Đạo hàm theo hướng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Quang Huy Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG 1.1 Các khái niệm 1.2 Các điều kiện quy ràng buộc 14 ỨNG DỤNG 21 2.1 Một số kết bổ trợ 21 2.2 Đạo hàm theo hướng hàm giá trị 27 KẾT LUẬN 34 Tài liệu tham khảo 34 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên, đến nay, Khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới Ban Giám hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô Khoa Toán thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Giải Tích (Khoa Toán)- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy giáo - PGS.TS Nguyễn Quang Huy người trực tiếp tạo điều kiên giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp “Đạo hàm theo hướng ứng dụng ” hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân tác giả hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy Các kiến thức, tài liệu trích dẫn khóa luận trung thực Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong thực tiễn, gặp nhiều toán tối ưu hàm mục tiêu hàm ràng buộc không khả vi Điều dẫn đến cần nghiên cứu mở rộng khái niệm đạo hàm để giải nhiều toán mà đối tượng khảo sát hàm không khả vi Hàm giá trị hàm quan tâm nhiều giải tích biến phân lý thuyết tối ưu Sự tồn đạo hàm theo hướng hàm giá trị tính chất ổn định toán tối ưu Vì vậy, việc nghiên cứu mở rộng khái niệm đạo hàm, cụ thể khái niệm đạo hàm theo hướng hàm có vai trò quan trọng toán quy hoạch toán học Từ ý nghĩa quan trọng đó, để tìm hiểu ứng dụng vào toán quy hoạch toán học, tác giả lựa chọn đề tài “Đạo hàm theo hướng ứng dụng ” Khóa luận bao gồm hai chương: - Chương trình bày đạo hàm theo hướng bao gồm khái niệm đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai điều kiện quy ràng buộc - Chương ứng dụng thiết lập tồn đạo hàm theo hướng Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN hàm giá trị Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu nghiên cứu khái niệm đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai điều kiện quy ràng buộc - Vận dụng khái niệm đạo hàm theo hướng kết bổ trợ để giải toán tồn đạo hàm theo hướng hàm giá trị Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai - Nghiên cứu điều kiện quy ràng buộc, mối quan hệ chúng đạo hàm theo hướng hàm giá trị Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lý luận: Đọc, nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến đạo hàm theo hướng ứng dụng; phân tích, so sánh hệ thống hóa Đối tượng nghiên cứu Bài toán tối ưu có ràng buộc; đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai điều kiện quy ràng buộc Một số ký hiệu dùng đề tài • R, R+ : Tập số thực, số thực không âm • Rn : Không gian vectơ Euclide n−chiều, thực • ·, · : Tích vô hướng hai véctơ x, y ∈ Rn • AT : Ma trận chuyển vị ma trận A; A đối xứng A=AT • λ(A) : Tập tất giá trị riêng ma trận A • dom F : Miền hữu hiệu F • ∇f (x) hay f (x): Đạo hàm f x • f (x; v) : Đạo hàm theo hướng v f x • ∂f (x) : Dưới vi phân hàm f x • coneS : Nón lồi sinh S • riΓ : Phần tương đối tập Γ • inf F : Cận F • supF : Cận F Chương ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG 1.1 Các khái niệm Đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai Chúng ta xét toán quy hoạch toán học P (x) phụ thuộc vào tham số x ∈ Rn f (x, y) → inf y y ∈ F (x) = {y ∈ Rm : hi (x, y) ≤ 0, i ∈ I, hi (x, y) = 0, i ∈ I0 } I = {1, , s}, I0 = {s + 1, , p} , tất hàm số f (x, y), hi (x, y), i = 1, , p giả thiết khả vi liên tục bậc Cho ánh xạ nhân F định nghĩa ràng buộc P (x), sử dụng ký hiệu domF := {x ∈ Rn : F (x) = ∅}, grF := {(x, y) : y ∈ F (x), x ∈ Rn } Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Xét hàm giá trị ϕ(x) := inf {f (x, y) : y ∈ F (x)}, tập nghiệm toán P (x) ω(x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = ϕ(x)}, x ∈ Rn Bây cố định điểm x0 ∈ domF y ∈ F (x0 ) cho phần lại Ở phần tiếp theo, cho điểm x ∈ domF, y ∈ F (x) tùy ý phương (x, y) ∈ Rn × Rm , ký hiệu cặp (x,y) (x, y) z z Đặc biệt, điểm x y trở thành điểm x0 , y cố định trên, ký hiệu (x0 , y ) z Chúng ta giả sử tập ω(x0 + tx) khác rỗng giới hạn với tất số t ≥ đủ nhỏ, tức tồn số t0 > tập giới hạn Y0 ⊂ Rm cho ω(x0 + tx) ⊂ Y0 với t ∈ [0, t0 ] Ngoài ra, muốn sử dụng cách tự tiêu chuẩn “o - nhỏ” “O - lớn” ký hiệu thay cho hàm vectơ vào không gian ảnh Rk , k ∈ N; Ví dụ, o(t) biểu thị hàm số thỏa mãn o(t) → t ↓ Ký hiệu đạo hàm Dini hàm số ϕ điểm x0 theo hướng x D+ ϕ(x0 ; x) := lim inf t−1 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 )), t↓0 D+ ϕ(x0 ; x) := lim sup t−1 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 )), t↓0 đạo hàm theo hướng hàm số ϕ hướng x điểm x0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Γ ∗ (z; x) := NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN y ∗ ∈ Γ (z; x) : ∇f (z), (x, y ∗ ) = ∇f (z), (x, y) y∈Γ (z;x) Λ2 (z; x) := λ ∈ Λ(z) : ∇x L(z, λ), x = max ∇x L(z, λ), x λ∈Λ(z) điểm z = (x, y) ∈ grF Bổ đề 2.2 ([9]) Cho z = (x, y) ∈ grF Các khẳng định sau Nếu tập Λ(z) Γ (z, x) khác rỗng, inf y∈Γ (z;x) f (z), z = sup ∇x L(z, λ), x λ∈Λ(z) Ngoài ra, hai tập khác rỗng, đó, cực trị hai vế đẳng thức đạt Nếu Γ (z, z; x) = ∅ số y ∈ Γ ∗ (z; x), inf 2Φ(z, z; ν) = ν∈Γ (z,z;x) z, ∇2 L(z , λ)z sup λ∈Λ2 (z;x) Ngoài ra, DF (z; x) = Γ (z; x) = ∅ D2 F (z, z; x) = Γ (z, z; x) = ∅ với y ∈ Γ (z; x), cực trị hai vế đẳng thức đạt Chú ý 2.1 Lưu ý, ta suy từ Bổ đề 2.2 hai tập Γ∗ (z; x) Λ∗ (z; x) khác rỗng Γ (z; x) = ∅ Λ(z) = ∅ Theo Shapiro [14], nói điều kiện đủ bậc hai mạnh theo hướng x(SSOSCx ) thỏa mãn điểm z Λ(z) = ∅ với vectơ y ∈ D(z ), y = 22 sup λ∈Λ2 (z ;x) y, ∇2yy L(z , λ)y > Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện RM Fx SSOSCx thỏa mãn điểm z = (x0 , y ) cho y ∈ w(x0 ) Cũng cho y ∈ Γ∗ (z; x) lim inf t−2 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) − t ∇f (z ), z ) thu dãy t↓0 tk ↓ 0, y k ∈ w(x0 + tk x) y k → y ∈ w(x0 ) Khi đó, k 0 lim sup t−1 k | y − y |< ∞ tất điểm giới hạn y dãy k→∞ k {t−1 k (y − y )} thuộc Γ ∗ (z ; x); Tồn đạo hàm ϕ (x0 ; x) = ∇f (z , z); Đẳng thức sau D+ ϕ(x0 ; x) = inf inf inf ∗ sup y∈Γ ∗ (z ;x) ν∈Γ (z,z;x) = y∈Γ (z ;x) λ∈Λ2 (z;x) 2Φ(z, z; ν) (x, y ), ∇2zz L(z , λ)(x, y) Chứng minh Lưu ý trước tiên, theo Định lý 1.1 Bổ đề 2.2 ta suy từ giả thiết DF (z ; x) = Γ (z ; x) = ∅ hai tập Λ2 (z ; x) Γ (z ; x) khác rỗng Chúng ta chứng minh khẳng định bổ đề k Giả sử ngược lại, lim sup t−1 k | y − y |= ∞ k→∞ k Ký hiệu x := x + tk x Vì DF (z ; x) = Γ (z ; x), y ∈ Γ ∗ (z ; x), tồn hàm số o(t) cho t−1 o(t) → t ↓ y + ty + o(t) ∈ F (x0 + tx) với t đủ nhỏ t ≥ Do đó, ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) ≤ f (x0 + tx), y + ty + o(t)) − f (x0 , y ) (2.1) ≤ M t, M = const, 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN đó, ϕ(xk − ϕ(x0 ) ≤ M | xk − x0 | với k = 1, 2, Khi đó, theo Bổ đề 2.1, không tính tổng quát ta giả sử (y k − y ) | y k − y |−1 → y ∈ D(z ) Lấy vectơ λ ∈ Λ2 (z , x) cho y , ∇2yy L(x0 , y , λ) y > Do Γ (z , z; x) =D F (z , z; x) = ∅ theo Bổ đề 3.2, lấy vectơ ν ∈ Γ (z , z; x) Khi đó, từ Bổ đề 3.2 suy tồn hàm số o(t) oν (t) cho t−1 o(t) → t−1 0ν (t) → t ↓ y + ty + t2 ν + oν (t2 ) ∈ F (x0 + (t + o(t2 ))x) với t đủ nhỏ t ≥ Vì vậy, giả sử y + tk y + t2k ν + oν (t2k ) ∈ F (xk + o(t2k )x) với k = 1, 2, Ký hiệu y k := y + tk y + t2k ν + oν (t2k ) xét phương trình lim inf t−2 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) − t ∇f (z ), z ) t↓0 0 = lim t−2 k (ϕ(x + tk x) − ϕ(x ) − tk ∇f (z ), z ) k→∞ ϕ(x0 + (tk + o(t2k ))x) − ϕ(x0 ) − (tk + o(t2k )) ∇f (z ), z k→∞ (tk + o(t2k ))2 f (x0 + (tk + o(t2k ))x), y k ) − f (x0 , y ) − (tk + o(t2k )) ∇f (z ), z ≤ lim k→∞ (tk + o(t2k ))2 t2k = lim k→∞ (tk + o(t2 k )) f (x0 + (tk + o(t2k ))x), y k ) − f (x0 , y ) − (tk + o(t2k )) ∇f (z ), z × lim k→∞ t2k ≤ lim inf ≤ Φ(z , z, ν) (2.2) 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Như vậy, từ bất đẳng thức (2.2), với λ ∈ Λ2 (z , x), L(xk , y k , λ) − L(x0 , y , λ) − tk ∇f (z ), (x, y) ≤ f (xk , y k ) − f (x0 , y ) − tk ∇f (z ), (x, y) k (2.3) ≤ ϕ(x ) − ϕ(x ) − tk ∇f (z ), (x, y) ≤ M0 t2k M0 = const > Áp dụng Bổ đề 2.2., thu từ (2.3) với λ = λ M0 t2k L(xk , y k , λ) − L(x0 , y , λ) − tk ∇x L(x0 , y , λ), x ≤ | y k − y |2 | y k − y |2 Cho qua giới hạn ta đạt y , ∇2yy L(x0 , y , λ) y ≤ k Điều mâu thuẫn với định nghĩa λ Do dãy {t−1 k (y − y )} bị chặn, không tính tổng quát ta giả sử k 0 k 0 t−1 k (y − y ) → y đó, y = y + tk y + o(tk ) Hơn hi (xk , y k ) − hi (x0 , y ) ≤ 0, i ∈ I(z ), hi (xk , y k ) − hi (x0 , y ) = 0, i ∈ I0 đó, sau qua giới hạn ∇hi (z ), (x, y ) ≤ 0, i ∈ I(z ), ∇hi (z ), (x, y ) = 0, i ∈ I0 Như vậy, y ∈ Γ (z , x) Hơn nữa, theo kết định lý (1.1), 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN với y ∈ Γ (z , x) tồn hàm số o(t) cho f (x0 + tk x, y k ) − f (x0 , y ) = ϕ(x0 + tk x) − ϕ(x0 ) ≤ f (x0 + tk x, y + tk y + o(tk )) − f (x0 , y ), đó, ∇f (z ), (x, y ) ≤ ∇f (z ), (x, y) tức y ∈ Γ ∗ (z ; x) Bây chứng minh khẳng định thứ hai bổ đề Từ bất phương trình (2.2) (2.3), ta có lim inf t−2 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) − t ∇f (z ), z ) = α = ∞ k↓0 sup λ∈Λ2 (z ,x) (x, y ), ∇2zz L(z , λ)(x, y ) ≤ 2α ≤ inf ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) (2.4) Cho giới hạn D+ ϕ(x0 ; x) = lim inf s−1 (ϕ(x0 + sx) − ϕ(x0 )) s↓0 đạt dãy sk ↓ Khi 0 α ≤ lim inf s−2 k (ϕ(x + sk x) − ϕ(x ) − sk ∇f (z ), z ) k→∞ Bởi vậy, ∀ε > tồn số nguyên dương k0 = k0 (ε) cho 0 α − ε ≤ s−2 k (ϕ(x + sk x) − ϕ(x ) − sk ∇f (z ), z ) 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN 0 sk (α − ε) ≤ s−1 k (ϕ(x + sk x) − ϕ(x ) − sk ∇f (z ), z ) với k > k0 Khi đó, D+ ϕ(x0 ; x) − ∇f (z ), z ≥ Tức D+ ϕ(x0 ; x) ≥ ∇f (z ), z Từ (2.1) ta có D+ ϕ(x0 ; x) ≤ ∇f (z ), z Điều có nghĩa ϕ (x0 ; x) = ∇f (z ), z Cuối cùng, chứng minh khẳng định thứ ba bổ đề Từ khẳng định thứ hai, có 2α = D+ ϕ(x0 ; x) (2.4) Khi đó, theo (2.4) ta có inf sup y∈Γ ∗ (z ;x) λ∈Λ2 (z ,x) ≤ inf ∗ y∈Γ (z ;x) (x, y ), ∇2zz L(z , λ)(x, y) ≤ D+ ϕ(x0 ; x) inf ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) Kết hợp điều Bổ đề 2.2, ta có D+ ϕ(x0 ; x) = = inf ∗ y∈Γ (z ;x) inf ∗ inf ν∈Γ (z ,z;x) sup y∈Γ (z ;x) λ∈Λ2 (z ,x) 2.2 2Φ(z , z, ν) (x, y ), ∇2zz L(z , λ)(x, y) Đạo hàm theo hướng hàm giá trị Ký hiệu ω(x0 , x) := y ∈ ω(x0 ) : ϕ (x0 ; x) = 0min0 min0 y ∈ω(x ) y∈Γ (z ;x) ∇f (z ), z) Định lý 2.1 Cho RM Fx SSOSCx điểm z = (x0 , y ), 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN y ∈ ω(x0 ) Khi đó, Hàm số ϕ phân biệt điểm x0 theo hướng x ϕ (x0 ; x) = 0min0 ∇f (z ), z min0 y ∈ω(x ) y∈Γ (z ;x) (2.5) = 0min0 max0 ∇x L(z , λ), x ; y ∈ω(x ) λ∈Λ(z ) Công thức sau D+ ϕ(x0 ; x) = = inf y ∈ω(x0 ,x inf ∗ 2Φ(z , z, ν) inf0 y∈Γ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) inf inf sup y ∈ω(x0 ,x y∈Γ ∗ (z ;x) λ∈Λ(z ) (z), ∇2zz L(z , λ)(z) (2.6) Chứng minh Cho y ∈ ω(x0 ) Bởi Định lý 2.1, Γ (z ; x) = DF (z ; x) = ∅ Khi đó, với vectơ y ∈ Γ (z ; x) tồn hàm số o(t) cho o(t)/t → t ↓ 0, y + ty + o(t) ∈ F (x0 + tx) với t ≥ Vì vậy, ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) ≤ f (x0 + tx, y + ty + o(t)) − f (x0 , y ) thu D+ ϕ(x0 ; x) = lim sup t−1 ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) ≤ ∇f (z), z t↓0 với z = (x, y) cho y ∈ Γ (z ; x) Từ ta có bất phương trình sau D+ ϕ(x0 ; x) ≤ inf y ∈ω(x0 ) inf0 ∇f (z ), z (2.7) y∈Γ (z ;x) Dưới giả thiết định lý, Γ ∗ (z ; x) = ∅ Cho y ∈ Γ ∗ (z ; x) xét 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN dãy tk ↓ cho 0 lim t−2 k (ϕ(x + tk x) − ϕ(x ) − tk ∇f (z ), z ) k→∞ lim inf t−2 (ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) − t ∇f (z ), z ) t↓0 Ký hiệu xk := x0 +tk x, y k ∈ ω(xk ), k = 1, 2, Không tính tổng quát giả sử dãy {y k } hội tụ Khi đó, y k → y ∈ F (x0 ) theo tính đóng đồ thị ánh xạ nhân F Vì ϕ(xk ) ≤ ϕ(x0 )+tk D+ ϕ(x0 ; x)+o(tk ), dần tới giới hạn phương trình f (xk , y k ) = ϕ(xk ), cho f (x0 , y ) = lim sup ϕ(xk ) ≤ ϕ(x0 ), k→∞ 0 y ∈ ω(x ) Vì tất điều kiện bổ đề (2.3) thỏa mãn, theo bổ đề ta có D+ ϕ(x0 ; x) = ∇f (z ), z ≥ inf y ∈ω(x0 ) inf0 ∇f (z ), z (2.8) y∈Γ (z ;x) Từ (2.7) (2.8), ta khẳng định tồn đạo hàm theo hướng ϕ (x0 ; x) = 0min0 min0 y ∈ω(x ) y∈Γ (z ;x) ∇f (z ), z Áp dụng Bổ đề 2.2 ta có (2.5) Từ giả thiết khẳng định thứ ta suy Γ ∗ (z ; x) = ∞ 2 Γ (z , z; x) =D F (z , z; x) = ∞ với y ∈ ω(x0 ) Hơn nữa, ω(x0 , x) = ∞ với y ∈ Γ ∗ (z ; x) Lấy y ∈ ω(x0 , x, y ∈ Γ ∗ (z ; x) ν ∈ Γ (z , z; x) Khi đó, tồn dãy sk ↓ cho y k = y + sk y + s2k ν + oν (s2k ) ∈ F (x0 + sk x), k = 1, 2, 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Vì ϕ(x0 + sk x) − ϕ(x0 ) − sk ϕ (x0 ; x) ≤ f (x0 + sk x, y k ) − f (x0 , y ) − sk ∇f (z ), z ≤ sk ∇f (z ), z + s2k Φ(z , z, ν) + o(s2k ) Do 0 D+ ϕ(x0 ; x) ≤ lim inf 2s−2 k (ϕ(x + +sk x) − ϕ(x ) − sk ϕ (x ; x) k→∞ ≤ 2Φ(z , x, ν) với y ∈ ω(x0 , x), y ∈ Γ ∗ (z ; x) ν ∈ Γ (z , z; x) Như D+ ϕ(x0 ; x) ≤ inf0 inf ∗ inf y ∈ω(x ,x) y∈Γ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) (2.9) Mặt khác, theo khẳng định thứ ba Bổ đề 2.3, ta có D+ ϕ(x0 ; x) = inf ∗ inf inf ∗ sup 2Φ(z , z, ν) y∈Γ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) = y∈Γ (z ;x) λ∈Λ2 (z ,x) (x, y ), ∇2zz L(z , λ)(x, y) , y ∈ ω(x0 , x) Do D+ ϕ(x0 ; x) ≥ inf y ∈ω(x0 ,x) inf ∗ y∈Γ (z ;x) inf ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) Kết hợp điều với Bổ đề 2.2 (2.9), ta suy (2.6) thỏa mãn Định lý 2.2 Giả sử điều kiện U RM Fx SSOSCx thỏa mãn điểm z = (x0 , y ) cho y ∈ ω(x0 ) Khi đó, hàm giá trị ϕ 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN có đạo hàm theo hướng ϕ (x0 ; x) ϕ (x0 ; x) điểm x0 theo hướng x ϕ (x0 ; x) = 0min0 min0 y ∈ω(x ) y∈Γ (z ;x) ∇f (z ), z = 0min0 max0 ∇x L(z , λ), x , y ∈ω(x ) λ∈Λ(z ) ϕ (x ; x) = = inf inf inf inf ∗ 0 inf y ∈ω(x0 ,x) y∈Γ ∗ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) y ∈ω(x0 ,x) (2.10) 2Φ(z , z, ν) z, ∇2 L(z , λ), z sup y∈Γ (z ;x) λ∈Λ(x0 ,x) Chứng minh Phương trình (2.10) theo Định lý 2.1 Hơn nữa, từ giả thiết định lý ta suy Γ ∗ (z ; x) = ∅ với y ∈ ω(x0 ) D2 F (z , z; x) = Γ (z , z; x) = ∅ với y ∈ Γ ∗ (z ; x) = ∅ Định lý 1.1 Lấy y ∈ ω(x0 , x), y ∈ Γ ∗ (z ; x) ν ∈ Γ (z , z; x) Vì Γ (z , z; x) = D2 F (z , z; x), bao hàm thức y + ty + t2 ν + o(t2 ) ∈ F (x0 + tx) với t ≥ 0, ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) ≤ f (x0 + tx, y + ty + t2 ν + o(t2 )) − f (x0 , y ) = t ∇f (z ), z + t2 Φ(z , z, ν) + o(t2 ) Xét y ∈ ω(x0 , x) y ∈ Γ ∗ (z ; x) với đạo hàm D+2 ϕ(x0 ; x) = lim sup [ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x)], ta tìm đánh giá t↓0 t sau: D+2 ϕ(x0 ; x) ≤ 2Φ(z , z, ν) Khi đó, D+2 ϕ(x0 ; x) ≤ inf y ∈ω(x0 ,x) inf ∗ y∈Γ (z ;x) inf ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) (2.11) Kết hợp (2.12) đánh giá D+2 ϕ(x0 ; x) từ định lý (2.1), ta 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN đạt ϕ = inf y ∈ω(x0 ,x) inf ∗ inf y∈Γ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) 2Φ(z , z, ν) Áp dụng Bổ đề 2.2, ta đạt (2.10) Ví dụ 2.2.1 Cho F (x) = {y ∈ R2 : y1 + y2 − x ≤ 0, −y1 − y2 + x ≤ 0, − y2 ≤ 0}, f (y) = y12 + y22 , x ∈ R, x0 = 2, y = (1, 1)T Do đó, hàm hi , i ∈ I{1, 2, 3, 4}, cho h1 (x, y) = y1 + y2 − x, h2 (x, y) = −y1 − y2 + x, h3 (x, y) = −y1 , h4 (x, y) = −y2 Dễ ràng kiểm tra M F CQ M Fx không thỏa mãn điểm z Mặt khác, với x ∈ Rn , ta có Γ (z ; x) = {y ∈ R2 : y1 + y2 ≤ x, y1 + y2 ≥ x}, I (z ; x) = {1, 2} Hơn nữa, RM Fx điểm z theo hướng x thỏa mãn  rank{∇y hi (x0 , y ), i = 1, 2} = rank    −1           , −1     −x x = const Điều kiện SSOSCx tương đương với 2(y 21 + y 22 ) > với vectơ khác không y thỏa mãn Vì vậy, theo Định lý 2.1, tồn đạo hàm ϕ (x0 ; x) Bây tính đạo hàm theo hướng x = sử dụng Định lý 2.1 Dễ thấy ω(x) = {(2−1 x, 2−1 x)T }, đó, ϕ (x0 ; x) = min{2(y + y ) | y + y = 1} = Ta thấy giải thiết Định lý 2.2 thỏa mãn ví dụ Như đạo hàm bậc hai ϕ (x0 ; x) tồn Tiếp theo ta tính đạo hàm bậc hai ϕ (x0 ; x) Hiển nhiên, Γ ∗ (z ; x) = Γ ; x) Dễ dàng tìm 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN Γ (z , z; x) = {ν | ν + ν = 0} Khi đó, từ (2.11) ta có ϕ (x0 ; x) = {2(ν1 + ν2 ) + 2(y 21 + y 22 )} min ∗ 2(y 21 + y 22 ) y∈Γ ∗ (z ;x) ν∈Γ (z ,z;x) = y∈Γ (z ;x) = 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN KẾT LUẬN Nội dung khóa luận trình bày hiểu biết nghiên cứu khái niệm đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai điều kiện quy ràng buộc Đồng thời, vận dụng khái niệm đạo hàm theo hướng kết bổ trợ để giải toán tồn đạo hàm theo hướng hàm giá trị 34 Tài liệu tham khảo DEMYANOV, V.F.: Differentiability in Directions Leningrad University Publ, Leningrad, 1974 MANGASARIAN, O.L., FROMOVITZ, S.: The Fritz-John necesary optimality conditions in presence of equality and inequality constraints, J Math Anal 17 (1967), pp 37–47 MINCHENKO, L., STAKHOVSKI, S.: About generalizing the Mangasarian-Fromovitz regularity condition, Dokl BGUIR (2010), pp 104–109 KRUGER, A.Y., MINCHENKO, L., OUTRATA, J.V.: On relaxing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification, Positivity 18 (2013), pp 171–189 MOLDOVAN, A., PELLEGRINI, L.: On regularity for constrained extremum problems Part 1: sufficient optimality conditions, J Optim Theory Appl 142 (2009), pp 147–163 MOLDOVAN, A., PELLEGRINI, L.: On regularity for constrained extremum problems Part 2: necessary optimality conditions, J Optim Theory Appl 142 (2009), pp 165-183 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THANH NGUYÊN LUDERER, B., MICHENKO, L., SATSURA, T.: Multivalued Analysis and Nonlinear Programming Problems with Perturbations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002 GOROKHOVIK, V.V.: Finite-Dimensional Optimization Problems BSU Publishers, Minsk, 2007 AUSLENDES, A., COMINETTI, R.: Frist and second order sensitivity analysis of nonlinear programs under directional constraint qualifications, Optimization 21 (1990), pp 351–363 10 GOLLAN, B.: On the marginal functions in nonlinear programming Math Oper Res (1984), pp 208-221 11 VADIM BONDAREVSKY, ALEXEY LESCHOV, LEONID MINCHENKO: Value Functions and Their Directional Derivatives in Parametric Nonlinear Programming, J Optim Theory Appl 171 (2016), pp 440–464 12 AUBIN, J.P., EKELAND, I.: Applied Nonlinear Analysis, Wiley, New York, 1984 13 OUTRATA, J.V., RAMIREZ, H.: On the Aubin property of cirtical points perturbed second-order cone programs, SIAM Optim 21 (2011), pp 798–823 14 SHAPIRO, A.: Sensitivity analysis of nonlinear programs and differentiability properties of metric projections, SIAM J Control Optim 26 (1988), pp 628–645 36 ... hiểu ứng dụng vào toán quy hoạch toán học, tác giả lựa chọn đề tài Đạo hàm theo hướng ứng dụng ” Khóa luận bao gồm hai chương: - Chương trình bày đạo hàm theo hướng bao gồm khái niệm đạo hàm theo. .. nghiên cứu khái niệm đạo hàm theo hướng bậc nhất, bậc hai điều kiện quy ràng buộc - Vận dụng khái niệm đạo hàm theo hướng kết bổ trợ để giải toán tồn đạo hàm theo hướng hàm giá trị Nhiệm vụ nghiên... thuyết tối ưu Sự tồn đạo hàm theo hướng hàm giá trị tính chất ổn định toán tối ưu Vì vậy, việc nghiên cứu mở rộng khái niệm đạo hàm, cụ thể khái niệm đạo hàm theo hướng hàm có vai trò quan trọng