Về các hàm số số học và ứng dụng

Với những lý do trên, luận văn đề cập đến một lĩnh vực quan trọng của Số học là vấn đề về các hàm số số học và ứng dụng.. Sau khi khảo sát một số hàm số số học, luận văn sẽ đa ra một số

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Vinh 2007

Lời cảm ơnLuận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫntận tình của PGS TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏlòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn PGS TS Nguyễn Thành

hoàn thành luận văn này.

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã nhận đợc sự giúp đỡ

và dạy bảo tận tình của GS TS Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn T, TS Chu Trọng Thanh và các thầy giáo trong chuyên ngành Đại số & Lí thuyết số, Khoa Toán

và Khoa Đào tạo Sau đại học – Trờng Đại học Vinh Tác giả xin trân trọng cảm

ơn sự giúp đỡ quý báu đó.

Tác giả xin chân thành cảm ơn học viên cao học toán khóa 12 về những trao đổi bổ ích trong nhiều chứng minh chi tiết của luận văn

2.2 ứng dụng của hàm Euler trong lý thuyết trờng chia đờng

Ngày nay, trong thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu mới nhất của

Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống nh kinh tế, xã hội, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Vì vậy, một phơng hớng mới của số học đã ra đời và phát triển mạnh mẽ: Số học thuật toán.

Với những lý do trên, luận văn đề cập đến một lĩnh vực quan trọng của Số học là vấn đề về các hàm số số học và ứng dụng Sau khi khảo sát một số hàm số

số học, luận văn sẽ đa ra một số phép toán trên tập hợp các hàm số số học và xây dựng các cấu trúc đại số trên tập hợp đó Luận văn cũng sẽ thực hiện một số tính toán với các hàm số số học bằng các phầm mềm Maple, nhằm tìm tòi các ứng dụng của các hàm số số học trong Số học thuật toán

Nội dung chính luận văn, gồm hai chơng:

Chơng 1 Hàm số học và ứng dụng.

Chơng 2 Cấu trúc vành của các hàm số số học.

Một số kết quả chính thu đợc của luận văn gồm:

● Chỉ ra một số tính chất của các hàm số số học:

1) Số nguyên dơng n là hợp số khi và chỉ khi σ ( )n > +n n.

2) Cho hàm nhân f Với mọi số nguyên dơng m, n ta luôn có

f (BCNN (m, n)) f ( UCLN (m, n)) = f (m) f (n).

3) Cho n∈N, n≥ 2 ta luôn có σ (n) + ϕ (n) ≥ 2n (Định lý 2.1.6).

● Sử dụng công cụ các hàm nguyên trong các bài toán tìm số điểm nguyên

và giải phơng trình nghiệm nguyên.

● Sử dụng công cụ hàm số Euler trong lý thuyết trờng chia đờng tròn, chứng

minh đợc rằng nhóm nhân căn bậc n của đơn vị là một nhóm cyclic cấp n (định lý 2.2.6) và chứng minh đợc tính khả quy của đa thức chia đờng tròn trên trờng đặc

số khác 0

● Thực hành một số tính toán với các hàm số số học trên phần mềm Maple: Tính toán với phi hàm Euler, hàm sigma, số hoàn chỉnh, số Mersenne, số nguyên

tố Mersen, bậc của số nguyên, căn nguyên thuỷ, phơng trình đồng d

● Xây dựng đợc cấu trúc đại số vành trên tập hợp các hàm số số học bằng cách định nghĩa phép toán ( * ) thích hợp trên tập hợp tất cả các hàm số học Cụ thể hơn, ta có:

Xét các hàm số học f, g với phép toán * sau đây

Với cách xác định nh vậy ta thu đợc kết quả sau (định lý 2.3.4).

(a) Tập các hàm số học và phép toán +, phép toán * lập thành một vành

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Tổ Đại số – Khoa Toán – Trờng Đại học Vinh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên và học sinh Trờng THPT Huỳnh Thúc Kháng – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ

An đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Phạm Thị Phơng Thanh

Chơng 1 Hàm số học và ứng dụng

1.1 Hàm phần nguyên và ứng dụng

nguyên lớn nhất không vợt quá x, ký hiệu bởi [x] Nh vậy, phần nguyên của x là

số nguyên thoả mãn [x] < x < [x] +1 Hiệu x - [x] = { x} gọi là phần phân của x

1.1.2 Định lý Phần nguyên của số thực x có các tính chất sau:

(2) Theo định nghĩa, ta có: [xi] ≤ xi < [xi] + 1, i = 1, 2, , n Cộng tất cả cácbất đẳng thức , vế theo vế, ta có:

các số d, 2d, , nd với nd≤ x <(n+1)d vậy, n ≤   d x <n+1 Từ định nghĩa phần

 +x2+1 Ta có điều phải chứng minh ■

1.1.3 Hệ qủa (1) [x + y] ≥ [x] + [y], ∀x,y ∈ R; dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi 0≤ {x}+{y} < 1.

(2) Nếu n là số tự nhiên thì n[x] ≤ [nx]

Chứng minh (1) Vì [x] ≤ x và [y] ≤ y cho nên [x] + [y] ≤ x+y.

Theo định nghĩa hàm phần nguyên ta suy ra: [x] + [y] ≤ [x+y]

(2) Ta có: x= [x]+{x} ⇒ [nx]=[n[x] + n{x}] = n[x] + [n{x}] (vì n[x] nguyên) Don{x}≥ 0 suy ra [n{x}] ≥ 0 Vậy, n[x] ≤ [nx] ■

2 2006

2 1

k k

k k

Vậy x3 – 1 = 3 hay x= 3 4 ■

1.1.4 Định nghĩa Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho miền phẳng D Điểm có toạ độ

1.1.5 Định lý Cho hàm số f(x) ≥ 0 xác định, liên tục trên đoạn [ a, b] và miền

phẳng ,

0, ( ).

x a x b D

Ký hiệu , p q∈Â là số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho a ≤ p ≤ q ≤ b Khi đó số các

điểm nguyên nằm trong D là Τ thoả mãn

Chứng minh Các điểm nguyên (x,y) phải có hoành độ x nguyên Vậy, các điểm

khi x = i thì 0 ≤ y ≤ f(i) Vì vậy, số các điểm nguyên nằm trong D có hoành độ x = i

Bất đẳng thức này cho ta xác định đợc cận trên của số điểm nguyên trong mộtmiền phẳng Chẳng hạn, trong miền phẳng

, 0,

1.1.6 Một số bài toán ứng dụng hàm phần nguyên

Bài toán 1 Tìm số nghiệm nguyên dơng của phơng trình

x + + =L x m; ,m x i∈Ơ+,i=1, ,n

1 1 1

1 ,

hệ x1+ + + =x2 L x n s là Nn(s) Khi đó, số nghiệm nguyên dơng của hệ

1 1

n m

, 1,

n i i i

, 1,

n i i i

Bài toán 4 Cho 2006 hình chữ nhật với độ dài các cạnh là những số nguyên a, b

mà 100≥ a ≥ b ≥ 1 Hình chữ nhật với độ dài các cạnh (a,b) đợc gọi là chứa đợc

trong hình chữ nhật với độ dài các cạnh (c,d) nếu c≥ a, d ≥ b Khi đó có ít nhất 41 hình chữ nhật lần lợt chứa đợc nhau.

có ít nhất một lớp chứa nhiều hơn 40 hình chữ nhật

Bài toán 5 Cho dãy số nguyên tố bất kỳ p 1 = 2, p 2≥ 3, p n+1 p– n ≥ 2, n ≥ 1 Đặt

Ta có dãy bất đẳng thức

1

1 2

Do p1 = 2 vµ x lÎ, nªn x≥3 NÕu x = 3 th× tÊt c¶ c¸c bÊt ph¬ng tr×nh ph¶i trë thµnh

víi (1) NÕu x ≥ 5 th× x - 2 ≥ 3 vµ

S n = 2 +p 2 +…+p n < 1+ 3 +…+(2k-1) = k 2 §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1).

1.1.7 §Þnh lý Cho sè nguyªn d¬ng n>1 Ph©n tÝch tiªu chuÈn cña n! lµ

n p

1.2.2 Định nghĩa (a) Hàm số học f đợc gọi là hàm có tính chất nhân (hàm nhân)

f (ab) = f (a)f (b).

nhân mạnh.

Ví dụ Các hàm số học xác định nh sau đều là hàm nhân:

n α1 α2 α

2 1

2 1

k

k

p f p f p f n

(ii) Ta cã (fg)(1) = f(1)g(1) ≠ 0 theo trªn nªn fg ≠ 0 H¬n n÷a, nÕu c¸c sè nguyªn

(a)(fg)(b) Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ■

1.2.4 §Þnh lý (C«ng thøc tæng tr¶i) NÕu sè nguyªn d¬ng n cã sù ph©n tÝch chÝnh

(1 ( )

j

s

j i j i

Chøng minh Ta sÏ chØ ra r»ng, nÕu , m n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng nguyªn tè cïng nhau

d n n

nhiªn cña n Ký hiÖu:

lµ 1, p, p2, …, pk VËy, sè c¸c íc cña (p k) lµ k + 1 hay τ (p k) = +k 1

Chứng minh Nếu a là ớc của n thì n

làm 2 tập hợp con s1 ={a n a/ , ≤ n} , s2 ={b n b/ , ≤ n} Với mỗi phần tử b∈ S2 tơng

b

ràng, số phần tử của S1 bé hơn hay bằng n hay τ ( ) 2n ≤ n ■

1.3.5 Mệnh đề

1

( 1)( 2) ( )

1.3.6 Mệnh đề a) n là số nguyên tố khi và chỉ khi σ(n) = n+1.

b) σ(n) là số lẻ nếu và chỉ nếu n là số chính phơng hoặc 2n là số chính phơng.

Chứng minh a) Nếu n là số nguyên tố thì σ(n) = n + 1, ngợc lại nếu σ(n) = n + 1 thì

n là số nguyên tố Giả sử n là hợp số thì n có ớc là 1, a và n (với 1 < a < n)

Đảo lại, giả sử σ(n) lẻ và giả sử 1 2

1.3.7 Định lý Số nguyên dơng n là hợp số khi và chỉ khi σ ( )n > +n n.

Chứng minh i) Giả sử σ ( )n > +n n. Vì σ (1) 1 = nên n> 1 Ta cần chứng minh n là hợp

( )n n 1 n n,

σ = + < + ∀n> 1,

ii) Giả sử n là hợp số Ta cần chứng minh σ ( )n > +n n. Vì n là hợp số nên n=ab,với 1 <a,b<n, a, b nguyên dơng Suy ra a≤ n hoặc b≤ n Giả sử a≤ n Khi đón

1.4 Hàm số số học Euler và ứng dụng

Cho n là số tự nhiên khác không Trong các hàm số số học, hàm số Euler đợc

định nghĩa sau đây, có vai trò rất quan trọng

1.4.1 Định nghĩa Hàm số Euler ϕ(n) là hàm số số học có giá trị tại n bằng số các

số tự nhiên khác 0, không vợt quá n và nguyên tố cùng nhau với n:

1.4.2 Định nghĩa Hệ thặng d đầy đủ modn là một tập hợp gồm n số nguyên đôi

Hệ thặng d thu gọn modn là một tập hợp gồm ϕ(n) số nguyên đôi một không

đồng d với nhau theo modn và mỗi số đều nguyên tố cùng nhau với n

1.4.3 Định lý Giả sử a là số nguyên sao cho a và n nguyên tố cùng nhau Khi đó,

nếu r1,r2, ,rϕ(n) là một hệ thặng d thu gọn modn thì ar1,ar2, ,arϕ(n) cũng là hệ thặng d thu gọn modn.

Chứng minh Với 1≤i≠ j ≤n, giả sử ar i ≡ar j (mod n),thế thì từ giả thiết a và nnguyên tố cùng nhau ta suy ra r i ≡r j (mod n) Điều này trái với giả thiết

) (

2

) ( 2

thiết a và n nguyên tố cùng nhau ta suy ra (ar i,n)=(r i,n)=1 Vì vậy, hệ

) ( 2

1.4.4 Định lý Euler Nếu a là số nguyên, nguyên tố cùng nhau với n , thì

)(mod1)

Chứng minh Giả sử r1,r2, ,rϕ(n) là một hệ thặng d thu gọn modn Theo định lý1.4.3 hệ ar1,ar2, ,arϕ(n) cũng là hệ thặng d thu gọn modn Vì mỗi thặng d của hệnày đồng d với một và chỉ một thặng d của hệ kia theo modn, cho nên ta có:

(mod

2 1 )

32

2222

1)1(

1211

mn m

m m

r m n r

m r m r

m n m

m

m n m

m

+

−+

+

+

−+

+

+

−+

Do đó, mỗi hàng của bảng số trên gồm n số nguyên phân biệt đôi một không đồng d

1.4.7 Định lý Hàm Euler ϕ(n) là hàm có tính chất nhân, nghĩa là với m,n là hai số nguyên dơng nguyên tố cùng nhau, ta có: ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)

Chứng minh Ta sắp xếp tất cả các số nguyên dơng không vợt quá tích mn thành bảng

(mn

mn Có cả thảy ϕ(m) hàng nh vậy Vì vậy, trong bảng số trên có ϕ(m)ϕ(n) số

)

()()

ϕ

Chứng minh Theo định nghĩa hàm Euler ϕ(n), ta có

.11

11

)(

1 1

) , (

1 1

) , (

1 1 ) , (

m m p p

m m p

k p

m p m

k

k k

k k

k

p p

p

ϕ

., p≤s≤ p k−1

.)

p

n α1 α2  α

2 1

= là dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n, Khi đó, ta

có công thức

)

11()

11)(

11()(

2

p n

(/

n

d

n d

=

∑ϕ

trong đó tổng đợc lấy theo mọi ớc của n.

Chứng minh Thật vậy, nếu n = 1, thì công thức đúng Nếu n > 1, thì nó có dạng phân

k

p p

p

n α1 α2  α

2 1

1.4.11 ứng dụng Các tính chất của hàm Euler đợc sử dụng để tính đồng d của

nguyên dơng rất lớn Giả sử có

k

k

p p

p

k α1 α2  α

2 1

Khi đó, theo định lý Euler ta có

)

(mod1)

)

i r

n a p

Ta xét một ví dụ bằng số: Tính 21000000 mod77 Ta có: 77 = 11.7, và có

.10)11

230 ≡

1.5 Tính toán với các hàm số số học1.5.1 Hàm Euler và các ứng dụng liên quan

Hàm Euler của số tự nhiên n đợc tính bằng lệnh

{>phi(n);

Thí dụ: [ > phi(123456);

41088

trị Phi – hàm Euler của nó, bằng lệnh

ánh cho nên không phải giá trị nào của a thì hàm invphi () cũng cho kết quả

Thí dụ: [invphi(123);

[ ]

Ta biết rằng khi a và n là các số nguyên tố cùng nhau thì định lý Euler cho

hiện nh sau:

ớc chúng lớn nhất của chúng:

[> gcd(a,n) ;

Nếu chúng không nguyên tố cùng nhau (kết quả lệnh trên khác 1) thì ta kết luận

KiÓm tra l¹i ta thÊy

[> 11683261*56341 mod 13713471;

1

1.5.2 Hµm sigmặ) vµ sè hoµn h¶o

vµ nh vËy 2305843008139952128 lµ mét sè hoµn h¶ọ

1.5.3 Sè Mersenne vµ sè nguyªn tè Mersenne

Khi k lµ sè nguyªn tè ta dïng hµm M ersenne (k) kiÓm tra xem sè Mersenne thø k cã

kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè Mersenne, ngîc l¹i hµm tr¶ l¹i gi¸ trÞ b»ng sè Mersenne thø k, tøc lµ 2 1 k − VÝ dô:

[> k := 7 ;

k:=7[> mersenne(k) ;

127

Nh vậy số Mersenne thứ 7 là số nguyên tố và bằng 127 Tơng tự, ta dễ dàng kiểm tra

đợc rằng trong 50 số Mersenene đầu tiên thì chỉ có các số thứ 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31 lànhững số nguyên tố ( còn lại đều là hợp số ) Càng về sau chúng phân bố càng tha thớt, cho nên việc tìm đợc một số nguyên tố Mersenne rất khó khăn Thí dụ:

1.5.4 Bậc của một số và căn nguyên thuỷ

n

[> order (18,30) ;

FAIL

[> order ( 171717, 23232323) ;

2040Thật vậy, kiểm tra lại ta thấy:

[> 171717&^2040 mod 23232323 ;

1

Căn nguyên thuỷ modulo m là những số có bậc đúng bằng φ( )m , cho nên

[> is (order (a,m) =phi(m) ;

Nh vậy 123 là căn nguyên thuỷ modulo 1114111 thì không phải Ta biết rằng

tử không đồng d với nhau Nh vậy số lợng các căn nguyên thuỷ modulo 1114111 ( không đông d với nhau) đợc tính bằng lệnh

[> phi (phi (1114111) ;

297072Phần tử đầu tiên trong tập các căn nguyên thuỷ modulo m đợc tính bằng lệnh[> primroot (m) ;

ngợc lại thì sẽ cho kết quả cần tìm Thí dụ:

[> primroot (a,m) (11111111) ;

FAIL

[> primroot (11111117) ;

2Phần tử đầu tiên lớn hơn số a trong tập các căn nguyên thuỷ modulo m đợc tính bằnglệnh

Chơng 2 Cấu trúc vành của các Hàm số số học

2.1 Hàm Mobius, luật thuận nghịch

Trong phần này luận văn sẽ trình bày định lý nỗi tiếng của Gauss có tên gọi “ Luật thuận nghịch bậc 2”, một công cụ hiệu quả để giải các phơng trình đồng d bậc

2 Đây là một định lý mà nhiều nhà toán học lớn nh Euler, Lagrange đã quan tâm sâusắc Có thể coi nó là cái thớc đo vĩ đại của Gauss, ông vua số học, ngời đã chứng minh định lý này khi mới 15 tuổi Vì định lý này là một trong những định lý quan trọng của lý thuyết số nên Gauss đã quay lại nghiên cứu nó trong nhiều quảng thời gian của cuộc đời ông và Gauss đã đa ra ít nhất là 6 phép chứng minh khác nhau

2.1.5 Hệ quả Cho n∈N, n>1, có sự phân tích chính tắc 1 2

s

n= p pα α pα khi đó ta có các đẳng thức sau:

1 1 1 1 1 1

1

i

s i

p n

Chøng minh: Ta chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc NÕu m = 1 hoÆc n = 1, kÕt qu¶

lµ hiÓn nhiªn Gi¶ sö c¸c sè tù nhiªn m, n > 1 cã sù ph©n tÝch chÝnh t¾c

( , ) i i

s i i

2.2 ứng của hàm Euler trong lý thuyết trờng chia đờng tròn

2.2.1 Đặc số của trờng Giả sử T là một trờng với phần tử đơn vị đợc ký hiệu là 1.

2.2.2 Trờng nguyên tố Giả sử T là một trờng Ta gọi là trờng con của T, một vành

của tất cả các trờng con của một trờng đã cho hiển nhiên là một trờng nguyên tố Vìvậy, mọi trờng đều chứa một và chỉ một trờng con nguyên tố

2.2.3 Định lý về các kiểu trờng nguyên tố (xem [1]) Giả sử P là trờng con nguyên

tố của trờng T, khi đó:

1) Nếu trờng T có đặc số 0 thì trờng P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỉ.

2) Nếu trờng T có đặc số p≠0 thì trờng P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên modp.

2.2.4 Mở rộng trờng Giả sử T là một trờng con của trờng U, khi đó ta nói U là một

mở rộng của trờng T Chẳng hạn, mọi trờng đều có thể xem là một mở rộng của trờngcon nguyên tố của nó

Giả sử U là một mở rộng đã cho của một trờng T và S là một tập con tuỳ ý của

U Họ trờng con của U chứa T và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó Giao của họ này

là một trờng con của U chứa T và S Hiển nhiên đó là trờng con nhỏ nhất chứa T và

S Ta ký hiệu là T(S) và gọi nó là mở rộng thu đợc từ T bằng cách ghép thêm tập hợp

S Nếu

S = { x1, , xn }

thì thay cho T(S) ta viết T( x1, , xn ) Đặc biệt, với phần tử α tuỳ ýthuộc U , ta gọi

2.2.5 Căn của đơn vị Trờng chia đờng tròn.

Giả sử P là một trờng nguyên tố và n là một số tự nhiên khác không và n không chia hết cho đặc số của trờng P (nh vậy, nếu trờng P có đặc số 0, thì n là số tự

1)

Hiển nhiên, các căn bậc n của đơn vị lập thành một nhóm Aben đối với phép

có αn =1.

Trờng phân rã Rn của đa thức f(x)= x n −1 gọi là trờng chia đờng tròn bậc n trên trờng P

Ví dụ Giả sử trờng nguyên tố P là trờng số hữu tỉ Q Khi đó, trờng chia đờng tròn Rn

.1, ,1,0,

2sin

n

k

k π πε

Các căn bậc n của đơn vị có biểu diễn hình học là n đỉnh của một đa giác đều n

cạnh nội tiếp trong đờng tròn đơn vị Biết giá trị

n

π2

giác đều n cạnh nội tiếp trong đờng tròn đơn vị, tức là chia đờng tròn đó thành n

phần bằng nhau

2.2.6 Định lý Nhóm nhân căn bậc n của đơn vị là một nhóm xiclic cấp n

Chứng minh Vì n không chia hết đặc số của trờng, nên đạo hàm

1

f

hay trong Rn có đúng n căn bậc n của đơn vị.

Để chứng minh định lý trên, ta nhắc lại rằng số các số nguyên dơng nhỏ hơn

n và nguyên tố với n là giá trị của hàm Euler ϕ(n), nó cũng bằng số phần tử sinh

của một nhóm xiclic cấp n Ta sử dụng hệ thức Gauss: