Các hàm số học và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN TRUNG CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN TRUNG CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Lời mở đầu 2 Lời cảm ơn 3 1 Lý thuyết chia hết trong vành Z 5 1.1 Quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . 13 1.6 Biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số . . . . . . . . . . . . . 16 2 Các hàm số học và ứng dụng 21 2.1 Hàm phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Hàm nhân, Công thức tổng trải . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Hàm τ(n), σ(n) và số hoàn thiện . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Hàm số π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Hàm Euler ϕ(n) và công thức tính . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Hàm Mobius, Công thức đảo ngược Dedekind-Liouville . . . 33 2.7 Hàm tổng các chữ số của số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . 36 2.8 Số đơn nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.9 Công thức đảo ngược về tổng, tích Dirichlet . . . . . . . . . 41 2.10 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 2 Lời mở đầu Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn của toán học đã nảy sinh. Hơn nữa trong những năm gần đây, Số học không chỉ là một lĩnh vực của toán học lí thuyết, mà còn là lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống như kinh tế, xã hội, kỹ thuật máy tính, đặc biệt trong lĩnh vực bảo mật thông tin. Chính vì thế, số học-một khoa học "ai cũng biết và nên biết chút ít". Mục đích của luận văn giới thiệu Các hàm số học và ứng dụng. Những ứng dụng của các hàm số học là rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản. Bản luận văn gồm 2 chương: Chương I: Lý thuyết chia hết trong vành Z. Nội dung của chương I trình bày về: Quan hệ chia hết, Phép chia với dư, Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất, Số nguyên tố và định lý cơ bản của số học, Biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số. Chương II: Các hàm số học và ứng dụng. Phần đầu chương này trình bày về các hàm số học cơ bản. Phần cuối chương là vận dụng lý thuyết về các hàm số học vào giải một số bài toán. 3 Lời cảm ơn Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ của các thầy cô, gia đình và bạn bè. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới người thầy kính mến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2012-2014, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Số học là một lĩnh vực rộng lớn, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng 04 năm 2014 Học viên Tạ Văn Trung 4 Về ký hiệu: N được ký hiệu cho tập các số tự nhiên. N ∗ được ký hiệu cho tập các số tự nhiên dương. Z được ký hiệu cho vành các số nguyên. Q được ký hiệu cho trường các số hữu tỷ. Q ∗ được ký hiệu cho tập các số hữu tỷ dương. R được ký hiệu cho trường các số thực. C được ký hiệu cho trường các số phức. K được ký hiệu cho một trong ba trường Q, R hoặc C. 5 Chương 1 Lý thuyết chia hết trong vành Z Khái niệm nhóm, vành và trường không nhắc lại trong chuyên đề này. Tập Z là một miền nguyên, Q là một trường đặc số 0. 1.1 Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1.1. Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b = 0. Số a được gọi là chia hết cho số b hay b chia hết a nếu có c ∈ Z thỏa mãn a = bc. Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a . . . b hoặc nói b chia hết a và viết b|a. Khi a = bc thì b được gọi là một ước của a. Các tính chất cơ bản sau đây về quan hệ chia hết là hiển nhiên. (i) 1 | a với mọi a ∈ Z. (ii) a | a với mọi a ∈ Z, a = 0. (iii) Nếu a | b và b | c thì a | c với mọi a, b, c ∈ Z, a, b = 0. (iv) Nếu a | b thì |a|  |b| với mọi a, b ∈ Z, a, b = 0. (v) Nếu a | b i với a, b i ∈ Z, i = 1, . . . , n, thì a | n  i=1 b i x i với x i ∈ Z. (vi) Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b với a, b ∈ Z, a, b = 0. Hiển nhiên, quan hệ chia hết trong Z có tính phản xạ, nhưng không có tính bắc cầu, chẳng hạn 0 . . . 5, nhưng 5  . . . 0 và không có tính phản đối 6 xứng, chẳng hạn 5 | −5, −5 | 5, nhưng 5 = −5. Do đó quan hệ chia hết không là quan hệ tương đương, cũng không là quan hệ thứ tự trong Z. 1.2 Phép chia với dư Định lý 1.2.1. Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b = 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = qb + r, với 0  r < |b|. Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| sao cho n|b|  a, n ∈ Z}. Vì |b|  1 nên −|a||b|  −|a|  a. Do đó −|a||b| ∈ T. Vậy T = ∅. Vì T là tập bị chặn trên nên T có một số lớn nhất m|b|. Từ m|b|  a ta suy ra r = a−m|b|  0 và r ∈ Z. Ta lại có (m+1)|b| = m|b|+|b| > m|b|. Do tính lớn nhất của m|b| trong T nên (m + 1)|b| > a. Như vậy |b| > a −m|b| = r và ta có a = qb + r với 0  r < |b|. Tính duy nhất: Giả sử có hai sự biểu diễn a = qb + r với 0  r < |b| và a = q 1 b + r 1 với 0  r 1 < |b|. Trừ vế cho vế, ta có r −r 1 = b(q 1 − q). Từ |r − r 1 | < |b| ⇒ |q 1 − q||b| < |b|. Vậy q = q 1 và hiển nhiên r = r 1 . Biểu diễn a = qb + r, 0  r < |b|. Nếu r = 0 thì q được gọi là thương của a chia cho b. Nếu r = 0 thì q gọi là thương hụt, còn r là số dư trong phép chia a cho b. Ví dụ 1.2.2. Đặt a n = 1 2011 + 2 2011 + ···+ n 2011 với n ∈ N ∗ . Chứng minh rằng a n không chia hết cho n + 2. Bài giải: Ta có 2a n = [n 2005 + 2 2005 ] + [(n −1) 2005 + 3 2005 ] + ··· + [2 2005 + n 2005 ] + 2. Vậy 2a n = (n + 2)d + 2, d ∈ N ∗ ⇒ a n không chia hết cho n + 2. Ví dụ 1.2.3. Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 −38x+1 = 0. Đặt a n = x n 1 + x n 2 với n = 0, 1, 2, . . . . Chứng minh rằng a n là số nguyên và tìm dư của phép chia a 1000 cho 19. 7 Bài giải: Có a 0 = 1 + 1 = 2, a 1 = x 1 + x 2 = 38. Vì x 2 1 − 38x 1 + 1 = 0, x 2 2 −38x 2 + 1 = 0 nên x n+2 1 −38x n+1 1 + x n 1 = 0, x n+2 2 −38x n+1 2 + x n 2 = 0. Do đó a n+2 = 38a n+1 − a n với mọi n  0. Bằng phương pháp quy nạp theo n ta suy ra a n nguyên với mọi n  0. Ta có a n+2 + a n . . . 19 với mọi số nguyên n  0. Từ a n+2 + a n . . . 19 và a n+4 + a n+2 . . . 19 suy ra a n+4 −a n . . . 19 với mọi n  0 và nhận được bảng chia hết cho dưới đây: a 4 − a 0 . . . 19 a 8 − a 4 . . . 19 a 12 − a 8 . . . 19 . . . a 1000 − a 996 . . . 19. Như vậy a 1000 − a 0 . . . 19 hay a 1000 chia cho 19 dư 2. 1.3 Ước chung lớn nhất Định nghĩa 1.3.1. Cho các số nguyên a 1 , . . . , a n ∈ Z không đồng thời bằng 0. Số nguyên d được gọi là ước chung của các a i nếu d | a i với mọi i = 1, . . . , n. Hiển nhiên +1, −1 là ước chung của mọi tập hữu hạn các số nguyên. Ký hiệu tập tất cả các ước chung của a 1 , ··· , a n ∈ Z là C(a 1 , ··· , a n ) và thấy ngay tập này khác rỗng. Ví dụ C(18, −15, 21) = {1, −1, 3, −3}. Định nghĩa 1.3.2. Cho các số nguyên a 1 , . . . , a n ∈ Z không đồng thời bằng 0. Số nguyên d được gọi là ước chung lớn nhất của các a i nếu d là một ước chung của các a i và d chia hết cho mọi ước chung của chúng. Như vậy, số nguyên d là ước chung lớn nhất của a 1 , . . . , a n ∈ Z khi và chỉ khi d | a i , i = 1, . . . , n, và nếu c | a i , i = 1, . . . , n, thì c | d. Khi số nguyên d là ước chung lớn nhất của a 1 , . . . , a n thì −d cũng là ước chung lớn nhất của a 1 , . . . , a n . Người ta ký hiệu ước chung lớn nhất của a 1 , . . . , a n qua (a 1 , . . . , a n ) và chọn nó là |d|. Dễ thấy rằng, (a 1 , . . . , a n ) là số nguyên dương lớn nhất nằm trong tập C(a 1 , . . . , a n ). 8 Định lý 1.3.3. Cho các số nguyên a 1 , . . . , a n ∈ Z không đồng thời bằng 0. Khi đó luôn tồn tại ước chung lớn nhất (a 1 , . . . , a n ). Chứng minh: Đặt I = {y = n  j=1 a j x j | x j ∈ Z, j = 1, . . . , n}. Dễ dàng chỉ ra I là một iđêan của vành Z. Từ a i = 1.a i + n  i=j=1 0.a j ta suy ra các a i đều thuộc I. Vậy I = {0}. Nếu y ∈ I thì −y ∈ I. Vậy có số dương thuộc I. Gọi d là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc I. Ta chỉ ra d = (a 1 , . . . , a n ). Trước tiên ta chỉ ra d ∈ C(a 1 , . . . , a n ) : Giả sử a i = q i d + r i , 0  r i < d theo Định lý 1.2.1. Ta có biểu diễn d = n  j=1 a j x j , x j ∈ Z do d ∈ I và từ r i = a i −q i d = a 1 (−q i x 1 ) + ···+ a i (1 −q i x i ) + ···+ a n (−q i x n ) ∈ I suy ra r i ∈ I với mọi i = 1, . . . , n. Bởi vì d là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc I và các r i ∈ I, 0  r i < d, nên r 1 = ··· = r n = 0. Tiếp theo, nếu c ∈ C(a 1 , . . . , a n ) thì c|d. Thật vậy, nếu c ∈ C(a 1 , . . . , a n ) thì có b j ∈ Z để a j = b j c với j = 1, . . . , n. Do vậy d = n  j=1 a j x j = c( n  j=1 b j x j ) hay c|d. Tóm lại d = (a 1 , . . . , a n ). Thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng Định lý 1.2.1 để tìm ước chung lớn nhất của một số số nguyên không đồng thời bằng 0, nhưng thực ra chỉ cần cho hai số. Để tìm ước chung lớn nhất của a, b ∈ Z, b = 0, ta sẽ sử dụng Định lý 1.2.1 vào việc xây dựng lại Thuật toán Euclid như sau: Biểu diễn a = q 0 b+r với 0  r < |b|. Nếu r = 0 thì (a, b) = b. Nếu r = 0, ta biểu diễn b = q 1 r + r 1 với 0  r 1 < r. Nếu r 1 = 0 thì ta dừng lại và ta có r = (b, r) = (a, b) theo tính chất (vii). Nếu r 1 = 0, ta tiếp tục như trên. Đến bước thứ n ta có r n−3 = q n−1 r n−2 + r n−1 với 0  r n−1 < r n−2 , Sau mỗi bước ta có |b| > r > r 1 > ···  0 và các r i ∈ N. Như vậy quá trình trên không thể tiếp tục mãi được. Đến bước thứ m xác định nào đó quá trình trên phải [...]... một hàm nhân nếu có số n ∈ N để f (n) = 0 và nếu các số tự nhiên dương a, b ∈ N∗ với (a, b) = 1 thì f (ab) = f (a)f (b) Hàm số học k : N∗ → R được gọi là một hàm cộng nếu các số a, b ∈ N∗ với (a, b) = 1 thì k(ab) = k(a) + k(b) Ví dụ 2.2.3 Các hàm số học f, g : N∗ → Q, xác định như sau đều là 1 hàm nhân: f (a) = am với m ∈ N và g(a) = a 25 Mệnh đề 2.2.4 Cho các hàm số học f, g : N∗ → Q là những hàm. .. r2 − x2 Số điểm nguyên T ≤ 2 [r] + 1 + D= πr2 2 , x = a, x = b y = 0, y = kx + a (a, k > 0) Số điểm nguyên là T ≤ [b] + 1 + 2.2 còn trong miền phẳng: kb2 2 + ab Hàm nhân, Công thức tổng trải Hàm nhân Định nghĩa 2.2.1 Một hàm số f xác định trên tập hợp N∗ và nhận giá trị trong trường các số hữu tỉ Q được gọi là hàm số học Như vậy, mỗi hàm số học là một ánh xạ f : N∗ → Q Định nghĩa 2.2.2 Hàm số học f :... dan ] (iv) Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên tố sánh đôi bằng tích của các số nguyên tố đó 1.5 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học Định nghĩa 1.5.1 Số tự nhiên p > 1 không có một ước số dương nào khác 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác 1 và chính nó được gọi là hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 thì n được gọi là số chính phương Hiển nhiên ta có... có ϕ(m) số nguyên tố với m Do đó số các số nguyên tố với cả m và n là ϕ(m)ϕ(m) Mặt khác ta lại có ϕ(mn) là số các số tự nhiên k mà 1 = k = mn sao cho (k, mn) = 1 Nhưng (k, mn) = 1 nếu và 31 chỉ nếu (k, m) = (k, n) = 1 Do đó ϕ(mn) chính là số các số nguyên dương không vượt quá mn, nguyên tố đồng thời với m và n Như thế, ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) Chú ý 2.5.3 Có một cách chứng minh khác cho bổ đề trên dựa vào "Nguyên... 2 log 2 Chứng minh: Trước hết ta đi chứng minh mọi số tự nhiên n đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng k 2 l, với k, l là các số tự nhiên và l không có ước số chính phương Thật vậy, Với mọi số tự nhiên n, ký hiệu k là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn k 2 |n Ta có n = k 2 l với l là số tự nhiên Nếu l có ước số chính phương thì đặt l = r2 s với r, s là các số tự nhiên và r > 1 Vậy n = (kr)2 s và do đó... đó các bi nguyên với 0 bi i với mọi i 2! 3! (n + 1)! và bn = 0 Từ Định lý 1.6.5 và Định lý 1.6.6 ta suy ra ngay kết quả dưới đây: 20 Ví dụ 1.6.7 Mỗi số hữu tỷ dương a đều có thể biểu diễn thành tổng a = an n! + an−1 (n − 1)! + · · · + a2 2! + a1 1! + ở đó các ai nguyên với 0 ai b1 b2 bm + + ··· + , 2! 3! (m + 1)! i, an > 0 và các bi nguyên với 0 bi i 21 Chương 2 Các hàm số học và ứng dụng 2.1 Hàm. .. = f (d1 d2 ) d1 |m,d2 |n Vì f là hàm có tính chất nhân và d1 , d2 nguyên tố cùng nhau, cho nên F (mn) = f (d1 d2 ) = d1 |m,d2 |n f (d1 ) d1 |m f (d2 ) = F (m)F (n) d2 |n Ta có điều phải chứng minh Hàm τ (n), σ(n) và số hoàn thiện 2.3 Với mỗi số nguyên dương n ta ký hiệu τ (n) là số các ước của n và σ(n) là tổng các ước dương của n Khi đó dễ thấy τ, σ là những hàm số học Bổ đề 2.3.1 Nếu n có sự phân... là q và 1 Ta suy ra d = 1 và q = 2k+1 − 1 là số nguyên tố Tóm lại, tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng 2n−1 (2n − 1) với 2n − 1 là số nguyên tố 2.4 Hàm số π(x) Với mọi số thực x, ký hiệu π(x) là số các số nguyên tố không vượt quá x Ta có π(1) = 0, π(2) = 1, π(3) = π(4) = 2, π(5) = π(6) = 3, π(7) = π(8) = π(9) = π(10) = 4, và hiển nhiên ta có π(pn ) = n với n = 1, 2 Bổ đề 2.4.1 Với mọi số tự... hữu hạn các thừa số nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số Chứng minh: Xét tập F gồm tất cả các số nguyên dương không biểu diễn được thành tích một số hữu hạn các thừa số nguyên tố Ta chỉ cần chỉ ra F = ∅ Thật vậy, giả sử F = ∅ Ta thấy nếu m ∈ F thì m > 2, vì vậy F là tập bị chặn dưới Khi đó có số nguyên dương nhỏ nhất m thuộc F Vì m ∈ F nên m phải là hợp số Khi... một số nguyên tố nào 1.6 Biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số Ta đã biết cách biểu diễn một số tự nhiên theo cơ số 10 Định lý sau cho cách biểu diễn một số nguyên dương theo cơ số k > 1 tuỳ ý Định lý 1.6.1 Cho số nguyên dương k > 1 Mỗi số nguyên không âm n đều có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng n = a0 k m + a1 k m−1 + · · · + am−1 k + am , trong đó a0 , , am ∈ {0, 1, , k − 1} Chứng . tin. Chính vì thế, số học- một khoa học "ai cũng biết và nên biết chút ít". Mục đích của luận văn giới thiệu Các hàm số học và ứng dụng. Những ứng dụng của các hàm số học là rất nhiều,. chung nhỏ nhất, Số nguyên tố và định lý cơ bản của số học, Biểu diễn số tự nhiên theo một cơ số. Chương II: Các hàm số học và ứng dụng. Phần đầu chương này trình bày về các hàm số học cơ bản. Phần. HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN TRUNG CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN TRUNG CÁC HÀM