thì xi 0, i 1 (vô lý), nếu x 1 thì x l (vô lý). 2
Như vậy, dù trong không gian Hilbert 2
l và hệ số Lipschitz bằng 1 (với 0 nhỏ tùy ý) hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất động đối với loại ánh xạ này.
Mặt khác, nếu :T K K (K là tập con của không gian Banach X ) là ánh xạ không giãn thì ta luôn có
1 1
... , , .
n n n n
T x T y T x T y x y x y K
Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện
, , , 1, 1
n n
T x T y k x y x y K n k .
Ánh xạ loại này được gọi là ánh xạ Lipschitz đều.
Định nghĩa 2.3.2.
Ánh xạ T K: K (K X - không gian metric) được gọi là ánh xạ Lipschitz đều nếu tồn tại k 0 sao cho
, ( , ), , , 1.
n n
d T x T y kd x y x y K n
Rõ ràng lớp ánh xạ Lipschitz đều với k 1 là lớp trung gian giữa ánh xạ Lipschitz và ánh xạ không giãn.
Ta biết rằng, nếu X có tính chất tốt nào đó (chẳng hạn lồi đều) và K
là một tập lồi, đóng, bị chặn trong X thì K có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn. Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể
không có tính chất điểm bất động, như ví dụ trên đã chỉ ra.
Câu hỏi đặt ra: đối với ánh xạ Lipschitz đều với k 1, k đủ gần 1 thì các tập lồi, đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động hay không ?
Trong không gian X lồi đều, K là tập con lồi, đóng, bị chặn của X,
mọi ánh xạ Lipschitz đều T K: K với hệ số k (ở đó là nghiệm của phương trình 1 X 1 1 đều có điểm bất động.
Áp dụng vào không gian Hilbert: 5
2 .
Năm 1975 Lifschitz đã cho một đánh giá khác với cận trên K X0( ) tốt hơn (định nghĩa K X0( ) mục 3.1). Trong không gian Hilbert K H0( ) 2.
Năm 1979, Baillon đã tìm được phản ví dụ trong 2
l cho ánh xạ 2 - Lipschitz đều mà không có điểm bất động. Cho đến nay người ta chưa biết điều gì xảy ra với k 2, / 2 .
Năm 1985 Casini-Maluta đã đưa ra một cận trên mới N Xµ( ) 1/2 đối với lớp không gian rộng hơn có cấu trúc chuẩn đều.
Sự ra đời của các định lí Goebel-Kirk, Lifschitz, Casini-Maluta là một bước đột phá lớn trong lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ Lipschitz đều mà ta sẽ tìm hiểu tiếp ở chương sau.
Chương 3
MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ GOEBEL-KIRK VÀ ĐỊNH LÍ LIPSCHITZ RA NỬA NHÓM