Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng
3.2Các định lý chính
Định lý 3.2.1. Cho S là nửa nhóm rời rạc khả nghịch trái, C là một tập con lồi, L-nhúng, khác rỗng của không gian Banach E, S = {Ts : s ∈ S}
là nửa nhóm các ánh xạ không giãn Ts : C → C thỏa mãn tính chất: Ts
là liên tục yếu trên mọi tập con lồi, compact yếu, Ts bất biến của C. Khi đó nếu C chứa tập con bị chặn, khác rỗng B sao cho Ts(B) = B, với mọi
s ∈ S thì họ ánh xạ {Ts : s ∈ S} có điểm bất động chung trong C.
Chứng minh. Theo bổ đề 3.1.7, tâm Chebyshev A(C, B) là tập con lồi, compact yếu, khác rỗng, Ts bất biến của C. Theo giả thiết, Ts liên tục yếu trên A(C, B).
Trước hết ta xét trường hợp đặc biệt S là tập đếm được. Giả sử K là tập con lồi, compact yếu, khác rỗng, Ts bất biến nhỏ nhất của A(C, B)
và F là tập con compact yếu, khác rỗng, Ts bất biến nhỏ nhất của K. Sự tồn tại của K và F bởi bổ đề Zorn. Theo hệ quả 3.1.12, F thỏa mãn
Ts(F) =F, với mọi s∈ S.
Theo kết quả đã dược chứng minh trong [6], F là tập compact theo chuẩn và do đó có cấu trúc chuẩn tắc.
Giả sử F chứa nhiều hơn một điểm. Khi đó tồn tại x0 ∈ coF ⊂ K sao cho:
r0 = sup{∥x0 −y∥: y ∈ F} < sup{∥x−y∥ : x, y ∈ F}.
Đặt M = {x ∈ K : ∥x−y∥ ≤ r0,∀y ∈ F}. Rõ ràng M là tập con khác rỗng, lồi, đóng theo chuẩn (do đó cũng đóng yếu) của K.
Bởi tính không giãn của Ts và Ts(F) =F với mọi s ∈ S nên M là Ts bất biến. Mặt khác F ̸⊂ M. Vì vậy M ⊂ K, M ̸= K (mâu thuẫn với tính
nhỏ nhất của K).
Vậy F chỉ gồm một điểm, điểm này là điểm bất động chung đối với Ts. Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát S là nửa nhóm rời rạc, khả nghịch trái. Ta sẽ chỉ ra với mỗi tập con hữu hạn α ⊂ S, tồn tại nửa nhóm con khả nghịch trái đếm được Sα của S sao cho α ⊂ Sα.
Thật vậy, đặt α = {s1, s2, ..., sn}. và α1 = α. Vì S khả nghịch trái nên tồn tại t1, t2, ..., tn ∈ S sao cho s1t1 = s2t2 = ... = sntn.
Đặt V1 = {s1, s2, ..., sn, t1, t2, ..., tn} và α2 = V1 ∪ V12, ở đây với tập bất kỳ V ⊂ S, ta kí hiệu V2 = {st : s, t ∈ V}.
Rõ ràng α2 vẫn là tập con hữu hạn của S.
Tương tự như vậy ta xác định được dãyαk(k ≥ 1)bởi:αk =
{
s(1k), s(2k), ..., s(mkk)
}
sao cho tồn tại t(1k), t(2k), ..., tm(kk) ∈ S để s(1k)t1(k) = s(2k)t(2k) = ... = s(mkk)t(mkk). Đặt Vk =
{
si(k), ti(k) : i = 1,2, ..., mk
}
và αk+1 = Vk∪Vk2.
Bởi cách xây dựng trên, dãy αk các tập con hữu hạn của S có tính chất: (1) αk ⊂ αk+1, k = 1,2, ...
(2) αmk ⊂ αk+m(k, m ∈ N)
(3) ∀r1, r2 ∈ αk,∃τ1, τ2 ∈ αk+1 sao cho r1τ1 = r2τ2. Đặt Sα = ∞∪
k=1αk. Khi đó, Sα là nửa nhóm con của S. Nếu s1, s2 ∈ Sα thì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
s1, s2 ∈ αk với k đủ lớn. Vì vậy s1, s2 ∈ αk+1 ⊂ Sα, bởi định nghĩa của
αk+1.
Rõ ràng Sα đếm được, khả nghịch trái và α ⊂ Sα.
Từ kết quả chứng minh đối với trường hợp đếm được ở trên, ta có
A(C, B) có điểm bất động chung đối vớiSα, nghĩa là tồn tại x ∈ A(C, B)
sao cho Ttx = x, với mọi t∈ Sα.
A(C, B) .
Đặt Γ là tập tất cả các tập con hữu hạn của S. Khi đó, {F (α)}α∈Γ là họ các tập con compact yếu của A(C, B) có tính chất giao hữu hạn. Do đó, ∩
α∈ΓF (α) ̸= ∅. Điều này chứng tỏ A(C, B) có điểm bất động chung đối với Ts. Định lý được chứng minh.
Trong [6], các tác giả đã chứng minh nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, mêtric hóa luôn là nửa nhóm tôpô khả nghịch mạnh. Sử dụng kết quả trên và lập luận tương tự như trong chứng minh của định lý 3.2.1, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.2.2. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, mêtric hóa, C là một tập con lồi, L-nhúng, khác rỗng của không gian Banach E,
S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ không giãn Ts : C → C. Nếu với mọi tập con lồi, Ts bất biến, compact yếu M của C, ánh xạ
(s, x) 7→ Ts(x) là đồng liên tục từ S ×M vào M (với M được trang bị tôpô yếu của E). Giả sử tồn tại tập con bị chặn, khác rỗng B của C sao cho TsB = B, với mọi s ∈ S. Khi đó họ ánh xạ {Ts : s ∈ S} có điểm bất động chung trong C.
Sử dụng kết quả [8] và lập luận tương tự như phần đầu trong chứng minh của định lý 3.2.1, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.2.3. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là một tập con lồi, L-nhúng, khác rỗng của không gian Banach E, S = {Ts : s ∈ S}
là nửa nhóm các ánh xạ không giãn, liên tục và tách Ts : C →C. Giả sử C có cấu trúc chuẩn tắc và chứa tập con bị chặn B sao cho Ts(B) =B, mọi s∈ S. Khi đó họ ánh xạ {Ts : s ∈ S} có điểm bất động chung trong
C.
Đối với nửa nhóm rời rạc tác động trên tập con của không gian đối ngẫu của không gian Banach M-nhúng, ta có định lý sau:
Định lý 3.2.4. Cho S là nửa nhóm rời rạc khả nghịch trái, C là tập con lồi, compact * yếu, khác rỗng của không gian đối ngẫu E∗ của không gian Banach M-nhúng E, S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ không giãn, liên tục yếu Ts : C → C. Khi đó họ ánh xạ {Ts :s ∈ S} có điểm bất động chung trong C.
Chứng minh. Theo bổ đề 3.1.6, C là L-nhúng. Từ hệ quả 3.1.13, tồn tại tập con compact * yếu, khác rỗng (và do đó bị chặn) B trong C sao cho
Ts(B) =B với mọi s ∈ S. Ta chỉ ra mỗi Ts là liên tục yếu trên mỗi tập con K của C Ts bất biến, compact yếu.
Thật vậy, lấy{xα} ⊂ K sao choxα→wkx0 ∈ K. Khi đó,Ts(xα)w→k∗Ts(x0) ⊂ K vì Ts là liên tục * yếu. Vì K là tập compact yếu nên không mất tính tổng quát, ta giả sử Ts(xα)→wky0 ∈ K. Rõ ràng Ts(xα)w→k∗y0.
Vì vậy Ts(x0) =y0 hoặc Ts(xα)→wkTs(x0) khi xα→wkx0 ∈ K. Do đó Ts là liên tục yếu khi hạn chế trên K.
Theo định lý 3.2.1, họ ánh xạ {Ts : s ∈ S} có điểm bất động chung trong
C.
Định lý 3.2.5. Cho S là nửa nhóm tôpô, C là tập con lồi, compact yếu, khác rỗng của không gian lồi địa phương tách (E,Q). Giả sử W AP(S)
có LIM µ và S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ affin, đồng liên tục và tách Ts : C → C. Khi đó họ ánh xạ {Ts : s ∈ S} có điểm bất động chung trong C.
Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ rằng nếu C là tập con lồi, compact yếu trong (E, Q), T : C → C là Q - liên tục và affin thì T liên tục yếu, nghĩa là, với mọi {xα} ⊂ C và xα→wkx thì T (xα)→wkT (x). Thật vậy, với bất kỳ ε > 0 và ϕ ∈ E∗, tồn tại α0 sao cho:
|⟨T (xα)−T (x), ϕ⟩| < ε,
với α ≥ α0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử T (xα)→wky ∈ C. Chọn α0 sao cho
|⟨T (xα)−y, ϕ⟩| < ε
4,
với α ≥ α0. Rõ ràng x∈ coQ(xα :α ≥ α0).
Vì T là Q - liên tục nên tồn tại xε ∈ co(xα : α ≥ α0) sao cho
|⟨T (x)−T (xε), ϕ⟩| < ε 4. Vì T là ánh xạ affin nên |⟨T (xε)−y, ϕ⟩| < ε 4. Do đó |⟨T (x)−y, ϕ⟩| < ε2 và |⟨T (xα)−T (x), ϕ⟩| < ε với α ≥ α0. Bởi phép biểu diễn S trên C là affin, đồng liên tục và tách nên phép biểu diễn S là liên tục yếu, tách.
Hơn nữa, phép biểu diễn là Q- đồng liên tục, ta cần chỉ ra nó tựa - đồng liên tục. Nói cách khác, nếu T ∈ Swk, bao đóng của S trong không gian tích (C,wk)C thì T : (C,wk) →(C,wk) là liên tục.
Xét không gian vectơ tôpô F = (C, Q)C với tôpô tích τ. Khi đó, tôpô yếu củaF là tôpô tích của (E,wk)C. Vì vậy Swk là bao đóng của S trong
(F, wk).
Đặt ϕ = co(S). Rõ ràng ϕwk, bao đóng của ϕ trong (F, wk), cũng như
ϕτ, bao đóng của ϕ trong tôpô τ của F.
Theo giả thiết, các ánh xạ trong ϕ là affin và Q - đồng liên tục. Điều này suy ra ϕτ bao gồm các ánh xạ affin, Q - liên tục mà đã được chỉ ra liên tục yếu từ phần đầu của chứng minh.
Do đó, Swk ⊂ ϕwk = ϕτ bao gồm toàn bộ các ánh xạ liên tục yếu hoặc
S là tựa - đồng liên tục yếu.
Theo kết quả đã được chứng minh trong [6], ϕx ∈ W AP(S) với mỗi
ϕ ∈ E∗ và mỗi x ∈ C. Vì vậy Tµ được xác định và Tµ ∈ ϕwk.
Giả sử r = µ là phần tử nhân phải của S dưới tích sµ = ℓ∗s(µ) vì µ
là LIM trên W AP(S), trong đó ℓs : W AP(S) → W AP(S) là sự dịch chuyển trái bởi s.
Hơn nữa, Ts ◦Tµ = Tsµ = Tµ vì phép biểu diễn là affin. Suy ra F(S) = F(µ) = Tµ(C) ̸= ∅.
Kết luận
Dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Anh Dũng, khóa luận đã được hoàn thành với nội dung chia làm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0).
Chương 3: Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng.
Thông qua việc tham khảo sách báo và sự hiểu biết của bản thân, nội dung khóa luận dựa trên 2 bài báo [7,12], có thể tóm tắt như sau: 1. Đưa ra một số định nghĩa, chứng minh một số mệnh đề, bổ đề, ví dụ và nhận xét trong chương 1 cần thiết cho chương 2 và chương 3.
2. Chứng minh các định lý tồn tại điểm bất động chung đối với nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ. 3. Chứng minh các định lý ∆ - hội tụ đến điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0).
4. Chứng minh các định lý về tính chất điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ trên tập L-nhúng.
Do điều kiện về thời gian, khả năng của bản thân, khóa luận còn nhiều hạn chế thiếu sót. Kính mong sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô cùng các bạn.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});