2 đạo hàm, vi phân và ứng dụng

Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng (Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2) ThS Trần Bảo Ngọc Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.1 Đạo hàm Các định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp đạo hàm hàm hợp xem giáo trình (đã học cấp THPT) Ở ta nhắc lại : Đạo hàm hàm số lượng giác ngược , − x2 (arctan x) = , + x2 (arcsin x) = √ −1 − x2 −1 (arccot x) = + x2 (arccos x) = √ Ví dụ 1.1 Tính đạo hàm hàm số a) y = arcsin 3x b) y = arccos ThS Trần Bảo Ngọc − x2 c) y = arctan (cos 2x) Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.1 Đạo hàm a) y = (arcsin 3x) = (3x) 1− (3x)2 √ b) y = arccos − x = c) y = arctan (cos 2x) = =√ − 9x √ −( − x ) x = √ √ |x| − x − ( − x )2 (cos 2x) −2 sin 2x = + cos 2x + cos2 2x Ví dụ 1.2 Tính đạo hàm hàm số a) y = x x ex b) y = cos x c) y = − sin x + sin x y = (x ln x) = (1 + ln x) y =⇒ y = y (1 + ln x) = x x (1 + ln x) a) Ta có ln y = x ln x suy ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.1 Đạo hàm 2 b) Ta có y cos x = e x =⇒ y cos x − y sin x = 2xe x Suy 2 x2 2 e 2xe x + cos 2xe x + y sin x 2xe x cos x + e x sin x x sin x = = y = cos x cos x cos2 x c) Lấy mũ hai vế, ta y = 3y y = − sin x hay + sin x − cos x(1 + sin x) − cos x(1 − sin x) −2 cos x = (1 + sin x) (1 + sin x)2 −2 cos x −2 cos x = suy y = 3y (1 + sin x)2 3(1 + sin x)2 ThS Trần Bảo Ngọc + sin x − sin x Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.1 Đạo hàm arcsin x Chọn đáp án Ví dụ 1.3 Cho hàm số y = √ − x2 B (1 − x )y − xy = A y = − x2 √ − x − x arcsin x √ D (1 − x )y + xy = C y = (1 − x ) − x Ta có y − x = arcsin x ⇒ y − x2 + y √ −x =√ 1−x − x2 Suy (1 − x )y − xy = −→ Chọn đáp án B √ − x + x arcsin x √ Lưu ý : Tính tốn đạo hàm ta y = (1 − x ) − x ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.2 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao công thức Leibniz Đạo hàm cấp : y (0) = y Đạo hàm cấp n ≥ : y (n) = y (n−1) Công thức Leibniz (đạo hàm ncấp cao tích hàm số) (f g )(n) = Cnk f (k) g (n−k) k=0 Đạo hàm cấp cao hàm lượng giác nπ (sin ax)(n) = an sin ax + nπ (n) n (cos ax) = a cos ax + ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.2 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao hàm lũy thừa mũ (e ax )(n) = an e ax ax + b (n) = (n) [ln (ax + b)] (xe x )(n) = (n + x)e x (−a)n n! (ax + b)n+1 = a ax + b (n−1) =a ax + b (n−1) Ví dụ 1.4 Tính đạo hàm x2 1−x c) cấp y = ln(1 − 2x) a) cấp y = a) Ta có y = − b) cấp 10 y = cos2 x d) cấp y = x e 2x − x2 1 + = −1 − x + 1−x 1−x 1−x ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.2 Đạo hàm cấp cao − (−1) 7! (7) =⇒ y (7) = 1−x b) Ta có y = 1 + cos 2x 2 =⇒ y (10) = = (1 − = x)8 7! (1 − x)8 10π (cos 2x)(10) = 210 cos 2x + 2 = 29 cos (2x + 5π) = −512 cos 2x Lưu ý ta sử dụng công thức : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b c) y = −2 ⇒y (5) =−2 − 2x 1 − 2x ThS Trần Bảo Ngọc (4) = −2 24 4! −768 = (1 − 2x) (1 − 2x)5 Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.2 Đạo hàm cấp cao d) y (5) = C50 (x )(0) (e 2x )(5) + C51 (x ) (e 2x )(4) + C52 (x ) (e 2x ) = x 25 e 2x + 5.2x.24 e 2x + 10.2.23 e 2x = 32x + 160x + 160 e 2x Ví dụ 1.5 Cho hàm số y = x cos2 x Chọn đáp án A xy − y − x sin 2x = B xy + y − x sin 2x = C Đạo hàm y (10) = −29 x cos 2x + sin 2x D Đạo hàm y (10) = −29 x cos 2x − sin 2x 1 Ta có y = x + x cos 2x 2 1 ⇒ y (10) = C10 x(cos 2x)(10) + C10 (x) (cos 2x)(9) ⇒ y (10) = 1.x.29 cos(2x + 5π) + 10.28 cos 2x + ThS Trần Bảo Ngọc 9π −→ Chọn C Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.3 Đạo hàm hàm theo tham số Định lý x = x(t) Nếu hàm số y = f (x) cho dạng tham số y = y (t) yx = yt xt Ví dụ 1.6 x = cos3 t Tính đạo hàm yx hàm số y = sin3 t Theo công thức đạo hàm theo tham số, ta có yx = yt sin2 t cos t = = − tan t −3 cos2 t sin t xt ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.1 Vi phân Cho hàm số y = f (x) xác định x0 Gọi ∆x số gia biến x x0 Đặt ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) Định nghĩa : Nếu ∆f = A.∆x + α.∆x với A số, α VCB trình ∆x → ta nói : Hàm số y = f (x) khả vi x0 Biểu thức A.∆x vi phân hàm số y = f (x) x0 Ký hiệu df (x0 ) = A.∆x ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.1 Vi phân Ví dụ 2.1 Tìm vi phân hàm số f (x) = x định nghĩa x0 = Gọi ∆x số gia biến x x0 = Ta có ∆f =f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x)2 − 32 = 6∆x + α.∆x với α = ∆x Chú ý lim α = 0, đó, α vơ bé ∆x→0 q trình ∆x → Suy Hàm số y = x khả vi x0 = Vi phân hàm số x0 = df (3) = 6∆x ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.1 Vi phân Định lý vi phân Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 f khả vi x0 Hơn f có vi phân x0 (tức có đạo hàm x0 ) ta ln có : df (x0 ) = f (x0 ).∆x dx = ∆x Ví dụ 2.2 Tìm vi phân hàm số y = x x0 = Ta có f (x) = 2x suy f (3) = Do df (3) = f (3).∆x = 6dx Tổng quát Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x Khi df (x) = f (x).dx ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.1 Vi phân Ví dụ 2.3 Cho hàm số y = arcsin 2x Chọn đáp án 2dx A dy = √ B dy = √ − 2x − 4x √ C dy = 4dx D Đáp án khác Theo định lý vi phân, ta có (2x) dy = (arcsin 2x) dx = 1− (2x)2 dx = √ 2dx − 4x −→ A, B đáp án sai √ dy = 2dx √ 1−4 ThS Trần Bảo Ngọc = 2 dx = 4dx −→ Chọn C Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.2 Vi phân cấp cao Định lý Vi phân cấp n hàm số y = f (x) d n f (x) = f (n) (x)(dx)n Ví dụ 2.4.Chọn đáp án sai (−a)n n!(dx)n = ax + b (ax + b)n+1 a(−a)n−1 (n − 1)!(dx)n−1 B d n ln(ax + b) = (ax + b)n nπ C d n cos ax = an cos ax + (dx)n D d n e 2x = 2n e 2x (dx)n A d n d n ln(ax + b) = a(−a)n−1 (n − 1)!(dx)n−1 −→ Chọn B (ax + b)n ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.3 Ứng dụng tính gần Định lý (Cơng thức áp dụng vi phân tính gần đúng) Cho hàm số y = f (x) có vi phân x0 Khi ∆x → ta có f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) Ví dụ 2.5 Tính gần giá trị √ a) 15, b) sin 310 c) arcsin 0.54 √ a) Đặt f (x) = x, x0 = 16, ∆x = −0, Ta có 1 f (x) = x = x − = √ 4 x3 √ f (x0 ) = 16 = 1 df (x0 ) = f (x0 )∆x = √ (−0, 2) = − 160 16 319 15, = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = − = 160 160 ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2.3 Ứng dụng tính gần b) Đặt f (x) = sin x, x0 = f (x0 ) = sin π π , ∆x = Ta có f (x) = cos x 180 π = √ π 3π π df (x0 ) = f (x0 )∆x = cos = 180 360 √ 3π sin 31 = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = + 360 c) Đặt f (x) = arcsin x, x0 = 0, 5, ∆x = 0, 04, ⇒ f (x) = √1−x π f (x0 ) = arcsin 0.5 = √ df (x0 ) = f (x0 )∆x = 0, 04 = 75 − 0, 52 √ π arcsin 0, 54 = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = + 75 ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Công thức khai triển Taylor (dành cho tốn A1) Mục đích : Xấp xỉ hàm số y = f (x) cho trước đa thức có dạng Pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + + an (x − x0 )n Ví dụ : e x ≈ + x + x2 x3 xn + + + với n lớn 2! 3! n! Định lý (Công thức Taylor khai triển Taylor) n f (x) = k=0 f (k) (x0 ) (x − x0 )k + Rn (x) với k! Phần dư Lagrange : Rn (x) = f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 , với c (n + 1)! số nằm x x0 Phần dư Peano : Rn (x) = O (x − x0 )n ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Công thức khai triển Taylor (dành cho tốn A1) Ví dụ 4.1 Viết khai triển Taylor hàm số f (x) = x + 2x − 3x + x = −1 Ta có f (x) = 3x + 4x − 3, f (x) = 6x + 4, f (x) = 6, f (k) (x) = với k ≥ Suy f (−1) = 8, f (−1) = −4, f (−1) = −2, f (−1) = Áp dụng công thức Taylor với phần dư Lagrange ta có f (−1) f (−1) f (−1) (x + 1)0 + (x + 1) + (x + 1)2 + f (x) = 0! 1! 2! f (−1) f (4) (c) (x + 1)3 + R3 (x) với R3 (x) = (x + 1)4 = 3! 4! c số nằm −1 x Vậy f (x) = − 4(x + 1) − (x + 1)2 + (x + 1)3 ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Công thức khai triển Taylor (dành cho tốn A1) Ví dụ 4.2 Viết khai triển Mac Laurin hàm số f (x) = cos2 x đến x với phần dư Peano Ta có f (x) = − sin 2x, f (x) = −2 cos 2x, f (x) = sin 2x, f (x) = cos 2x Suy f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −2, f (0) = 0, f (0) = Áp dụng công thức Mac Laurin với phần dư Peano ta có f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) x + x+ x + x + x + O(x ) 0! 1! 2! 3! 4! = − x + x + O(x ) f (x) = ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Qui tắc L’Hospital Qui tắc L’Hospital Nếu f (x), g (x) hai hàm số khả vi lân cận x0 f (x) lim tồn x→x0 g (x) f (x) ∞ L f (x) lim có dạng = lim x→x0 g (x) x→x ∞ g (x) Ví dụ 4.1 Tính giới hạn a) lim+ x 4+ln x x→0 a) lim+ x 4+ln x b) limπ (tan x)2 cos x c) lim (x + e x ) x x→+∞ x→ (00 ) = e ln x 4+ln x x→0+ lim (∞ ∞) L =e lim x→0+ ( x3 ) ( x1 ) = e x→0 ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Qui tắc L’Hospital limπ cos x ln(tan x) (0.∞) b) limπ (tan x)2 cos x (∞0 ) = e x→ x→ =e ln(tan x) lim x→ π cos x ( ) ∞ ∞ ( ) L limπ =e x→ c) lim (x + e x ) x (∞0 ) = e cos2 x tan x sin x cos2 x lim =e ln(x+e x ) lim x x→+∞ x→ π cos x sin2 x = ∞ ∞ ( ) x→+∞ L =e x lim 1+e x x→+∞ x+e (∞ ∞) L =e ex lim x x→+∞ 1+e ∞ (∞ ) L =e x lim e x x→+∞ e = e Chú ý Nếu lim x→x0 lim x→x0 f (x) không tồn ta khơng thể khẳng định g (x) f (x) tồn hay không tồn g (x) ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Qui tắc L’Hospital Khử dạn vô định ∞ − ∞, 0.∞, 00 , ∞0 , 0∞ ∞ Đưa dạng vô định dạng vô định (được sử ∞ dụng quy tắc L’Hospital) sau : ∞ − ∞ : Quy đồng đưa dạng 0 ∞ ∞ 0.∞ : Viết thành (dạng ) (dạng ) ∞ (∞) (0) 00 , ∞0 , 0∞ : Sử dụng cơng thức ab = e b.lna Ví dụ 4.2 Tính giới hạn a) lim x→0 cot x − x b) lim (2 − x)tan x→1 ThS Trần Bảo Ngọc πx c) lim x→0 1 − x x e −1 Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Qui tắc L’Hospital a) lim x→0 cot x − x x→0 = lim x cos x − sin x x2 = lim − sin x = x→0 x→0 b) lim (2 − x)tan 0 =e c) lim x→0 L 0 ( ) x→1 cos x − x sin x − cos x 2x L −1 −( π 2) sin2 πx lim πx (0.∞) sin2 πx =e = e x→1 π 1 ex − − x − x = lim x→0 x(e x − 1) x e −1 ex − x→0 e x − + xe x = lim x→0 (1∞ ) = e x→1 lim (1−x) πx x→1 cot L = lim = lim lim (1−x) tan πx x→1 lim x cos x − sin x x→0 x sin x cos x − sin x x = lim 0 L = eπ ex = lim = x x x→0 2e + xe x→0 + x = lim ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng "Một ngày ngồi trách móc làm việc Một làm lòng ta nhẹ túi ta nặng." Benjamin Franklin HẾT ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng ... sin a sin b c) y = ? ?2 ⇒y (5) =? ?2 − 2x 1 − 2x ThS Trần Bảo Ngọc (4) = ? ?2 24 4! −768 = (1 − 2x) (1 − 2x)5 Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1 .2 Đạo hàm cấp cao d)... Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 1.1 Đạo hàm 2 b) Ta có y cos x = e x =⇒ y cos x − y sin x = 2xe x Suy 2 x2 2 e 2xe x + cos 2xe x + y sin x 2xe x cos... khả vi x0 Biểu thức A.∆x vi phân hàm số y = f (x) x0 Ký hiệu df (x0 ) = A.∆x ThS Trần Bảo Ngọc Đạo hàm, Vi phân Ứng dụng Đạo hàm Vi phân CT Taylor QT L’Hospital 2. 1 Vi phân Ví dụ 2. 1 Tìm vi phân