Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng
3.1 Tập L-nhúng và tính chất
Không gian Banach E là L-nhúng nếu ảnh của E dưới phép nhúng chính tắc vào E∗∗ là ℓ1-số hạng trong E∗∗, nghĩa là tồn tại không gian con Es của E∗∗ sao cho E∗∗ = E⊕1Es, trong đó E∗∗ là không gian đối ngẫu thứ hai của E.
Không gian BanachX là M-nhúng nếuX là M-ideal trong không gian đối ngẫu thứ haiX∗∗củaX nghĩa là X⊥ = {ϕ ∈ X∗∗ : ϕ(x) = 0,∀x ∈ X}
là ℓ1-số hạng trong X∗∗∗.
Trong bài báo [7], các tác giả đã chứng minh rằng X là M-nhúng khi và chỉ khi X∗∗∗ = X∗⊕1X⊥. Không gian đối ngẫu của không gian Banach M-nhúng là L-nhúng.
Ngoài ra, trong [7] đã chỉ ra không gian Banach c0 các dãy hội tụ về 0 là M-nhúng, do đó không gian ℓ1 là L-nhúng.
E. Kí hiệu Cwk∗ là bao đóng của C trong E∗∗ với tôpô * yếu của E∗∗. Ta gọi C là L-nhúng nếu tồn tại không gian con Es của E∗∗ sao cho
E+Es = E⊕1Es trong E∗∗ và Cwk∗ ⊂ C⊕1Es, nghĩa là với mỗi u ∈ Cwk∗, tồn tại c ∈ C và ξ ∈ Es sao cho u = c+ξ và ∥u∥ = ∥c∥+∥ξ∥.
Rõ ràng, mọi không gian Banach L-nhúng là tập L-nhúng khi xem xét nó là tập con của chính nó.
Nhận xét 3.1.2. Mọi tập L-nhúng trong không gian Banach E là đóng theo chuẩn (thậm chí là đóng yếu).
Chứng minh. Ta có
Cwk ⊂ Cwk∗ ⊂ C⊕1Es,
ở đây Cwk biểu thị bao đóng của C trong tô pô yếu của E. Nếu w ∈ Cwk
và w = y +ws với y ∈ C và ws ∈ Es thì ws ∈ E ∩Es.
Do đó ws = 0 và w = y ∈ C. Điều này chỉ ra Cwk = C. Vậy C là đóng yếu.
Nhận xét 3.1.3. Mọi tập con compact yếu C của không gian Banach bất kỳ E là L-nhúng (ta chỉ cần chọn Es = {0} và chú ý rằng Cwk∗ = C).
Nhận xét 3.1.4. Nếu E là không gian Banach L-nhúng thì hình cầu đơn vị của nó là L-nhúng.
Chứng minh. Thật vậy, ta kí hiệu BE là hình cầu đơn vị của E và P:
E∗∗ → E là ℓ1- phép chiếu, ta có BEwk∗ là hình cầu đơn vị của E∗∗ và
P(BEwk∗) = BE.
Nhận xét 3.1.5. Điều ngược lại của nhận xét 3.1.4 cũng đúng, nghĩa là nếu hình cầu đơn vị của không gian Banach E là L-nhúng thì E là L-nhúng.
Chứng minh. Thật vậy, nếu BE là L-nhúng thì
BEwk∗ ⊂ BE⊕1Es ⊂ E⊕1Es,
với mỗi không gian con Es của E∗∗.
Suy ra E∗∗ ⊆E⊕1Es. Do đó E∗∗ = E⊕1Es.
Vậy không gian Banach là L-nhúng nếu và chỉ nếu hình cầu đơn vị của nó là L-nhúng.
Bổ đề 3.1.6. Giả sử C là tập con đóng * yếu của không gian đối ngẫu
X∗ của không gian Banach M-nhúng X. Khi đó C là L-nhúng.
Chứng minh. VìX là không gian Banach M-nhúng nênX∗∗∗ = X∗⊕1X⊥. Do đó, với bất kỳ u ∈ Cwk∗, tồn tại x∗ ∈ X∗ và ϕ ∈ X⊥ sao cho
u = x∗⊕1ϕ.
Lấy {uα} ⊂ C là một dãy hội tụ * yếu trong X∗∗∗ tới u. Khi đó, với bất kỳ x∈ X,ta có:
lim
α uα(x) = u(x) = x∗(x) +ϕ(x) = x∗(x). Vì vậy, {uα} hội tụ * yếu tới x∗ trong X∗.
Vì C đóng * yếu trong X∗ nên x∗ ∈ C. Vậy C là L-nhúng.
Bổ đề 3.1.7. Cho C là tập con khác rỗng, L-nhúng của không gian Banach E và B là tập con bị chặn, khác rỗng của E. Khi đó
i) Tâm Chebyshev A(C, B) của B trong C là khác rỗng và compact yếu. Nếu C là lồi thì A(C, B) cũng lồi.
ii) Nếu S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ không giãn Ts :
C → C và B ⊂C sao cho B ⊂ Ts(B), mọi s ∈ S thì A(C, B) là Ts bất biến.
Chứng minh. i) Trước hết ta chứng tỏ A(C, B) ̸= ∅. Từ định nghĩa bán kính Chebyshev r(C, B), với mỗi n > 0, tồn tại xn ∈ C sao cho
sup
b∈B ∥xn −b∥ ≤ r(C, B) + 1
n.
Lấy x∗∗ là điểm giới hạn * yếu của {xn} trong E∗∗. Bởi tính L-nhúng của C, tồn tại c ∈ C và ξ ∈ Es sao chox∗∗ = c+ξ, trong đó Es là không gian con của E∗∗ sao cho E+ Es = E⊕1Es.
Ta có: ∥c−b∥ ≤ ∥c−b∥+ ξ = ∥x∗∗−b∥ ≤ lim n→∞ ( r(C, B) + 1 n ) = r(C, B),
với mọi b ∈ B. Suy ra c ∈ A(C, B). Vậy A(C, B) ̸= ∅. Bây giờ ta chỉ ra A(C, B) compact yếu. Đặt Ce = Cwk∗
là bao đóng * yếu của C trong E∗∗. Do đó Ce là tập con khác rỗng, đóng * yếu và
e
C ⊂ C ⊕Es.
Coi B như tập con của E∗∗ (với phép nhúng chính tắc từ E vào E∗∗). Với chứng minh trên ta có, tâm Chebyshev A(C, Be
) của B trong Ce là khác rỗng. Ta chỉ ra A(C, Be ) = A(C, B). Thật vậy, lấy x∈ A(C, Be )
, tồn tại c ∈ C và ξ ∈ Es sao cho x = c+ ξ. Khi đó với mỗi b ∈ B, ta có ∥x−b∥ = ∥c−b∥+∥ξ∥.
Vì vậy r ( e C, B ) ≥sup b∈B ∥x−b∥= sup b∈B ∥c−b∥+∥ξ∥ ≥ r(C, B) +∥ξ∥.
Mặt khác, từ định nghĩa của bán kính Chebyshev suy ra
r ( e C, B ) ≤r(C, B). Do đó, ξ = 0 và r ( e C, B ) = r(C, B). Vì vậy A(C, Be ) = A(C, B). Rõ ràng A(C, B) đóng * yếu và bị chặn nên A(C, Be ) compact * yếu.
Vì trong A(C, B), tôpô * yếu của E∗∗ trùng với tôpô yếu của E nên
A(C, B) compact yếu.
Rõ ràng, nếu C lồi thì A(C, B) lồi.
ii) Giả sử S = {Ts :s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ không giãn
Ts : C → C và B ⊂ C sao cho B ⊂ Ts(B), với mọi s∈ S.
Khi đó, với mỗi s ∈ S và mỗi b ∈ B, tồn tại bs ∈ B sao cho b= Ts(bs). Vì vậy, với x ∈ A(C, B) ta có
∥Ts(x)−b∥ = ∥Ts(x)−Ts(bs)∥ ≤ ∥x−bs∥ ≤ r(C, B).
Suy ra Ts(x) ∈ A(C, B) với mọi x∈ A(C, B). Vậy A(C, B) là Ts bất biến.
Bổ đề 3.1.8. Cho không gian Hausdorff compact (K, τ), S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái và S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ Ts :
K → K liên tục và tách trên K. Khi đó, tồn tại tập con khác rỗng, τ- compact B của K sao cho B ⊂ Ts(B), với mọi s∈ S. Hơn nữa, nếu nửa nhóm ánh xạ S là đồng liên tục thì tập B thỏa mãn Ts(B) =B với mọi
s ∈ S.
Chứng minh. Cố định a ∈ K. Ta kí hiệu W = Saτ = τ -cl{Ts(a) : s ∈ S}. Khi đó W là τ-compact.
Với mỗi s ∈ S, đặt Ws = Ts(W). Do Ts liên tục nên Ws cũng là τ- compact. Do đó Ws = τ - cl(Ts(Sa)).
Ta kí hiệu bao đóng ideal phải sS của S bởi bs. Vì S khả nghịch trái nên ∑
= {bs : s ∈ S} được trang bị quan hệ thứ tự bộ phận: bs ≥bt nếu sS ⊆ tS.
Rõ ràng Ws = bsaτ. Do đó {Ws :s ∈ S} =
{ b
các tập con đóng của K, nghĩa là: Ws ⊆Wt nếu bs≥ bt . Điều này suy ra
B = ∩
s∈SWs ̸= ∅ và B là τ-compact (bởi tính chất giao hữu hạn).
Để chứng tỏ B ⊂ Tt(B) với mỗi t ∈ S, trước tiên ta chỉ ra với mỗi tập con hữu hạn α của S thì B ⊂Tt
(
∩
s∈αWs
)
.
Thật vậy, từ tính khả nghịch trái của S, tồn tại s0 ∈ ∩
s∈αsS. Với s0 này, ta có Ws0 ∈ ∩ s∈αWs. Do đó Wts0 = Tt(Ws0) ⊂ Tt ( ∩ s∈αWs ) . Mặt khác, B ⊂Wts0. Suy ra B ⊂ Tt ( ∩ s∈αWs ) . Vì vậy Tt−1(y)∩ ( ∩ s∈αWs ) ̸ = ∅,
với mỗi y ∈ B và tập hữu hạn không tầm thường α ⊂ S. Bởi tính compact, ta có Tt−1(y)∩B = Tt−1(y)∩ ( ∩ s∈SWs ) ̸ = ∅.
Vì vậy, tồn tại z ∈ B sao cho Tt(z) =y.
Điều này chứng tỏ B ⊂ Tt(B),t ∈ S. Vậy khẳng định đầu của bổ đề là đúng.
Bây giờ ta chỉ ra khẳng định thứ 2. Giả sử nửa nhóm ánh xạ S là đồng liên tục.
Rõ ràng, với t∈ S ta có
Tt(B) ⊂ ∩
s∈STt(Ws) = ∩
s∈SWts.
Với mỗi ξ ∈ S, từ tính khả nghịch trái, ta có thể lấy η ∈ ξb∩bt. Do đó
b
η ⊂ ξb∩bt. Lấy dãy {tα} ⊂ S sao cho η = lim
α ttα. Ta chỉ ra ∩
Thật vậy, lấy x ∈ ∩
αWttα. Khi đó, với mỗi α, tồn tại bα ∈ W sao cho
x = Tttαbα. Giả sử τ - lim
α bα = b ∈ W. Bởi tính đồng liên tục
x = Tttαbα→τ Tηb ∈ Wη.
Điều này suy ra ∩
αWttα ⊂ Wη. Vì ∩ s∈SWts ⊂ ∩α Wttα và Wη ⊂Wξ nên ∩ s∈SWts ⊂Wξ với mọi ξ ∈ S. Do đó Tt(B) ⊂ ∩ s∈SWs = B,
với mỗi t ∈ S. Kết hợp với khẳng định đầu, ta có Tt(B) = B với mọi
t∈ S.
Nhận xét 3.1.9. Với giả thiết của bổ đề 3.1.8, nửa nhóm ánh xạ là đồng liên tục, tập hợp:
B = {B ⊂ K : B ̸= ∅, B : τ −compact, Ts(B) =B,∀s ∈ S} ̸= ∅.
Trong B ta xét quan hệ thứ tự bao hàm từng phần. Nếu {Bα} là dãy giảm các tập con của B thì H = ∩Bα là tập con khác rỗng, τ-compact của K (bởi tính chất giao hữu hạn). Rõ ràng Ts(H) ⊂H với mọi s ∈ S. Áp dụng bổ đề 3.1.8, thay K bởi H, ta được B ∈ B sao cho B ⊆ H ⊆ Bα
với mọi α. Sử dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử cực tiểu Bmin của B là tập con khác rỗng, τ-compact của K sao cho Ts(Bmin) = Bmin với mọi
s ∈ S. Với mỗi b ∈ Bmin, áp dụng bổ đề 3.1.8 cho Sbτ, tồn tại B ∈ B
sao cho B ⊂ Sbτ. Bởi tính cực tiểu của Bmin, ta có Bmin = Sbτ với mỗi
b ∈ B. Ta sẽ sử dụng điều này để có được tính chất điểm bất động đối với nửa nhóm khả nghịch trái.
gian Banach đối ngẫu thì từ bổ đề trên, tồn tại tập bị chặn B sao cho
Ts(B) = B với mọi s ∈ S. Sau đây là một số hệ quả.
Hệ quả 3.1.10. Giả sử K là tập con khác rỗng, compact yếu của không gian Banach, S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái và {Ts : s∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ Ts : K → K liên tục yếu. Khi đó tồn tại tập con compact yếu khác rỗng B của K sao cho Ts(B) =B với mọi s ∈ S.
Hệ quả 3.1.11. Giả sử C là tập con khác rỗng, compact * yếu của không gian đối ngẫu E∗ của không gian Banach E, S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái. Giả sử S = {Ts : s ∈ S}là nửa nhóm ánh xạ Ts : C →C
sao cho ánh xạ (s, x) 7→ Ts(x) : S ×C → C là đồng liên tục với tập C được trang bị tôpô * yếu của E∗. Khi đó tồn tại tập con compact * yếu B trong C sao cho Ts(B) = B với mọi s ∈ S.
Khi xem xét S là nửa nhóm rời rạc (không có cấu trúc tôpô trên S), ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 3.1.12. Giả sử K là tập con khác rỗng, compact yếu của không gian Banach E, S là nửa nhóm rời rạc khả nghịch trái vàS = {Ts : s ∈ S}
là nửa nhóm các ánh xạ liên tục yếu Ts : C → C. Khi đó tồn tại tập con compact yếu B trong K sao cho Ts(B) = B với mọi s ∈ S.
Hệ quả 3.1.13. Giả sử C là tập con khác rỗng, compact * yếu của không gian đối ngẫu E∗ của không gian Banach E, S là nửa nhóm rời rạc khả nghịch trái và S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ liên tục * yếu
Ts : C → C. Khi đó tồn tại tập con compact * yếu B trong C sao cho