Đạo hàm theo hướng và ứng dụng

Sự tồn tại đạo hàm theo hướng củahàm giá trị là một trong các tính chất ổn định của bài toán tối ưu.. Vìvậy, việc nghiên cứu mở rộng khái niệm đạo hàm, cụ thể là khái niệmđạo hàm theo hư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN

ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN

ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn ii

1.1 Các khái niệm 41.2 Các điều kiện chính quy ràng buộc 14

2.1 Một số kết quả bổ trợ 212.2 Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị 27

Lời cảm ơn

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với

sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đếnnay, Khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm

ơn chân thành, sâu sắc tới Ban Giám hiệu Trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô trong Khoa Toán và các thầy cô giáo giảng dạychuyên ngành Giải Tích (Khoa Toán)- Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, đặc biệt là thầy giáo - PGS.TS Nguyễn Quang Huy người đãtrực tiếp tạo mọi điều kiên giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trongsuốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nênkhóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mongnhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luận

NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp “Đạo hàm theo hướng và ứng dụng ” đượchoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu của bảnthân tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy.Các kiến thức, tài liệu được trích dẫn trong khóa luận là trungthực

Hà Nội, tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luận

NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN

1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn, chúng ta gặp nhiều bài toán tối ưu ở đó hàm mụctiêu hoặc hàm ràng buộc không khả vi Điều này dẫn đến cần nghiêncứu mở rộng khái niệm đạo hàm để giải quyết nhiều bài toán mà ở

đó các đối tượng khảo sát là những hàm có thể không khả vi Hàmgiá trị là một trong những hàm được quan tâm nhiều nhất trong giảitích biến phân và lý thuyết tối ưu Sự tồn tại đạo hàm theo hướng củahàm giá trị là một trong các tính chất ổn định của bài toán tối ưu Vìvậy, việc nghiên cứu mở rộng khái niệm đạo hàm, cụ thể là khái niệmđạo hàm theo hướng của một hàm có vai trò quan trọng trong toánquy hoạch toán học Từ những ý nghĩa quan trọng đó, để tìm hiểu vàứng dụng vào các bài toán quy hoạch toán học, tác giả đã lựa chọn đềtài “Đạo hàm theo hướng và ứng dụng ”

Khóa luận bao gồm hai chương:

- Chương 1 trình bày đạo hàm theo hướng bao gồm các khái niệm

về đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai và các điều kiện chính quyràng buộc

- Chương 2 ứng dụng thiết lập sự tồn tại đạo hàm theo hướng của

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các khái niệm cơ bản của đạo hàm theo hướng bậc nhất,bậc hai

- Nghiên cứu các điều kiện chính quy ràng buộc, mối quan hệ giữachúng và đạo hàm theo hướng của hàm giá trị

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lý luận: Đọc, nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liênquan đến đạo hàm theo hướng và ứng dụng; phân tích, so sánh và hệthống hóa

5 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán tối ưu có ràng buộc; đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai

và các điều kiện chính quy ràng buộc

• R, R+ : Tập các số thực, số thực không âm.

• Rn : Không gian vectơ Euclide n−chiều, thực

• h·, ·i : Tích vô hướng của hai véctơ x, y ∈ Rn

• AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A; A là đối xứng nếu A=AT

• λ(A) : Tập tất cả các giá trị riêng của ma trận A

• dom F : Miền hữu hiệu của F

• ∇f (x) hay f0(x): Đạo hàm của f tại x

• f0(x; v) : Đạo hàm theo hướng v của f tại x

• ∂f (x) : Dưới vi phân của hàm f tại x

• coneS : Nón lồi sinh bởi S

• riΓ : Phần trong tương đối của tập Γ

• inf F : Cận dưới đúng của F

• supF : Cận trên đúng của F

ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

1.1 Các khái niệm

Đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai

Chúng ta xét bài toán quy hoạch toán học P (x) phụ thuộc vào tham

hi(x, y), i = 1, , p được giả thiết là khả vi liên tục bậc 2

Cho ánh xạ nhân F được định nghĩa ở trên bởi sự ràng buộc của

P (x), chúng ta sử dụng ký hiệu

domF := {x ∈ Rn : F (x) 6= ∅},grF := {(x, y) : y ∈ F (x), x ∈ Rn}

Ký hiệu đạo hàm Dini dưới và trên của hàm số ϕ tại điểm x0 theohướng x lần lượt bởi

ϕ00(x0; x) := lim

t↓0 2t−2[ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0) − tϕ0(x0; x)]

Ký hiệu I(z) := {i ∈ I : hi(z) = 0} và xét hàm số LagrangeL(z, λ) = f (z) + hλ, h(z)i ở đó λ = (λ1, , λp); h := (h1, , hp) và tậpnhân tử Lagrange

của các nhân tử Lagrange suy biến.

Điều kiện đủ để tồn tại đạo hàm có hướng ϕ0(x0; x) và ϕ00(x0; x) đòihỏi chính quy ràng buộc (điều kiện chính quy) trên hàm số hi(x, y).Nhắc lại rằng, chính quy ràng buộc tại điểm y0 để đảm bảo tínhhiệu lực của điều kiện Karush - Kuhn - Tucker, tức là đảm bảo rằngΛ(x0, y0) 6= ∅ nếu y0 là một nghiệm địa phương của bài toán P (x0)

Ví dụ, chính quy ràng buộc Mangasaria - Foromovitz (M F CQ) [2] nổitiếng đòi hỏi độc lập tuyến tính của vectơ 5yhi(x0, y0), i ∈ I0 và tồntại một vectơ yo sao cho

h5yhi(x0, y0), y0i = 0, i ∈ I0h5yhi(x0, y0), y0i < 0, i ∈ I(x0, y0)

Ta biết rằng MFCQ tại điểm y0 ∈ F (x0) tương đương với yêu cầu

Λ0(z0) = 0 Để xây dựng các chính quy ràng buộc khác, ta cần kháiniệm nón tiếp tuyến cho tập F (x0) tại điểm y0 ∈ F (x0):

rank{5yhi(x0, y0), i ∈ I0∪ Ia(x0, y0)} = const trong lân cận của điểm

y0

Ta biết từ [3] rằng RM F CQ là một chính quy ràng buộc và nó suy

ra M F CQ Một số điều kiện chính quy khác và và mối quan hệ của

nó có thể được tìm thấy trong [5, 6]

Theo Luderer và các tác giả [7], đạo hàm trên và dưới Dini của ánh

xạ đa trị F tại điểm z0 trong hướng x:

Chú ý 1.1 Không khó khăn để kiểm tra rằng (xem, [7])

DF (z0; x) ⊂D F (z_ 0; x) ⊂ Γ (z0; x)

Chúng ta biết rằng điều kiện DF (z0; x) = Γ (z0; x) 6= ∅ đóng vai tròquan trọng trong việc nghiên cứu tính khả vi theo hướng của hàm giátrị Điều kiện này đúng nếu MFCQ thỏa mãn tại điểm y0 ∈ F (x0) Mộtđiều kiện yếu hơn nhưng rất cần đảm bảo DF (z0, x) = Γ (z0; x) 6= ∅được gọi là điều kiện Mangasaria - Foromovitz theo hướng x (hay đơngiản là điều kiện Mangasaria - Foromovitz) được giới thiệu trong [9,10]

Định nghĩa 1.1 Điều kiện M angasaria − F oromovitz theo hướng x(viết tắt M Fx) là thỏa mãn tại điểm z0 nếu và chỉ nếu họ {∇yhi(z0), i ∈

I0} là độc lập tuyến tính và tồn tại một vectơ y0 sao cho

h∇hi(z0), (x, y0)i = 0, i ∈ I0, h∇hi(z0), (x, y0)i < 0, i ∈ I(z0)

Theo [9], các khẳng định sau là tương đương

1 M Fx thỏa mãn tại điểm z0

cả trong các bài tối ưu rất đơn giản

Ví dụ 1.1.1 Cho F (x) = {y ∈ R2 : −y12 + y2 − x ≤ 0, −y2 + x ≤0}, x ∈ R, x0 = 0, y0 = (0, 0)T Ở đây, điểm z0 = (x0, y0) không thỏamãn MFCQ và M Fx với hướng bất kỳ

Thật vậy, với h1(z) = −y12 + y2 − x và h2(z) = −y2 + x, không tồntại vectơ y ∈ Rm sao cho h∇hi(z0), (x, y)i < 0, i = 1, 2, bởi vì các bấtđẳng thức này đưa về y2 < x và y2 > x mà không thể xảy ra Điềunày có nghĩa là M Fx không thỏa mãn tại z0 theo hướng bất kỳ và vìvậy, theo chú ý trên, MFCQ cũng không thỏa mãn.

Hệ quả tiếp theo từ lý thuyết của bất phương trình tuyến tính (xem[8])

Bổ đề 1.3 Γ (zo; x) 6= ∅ nếu và chỉ nếu P

i∈I 0 ∪I(z 0 )

λih∇xhi(z0), xi ≤ 0,

∀λ ∈ Λ0(z0) Bất đẳng thức h∇xhi(z0), (x, y0)i ≤ 0 với các chỉ số

i ∈ Ia(z0, x) được gọi là bất đẳng thức hoạt cốt yếu của tập Γ (zo; x)

Bổ đề tiếp theo được suy ra từ kết quả về bất đẳng thức tuyến tính(Định lý 17.7 và Hệ quả 17.3 của Gorokhovik [8])

Bổ đề 1.4 Cho Γ (z0; x) 6= ∅ Khi đó,

1 Hệ h∇hi(z0), zi = 0, i ∈ I0, h∇hi(z0), zi < 0, i ∈ I(z0) không cónghiệm nếu và chỉ nếu Ia(z0, x) 6= ∅.

2 Một bất đẳng thức với chỉ số i ∈ I(z0) là hoạt cốt yếu nếu và chỉnếu tồn tại một vectơ λ ∈ Λ0(z0) sao cho

tự nhiên đòi hỏi sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ {∇yhi(z0), i ∈

I0∪ Ia(z0)} là không thỏa đáng bởi vì từ Bổ đề 1.4, các vectơ này luônphụ thuộc tuyến tính nếu Ia(z0, x) 6= ∅

Định nghĩa 1.2 Chúng ta nói rằng điều kiện Mangasarian - movitz nới lỏng theo hướng x ( viết tắt RM F x thỏa mãn tại điểm z0nếu nếu và chỉ nếu Γ (z0; x) 6= ∅ , và hệ (m + 1) vectơ

Fro-



∇yhi(z)h∇xhi(z), xi



i ∈ I0 ∪ Ia(z0, x), (1.1)

có hạng là hằng số trong lân cận điểm z0

Lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát, RM Fx(đúng hơn là M Fx)không phải là chính quy ràng buộc vì nó không đảm bảo điều kiệnKarush - Kuhn - Tucher được thỏa mãn Không khó để nhìn ra từ

M Fx suy ra RM Fx Thật vậy, từ điều kiện M Fx tại điểm z0, ta suy

Điều này có nghĩa là M Fxcó thể thỏa mãn tại điểm z0 nếu Ia(z0, x) 6=

∅ Tuy nhiên, Ia(z0, x) 6= ∅ suy ra hạng của (1.1) là hằng trong lâncận z0, có nghĩa là RM Fx thỏa mãn tại điểm z0

Ví dụ tiếp theo điều ngược lại là không đúng, và trong trường hợptổng quát, RM Fx không thể suy ra M Fx

Ví dụ 1.1.3 Cho

i ∈ I0 ∪ Ia(z0), x

)

= 2 = const

Vì vậy RM Fx thỏa mãn tại z0 theo hướng x Tương tự, dễ dàng chỉ

ra rằng M Fx không thỏa mãn tại điểm z0

đó không có vectơ λ ∈ Λ0(z0) với λ4 dương), ta đạt được

Ia(z0, x) = {1, 2, 3} theo Bổ đề 1.4 Dễ dàng kiểm tra rằng RM Fx thỏamãn tại điểm z0 Rõ ràng rằng chính quy ràng buộc quen biết Man-gasaria - Foromovitz không thỏa mãn tại điểm z0 vì Λ0(z0) 6= {0} Do

đó, M Fx cũng không được thỏa mãn

Bổ đề 1.5 Ia(z0, x) ⊂ Ia(z0)

Chứng minh Bao hàm thức là đúng nếu Ia(z0, x) = ∅ Cho Ia(z0, x) =

∅ và chọn tùy ý i ∈ Ia(z0, x) Khi đó, theo Bổ đề 1.4, có một vectơ

λ ∈ Λ0(z0) sao cho λi > 0, λj = 0 với mọi j ∈ I\Ia(z0, x) và

i∈I0∪I(z 0 )

λih∇xhi(zo), xi = 0

Mặt khác, theo Bổ đề 1.1, từ bất đẳng thức λi > 0 với i ∈ Ia(z0, x)liên kết với chỉ số i ∈ Ia(z0, x) là thực chất chủ động đối với tập

ΓF (xo )(y0) Do đó i ∈ Ia(z0)

Ví dụ 1.1.5 Dưới giả thiết của Ví dụ 1.1.3, Ia(z0, x) = {1},

Ia(z0) = {1, 2}, nghĩa là Ia(z0, x) ⊂ Ia(z0)

1.2 Các điều kiện chính quy ràng buộc

Định lý 1.1 Giả sử rằng RM Fx thỏa mãn tại điểm z0 Khi đó,

DF (z0 : x) = Γ (z0 : x) 6= ∅

Chứng minh Xem [11, Theorem 2.1]

Xét một vectơ y ∈ Γ (z0; x), và theo [7], ta nhắc lại đạo hàm Dinicấp hai dưới và trên của ánh xạ đa trị F tại điểm z0 dọc theo vectơ

z = (x, y) theo hướng x như sau:



∇yhi(z)h∇xhi(z), xi

Bổ đề 1.7 Cho RM Fx đúng tại điểm z0 Khi đó Γ2(z0, z; x) =b

Bằng cách sử dụng các ký hiệu coneS cho hình nón kéo dài bởi mộttập S, từ biểu thức này chúng ta thu được

ΓC(0, y0) =

((0,ey) : ey ∈ ΓF (x0 )(y0)

)

∪ cone

((1,y) :e y ∈ Γ (ze 0; x)

)

Chúng ta hãy kiểm tra tính hiệu quả của điều kiện RM F CQ chotập C tại điểm (0, y0) ∈ C Điều kiện RM F CQ lúc này có nghĩa là(xem [3] và định nghĩa 6 và 60 của Kruger [4])

rank



∇yhi(x0 + tx, y)h∇xhi(x0 + tx, y), xi



Cho et = 1 (và với mọi et > 0) điều kiện cao hơn là đúng nếu

k ∈ Ia(z0, x) vàet = 0 đúng, nếu k ∈ Ia(z0) Vì Ia(z0, x) ⊂ Ia(z0) theo

bổ đề (2.5), chúng ta nhận đượcIca(0, y0) = Ia(z0, x) Do đó RM Fx tại

z0 suy ra RM F CQ của tập C tại điểm(0, y0) ∈ C.Khi đó, theo Kruger[3], tính chất liên kết sai số địa phương cố định tập C tại (0, y0) ∈ C.Điều này có nghĩa là tồn tại một số α > 0 và lân cận V (0) và V (y0)sao cho khoảng cách Euclidean từ (t, y) tới C có thể đạt được ước tínhlà

d((t, y), C) ≤ α.max{0, −t, hi(x0 + tx, y), i ∈ I(z0),

|hi(x0 + tx, y)|i ∈ I0}với mọi t ∈ V (0), y ∈ V (y0) Từ bất phương trình cuối ta có

d((t, y0 + ty), C) ≤α max{0, −t, hi(x0 + tx, y0 + ty), i ∈ I(z0),

| hi(x0 + tx, y0 + ty) | i ∈ I0} ≤ M t2,với mọi số dương t đủ nhỏ, trong đó M = const > 0 Điều này cónghĩa là với mọi dãy tk ↓ 0 tồn tại dãy liên kết {αk}, {pk} sao cho

y0 + tky + t2kpk ∈ F (x0 + tkx + αkt2kx) với mọi k = 1, 2,

Kí hiệu δk = tk + αk t2k và giả định không mất tính tổng quát rằng

αk 6= 0 với mọi k = 1, 2, chúng ta thu được

Điều này có nghĩa là tồn tại một dãy liên kết {vk} sao cho

y0+δky+δ2vk ∈ F (x0+δkx) với mọi k = 1, 2, và không mất tính tổng

quát có thể giả sử rằng vk → v và y0+ δk y + δk2y + o(δk2) ∈ F (x0+ δkx)Khi đó, từ đẳng thức và bất đẳng thức dưới đây:

Lấy một vectơ tuỳ ý ν ∈ Γ2(z0, z; x) Khi đó, với mọi t đủ nhỏ t > 0,

Vì vậy, ν ∈ bD2F (z0, z; x) và Γ2(z0, z; x) ⊂ bD2F (z0, z; x) và do đó,

Γ2(z0, z; x) = bD2F (z0, z; x)

Hệ quả 1.1 Nếu thêm vào điều kiện của Bổ đề (1.7), ánh xạ nhân

F thoả mãn tính chất Aubin [12, 13] tại điểm z0 Khi đó, Γ (z0; x) =

DF (z0; x) và Γ2(z0, z; x) = D2F (z0, z; x) 6= ∅, ∀y ∈ Γ (z0; x)

Hệ quả 1.2 Cho y ∈ Γ (z0; x) Khi đó, điều kiện dưới của bổ đê(1.7)với mọi ν ∈ Γ2(z0, z; x), tồn tại một hàm vectơ ov(t2) và một hàmo(t2) sao cho y0 + ty + t2ν + oν(t2) ∈ F (x0 + (t + o(t2))x) với mọi hệ

số dương t đủ nhỏ

Điều kiện Mangasarian - Fromovitz thứ hai tại điểm z0, dọc theovectơ z = (x, y) theo hướng x suy ra ánh xạ nhân F có đạo hàm theohướng thứ hai Đặc biệt, định lí dưới đây là đúng

Định lý 1.2 Cho y ∈ Γ (z0; x) Nếu điều kiện RM Fx(z) là đúng tạiđiểm z0 dọc theo vectơ z = (x, y), khi đó bD2F (z0, z; x) = Γ2(z0, z; x) 6=

∅

Chứng minh Chứng minh Định lý (1.2) theo lược đồ trong chứngminh Định lý 1.1 Cụ thể là, chúng ta có thể biểu thị dưới đây giảthiết của định lý (1.2),

riΓ2(z0, z; x) = {ν : h∇yhi(z0), νi + 1

2hz, ∇2hi(z0)zi = 0,

i ∈ I0 ∪ Ia(z0, z), h∇yhi(z0), νi + 1

2hz, ∇2hi(z0)zi < 0, i ∈ I−(z0, z)}.Hơn nữa, theo định lý hàm ẩn với lập luận tương tự sử dụng đểchứng minh định lý (1.1) bao hàm ν ∈ riΓ2(z0, z; x) suy ra



i ∈ I0 ∪ K

trong đó, K ∈ Ia(z0), có hạng hằng trong lân cận điểm z0.

Hiển nhiên, U RM Fx được suy ra bởi M Fx Mặt khác, U RM Fx suy

ra RM Fx

Hệ quả 1.3 Giả sử U RM Fx thỏa mãn tại z0 Khi đó, DF (z0; x) =

Γ (z0; x) 6= ∅ và D2F (z0, z; x) = Γ2(z0, z; x) với mọi z = (x, y) saocho y ∈ Γ (z0; x) và Γ2(z0, z; x) 6= ∅

Chứng minh Theo Bổ đề 1.4, RM Fx suy ra từ U RM Fx, do đó tất cảyêu cầu của Định lý 1.1 đều thỏa mãn Từ Bổ để 1.5 và Γ2(z0, z; x) 6=

∅, ta suy ra rằng U RM Fx, RM Fx2(z) thỏa mãn tại z0 Do đó, tất cảcác yêu cầu của Định lý 3.1 đều thỏa mãn và do đó D2F (z0, z; x) =

Γ2(z0, z; x)

k→∞ | xk − x0 |−1| yk − y0 |= ∞ thì tất cả các điểm giới hạn của dãy{| yk− y0 |−1 (yk − y0)} thuộc D(z0).

Kí hiệu Φ(z0, z; ν) := h∇yf (z0), νi+1

2hz, ∇2f (z0)zi, ở đó z = (x, y).Xét các tập

Chú ý 2.1 Lưu ý, ta suy ra từ Bổ đề 2.2 rằng hai tập Γ∗(z; x) và

Λ∗(z; x) là khác rỗng nếu Γ (z; x) 6= ∅ và Λ(z) 6= ∅ Theo Shapiro [14],chúng ta nói rằng điều kiện đủ bậc hai mạnh theo hướng x(SSOSCx)thỏa mãn tại điểm z0 nếu Λ(z) 6= ∅ và sup

λ∈Λ 2 (z 0 ;x)

hy, ∇2

yyL(z0, λ)yi > 0với mọi vectơ y ∈ D(z0), y 6= 0

Bổ đề 2.3 Giả sử rằng điều kiện RM Fx và SSOSCx thỏa mãn tạiđiểm

z0 = (x0, y0) sao cho y0 ∈ w(x0) Cũng cho y ∈ Γ∗(z; x) và

Chứng minh Lưu ý trước tiên, theo Định lý 1.1 và Bổ đề 2.2 ta suy

ra từ giả thiết rằng DF (z0; x) = Γ (z0; x) 6= ∅ và cả hai tập Λ2(z0; x)

và Γ2(z0; x) là khác rỗng Chúng ta đi chứng minh khẳng định đầutiên của bổ đề là đúng

Giả sử ngược lại, lim

và do đó, ϕ(xk − ϕ(x0) ≤ M | xk − x0 | với k = 1, 2, Khi đó, theo

Bổ đề 2.1, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

y0+ ty + t2ν + oν(t2) ∈ F (x0+ (t + o(t2))x) với mọi t đủ nhỏ t ≥ 0 Vìvậy, chúng ta có thể giả sử rằng y0+ tky + t2kν + oν(t2k) ∈ F (xk+ o(t2k)x)với mọi k = 1, 2, Ký hiệu yek := y0+ tky + t2kν + oν(t2k) và xét phươngtrình

Như vậy, từ bất đẳng thức (2.2), với mọi λ ∈ Λ2(z0, x),

| yk − y0 |2.Cho qua giới hạn ta đạt được

h_y , ∇2

yyL(x0, y0, eλ) _y i ≤ 0

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của eλ Do đó dãy {t−1k (yk −

y0)} là bị chặn, và không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

t−1k (yk− y0) → y0 và khi đó, yk = y0 + tky0 + o(tk) Hơn nữa